2019年浙江省舟山市中考数学试卷（解析版）

2019年浙江省舟山市中考数学试卷

一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分.请选出各题中唯一的正确选项，不选、

多选、错选，均不得分）

1.（3分）（2019•舟山）-2019的相反数是（）

A.2019B.-2019C.」一D.-—

20192019

【考点】14：相反数.

【专题】511：实数.

【分析】根据相反数的意义，直接可得结论.

【解答】解：因为。的相反数是-a,

所以-2019的相反数是2019.

故选：A.

【点评】本题考查了相反数的意义.理解。的相反数是是解决本题的关键.

2.（3分）（2019•舟山）2019年1月3日10时26分，“嫦娥四号”探测器飞行约380000

千米，实现人类探测器首次在月球背面软着陆.数据380000用科学记数法表示为（）

A.38X104B.3.8X104C.3.8X105D.0.38X106

【考点】II：科学记数法一表示较大的数.

【专题】511：实数.

【分析】科学记数法的表示形式为。义10"的形式，其中n为整数.确定n

的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，”的绝对值与小数点移动的位数相

同.当原数绝对值＞1时，”是正数；当原数的绝对值＜1时，”是负数.

【解答】解：380000=3.8X105

故选：C.

【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为aX10〃的形式，其

中lW|a|＜10,”为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值.

3.（3分）（2019•舟山）如图是由四个相同的小正方形组成的立体图形，它的俯视图为（）

主视方向

A.

【考点】U2：简单组合体的三视图.

【专题】55F：投影与视图；63：空间观念.

【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中.

【解答】解：从上面看易得第一层有1个正方形，第二层有2个正方形，如图所示：

故选：B.

【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的正面看得到的视图.

4.（3分）（2019•舟山）2019年5月26日第5届中国国际大数据产业博览会召开.某市在

五届数博会上的产业签约金额的折线统计图如图.下列说法正确的是（）

某市五曷数博会产业签约金殿计图

脸

20152016201720182019年份

A.签约金额逐年增加

B.与上年相比，2019年的签约金额的增长量最多

C.签约金额的年增长速度最快的是2016年

D.2018年的签约金额比2017年降低了22.98%

【考点】VD：折线统计图.

【专题】542：统计的应用；65：数据分析观念.

【分析】两条折线图一一判断即可.

【解答】解：4错误.签约金额2017,2018年是下降的.

B、错误.与上年相比，2016年的签约金额的增长量最多.

C、正确.

D、错误.下降了：244.5-221.6Q93%.

244.5

故选：C.

【点评】本题考查折线统计图，解题的关键是理解题意读懂图象信息，属于中考常考题

型.

5.（3分）（2019•舟山）如图是一个2X2的方阵，其中每行、每列的两数和相等，则。可

以是（）

阿2。|

EE

A.tan60°B.-1C.0D.I2019

【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幕；T5：特殊角的三角函数值.

【专题】511：实数.

【分析】直接利用零指数累的性质以及绝对值的性质和立方根的性质分别化简得出答案.

【解答】解：由题意可得：。+|-2|=沈'+2°,

则4+2=3,

解得：a—1,

故。可以是「OP

故选：D.

【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键.

6.（3分）（2019•舟山）已知四个实数a,b,c,d,若a>b,c>d,则（）

A.a+c>b+dB.cz-c>b-dC.ac>bdD.—>—

cd

【考点】C2：不等式的性质.

【专题】512：整式；62：符号意识.

【分析】直接利用等式的基本性质分别化简得出答案.

【解答】解：c>d,

a+c>b+d.

故选：A.

【点评】此题主要考查了等式的性质，正确掌握等式的基本性质是解题关键.

7.（3分）（2019•舟山）如图，已知O。上三点A,B,C,半径0c=1,30°,切

线刚交OC延长线于点P,则PA的长为（）

A

o

A.2B.J3C.V2D.L

2

【考点】M5：圆周角定理；MC：切线的性质.

【专题】559：圆的有关概念及性质.

【分析】连接根据圆周角定理求出NAOP,根据切线的性质求出4P=90。，解

直角三角形求出AP即可.

