人教版八年级数学八年级数学下册教案

第十一章三角形

11.1.1三角形的边

教学目标

1、了解三角形的意义，认识三角形的边、内角、顶点，能用符号语言表示三角形；

2、理解三角形三边不等的关系，会判断三条线段能否构成一个三角形，并能运用它解决有关的问题.

重点难点

1、三角形的有关概念和符号表示，三角形三边间的不等关系是重点；

2、用三角形三边不等关系判定三条线段可否组成三角形是难点。

［教学过程］

一、情景导入

三角形是一种最常见的几何图形，［投影1-6］如古埃及金字塔，香港中银大厦，交通标志，等等，处

处都有三角形的形象。

那么什么叫做三角形呢？

二、三角形及有关概念

不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。

注意：三条线段必须①不在一条直线上，②首尾顺次相接。

组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公

共端点是三角形的顶点。

三角形ABC用符号表示为AABC。三角形ABC的顶点C所对的动AB可用c表示，顶点B所对的边

AC可用b表示，顶点A所对的边BC可用a表示.

三、三角形三边的不等关系

探究：［投影7］任意画一个AABC,假设有一只小虫要从B点出发，沿三角形的边爬到C,它有几种路线

可以选择?各条路线的长一样吗?为什么？

有两条路线：(1)从B-C,(2)从B-ATC；不一样，AB+AOBC①；因为两点之间线段最短。

同样地有AC+BOAB②AB+BOAC③

由式子①②③我们可以知道什么？

三角形的任意两边之和大于第三边.

四、三角形的分类

我们知道，三角形按角可分为锐角三角形、钝角三角形、直角三角形，我们把锐角三角形、钝角三角

形统称为斜三角形。

按角分类：

三角形f直角三角形

I斜三角形|锐角三角形

1钝角三角形

那么三角形按边如何进行分类呢？请你按“有几条边相等”将三角形分类。

三边都相等的三角形叫做等边三角形；

有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；

三边都不相等的三角形叫做不等边三角形。

显然，等边三角形是特殊的等腰三角形。

按边分类：

三角形I不等边三角形

I等腰三角形］底和腰不等的等腰三角形

I等边三角形

五、例题

例用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形。（1）如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多

少？（2）能围成有一边长为4cm的等腰三角形吗？为什么？

分析：（1）等腰三角形三边的长是多少？若设底边长为xcm,则腰长是多少？（2）“边长为4cm”

是什么意思？

解：（1）设底边长为xcm,则腰长2xcm„

x+2x+2x=18

解得x=3.6

所以，三边长分别为3.6cm,7.2cm,7.2cm.

（2）如果长为4cm的边为底边，设腰长为xcm,则

4+2x=18

解得x=7

如果长为4cm的边为腰，设底边长为xcm,则

2X4+x=18

解得x=10

因为4+4<10,出现两边的和小于第三边的情况，所以不能围成腰长是4cm的等腰三角形。

由以上讨论可知，可以围成底边长是4cm的等腰三角形。

五、课堂练习

课本第4页练习1、2题。

六、课堂小结

1、三角形及有关概念；

2、三角形的分类；

3、三角形三边的不等关系及应用。

作业：

课本第8页1、2题。

11.1.2三角形的高'中线与角平分线

教学目标

1、经历画图的过程，认识三角形的高、中线与角平分线；

2

2、会画三角形的高、中线与角平分线；

3、了解三角形的三条高所在的直线，三条中线，三条角平分线分别交于一点.

重点难点

1、三角形的高、中线与角平分线是重点；

2、三角形的角平分线与角的平分线的区别，画钝角三角形的高是难点.

教学过程

一、导入新课

我们已经知道什么是三角形，也学过三角形的高。三角形的主要线段除高外，还有中线和角平分线

值得我们研究。

二、三角形的高

请你在图中画出4ABC的一条高并说说你画法。

从4ABC的顶点A向它所对的边BC所在的直线画垂线，垂足为D,所得

线段AD叫做4ABC的边BC上的高，表示为AD1BC

于点D。

注意：高与垂线不同，高是线段，垂线是直线。

请你再画出这个三角形AB、AC边上的高，看看有

什么发现？

三角形的三条高相交于一点。

如果AABC是直角三角形、钝角三角形，上面的结论还成立吗？

现在我们来画钝角三角形三边上的高，如图。

显然，上面的结论成立。

请你画一个直角三角形，再画出它三边上的高。

上面的结论还成立。

三、三角形的中线

如图，我们把连结4ABC的顶点A和它的对边BC的中点D,所得线段AD叫做

△ABC的边BC上的中线，表示为BD=DC或BD=DC=1/2BC或2BD=2DC=BC.

