高二下学期期中考试数学试卷-带有答案

第页高二下学期期中考试数学试卷-带有答案一．单项选择题（本题共8小题每题5分共40分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1.已知直线与平行，则之间的距离为（）A.1 B.2 C. D.【答案】D【解析】【分析】由两直线平行可知其斜率相等即可求出然后再根据平行直线间的距离公式即可求解.【详解】由题意知因为所以所以所以即所以故答案为：2.已知圆与圆只有一个公共点，则（）A.1 B.4 C.9 D.1或9【答案】D【解析】【分析】将圆的方程化为标准式即可得到圆心坐标与半径依题意两圆相内切，则圆心距等于半径之差的绝对值即可得到方程解得即可.【详解】圆即圆心为半径圆圆心半径为所以因为两圆只有一个公共点所以两圆相外切或相内切显然两圆不能相外切所以即解得或.

故选：D3.在54张扑克牌中取出13张红桃按大小排好现取出梅花插入红桃牌中，则15张扑克牌的排法种数是（）A.12 B.182 C.210 D.364【答案】C【解析】【分析】利用倍缩法求解即可.【详解】由题意15张扑克牌的排法种数是.故选：C.4.能源是一个国家发展的基础火力发电是现今社会能源来源的主要途径但火力发电影响全球气候变暖等有关问题．为了提高火电厂一次能源的使用效率有效推动社会的可持续发展必须对火电厂节能减排技术进行深入的探讨．火电厂的冷却塔常用的外形之一就是旋转单叶双曲面它的优点是对流快散热效果好外形可以看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面（如图1）．某火电厂的冷却塔设计图纸比例（长度比）为（图纸上的尺寸单位：）图纸中单叶双曲面的方程为（如图2），则该冷却塔占地面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】令可得求出底面圆的半径乘以比例尺即可求出占地面积作答.【详解】令得方程为它是一个半径为的圆而比例尺为因此圆的实际半径为所以冷却塔占地面积为．故选：B5.已知，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】对A只需取代入即可对B把看成求其展开式的第11项即可求得对C把看成求其展开式的第2项即可求得对D令即可得.【详解】对A时原始右边=所以A错误对B所以B错误对C同上C正确对D令，则则所以D错误.故选：C.6.南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中画了一张表示二项式展开式的系数构成的三角形数阵（如图所示）在“杨辉三角”中第10行所有数字的平方和等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意得到第10行的所有数字的平方和为结合的展开式中得到即可求解.【详解】由题意可得第10行的所有数字的平方和为因为所以展开式中的系数又因为可得展开式中的系数所以所以.故选：A.7.已知抛物线的焦点为直线与抛物线交于两个不同的点．如果成等差数列那么等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】只有项是负的代入发现对于ACD选项：利用抛物线定义以及等差中项可求参数的值.【详解】对于选项：若不符合题意.对于BCD选项：直线与抛物线交于两个不同的点．设因为成等差数列所以设直线为抛物线的准线根据抛物线定义因为抛物线所以令，则，则直线过定点其在抛物线内部且，则该直线与抛物线必有两交点所以解得.故选：C.8.已知关于的方程在上解的个数为（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】A【解析】【分析】在同一坐标系内作出与在上图像观察图像交点个数即可得到关于的方程在上解的个数.【详解】关于的方程在上解的个数即为关于的方程在上解的个数令，则则当时单调递增当时单调递减又在同一坐标系内作出与在上的图像两图像有1个交点则关于的方程在上解的个数为1.故选：A.二．多项选择题（本题共4小题每题5分共20分在每小题给出的选项中有多项符合题目要求全部选对的得5分部分选对的得2分有选错的得0分）9.已知数列前项和为，则下列正确的是（）A.数列为等比数列B.C.D.数列的前项和为【答案】ACD【解析】【分析】根据题意由递推关系可得数列与都为等比数列然后结合等比数列的通项公式以及求和公式即可得到结果.【详解】由可得，则又所以数列是以为首项为公比的等比数列故A正确因为当时当时也满足上式所以故B错误因为即数列是以为首项为公比的等比数列则其前项和故C正确因为则其前项和故D正确故选:ACD10.在的展开式中下列结论正确的是（）A.展开式的二项式系数和是128 B.只有第4项的二项式系数最大C.的系数是 D.展开式中的有理项共有3项【答案】AC【解析】【分析】根据二项式展开式的通项特征即可判断CD由组合数的性质即可判断B,由二项式系数和可判断A.【详解】对于A,二项式系数和为故A正确对于B由于,所以第四项与第五项的二项式系数均为最大故B错误对于C,的通项为令所以的系数是故C正确当时为整数所以有理项有4项故D错误故选：AC11.在三棱柱中分别是上的点且.设若，则下列说法中正确的是（）A. B.C. D.直线与所成的角为【答案】BC【解析】【分析】根据空间向量的线性运算法则可判定A错误求得求得可判定B正确根据向量的数量积的运算公式求得可判定C正确利用向量的夹角公式可判定D错误.【详解】由题意在中因为且对于A中根据向量的运算法则可得所以A不正确对于B中因为可得所以所以B正确对于C中由则所以C正确对于D中由可得且则所以D错误.故选：BC.12.已知椭圆一个焦点是过点且垂直轴的直线交椭圆第一象限于点.直线平行于（为原点）且与椭圆交于两点与直线交于点（介于两点之间）.则下列正确的是（