【解答】解：连接04,

VZABC=30°,

AZAOC=2ZABC=6Q°,

,/过点A作。。的切线交OC的延长线于点P,

：.ZOAP=90°,

：0A=0C=l,

.,.AP=OAtan60o=\乂如=如,

【点评】本题考查了切线的性质和圆周角定理、解直角三角形等知识点，能熟记切线的

性质是解此题的关键，注意：圆的切线垂直于过切点的半径.

8.（3分）（2019•舟山）中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头,

共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共价三十八两.问马、牛各价几

何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为（）

,（4x+6y=38口f4y+6x=48

A.〈D.<

13x+5y=4813y+5x=38

Cj4x+6y=48D\4x+6尸48

15x+3y=38[3x+5y=38

【考点】99：由实际问题抽象出二元一次方程组.

【专题】521：一次方程（组）及应用.

【分析】直接利用“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛

五头，共价三十八两”，分别得出方程得出答案.

【解答】解：设马每匹X两，牛每头y两，根据题意可列方程组为:

（4x+6y=48

[3x+5y=38

故选：D.

【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等式是解题关键.

9.（3分）（2019•舟山）如图，在直角坐标系中，已知菱形。42c的顶点A（1,2）,B（3,

3）.作菱形OABC关于y轴的对称图形OA8C,再作图形OA5C关于点。的中心对称

图形B"C",则点C的对应点的坐标是（）

A.(2,-1)B.(1,-2)C.(-2,1)D.(-2,-1)

【考点】LA：菱形的判定与性质；P7：作图-轴对称变换；R8：作图-旋转变换.

【专题】558：平移、旋转与对称.

【分析】根据题意可以写出点C的坐标，然后根据与y轴对称和与原点对称的点的特点

即可得到点C"的坐标，本题得以解决.

【解答】解：,••点C的坐标为（2,1）,

...点C的坐标为C-2,1）,

...点C〃的坐标的坐标为（2,-1）,

故选：A.

【点评】本题考查旋转变化、轴对称变化，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合

的思想解答.

10.（3分）（2019•舟山）小飞研究二次函数y=-（x-m）2-m+1（机为常数）性质时如

下结论：

①这个函数图象的顶点始终在直线y=-x+1上；

②存在一个机的值，使得函数图象的顶点与无轴的两个交点构成等腰直角三角形；

③点A（xi,ji）与点8Cx2,”）在函数图象上，若xi<x2,xi+x2>2m,则

④当-l<x<2时，y随x的增大而增大，则机的取值范围为优N2.

其中错误结论的序号是（）

A.①B.②C.③D.④

【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征；H4：二次函数图象与系数的关系；H5：二

次函数图象上点的坐标特征；HA：抛物线与x轴的交点；KW：等腰直角三角形.

【专题】31：数形结合；535：二次函数图象及其性质.

【分析】根据函数解析式，结合函数图象的顶点坐标、对称轴以及增减性依次对4个结

论作出判断即可.

【解答】解：二次函数y=-（x-777）2-/«+1（根为常数）

①,顶点坐标为（m,-m+1）且当时，y=-m+\

，这个函数图象的顶点始终在直线y=-x+1上

故结论①正确；

②假设存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形

令y=0,得-（x-m）2-相+1=0,其中“zWl

解得：x—m-A/-ntbl,X=W?+A/-

•••顶点坐标为（相，-m+1）,且顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形

|-m+l|=|m-（m-V-nH-1）I

解得：m—0或1

...存在m=0或1,使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形

故结论②正确；

xi+x2>2m

\,二次函数y=-（尤-%）2+1（加为常数）的对称轴为直线彳=加

/.点A离对称轴的距离小于点B离对称轴的距离

Vxi<x2,且-l<0

故结论③错误；

④当-l<x<2时，y随x的增大而增大，且-1<0

根的取值范围为机22.

故结论④正确.

故选：C.

【点评】本题主要考查了二次函数图象与二次函数的系数的关系，是一道综合性比较强

的题目，需要利用数形结合思想解决本题.