请你在图中画出4ABC的另两条边上的中线，看看有什么发现？

三角的三条中线相交于一点。

如果三角形是直角三角形、钝角三角形，上面的结论还成立吗？请画图回答。

上面的结论还成立。

四、三角形的角平分线

如图，画NA的平分线AD,交NA所对的边BC于点D,所得线段AD叫做AABC的角平分线，表示

为NBAD=NCAD或/BAD=NCAD=1/2NBAC或2NBAD=2NCAD=NBAC。

思考：三角形的角平分线与角的平分线是一样的吗？

三角形的角平分线是线段，而角的平分线是射线，是不一样的。

请你在图中再画出另两个角的平分线，看看有什么发现？

3

三角形三个角的平分线相交于一点。

如果三角形是直角三角形、钝角三角形，上面的结论还成立吗？请画图回答。

上面的结论还成立。

想一想：三角形的三条高、三条中线、三条角平分线的交点有什么不同？

三角形的三条中线的交点、三条角平分线的交点在三角形的内部，而锐三角形的三条高的交点在三角

形的内部，直角三角形三条高的交战在角直角顶点，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部。

五、课堂练习

课本第5页练习1、2题。

六、课堂小结

1、三角形的高、中线、角平分线的概念和画法。

2、三角形的三条高、三条中线、三条角平分线及交点的位置规律。

作业：

课本第8页3、4；

11.1.3三角形的稳定性

教学目标

1、知道三角形具有稳定性，四边形没有稳定性;

2、了解三角形的稳定性在生产、生活中的应用。

重点难点

三角形稳定性及应用。

教学过程

一、情景导入

盖房子时，在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，为什么□要这样做呢？

二、三角形的稳定性

〔实验〕1、把三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？

(1)

不会改变。

2、把四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？

会改变。

3、在四边形的木架上再钉一根木条，将它的一对顶点连接起来，然后扭动它，它的形状会改变吗？

不会改变。

从上面的实验中，你能得出什么结论？

4

三角形具有稳定性，而四边形不具有稳定性。

三、三角形稳定性和四边形不稳定的应用

三角形具有稳定性固然好，四边形不具有稳定性也未必不好，它们在生产和生活中都有广泛的应

用顶钢架

钢架桥、屋顶钢架和起重机都是利用三角形的稳定性，活动挂架则是利用四边形的不稳定性。

你还能举出一些例子吗？

四、课堂练习

1、下列图形中具有稳定性的是（）

A正方形B长方形C直角三角形D平行四边形

2、要使下列木架稳定各至少需要多少根木棍？

两边形木槃M边形木桑六边形木臬

3、课本第7页练习。

作业：第8页5题

11.2.1三角形的内角

教学目标：

掌握三角形内角和定理。

重点难点

1、三角形内角和定理是重点；

2、三角形内角和定理的证明是难点.

教学过程

一、导入新课

5

我们在小学就知道三角形内角和等于180°,这个结论是通过实验得到的，这个命题是不是真命题还需

要证明，怎样证明呢？

二、三角形内角和的证明

回顾我们小学做过的实验，你是怎样操作的？

把一个三角形的两个角剪下拼在第三个角的顶点处，用量角器量出

NBCD的度数，可得到NA+NB+NACB=180°。[投影1]

图1

想一想，还可以怎样拼？

①剪下NA,按图（2）拼在一起，可得到NA+NB+NACB=180°。

图2

②把N3和NC剪下按图（3）拼在一起，可得到NA+/B+/ACB=180"。

如果把上面移动的角在图上进行转移，由图1你能想到证明三角形内角和等于180°的方法吗？

已知AABC,求证：ZA+ZB+ZC=180°o

证明：过点C作CM〃AB,则NA=NACM,ZB=ZDCM,

又NACB+NACM+/DCM=180°

.,.ZA+ZB+ZACB=180°o

即：三角形的内角和等于180°。

由图2、图3你又能想到什么证明方法？请说说证明过程。

三、例题

例如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°

方向，从C岛看A、B两岛的视角NACB是多少度？

分析：怎样能求出/ACB的度数？

根据三角形内角和定理，只需求出NCAB和NCBA的度数即可。

6

ZCAB等于多少度？怎样求/CBA的度数？

解：ZCBA=ZBAD-ZCAD=80°-50°=30°

VAD/7BE.-.ZBAD+ZABE=180o

ZABE=180°-ZBAD=180°-80°=100°

NABC=/ABE-/EBC=100°-40°=60°

ZACB=180°-ZABC-ZCAB=18O°-6Oo-3Oo=9O"