）A.椭圆的方程为 B.C.面积最大值是 D.【答案】ACD【解析】【分析】对于A：根据题意列式求解即可对于B：利用韦达定理可得分析判断对于C：利用韦达定理结合二次函数分析求解对于D：根据角平分线结合正弦定理分析求解.【详解】对于A：由题意可得：解得所以椭圆的方程为故A正确由题意可知：直线的斜率设直线：联立方程消去y得则解得且对于B：由题意可得：则所以若，则均为定值显然不合题意故B错误对于C：点到直线直线：的距离则面积当即时面积最大值是故C正确对于D：在中由正弦定理可得在中由正弦定理可得由选项B可知：即直线为的角平分线则即又因为，则所以整理得故D正确故选：ACD.三．填空题（共4小题每题5分共20分）13.已知数列的前项和为，则________.【答案】【解析】【分析】利用与题设条件推得从而得到是等差数列进而利用等差数列通项公式即可得解.【详解】因为所以当时即若，则故显然与矛盾故所以又所以是以首项为公差为的等差数列所以故.故答案为：.14.已知直线与相交于点过点作圆的切线切点为，则的最大值为___.【答案】【解析】【分析】先求得点的轨迹方程再求得圆心到点M的距离的最大值进而利用切线长定理即可求得的最大值.【详解】当时直线过定点斜率直线过定点斜率由可得两直线垂直当时直线与直线垂直.综上直线与直线总垂直.则点在以为直径的圆上圆心半径为圆的圆心半径为1则点M到圆心的距离的最大值为则故答案为：715.直四棱柱的底面为正方形分别是上底面下底面的中心在平面内的射影恰好为的重心，则________.【答案】【解析】【分析】以为坐标原点所在直线分别为轴轴轴建立坐标系设求得的重心再利用求解即可.【详解】解：如图示以为坐标原点所在直线分别为轴轴轴建立坐标系：设，则有则的重心所以由题意可得平面平面所以即有所以即有又因为得.故答案为：16.若直线是曲线与的公切线，则______.【答案】【解析】【分析】假设切点坐标利用导数几何意义分别求得在切点处的切线方程由切线方程相同可构造方程组求得即为公切线的斜率.【详解】设与分别相切于点切线方程为即即解得：即.故答案为：.四．解答题（共6小题共70分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤）17.某学校高二1班有五名学生报名参加社团活动社团活动共有“记者在线”“机器人行动”“音乐之声”三个项目每人都要报名且限报其中一项．（1）求“每个项目都有人报名”的报名情况种数（2）已知其中一项目恰只有三名学生报名求只有甲同学一人报“记者在线”概率.【答案】（1）150（2）【解析】【分析】（1）5名学生分三组按人数分为311或221分类计算即可（2）记事件为“其中一项目恰只有三名学生报名”事件为“只有甲同学一人报记者在线”利用条件概率公式计算即可.【小问1详解】“每个项目都有人报名”，则5名学生分三组即人数分为311或221故此时报名情况有种.【小问2详解】记事件为“其中一项目恰只有三名学生报名”事件为“只有甲同学一人报记者在线”事件为“其中一项目恰只有三名学生报名”报名情况有种所以若同时发生即其中一项目恰只有三名学生报名且只有甲同学一人报“记者在线”，则有种所以所以.18.如图在四棱锥中为等边三角形为的中点平面平面．（1）证明：平面（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据题意由面面垂直的性质定理可得平面从而得到再由线面垂直的判定定理即可得到证明（2）根据题意以为坐标原点分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系结合空间向量的坐标运算即可得到结果.【小问1详解】证明：因为平面平面平面平面平面所以平面又平面所以又因为为等边三角形为的中点所以因为平面所以平面.【小问2详解】以为坐标原点分别以所在直线为轴建立如图空间直角坐标系则由（1）可知平面的一个法向量设是平面的一个法向量所以即取，则所以所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为19.正项数列的前和为且．（1）求数列的通项公式（2）设求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由证明是等差数列可求通项（2）由错位相减法求的通项再用分组求和求数列的前项和.【小问1详解】正项数列当时由解得由所以所以即数列是正项数列所以所以数列是首项为1公差为1的正项等差数列所以.【小问2详解】由所以上面两式相减得即所以.20.已知函数（为非零常数）.（1）若函数在上是增函数求实数的取值范围（2）若（）表示的导函数当时设若的最小值恒大于零求的最小值.【答案】（1）（2）8【解析】【分析】（1）根据函数在上增函数得在上恒成立分离参数构造函数求解函数最值即可得到答案（2）先通过求导得到函数的解析式利用导数研究单调性利用最小值恒大于零解不等式即可.【小问1详解】因为所以因为函数在上是增函数所以所以即设，则令得当时函数是减函数当时函数是增函数所以当时的最小值为所以即【小问2详解】由题意当时因为所以所以令得当时函数是减函数当时函数是增函数所以当时的最小值为若，则所以所以的最小值为8.21.已知双曲线的一条渐近线方程为且左焦点到渐近线的距离为直线经过且互相垂直（斜率都存在）与双曲线分别交于点和分别为的中点.（1）求双曲线的方程（2）证明：（一）直线过定点（二）与的面积之比为定值．【答案】（1）（2）（一）证明见解析（二）证明见解析【解析】【分析】（1）先由题给条件求得的值进而得到双曲线的方程（2）先利用设而不求的方法分别求得两点的坐标求得直线的方程进