机器人技术基础 课件 第3章 机器人运动学分析-2

第3章

机器人运动学分析机器人技术基础目录contants3.1机器人位姿和坐标变换3.2串联机器人位姿分析3.3串联机器人运动学分析第3章

机器人运动学分析3.33.3串联机器人运动学分析3.3.1正向运动学3.3.2逆向运动学3.3.3关于反解的讨论3.3串联机器人运动学分析串联机器人是由若干杆件和关节组成首尾不相连的开式运动链。机器人运动学不考虑力、质量、时间等因素的影响，仅在几何学范畴来研究机器人的运动。机器人运动学问题分为两类：①正向运动学：已知机器人各连杆几何参数和关节变量，求解其末端执行器位姿的过程。②逆向运动学：已知机器人各连杆几何参数和末端位姿，求解各关节变量的过程。运动学分析的目的是建立各运动参数与机器人末端位姿的关系，为机器人运动学、动力学、轨迹规划以及控制研究提供基础。3.3.1正向运动学本节通过两个例子讨论正向运动学求解问题，即从关节变量到手部位姿。例3.6的GLUON桌面级机械臂有6个转动关节，在工业机器人中具有典型性和代表性；例3.7的斯坦福机械手有5个转动关节和一个移动关节，帮助我们拓展认知宽度。3.3.1正向运动学例3.63.3.1正向运动学例3.6解：（1）

D-H坐标系的建立根据3.2.1中介绍的步骤确立各连杆坐标系，标注连杆和关节的编号，并绘制各关节轴线的延长线，如图（a）所示。3.3.1正向运动学例3.6解：（1）

D-H坐标系的建立确定中间各连杆坐标系Z轴，如图（b）所示，注意Zi轴是沿着i+1关节的轴线的。3.3.1正向运动学例3.61）确定中间连杆坐标系X轴如图（c）所示。①确定X1：它是Z0与Z1的公垂线，Z0与Z1相交所以有唯一公垂线，正向可以任意确定，不妨确定为如图所示方向；②确定X2：它是Z1与Z2的公垂线，Z1与Z2平行所以有无数公垂线，为了使尽量多参数为0，取沿着杆3中心的方向为X2，正向指向下一杆；③确定X3：它是Z2与Z3的公垂线，Z2与Z3平行所以有无数公垂线，为了使尽量多参数为0，取沿着杆4中心的方向为X3，正向指与X2一致；3.3.1正向运动学例3.61）确定中间连杆坐标系X轴④确定X4：它是Z3与Z4的公垂线，Z3与Z4相交所以有唯一公垂线，为了使尽量多参数为0，取X4与X1同向；⑤确定X5：它是Z4与Z5的公垂线，Z4与Z5相交所以有唯一公垂线，为了使尽量多参数为0，取X5与X4同向。3.3.1正向运动学例3.62）中间连杆坐标系Y轴的确定按照右手定则即可唯一确定各坐标系Y轴。因为在后面的参数确定中用不到Y轴，图中仅标出Y0和Y6。3）首尾连杆坐标系的确定如图（d）所示，坐标系{0}的Z0轴的方向已经确定，为了使尽量多参数为0，我们取X0与X1重合且同向。坐标系{6}理论上可以任意确定，为了使尽量多参数为0，我们选择与坐标系{5}完全重合。你也可以选择让坐标系{6}的原点位于腕部中心的位置。3.3.1正向运动学例3.6(2)确定各连杆的D-H参数和关节变量1)确定关节1参数：即确定坐标系{0}到{1}四个子变换的参数。X0与X1同向，所以变量θ1初始值θ1=00；由于{0}和{1}的原点重合，所以连杆距离d和连杆长度a均为0；最后考察Z0和Z1，Z0需要绕X1旋转-900才会与Z1重合，所以关节扭角α=-900；该关节为转动关节，机器人生产商会给出关节变量θ1的转动范围-1400~1400。以上信息即为下表的第一行。3.3.1正向运动学例3.6(2)确定各连杆的D-H参数和关节变量2)确定关节2参数：即坐标系{1}到{2}四个子变换的参数。X1需要绕Z1轴转-900才能与X2同向，所以变量θ2初始值θ2=-900；为了让两坐标系原点重合，{1}首先要沿着Z1移动79.2，接着再沿X2移动173，所以连杆距离d2=79.2，连杆长度a2=173；Z1和Z2平行，所以关节扭角α=00；该关节为转动关节，关节角θ2的转动范围为-900~900。3.3.1正向运动学例3.6(2)确定各连杆的D-H参数和关节变量3)确定关节3参数：即坐标系{2}到{3}四个子变换的参数。X2与X3平行，所以变量θ3初始值θ3=00；为了让两坐标系原点重合，{2}首先要沿着Z2移动-79.2，接着再沿X3移动173，所以连杆距离d3=-79.2，连杆长度a3=173；Z2和Z3平行，所以关节扭角α=00；该关节为转动关节，关节角θ3的转动范围为-1400~1400。3.3.1正向运动学例3.6(2)确定各连杆的D-H参数和关节变量用类似的方法可以确定关节4,5,6的参数，如下表所示。3.3.1正向运动学例3.6将上表中的各参数带入上式