答：从C岛看AB两岛的视角NACB=180°是90°。

四、课堂练习

课本13页1、2题。

作业：

16页1、3题、

11.2.2三角形的外角

教学目标

1、理解三角形的外角；

2、掌握三角形外角的性质，能利用三角形外角的性质解决问题。

重点难点

1、三角形的外角和三角形外角的性质是重点；

2、理解三角形的外角是难点。

教学过程

一、导入新课

〔投影1〕如图，4ABC的三个内角是什么？它们有什么关系？

是NA、NB、ZC,它们的和是180°。

若延长BC至D,则/ACD是什么角？这个角与AABC的三个内角有什么关系？

二、三角形外角的概念

/ACD叫做AABC的外角。也就是，三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。

想一想，三角形的外角共有几个？

共有六个。

注意：每个顶点处有两个外角，它们是对顶角。研究与三角形外角有关的问题时，通常每个顶点处取

一个外角.

三、三角形外角的性质

容易知道，三角形的外角NACD与相邻的内角NACB是邻补角，那与另外两个角有怎样的数量关系

呢？

〔投影2〕如图，这是我们证明三角形内角和定理时画的辅助线，你能就此图说明NA吵+NA、NB的

关系吗？/\

：CE〃AB,.,.ZA=Z1,ZB=Z2/\

XZACD=Z1+Z2/\

AZACD=ZA+ZBBc

你能用文字语言叙述这个结论吗？

7

三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。

由加数与和的关系你还能知道什么？

三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。

即ZACD>ZA,ZACD>ZB.

四、例题

〔投影3〕例如图，Nl、N2、/3是三角形ABC的三个外角，它们的和是多少？

分析：Z1与/BAC、Z2与NABC、Z3与NACB有什么关系？NBAC、ABC、ZACB有什么关系？

解：VZ1+ZBAC=18O0,Z2+ZABC=180°,Z3+ZACB=180°,

AZl+ZBAC+Z2+ZABC+Z3+ZACB=540°

XZBAC+ZABC+ZACB=180°

.,.Zl+Z2+Z3==3600o

你能用语言叙述本例的结论吗？

三角形外角的和等于360°。

五、课堂练习

课本15页练习；

六、课堂小结

1、什么是三角形外角？

2,三角形的外角有哪些性质？

作业：

课本16页5、6；

11.3.1多边形

教学目标

1、了解多边形及有关概念，理解正多边形的概念.

2、区别凸多边形与凹多边形.

重点难点

1、多边形及有关概念、正多边形的概念是重点；

2、区别凸多边形与凹多边形是难点。

教学过程

一、情景导入A

［投影1］看下面的图片，你能从中找出由一些线段围成的图形吗？

—

|/\UEgSA

二、多边形及有关概念

8

这些图形有什么特点？

由几条线段组成；它们不在同一条直线上；首尾顺次相接.

这种在平面内，由一些不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。

多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边形……、n边形。这就是说，一个多边形由

几条线段组成，就叫做几边形，三角形是最简单的多边形。

与三角形类似地，多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角，如图中的/A、NB、NC、ND、Z

Eo多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.如图中的N1是五边形ABCDE的一个外

角。［投影2］

连接多边形的不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.

四边形有几条对角线？五边形有几条对角线？画图看看。

你能猜想n边形有多少条对角线吗？说说你的想法。

n边形有l/2n(n-3)条对角线。因为从n边形的一个顶点可以引n—3条对角线，n个顶点共引n(n

-3)条对角线，又由于连接任意两个顶点的两条对角线是相同的，所以，n边形有l/2n(n-3)条对角线。

三、凸多边形和凹多边形

［投影3］如图，下面的两个多边形有什么不同？

在图(1)中，画出四边形ABCD的任何一条边所在的直线，整个图形都在这条直线的同一侧，这样

的四边形叫做凸四边形，这样的多边形称为凸多边形；而图(2)就不满足上述凸多边形的特征，因为我

们画BD所在直线，整个多边形不都在这条直线的同一侧，我们称它为凹多边形。

注意：今后我们讨论的多边形指的都是凸多边形.