二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）

11.（4分）（2019•舟山）分解因式：/-5x=x（x-5）.

【考点】53：因式分解-提公因式法.

【分析】直接提取公因式x分解因式即可.

【解答】解：x2-5x—x（无-5）.

故答案为：x（x-5）.

【点评】此题考查的是提取公因式分解因式，关键是找出公因式.

12.（4分）（2019•舟山）从甲、乙、丙三人中任选两人参加“青年志愿者”活动，甲被选

中的概率为2.

一卫一

【考点】X6：列表法与树状图法.

【专题】543：概率及其应用.

【分析】画出树状图，共有6个等可能的结果，甲被选中的结果有4个，由概率公式即

可得出结果.

【解答】解：树状图如图所不：

共有6个等可能的结果，甲被选中的结果有4个，

，甲被选中的概率为2=2；

63

故答案为：1.

3

甲乙丙

△/'八

乙丙甲丙甲乙

【点评】本题考查了树状图法求概率以及概率公式；画出树状图是解题的关键.

13.（4分）（2019•舟山）数轴上有两个实数a,b,且a>0,b<0,a+b<Q,则四个数a,

b,-a,-b的大小关系为b<-a〈a<-b（用号连接）.

【考点】29：实数与数轴；2A：实数大小比较.

【专题】511：实数.

【分析】根据两个负数比较大小，其绝对值大的反而小和负数都小于0,即可得出答案.

【解答】解：'：a>Q,b<0,a+b<0,

：.\b\>a,

-b>a,b<-a,

.,.四个数a,b,-a,-6的大小关系为-b.

故答案为：b<-a<a<-b

【点评】本题考查了有理数的大小比较，掌握有理数的大小比较法则是：正数都大于0,

负数都小于0,正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小是本题的关

键.

14.（4分）（2019•舟山）在/+±4x+4=0的括号中添加一个关于尤的一次项,使方程

有两个相等的实数根.

【考点】AA：根的判别式.

【专题】45：判别式法；521：一次方程（组）及应用.

【分析】要使方程有两个相等的实数根，即△=（）,则利用根的判别式即可求得一次项的

系数即可.

【解答】解：

要使方程有两个相等的实数根，则△=/-4砒=庐-16=0

得b—±4

故一次项为±4x

故答案为±4x

【点评】此题主要考查一元二次方程的根的判别式，利用一元二次方程根的判别式（△

=/-4ac）可以判断方程的根的情况：一元二次方程的根与根的判别式有如下关系：

①当△>◊时，方程有两个不相等的实数根；②当△=（）时，方程有两个相等的实数根；

③当△<（）时，方程无实数根，但有2个共轨复根.上述结论反过来也成立.

15.（4分）（2019•舟山）如图，在△ABC中，若/A=45°,AC2-BC?=^AB?,贝！|tanC

5

=一辰一.

【考点】KQ：勾股定理；T7：解直角三角形.

【专题】55E：解直角三角形及其应用.

【分析】过8作8OLAC于。，易证△A3。是等腰直角三角形，那么AZ)=8D根据勾

股定理得出AB2=AD2+DB2=2BD2,BC2=DC2+BD1,那么AC2-BC1=(AD+DC)2-

(DC2+BD2)=2BD-DC,代入AC?-&72=返转2,得出。进而根据正切

55

函数的定义即可求解.

【解答】解：如图，过8作8O_LAC于。，

VZA=45°,

ZABD=ZA=45°,

：.AD=BD.

VZADB=ZCDB=90°,

AB1=AD1+DB2=2BD2,BC2=DC1+BD1,

：.AC2-BC2=(AD+DC)2-(DC2+BD2)

=AD1+DC2+2AD'DC-DC2-BD1

2AD'DC

2BD-DC,

VAC2-BC2=^AB2,

5

2BD・DC=豆X2BD2,

_5

：.DC=J^-BD,

5

,,tanC=BD=

DC络BD

5

故答案为

【点评】本题考查了解直角三角形，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三

角函数定义，难度适中.证明出AC2-BC2=(AD+DC)2-(DC2+BD2)=2BD-DC,

是解题的关键.