有3.3.1正向运动学例3.63.3.1正向运动学例3.63.3.1正向运动学例3.63.3.1正向运动学例3.6③调节6个转角，观察仿真机械臂的位姿，哪些关节角决定了末端位置，哪些关节角会影响末端姿态？3.3.1正向运动学例3.63.3.1正向运动学例3.7解：(1)D-H坐标系的建立3.3.1正向运动学例3.7解：(1)D-H坐标系的建立3.3.1正向运动学例3.7(2)确定各连杆的D-H参数和关节变量本列为厂家给出注意：关节3是移动轴，因此d3就是关节变量q3，而θ3是不变的常量。3.3.1正向运动学例3.7将上表中的各参数带入上式

有变量常量3.3.1正向运动学例3.73.3.1正向运动学例3.7拓展练习：①借助MATLAB符号工具箱，协助完成上面的推导和计算过程；3.3.1正向运动学例3.7拓展练习：②借助RoboticsToolbox工具箱，根据D-H参数建立斯坦福机械手仿真；③调节6个关节变量，观察仿真机械臂的位姿，哪些关节变量决定了末端位置，哪些关节变量会影响末端姿态？3.3.1正向运动学例3.7拓展练习：④随机给定一组关节变量，通过即可求出对应的机械臂末端位姿；如果随机给定足够多组关节变量，则可绘制出该机械臂的工作空间。第3章

机器人运动学分析3.33.3串联机器人运动学分析3.3.1正向运动学3.3.2逆向运动学3.3.3关于反解的讨论3.3.2逆向运动学3.3.2逆向运动学3.3.2逆向运动学3.3.2逆向运动学3.3.2逆向运动学例3.8在例3.7中已经求得所以有3.3.2逆向运动学例3.83.3.2逆向运动学例3.83.3.2逆向运动学例3.83.3.2逆向运动学例3.8其中3.3.2逆向运动学例3.83.3.2逆向运动学例3.83.3.2逆向运动学例3.8所以有3.3.2逆向运动学例3.83.3.2逆向运动学例3.8前面已经求出θ4，现在只剩下θ5一个未知数。3.3.2逆向运动学例3.8思考：为什么不通过第三个方程直接用arccos(x)的形式求出q5?3.3.2逆向运动学例3.83.3.2逆向运动学例3.83.3.2逆向运动学例3.83.3.2逆向运动学例3.83.3.2逆向运动学例3.83.3.2逆向运动学例3.8本程序难度较大，程序较长，供参考。3.3.2逆向运动学例3.8任意给定一组关节变量q，比如q=[305060105040]，调用正解子程序求运动学正解T06=fkine_stf(q)，以上面求出T06为输入，调用反解子程序求运动学反解q_inv=ikine_stf(T06)。可以发现求出了两组反解，其中第一组与原来给定的q一致，另一组不一致。3.3.2逆向运动学例3.8为了观察两组解的关系，将两组解均绘制出来。对比两图可以发现，虽然各关节变量取值不同（注意图左侧q1,q2，...，q6的取值），但两组解得到的机械臂末端的位姿完全一致（注意两图中X,Y,Z和R,P,Y的取值）。以上说明对于一个末端位姿T06，可能有多组关节变量q与之对应。（a）从左侧抵达目标点

（b）从右侧抵达目标点

3.3.2逆向运动学例3.93.3.2逆向运动学例3.9常数3.3.2逆向运动学例3.93.3.2逆向运动学例3.9所以3.3.2逆向运动学例3.93.3.2逆向运动学例3.93.3.2逆向运动学例3.93.3.2逆向运动学例3.93.3.2逆向运动学例3.93.3.2逆向运动学例3.93.3.2逆向运动学例3.93.3.2逆向运动学例3.9在（5）中求得方程组：3.3.2逆向运动学例3.93.3.2逆向运动学例3.93.3.2逆向运动学例3.9图为某位姿对应的四组解，分别从右下、右上、左下、左上四个方位到达要求的末端位姿。（a）右下