四、正多边形的概念

我们知道，等边三角形、正方形的各个角都相等，各条边都相等，像这样各个角都相等，各条边都相

等的多边形叫做正多边形。

［投影4］下面是正多边形的一些例子。

止六边杉

五、课堂练习

课本21页练习1,2。

2、有五个人在告别的时候相互各握了一次手,他们共握了多少次手？你能找到一个几何模型来说明吗？

六、课堂小结

9

1、多边形及有关概念。

2、区别凸多边形和凹多边形。

3、正多边形的概念。

4、n边形对角线有l/2n(n—3)条。

作业：

课本24页1题。

11.3.2多边形的内角和

教学目标

1、了解多边形的内角、外角等概念；

2、能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式，并会应用它们进行有关计算.

重点难点

1、多边形的内角和与多边形的外角和公式是重点；

2、多边形的内角和定理的推导是难点。

教学过程

一、复习导入

我们已经证明了三角形的内角和为180°,在小学我们用量角器量过四功形的内角的度数，知道四边

形内角的和为360°,现在你能利用三角形的内角和定理证明吗？

二、多边形的内角和

〔投影1〕如图，从四边形的一个顶点出发可以引几条对角线？它们将四边形分成几个三角形？那么

四边形的内角和等于多少度？

可以引一条对角线；它将四边形分成两个三角形；因此，四边形的内角和=4人8口的内角和+Z\BDC的

内角和=2X180°=360°o

类似地，你能知道五边形、六边形……n边形的内角和是多少度吗？

〔投影2〕观察下面的图形，填空：

从五边形一个顶点出发可以引对角线，它们将五边形分成三角形，五边形的内角和等

10

于;

从六边形一个顶点出发可以引对角线，它们将六边形分成三角形，六边形的内角和等

于;

〔投影3〕从n边形一个顶点出发,可以引_对角线，它们将n边形分成三角形，n边形的内角

和等于。

n边形的内角和等于(n-2)•180°.

从上面的讨论我们知道，求n边形的内角和可以将n边形分成若干个三角形来求。现在以五边形为例，

你还有其它的分法吗？

分法一〔投影3〕如图1,在五边形ABCDE内任取一点0,连结0A、OB、0C、OD、0E,则得五个三

角形。

五边形的内角和为5X180°—2X180°=(5—2)X180°=540°。

分法二〔投影4〕如图2,在边AB上取一点0,连0E、0D、0C,则可以(5-1)个三角形。

五边形的内角和为(5-1)X180°—180°=(5—2)X180°

如果把五边形换成n边形，用同样的方法可以得到n边形内角和=(n-2)X180°.

三、例题

〔投影6〕例1如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？

如图，已知四边形ABCD中，ZA+ZC=180°,求NB与ND的关系.

分析：NA、/B、/C、/D有什么关系？

解：VZA+ZB+ZC+ZD=(4-2)X180°=360°

又/A+NC=180°

Z.ZB+ZD=360°-(ZA+ZC)=180°

这就是说，如果四边形一组对角互补，那么另一组对角也互补.

〔投影7〕例2如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外

角的和叫做六边形的外角和.六边形的外角和等于多少？

如图，已知Nl,N2,Z3,Z4,Z5,N6分别为六边形ABCDEF的外D

角，求N1+N2+N3+N4+/5+/6的值.

分析：多边形的一个外角同与它相邻的内角有什么关系？六边形的内角和是多少度？

解：Z3+ZBAD=1800

Z4+ZCDE=180°Z5+ZDEF=180°Z6+ZEFA=180°

.*.Z1+ZBAF+Z2+ZABC+Z3+ZBAD+Z4+ZCDE+Z5+ZDEF+Z6+ZEFA=6X180°

11

又Nl+/2+/3+/4+N5+/6=4X180°

ZBAF+ZABC+ZBAD+ZCDE+ZDEF+ZEFA=6X1800-4X180°=360°

这就是说，六边形形的外角和为360°。

如果把六边形换成n边形可以得到同样的结果：

n边形的外角和等于360。。

对此，我们也可以这样来理解。〔投影8〕如图，从多边形的一个顶点A出发，沿多边形各边走过各

顶点，再回到A点，然后转向出发时的方向，在行程中所转的各个角的和就是多边形的外角和，由于走了

一周，所得的各个角的和等于一个周角,所以多边形的外角和等于360°.