16.(4分)(2019•舟山)如图，一副含30°和45°角的三角板4BC和即尸拼合在个平面

上，边AC与EF重合，AC=12cm.当点E从点A出发沿AC方向滑动时，点E同时从

点C出发沿射线BC方向滑动.当点E从点A滑动到点C时，点。运动的路径长为（24

-12亚）cm；连接BD,则△A8D的面积最大值为（24立+36亚72亚）cm1.

A(E)

【考点】K3：三角形的面积；04：轨迹.

【专题】553：图形的全等；554：等腰三角形与直角三角形.

【分析】过点。作D'NLAC于点N,作。MLBC于点由直角三角形的性质可得8C

AB=8心m,尸=6我由“AAS”可证△OWEg△〃'〃产,可得

D'N=D'M,即点。，在射线CD上移动，且当时，。。值最大，则可求点。运动

的路径长，由三角形面积公式可求SAAD'B=XBCXAC+l-XACXr>'N-1-XBCXD'M=

222

2473+—（12-473）XD'N,则EO」AC时，SzvW方有最大值.

2

【解答】解：VAC=12cm,NA=30°,NDEF=45°

:.BC=4\[^cm,AB—8y[^cm,ED—DF—6-\[2pm

如图，当点E沿AC方向下滑时，得△E。,尸，过点。作。N,AC于点N,作。MLBC

于点M

：.ZED'N=ZFD'M,且/ONE=/。//=90°,ED'=D'F

：ADNEmADMF(AAS)

：.D'N=D'M,且。'N_LAC,D,MLCM

；.CZZ平分NACM

即点E沿AC方向下滑时，点。，在射线CD上移动，

...当EOLAC时，值最大，最大值=扬；。-8=(12-6^2)cm

当点E从点A滑动到点C时，点。运动的路径长=2X(12-672)=(24-1272)

*.*S/^AD'B=S^ABC+S^AD'C-S^BD'C

：.S^AD'B^—BCXAC+^XACXD'N-LXBCXD'M^24J3+I-(12-4«)XD'N

2222

当EO」AC时，SMD方有最大值，

SWB最大值=24、,际+工(12-4后X6V2=(24后36芯-⑵辰cm2.

2

故答案为：(24-1272)-(24后36缶12遍)

【点评】本题考查了轨迹，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，角平分

线的性质，三角形面积公式等知识，确定点。的运动轨迹是本题的关键.

三、解答题(本题有8小题，第17〜19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题

每题10分，第24题12分，共66分)

17.(6分)(2019•舟山)小明解答“先化简，再求值：」_+一—，其中x=«+l.”的

x+1x2-l

过程如图.请指出解答过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程.

解：EF

+(x-D-与(x-1)L①

I

(x+O+2-------卜-②

x+3-------：—③

I

当x=0+1时，原式=x+3

I

=V3+1+3-1-@

=£+4—⑤

【考点】6D：分式的化简求值.

【专题】513：分式.

【分析】1

【解答】解：

步骤①、②有误.

x-l2x+l

爆式=

(A'+IX-V-I)(X+I)(.V-I)(X+IXA'-I)

愿式".

当下力+1时.

1

【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握异分母分式的减法法则是解题的关键.

18.（6分）（2019•舟山）如图，在矩形A8C。中，点E,歹在对角线80.请添加一个条件,

使得结论"AE=CF”成立，并加以证明.

【考点】KD：全等三角形的判定与性质；LB：矩形的性质.

【专题】556：矩形菱形正方形.

【分析】根据SAS即可证明AABE冬△CDF可得AE=C尸.

【解答】解：添加的条件是尸（答案不唯一）.

证明：•••四边形A8C。是矩形，

：.AB//CD,AB=CD,

：.ZABD=ZBDC,

又,：BE=DF（添加），

:.AABE咨ACDF（SAS）,

C.AE^CF.

【点评】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌

握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型.

19.（6分）（2019•舟山）如图，在直角坐标系中，已知点B（4,0）,等边三角形0A8的

顶点A在反比例函数y=K的图象上.