（b）右上（c）左下（d）左上第3章

机器人运动学分析3.33.3串联机器人运动学分析3.3.1正向运动学3.3.2逆向运动学3.3.3关于反解的讨论3.3.3关于反解的讨论想象一下你摘葡萄的场景。假设你伸展手臂可以达到的最大高度是2.2米，那么对于高度位于2.3米的葡萄，不借助其他工具你根本够不着，更不必说将其摘下；对于高度位于2.2米的葡萄，你的指尖可以触碰到它，但仍无法将其摘下；对于高度位于2.18米的葡萄，你可以通过中指和食指配合，勉强将其夹住硬拉下来；而对于高度位于2.1米以下的葡萄，你的手就能从任意方向到达它，这时就可以十分轻松灵活地将其摘下了。3.3.3关于反解的讨论求机械臂的运动学反解时，与摘葡萄遇到的问题类似。当我们给定一个末端位姿，有可能机械臂无论如何都是无法达到，即反解不存在，也可能有多种抵达方式，即有多个反解。下面我们从以下三个方面进行讨论。3.3.3关于反解的讨论工作空间是机械臂末端或手腕中心能够到达的空间范围，即其可到达的目标点的集合。工作空间可以分为以下两种。①灵活（工作）空间：指机械臂末端能以任意方位到达的目标点的集合（类比2.1米以下的葡萄）。②可达（工作）空间：指机械臂末端至少能以一个方位到达的目标点集合（类比2.2米、2.18米处的葡萄）。显然，灵活空间是可达空间的子集。若给定的末端位姿位于工作空间之内，则反解是存在的，否则反解不存在。（1）工作空间和解的存在性3.3.3关于反解的讨论当末端处于机械臂的工作空间之内时，遇到的另一个问题是，反解并不唯一。从例3.8和3.9可以看出，给定一个末端位姿，能够求出2个甚至4个反解。机械臂运动学反解的个数取决于关节的数目、连杆参数和关节变量的活动范围。一般来说，非零连杆参数越多，到达目标点的方式越多，反解数目也就越多。前面讨论的斯坦福机械手的D-H参数中所有连杆长度（ai）均为零，最多反解数为2个；GLUNON机械臂有两个连杆长度（a2,a3）不为零，最多反解数为4个；如果6轴机械臂各连杆长度均不为零，最多会有16组反解。（2）反解的唯一性和最优解3.3.3关于反解的讨论图为三组平面连杆机械臂，其中O点为固定点，A点是机械臂末端要到达的目标点。如果机械臂只有一根连杆，则只有如图（a）所示的一种位姿可达A点；如果机械臂有2根连杆，则有如图（b）所示的2种位姿可达A点；如果机械臂有3根连杆，则有无穷多种位姿可达A点，图（c）中仅画出了其中一种位姿，注意其中的B点可以是小圆上的任意点，小圆的半径即为连杆3的长度。（2）反解的唯一性和最优解3.3.3关于反解的讨论如何从多重解中选择一组呢？一般视具体情况而定，在避免碰撞的前提下，选取原则是“最短行程”，即让每个关节的移动量最小。由于工业机械臂决定末端空间位置的前三个连杆尺寸较大，决定末端姿态的后三个连杆尺寸较小，所以应对不同关节加权处理，遵循“多移动小关节，少移动大关节”的原则。（2）反解的唯一性和最优解3.3.3关于反解的讨论逆向运动学要比正向运动学复杂得多，而且随着自由度的增加，反解愈加复杂。反解可以分为解析解和数值解。解析解是根据严格的公式进行推导，给出任意的自变量带入解析函数便可求出因变量，解析解是一个封闭的函数，所以又称为封闭解。解析解法计算速度高、效率高，便于实施控制，例3.8、例3.9介绍的求解方式均为解析解法。但并非所有机械臂均可用此法求逆解，这主要取决于机械臂的结构。(3)逆运动学的求解方式及对机器人设计的约束3.3.3关于反解的讨论只有当机械臂满足封闭解的两个充分条件之一时，才可求得其封闭解，这称为Pieper准则：①三个相邻关节轴相交于一点

或②三个相邻关节轴相互平行。请观察例3.8，3.9所示机械臂是否满足以上条件。事实上，大多数工业机械臂都是满足该条件的。(3)逆运动学的求解方式及对机器人设计的约束3.3.3关于反解的讨论解析解法不但求解速度快而且可以求出所有反解。然而由于机械臂结构所限，有时无法求得解析解，只能退而求其次，寻找其数值解。