四、课堂练习

课本24页1、2、3题。

五、课堂小结

n边形的内角和是多少度？

边形的外角和是多少度？

作业：

24页2、3；

本章小结

一、知识结构

二、回顾与思考

1、什么是三角形？什么是多边

形？什么是正多边形？

三角形是不是多边形？

2、什么是三角形的高、中线、

角平分线？什么是对角线？

三角形有对角线吗？n边形的

的对角线有多少条？

3、三角形的三条高，三条中线，三条角平分线各有什么特点？

4、三角形的内角和是多少？n边形的内角和是多少？

你能用三角形的内角和说明n边形的内角和吗？

5、三角形的外角和是多少？n边形的外角和是多少？

你能说明为什么多边形的外角和与边数无关吗？

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6、怎样才算是平面镶嵌？平面镶嵌的条件是什么？能单独进行平面镶嵌的多边形有哪些？

你能举一个几个多边形进行平面镶嵌的例子吗？

三、例题导引

例1如图，在4ABC中，ZA：ZB：ZC=3：4：5,BD、CE分别是边AC、AB上的高，BD、CE相交于

点H,求NBHC的度数。

例2如图，把AABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时,

探索NA与N1+N2有什么数量关系？并说明理由。

例3如图所示,在AABC中，AABC的内角平分线与外角平分线交于点P,试说明NP=1/2NA.

四、巩固练习

课本28面复习题11（第3题可不做）.

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第十二章全等三角形

§12.1全等三角形

教学目标

1、知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素；

2、知道全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等；

3、能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边。

教学重点

全等三角形的性质。

教学难点

找全等三角形的对应边、对应角。

教学过程

I、提出问题，创设情境

1、问题：你能发现这两个三角形有什么美妙的关系吗？

这两个三角形是完全重合的。

2、学生自己动手（同桌两名同学配合）

取一张纸，将自己事先准备好的三角板按在纸上，画下图形，照图形裁下来，纸样与三角板形状、大

小完全一样。

3、获取概念

让学生用自己的语言叙述：全等形、全等三角形、对应顶点、对应角、对应边，以及有关的数学符号。

形状与大小都完全相同的两个图形就是全等形。

要是把两个图形放在一起，能够完全重合，就可以说明这两个图形的形状、大小相同。

概括全等形的准确定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形。请同学们类推得出全等三角形的概念,

并理解对应顶点、对应角、对应边的含义。仔细阅读课本中“全等”符号表示的要求。

II、导入新课

利用投影片演示

将aABC沿直线BC平移得ADEF；将aABC沿BC翻折180°得到aDBC；将aABC旋转180°得aAED。

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A

AD

议一议：各图中的两个三角形全等吗？

不难得出：Z^ABC丝ZXDEF,AABC^ADBC,AABC^AAEDo

（注意强调书写时对应顶点字母写在对应的位置上）

启示：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，所以平移、翻折、

旋转前后的图形全等，这也是我们通过运动的方法寻求全等的一种策略。

观察与思考：

寻找甲图中两三角形的对应元素，它们的对应边有什么关系？对应角呢？

（引导学生从全等三角形可以完全重合出发找等量关系）

得到全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等。全等三角形的对应角相等。

［例1］如图，AOCA之△OBD,C和B,A和D是对应顶点，说出这两个三角形中相等的边和角。

问题：△OCA丝4OBD,说明这两个三角形可以重合,思考通过怎样变换可以使两三角形重合?

将△OCA翻折可以使AOCA与AOBD重合。因为C和B、A和D是对应顶点，所以C和B重合，A和D

重合。

ZC=ZB；ZA=ZD；ZA0C=ZD0B,AC=DB；OA=OD；0C=0Bo

总结：两个全等的三角形经过一定的转换可以重合。一般是平移、翻转、旋转的方法。

［例2］如图，已知AABE丝AACD,ZADE=ZAED,ZB=ZC,指出其他的对应边和对应角。

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分析：对应边和对应角只能从两个三角形中找，所以需将AABE和4ACD从复杂的图形中分离出来。