（1）求反比例函数的表达式.

(2)把△048向右平移a个单位长度，对应得到△045当这个函数图象经过△OA'B

一边的中点时，求a的值.

【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；G7：待定系数法求反比例函数解析式；

KK：等边三角形的性质；Q3：坐标与图形变化-平移.

【专题】14：证明题；41：待定系数法.

【分析】(1)过点A作于点C,根据等边三角形的性质得出点A坐标，用待定

系数法求得反比例函数的解析式即可；

(2)分两种情况讨论：①反比例函数图象过42的中点；②反比例函数图象过的中

点.分别过中点作x轴的垂线，再根据30。角所对的直角边是斜边的一半得出中点的纵

坐标，代入反比例函数的解析式得出中点坐标，再根据平移的法则得出。的值即可.

【解答】解：(1)过点A作AC_LOB于点C,

是等边三角形，

ZAOB^60°,

2

,:B(4,0),

；.0B=0A=4,

；.OC=2,AC=26

把点A(2,2A/3)代入>=幺得k=4如.

X

反比例函数的解析式为尸业叵；

X

(2)分两种情况讨论：

①点。是A'B'的中点，过点。作。轴于点E.

由题意得A'B'=4,NA，B'E=60°,

在RtADEB'中，B'D=2,DE=y]s，B'E=l.

：.O'E=3,

把y=«代入y=§内，得尤=4,

X

・•・0E=4,

'.a—00'=1；

②如图3,点尸是A'O'的中点，过点尸作尸HJ_x轴于点H.

由题意得A'O'=4,/A'O'B'=60°,

在RtZXFO'"中，FH=yfs，O'H=\.

把y=会代入尸,得x=4,

x

；.0H=4,

：.a=OO'=3,

综上所述，a的值为1或3.

【点评】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，掌握直角三角形、等边三角

形的性质以及分类讨论思想是解题的关键.

20.（8分）（2019•舟山）在6X6的方格纸中，点A,B,C都在格点上，按要求画图：

（1）在图1中找一个格点。，使以点A,B,C,。为顶点的四边形是平行四边形.

（2）在图2中仅用无刻度的直尺，把线段三等分（保留画图痕迹，不写画法）.

图1图2

【考点】L7：平行四边形的判定与性质；N4：作图一应用与设计作图；S4：平行线分线

段成比例.

【专题】555：多边形与平行四边形；55D：图形的相似.

【分析】（1）由勾股定理得：CD=AB=CD'=烟,BD=AC=BD”=y[^,AZJ=BC=

AD"=V10；画出图形即可；

（2）根据平行线分线段成比例定理画出图形即可.

【解答】解：（1）由勾股定理得：

CD=AB=CD'=病,BD=AC=BD”=y/~^,

A£>'=BC=AD"=V10；

画出图形如图1所示；

（2）如图2所示.

【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理;

熟练掌握勾股定理好平行线分线段成比例定理是解题的关键.

21.（8分）（2019•舟山）在“创全国文明城市”活动中，某社区为了了解居民掌握垃圾分

类知识的情况进行调查.其中A、8两小区分别有500名居民，社区从中各随机抽取50

名居民进行相关知识测试，并将成绩进行整理得到部分信息：

【信息一】A小区50名居民成绩的频数直方图如图（每一组含前一个边界值，不含后一

个边界值）；

【信息二】图中，从左往右第四组的成绩如下

7575797979798080

8182828383848484

【信息三】A、B两小区各50名居民成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（80分及以

上为优秀）、方差等数据如下（部分空缺）：

小区平均数中位数众数优秀率方差

A75.17940%277

B75.1777645%211

根据以上信息，回答下列问题：

（1）求A小区50名居民成绩的中位数.

（2）请估计A小区500名居民中能超过平均数的有多少人？

（3）请尽量从多个角度比较、分析42两小区居民掌握垃圾分类知识的情况.

A小区50名居民成绩的频数直方图

16...................

【考点】V5：用样本估计总体；V8：频数（率）分布直方图；W2：加权平均数；W4：

中位数；W5：众数；W7：方差.

【专题】542：统计的应用.

【分析】（1）因为有50名居民，所以中位数落在第四组，中位数为75；

（2）A小区500名居民成绩能超过平均数的人数：500x21=200（人）；

60

（3）从平均数看，两个小区居民对垃圾分类知识掌握情况的平均水平相同；从方差看,

8小区居民对垃圾分类知识掌握的情况比A小区稳定；从中位数看，8小区至少有一半

的居民成绩高于平均数.

【解答】解：（1）因为有50名居民，所以中位数落在第四组，中位数为75,

故答案为75；

（2）500x21=200（人），

60

答：A小区500名居民成绩能超过平均数的人数200人；

（3）从平均数看，两个小区居民对垃圾分类知识掌握情况的平均水平相同；

从方差看，B小区居民对垃圾分类知识掌握的情况比A小区稳定；

从中位数看，B小区至少有一半的居民成绩高于平均数.

【点评】本题考查的是频数直方图.读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是

解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据.

22.（10分）（2019•舟山）某挖掘机的底座高AB=0.8米，动臂8C=1.2米，。=1.5米，

与8的固定夹角/28=140°.初始位置如图1,斗杆顶点。与铲斗顶点E所在

直线DE垂直地面AM于点E,测得NCDE=70°（示意图2）.工作时如图3,动臂BC

会绕点B转动,当点A,B,C在同一直线时，斗杆顶点。升至最高点（示意图4）.

（1）求挖掘机在初始位置时动臂BC与AB的夹角ZABC的度数.

（2）问斗杆顶点。的最高点比初始位置高了多少米？（精确到0.1米）

（参考数据：sin50°心0.77,cos50°心0.64,sin70°-0.94,cos70°20.34,返-1.73）

【考点】T8：解直角三角形的应用.

【专题】55E：解直角三角形及其应用.

【分析】（1）过点C作于点G,证明AB//CG//DE,再根据平行线的性质求得

结果；

（2）过点C作于点尸，过点B作8QLOE于点Q,交CG于点N,如图2,通

过解直角三角形求得QE,

过点。作LWLAM于点H过点C作CKLOH于点K,如图3,通过解直角三角形求得

求得。H,最后便可求得结果.

【解答】解：（1）过点C作CGLAM于点G,如图1,

图1

\'AB±AM,DE±AM,

J.AB//CG//DE,

：.ZDCG=ISQ°-ZCD£=110°,

:.BCG=/BCD-/GCD=30°,

AZABC=180°-ZBCG=150°；

（2）过点C作CPLOE于点P,过点8作BQLDE于点Q,交CG于点N,如图2,

图2

在RtZXCP。中，DP=CPXcos70°^0.51（米），

在RtZYBCN中,CN=BCXcos30°~1.04（米），

所以，DE=DP+PQ+QE=DP+CN+AB=235（米），

如图3,过点。作。于点”，过点C作CKLQH于点K,

图3

在RtZ\CK£）中，DK^CDXcos50°«1.16（米）,

所以，DH=DK+KH=3.16（米），

所以，DH-DE=Q.8（米），

所以，斗杆顶点D的最高点比初始位置高了0.8米.

【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，充分体现了数学与实际生活的密切联系,

解题的关键是正确构造直角三角形.

23.（10分）（2019•舟山）某农作物的生长率p与温度f（°C）有如下关系：如图，当

W25时可近似用函数-上刻画；当25W/W37时可近似用函数p=-二—（/-%）

505160

2+0.4刻画.

（1）求〃的值.

（2）按照经验，该作物提前上市的天数机（天）与生长率p之间满足已学过的函数关系，

部分数据如下：

生长率P0.20.250.30.35

提前上市的天数相（天）051015

求：①机关于p的函数表达式；

②用含f的代数式表示加.

③天气寒冷，大棚加温可改变农作物生长速度.大棚恒温20℃时每天的成本为100元，

计划该作物30天后上市，现根据市场调查：每提前一天上市售出（一次售完），销售额

可增加600元.因此决定给大棚继续加温，但加温导致成本增加，估测加温到20W/W25

时的成本为200元/天，但若欲加温到25</（37,由于要采用特殊方法，成本增加到400

元/天.问加温到多少度时增加的利润最大？并说明理由.（注：农作物上市售出后大棚

【考点】HE：二次函数的应用.