根据位置元素来找：有相等元素，它们就是对应元素，然后再依据已知的对应元素找出其余的对应

元素。常用方法有：

（1）全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边也是对应边。

（2）全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角。

解：对应角为NBAE和NCAD。

对应边为AB与AC、AE与AD、BE与CD。

［例3］已知如图AABC丝AADE,试找出对应边、对应角。（由学生讨论完成）

借鉴例2的方法，可以发现NA=NA,在两个三角形中NA的对边分别是BC和DE,所以BC和DE是一

组对应边。而AB与AE显然不重合，所以AB与AD是一组对应边，剩下的AC与AE自然是一组对应边了。

再根据对应边所对的角是对应角可得NB与/D是对应角，/ACB与/AED是对应角。所以说对应边为AB

与AD、AC与AE、BC与DE。对应角为NA与NA、/B与ND、NACB与NAED。

做法二：沿A与BC、DE交点0的连线将4ABC翻折180°后，它正好和4ADE重合。这时就可找到对

应边为：AB与AD、AC与AE、BC与DE。对应角为NA与NA、NB与ND、NACB与/AED。

口。课堂练习

课本32页练习1、2题。

IV。课时小结

通过本节课学习，我们了解了全等的概念，发现了全等三角形的性质，并且利用性质可以找到两个

全等三角形的对应元素。这也是这节课大家要重点掌握的。

找对应元素的常用方法有两种：

（一）从运动角度看

1。翻转法：找到中心线，沿中心线翻折后能相互重合，从而发现对应元素。

2。旋转法：三角形绕某一点旋转一定角度能与另一三角形重合，从而发现对应元素。

3。平移法：沿某一方向推移使两三角形重合来找对应元素。

（二）根据位置元素来推理

16

1。全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边是对应边。

2o全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角。

V。作业

课后作业:习题12.1第1,3题。

板书设计

§12.1全等三角形

一、概念

二、全等三角形的性质

三、性质应用

例1：（运动角度看问题）

例2：（根据位置来推理）

例3：（根据位置和运动角度两种办法来推理）

四、小结：找对应元素的方法

运动法：翻折、旋转、平移。

位置法：对应角一对应边，对应边f对应角。

§12.2三角形全等的条件

§12.2.1三角形全等的条件（第一课时）

教学目标

1、三角形全等的“边边边”的条件。

2、了解三角形的稳定性。

3、经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程。

教学重点

三角形全等的条件。

教学难点

寻求三角形全等的条件。

教学过程

I、创设情境，引入新课

出示投影片，回忆前面研究过的全等三角形。

17

已知AABC丝Z\A'BzC,找出其中相等的边与角。

图中相等的边是：AB=A'B、BC=B,C'、AC=AZC,

相等的角是：ZA=ZAZ、ZB=ZBZ、ZC=ZC,。

展示课作前准备的三角形纸片，提出问题：你能画一个三角形与它全等吗？怎样画？

（可以先量出三角形纸片的各边长和各个角的度数，再作出一个三角形使它的边、角分别和已知的三角形纸

片的对应边、对应角相等。这样作出的三角形一定与已知的三角形纸片全等）。

这是利用了全等三角形的定义来作图。那么是否一定需要六个条件呢？条件能否尽可能少呢？现在我

们就来探究这个问题。

II、导入新课

出示投影片

1、只给一个条件（一组对应边相等或一组对应角相等），画出的两个三角形一定全等吗？

2、给出两个条件画三角形时•，有几种可能的情况，每种情况下作出的三角形一定全等吗？分别按下

列条件做一做。

①三角形一内角为30°,一条边为3cm。②三角形两内角分别为30°和50°。

③三角形两条边分别为4cm、6cm»

学生分组讨论、探索、归纳，最后以组为单位出示结果作补充交流。

结果展小:

1。只给定一条边时：

只给定一个角时:

2。给出的两个条件可能是：一边一内角、两内角、两边。

18

①

3cm

③4cm4叭

6cm6cm

可以发现按这些条件画出的三角形都不能保证一定全等。

给出三个条件画三角形，你能说出有几种可能的情况吗？

归纳：有四种可能。即：三内角、三条边、两边一内角、两内有一边。

在刚才的探索过程中，我们已经发现三内角不能保证三角形全等。下面我们就来逐一探索其余的三种

情况。

已知一个三角形的三条边长分别为6cm、8cm、10cm。你能画出这个三角形吗？把你画的三角形剪下与

同伴画的三角形进行比较，它们全等吗？

1、作图方法：

先画一线段AB,使得AB=6cm,再分别以A、B为圆心，8cm、10cm为半径画弧，两弧交点记作C,连

结线段AC、BC,就可以得到三角形ABC,使得它们的边长分别为AB=6cm,AC=8cm,BC=10cm。

2、以小组为单位，把剪下的三角形重叠在一起，发现都能够重合。这说明这些三角形都是全等的。

3、特殊的三角形有这样的规律，要是任意画一个三角形ABC,根据前面作法，同样可以作出一个三角

形A'B'C',使AB=A'B'、AC=AZC'、BC=B'C'。将AA'B'C剪下，发现两三角形重合。这反映

了一个规律：

三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”。

用上面的规律可以判断两个三角形全等。判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等。所

以“SSS”是证明三角形全等的一个依据。请看例题

［例］如图，ZXABC是一个钢架，AB=AC,AD是连结点A与BC中点D的支架。

求证：ZSABD丝ZXACD。

19

A

［师生共析］要证△ABD丝Z\ACD,可以看这两个三角形的三条边是否对应相等。

证明：因为D是BC的中点

所以BD=DC

在AABD和4ACD中

AB=AC

BD=CD

A。=AD（公共边）

所以AABD04ACD（SSS）。

生活实践的有关知识：用三根木条钉成三角形框架，它的大小和形状是固定不变的，而用四根木条

钉成的框架，它的形状是可以改变的。三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。所以日常生活中常利用三