【专题】533：一次函数及其应用；536：二次函数的应用；69：应用意识.

【分析】（1）把（25,0.3）代入p=-」_Gi）2+0.4中，便可求得也

160

（2）①由表格可知，%是p的一次函数，由待定系数法可解；

②分别求出当10W/W25时和当25W/W37时的函数解析式即可；

③分别求出当20W/W25时，增加的利润和当25V/W37时，增加的利润，然后比较两

种情况下的最大值，即可得结论.

【解答】解：(1)把(25,0.3)代入p=-^—G-/i)2+0.4得：

160

0.3=__L_(25-/7)2+0.4

160

解得：〃=29或%=21,

•••25WW37

：.h=29.

(2)①由表格可知，加是p的一次函数，

设m=kp+b

把(0.2,0),(0,3,10)代入得2Xk+b

110=0.3Xk+b

解得(k=100

lb=-20

.,.m=100j7-20.

②当10W/W25时，p=-L-t-X

505

.•.m=100(A_r-J_)-20=2?-40；

505

当25W/W37时，p=-(t-h)2+0.4

160

.•.m=100[-(「〃)2+0.4]-20=至(r-29)2+20

1608

'2t-40,10<t<2E

-4(t-29)2+20,25<t<37

\8

③当20W/W25时，增加的利润为：

600m+[100X30-200(30-m)]=800m-3000=1600/-35000

当t=25时，增加的利润的最大值为1600X25-35000=5000元；

当25C/W37时，增加的利润为：

600/M+[100X30-400(30-M]=1000m-9000=-625(?-29)2+11000

...当f=29时，增加的利润的最大值为11000元.

综上，当t=29时，提前20天上市，增加的利润最大，最大值为11000元.

【点评】本题综合考查了待定系数法求二次函数和一次函数的解析式以及一次函数和二

次函数的实际应用，难度较大.

24.(12分)(2019•舟山)小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推

理与拓展.

（1）温故：如图1,在△ABC中，AD_LBC于点。，正方形PQMN的边QM在8c上，

顶点尸，N分别在A8,AC上，若BC=a,AD=h,求正方形PQMN的边长（用a,〃表

示）.

（2）操作：如何画出这个正方形PQWN呢？

如图2,小波画出了图1的△ABC,然后按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操

作：先在AB上任取一点P,画正方形PQMW,使点。，M在BC边上，点N在△ABC

内，然后连结BN,并延长交AC于点N,画于点M,NPLNM交AB于点、P,

尸。，2。于点。，得到四边形PQMN.

（3）推理：证明图2中的四边形PQMN是正方形.

（4）拓展：小波把图2中的线段8N称为“波利亚线”，在该线上截取NE=MW,连结

EQ,（如图3）,当NQEM=90°时，求''波利亚线”8N的长（用a,/?表示）.

请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题.

图1图2图3

【考点】LO：四边形综合题.

【专题】556：矩形菱形正方形；55D：图形的相似.

【分析】（1）理由相似三角形的性质构建方程即可解决问题；

（2）根据题意画出图形即可；

（3）首先证明四边形PQMN是矩形，再证明MN=PN即可；

（4）过点N作初_LME于点。，由等腰三角形的性质可得ED=DM,

由“A4S”可证△QEM之可得EQ=DM=LEM,通过证明△BEQS△BME,可

2

得BM=2BE,BE=2BQ,即可求8N的长.

【解答】（1）解：如图1中，

图1

'JPN//BC,

：.△APNs^ABC,

.PN_AEgpPN_h-PN

••而~T=h

解得PN=B_

a+h

(2)能画出这样的正方形，如图2中，正方形PNMQ即为所求.

(3)证明：如图2中,

图2

由画图可知：ZQMN=ZPQM=ZNPQ=ABM'N'=90°,

四边形PNM。是矩形，MN//M'N',

:ABN'M's丛BNM,

.M'N，=BN，

MNhBN'

同理可得：P'N，-BN'

PN-BN

•M'N，尸N'

MN=PN'

'：M'N'=P'N',

：.MN=PN,

四边形PQMN是正方形

(4)如图，过点N作NO_LME于点。

图3

•MN=EN,NDLME,

.ZNEM=ZMNE,ED=DM

"ZBMN=ZQEM=90°

.ZEQM+ZEMQ=90°,ZEMQ+ZEMN=90°

.ZEMN^ZEQM,且MN=QN,NQEM=/NDM=90°

.小QEM”AMDN(44S)

.EQ=DM=LEM,

,ZBMN=ZQEM=90°

.ZBEQ+ZNEM=9Q°,NBME+/NME=90°

.NBEQ=/BME,且NMBE=/MBE

.ABEQs4BME

BQBEEQ1

.BM=2BE,BE=2BQ

.BM=4BQ

.QM=3BQ=MN,BN=5BQ

MN二3BQ二3

■FBQ行

.BN=2MN=!(且L)

33a+h

【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质和判定，相似三角形的判定和性

质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题.

考点卡片

1.相反数

（1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数.

（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互

为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等.

（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“-”号结果为负，有偶数个“-”

号，结果为正.

（4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“-如。的相反

数是-a,的相反数是-（m+n）,这时机+〃是一个整体，在整体前面添负号时，要用

小括号.

2.科学记数法一表示较大的数

（1）科学记数法：把一个大于10的数记成。义10"的形式，其中。是整数数位只有一位的

数，〃是正整数，这种记数法叫做科学记数法.【科学记数法形式：oXIO",其中lWa<10,

〃为正整数

（2）规律方法总结：

①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数

位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数加

②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用

此法表示，只是前面多一个负号.

3.实数与数轴

（1）实数与数轴上的点是一一对应关系.

任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数.数轴

上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数.

（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a

的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离.

（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左

边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小.

4.实数大小比较

实数大小比较

（1）任意两个实数都可以比较大小.正实数都大于0,负实数都小于0,正实数大于一切负

实数，两个负实数绝对值大的反而小.

（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比

左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小.

5.实数的运算

（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、

乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方.

（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算

乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行.

另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用.

【规律方法】实数运算的“三个关键”

1.运算法则：乘方和开方运算、幕的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根

式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等.

2.运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从

左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算.

3.运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度.

6.因式分解-提公因式法

1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项

式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.

2、具体方法：

（1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的

相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的.

（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为

正数.

提出“-”号时，多项式的各项都要变号.

3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶.

4、提公因式法基本步骤:

（1）找出公因式；

(2)提公因式并确定另一个因式：

①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；

②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公

因式,所得的商即是提公因式后剩下的一个因式,也可用公因式分别除去原多项式的每一项，

求的剩下的另一个因式；

③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同.

7.分式的化简求值

先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值.

在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简.化简的最后结果分子、分母要进行约分，注

意运算的结果要化成最简分式或整式.

【规律方法】分式化简求值时需注意的问题

1.化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值.化简时不能跨度太大，而缺

少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式=

2.代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法.解题时可根据题目的具体条件选

择合适的方法.当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式

都有意义，且除数不能为0.

8.零指数累

零指数塞：a°=l(aWO)

由/小。m=1,/小级可推出a°=l(aHO)

注意：0°#l.

9.由实际问题抽象出二元一次方程组

(1)由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量

和未知量联系起来，找出题目中的相等关系.

(2)一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示

的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符.

(3)找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法：

①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系.②将问题中给出的条件按意思分割

成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系.③借助表格提供

信息的，按横向或纵向去分别找等量关系.④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量

关系.

10.根的判别式

利用一元二次方程根的判别式（△=房-4改）判断方程的根的情况.

一元二次方程。/+灰+°=0QW0）的根与△=/-4ac有如下关系：

①当△>◊时，方程有两个不相等的两个实数根；

②当△=（）时，方程有两个相等的两个实数根；

③当△<（）时，方程无实数根.

上面的结论反过来也成立.

1