角形做支架•就是利用三角形的稳定性。例如屋顶的人字梁、大桥钢架、索道支架等。

IIK随堂练习

如图，已知AC=FE、BC=DE,点A、I）、B、F在一条直线上，AD=FB。要用“边边边”证明AABC丝△FDE,

除了已知中的AC=FE,BC=DE以外，还应该有什么条件？怎样才能得到这个条件？

2、课本37页练习1,2题。

IV、课时小结

本节课我们探索得到了三角形全等的条件，发现了证明三角形全等的一个规律SSS。并利用它可以证

明简单的三角形全等问题。

V、作业

习题12.2第1题；

板书设计

20

§12.2.1三角形全等的条件（一）

一、三角形全等的条件

三边对应相等的两三角形全等（SSS）

二、例

三、课堂练习

四、小结

§12.2.1三角形全等的条件（第二课时）

教学目标

1、三角形全等的“边角边”的条件。

2、经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程。

3、掌握三角形全等的“SAS”条件，了解三角形的稳定性。

4、能运用“SAS”证明简单的三角形全等问题。

教学重点

三角形全等的条件。

教学难点

寻求三角形全等的条件。

教学过程

一、创设情境，复习提问

1、怎样的两个三角形是全等三角形？2、全等三角形的性质？

3、指出图中各对全等三角形的对应边和对应角，并说明通过怎样的变换能使它们完全重合：

图（1）中：AABD^AACE,AB与AC是对应边；

图（2）中：AABC^AAED,AD与AC是对应边。

4。三角形全等的判定I的内容是什么？

二、导入新课

1、三角形全等的判定（二）

（1）全等三角形具有“对应边相等、对应角相等”的性质。那么，怎样才能判定两个三角形全等呢？也

就是说，具备什么条件的两个三角形能全等？是否需要已知“三条边相等和三个角对应相等“？现在

我们用图形变换的方法研究下面的问题：

如图2,AC、BD相交于O,AO、BO、CO,DO的长度如图所标，aABO和△CDO是否能完全重合呢？

21

不难看出，这两个三角形有三对元素是相等的：

AO=CO,ZAOB=ZCOD,BO=DO»

如果把aOAB绕着O点顺时针方向旋转，因为OA=OC,所以可以使OA与OC重合；又因为/AOB=

ZCOD,OB=OD,所以点B与点D重合。这样AABO与△CDO就完全重合。(此外，还可以图1(1)

中的4ACE绕着点A逆时针方向旋转/CAB的度数，也将与4ABD重合。图1(2)中的AABC绕着点A

旋转，使AB与AE重合，再把4ADE沿着AE(AB)翻折180°。两个三角形也可重合)

由此，我们得到启发：判定两个三角形全等，不需要三条边对应相等和三个角对应相等。而且，

从上面的例子可以引起我们猜想：如果两个三角形有两边和它们的夹角对应相等，那么这两个三角形

全等。

2、上述猜想是否正确呢？不妨按上述条件画图并作如下的实验：

(1)读句画图：①画NDAE=45°,②在AD、AE上分别取B、C,使AB=3。1cm,AC=2。8cm。

③连结BC,得AABC。④按上述画法再画一个AA'B'C»

(2)JEAA/B'C'剪下来放到aABC上，观察4A'BzC'与aABC是否能够完全重合？

3、边角边公理。

有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简称“边角边”或“SAS”)

三、例题与练习

1、填空：

(1)如图3,已知AD〃BC,AD=CB,要用边角边公理证明△ABC^^CDA,需要三个条件，这三个条

件中，已具有两个条件，一是AD=CB(已知)，二是；还需要一个条件(这

个条件可以证得吗？)。

(2)如图4,已知AB=AC,AD=AE,Z1=Z2,要用边角边公理证明4ABD丝ACE,需要满足的三个

条件中，已具有两个条件：(这个条件可以证得吗？)o

22

2、例1已知：AD〃BC,AD=CB（图3）。

Q

求证：AADC^ACBAo

问题：如果把图3中的aADC沿着CA方向平移到AADF的位置（如图5）,那么要证明4ADF也△

CEB,除了AD〃BC、AD=CB的条件外，还需要一个什么条件（AF=CE或AE=CF）?怎样证明呢？

例2已知：AB=AC、AD=AE、/1=/2（图4）。求证：△ABDgZ\ACE。

四、小结：

1、根据边角边公理判定两个三角形全等，要找出两边及夹角对应相等的三个条件。

2、找使结论成立所需条件，要充分利用已知条件（包括给出图形中的隐含条件，如公共边、公共角等）,

并要善于运用学过的定义、公理、定理。

五、作业：

1、已知：如图，AB=AC,F、E分别是AB、AC的中点。求证：4ABE丝z\ACF。

2、已知：点A、F、E、C在同一条直线上，AF=CE,BE〃DF,BE=DF«

求证：Z\ABE丝ACDF。

§12.2.3三角形全等的条件（第三课时）

教学目标

1、三角形全等的条件：角边角、角角边。

23

2、三角形全等条件小结。3。掌握三角形全等的“角边角”“角角边”条件。

4、能运用全等三角形的条件，解决简单的推理证明问题。

教学重点

已知两角一边的三角形全等探究。

教学难点

灵活运用三角形全等条件证明。

教学过程

I、提出问题，创设情境

1、复习：（1）三角形中已知三个元素，包括哪几种情况？

三个角、三个边、两边一角、两角一边。

（2）到目前为止，可以作为判别两三角形全等的方法有几种？各是什么？

三种：①定义；②SSS；③SAS。

2、在三角形中，已知三个元素的四种情况中，我们研究了三种，今天我们接着探究已知两角一边是

否可以判断两三角形全等呢？

II、导入新课

问题1：三角形中已知两角一边有几种可能？

1、两角和它们的夹边。

2、两角和其中一角的对边。

问题2：三角形的两个内角分别是60。和80。，它们的夹边为4cm,你能画一个三角形同时满足这

些条件吗？将你画的三角形剪下，与同伴比较，观察它们是不是全等，你能得出什么规律？

将所得三角形重叠在一起，发现完全重合，这说明这些三角形全等。

提炼规律：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。

问题3：我们刚才做的三角形是一个特殊三角形，随意画一个三角形ABC,能不能作一个AA'B'C',

使NA=NA'、NB=NB'、AB=A'B'呢？

①先用量角器量出/A与NB的度数，再用直尺量出AB的边长。

②画线段A'B',使A'B'=AB。

③分别以A'、B'为顶点，A'B'为一边作/DA'B'、/EB'A,使/D'AB=ZCAB,NEB'Az=Z

CBA»

④射线A'D与B'E交于一点，记为C'；即可得到AA'B'C'。

将4A'B'C'与AABC重叠，发现两三角形全等。

24

两角和它们的夹边对应相等的两三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。

思考：在一个三角形中两角确定，第三个角一定确定。我们是不是可以不作图，用“ASA”推出“两

角和其中一角的对边对应相等的两三角形全等”呢？

探究问题4：

如图，在△ABC和4DEF中，ZA=ZD,ZB=ZE,BC=EF,△ABC与△DEF全等吗？能利用角边角条件

证明你的结论吗？

证明：VZA+ZB+ZC=ZD+ZE+ZF=180°

ZA=ZD,ZB=ZE

ZA+ZB=ZD+ZE

；.NC=NF

在aABC和aDEF中

NB=NE

<BC=EF

NC=NF

.,.△ABC^ADEF(ASA)。

两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）。

［例］如下图，D在AB上，E在AC上，AB=AC,ZB=ZC«

求证：AD=AE1,

［分析］AD和AE分别在AADC和4AEB中，所以要证AD=AE,只需证

明△ADCgZ\AEB即可。

证明：在aADC和4AEB中

BC

25

NA=NA

<AC=AB

NC=NB

所以△ADCg/XAEB（ASA）

所以AD=AEo

Ills随堂练习

（一）课本41页练习1、2题。

（二）补充练习

图中的两个三角形全等吗？请说明理由。

答案：图（1）中由“ASA”可证得4ACD丝AACB。图（2）由“AAS”可证得4ACE丝ABDC。

IV、课时小结

至此，我们有五种判定三角形全等的方法：

1、全等三角形的定义

2、判定定理：边边边（SSS）边角边（SAS）角边角（ASA）角角边（AAS）

推证两三角形全等时，要善于观察，寻求对应相等的条件，从而获得解题途径。

V、作业

课本习题12.2第5、6题。

板书设计

12。2。3三角形全等的条件（三）

~两角及其夹边

一、两角一边［4两角和其