2023高中数学必修四复习题(含有答案)

中学数学必修四复习题

一、填空题:

1.巳知扇形的半径是16,圆心角是2弧度，则扇形的弧长是.

【答案】32

2.函数尸an(2x9)的图象与直线产-a(adR)的交点中距离的最小值为.

【答案】=

【解析】尸an(2W)的最小正周期仁》故尸an(2x$与尸〃的交点中距离的最小值为今

3.在△ABC中，AE=^AB,EF〃BC交AC于点、F,设相=a，AC=b,用a，b表示向量才为.

【答案】—a

IT2sin(-a)-cos(ir+a)

4-己知cosq+a尸2cos(兀-a),则sin1石+c°N罗a)

【答案】3

.2V52V5

sina=——,sina=------,

【解析】通解由cos(1+a)=2cos(兀-a)得sina=2cosa,又cos2a+sin2a=],所以5成，A则

Vs

cosa=——cosa=

5

2sin(-a)-cos(n+a)-2sina+cosa

.................---=3

sin(j-a)+cos(^-a)cosa-sina

2sin(-a)-cos(n+a)_-2sina+cosa-3cosa

优解由cos(1+a)=2cos(兀-a)得sina=2cosa,所以:

si吗-a)+cos(乎-a)cosa-sina-cosa=3»

5.圆的一段弧长等于这个圆的内接正三角形的一条边长，那么这段弧所对的圆心角的弧度数为.

【答案】V3

【解析】设圆的半径为r,则其内接正三角形的边长为a=gr,故弧长l=a=V5r,所以这段弧所对的圆心角的弧

度数为吟哼二^

6.已知向量荏与的夹角为120。,且|同|=2,前|=3,若族=文血+元,且»_L阮,则实数2的值为.

【答案】5

［解析］由丽•瓦=«布+前)•(而-近)=0得露耳前：(荏尸+(前＞-前•布=00-3九42+9+3=

°7・

7.已知6G(0,7T),且sin(。_)=叫，则sin。+cos。=.

【答案吗

【解析】因为sin(6_：)=y(sin0-cos0)=率.sin0-cos0=疝1-2sin0cos0=^,2sin0cos0=^>

0,依题意知：9G(0,1),又(sin。+cos0)2=14-2sin0cos0=

7、7

sin。+cos0—g.故答案为g.

8.己知向量荏_L屁，|而|=5，\BC\=3.则荏・而=.

【答案】16

【解析】由已知条件构造RtAABC,斜边AC,则前2=前2一屁2,而=m_配，则易求荏.血的值.由已知条件

构造RtAABC,斜边AC,^AB2=AC2-BC2=if>,AC=AB+前，则荏AC=AB-(AB+'BC)=AB2=\6.

9.将函数/W=sin(oxW)+l(°>0)的图像向左平移三个单位,所得图像关于y轴对称，则正数3的最小值为

【答案】2

这时函数图像关于y轴对称，所以?E=也+上。=3k+2,七乙所以正数。的最小值为2.

JOL

10.已知在AABC中,向量荏与前的夹角为|前1=2,则II目的取值范围是______.

O

【答案】(0,4]

【解析】；而1=1荏+骸=函2+就|2+2|函函|cos*,，l福2+而|2_百|福阮|=4,把阮I看作未知

量，得到一个一元二次方程阮|2-㈣荏II前|+(|A8|2-4)=0,这个方程的判别式

」=(-回福)2-4(|画2一4)=16"函2加,.•.一但宿W4,依据实际意义知0<|^B|<4.

11.若cosxcosy+sinxsin)带则cos(2v_2y)=.

【答案】】

【解析】由cosxcosy+sinxsinnJMlcos(x-y)=g,则sin2(x-y)=l-cos2(x-y)=1-(-)2=r,

33"39

cos(2x-2y)=cos2(x-y)-sin2(x-y)=(-1)28--=--7.

oyy

12.设向量a=(1,2),b=(—2,6),且。〃瓦则2。+3b=.

【答案】(一4,-8)

【解析】由a〃b得,1xm+2x2=0,解得m=-4,所以b=(-2,-4),2a+3b=(2,4)+(-6,-12)=

(—4,—8).

13.已知角0的终边在第三象限,tan2叙-2&,则tan0=,cos9=.

【答案】鼎更

3

【解析】由tan2"-2企得tan2月二:%二.2&,即@aNJ-ian。-/=0,解得lan。二&或tan。二等，又角。的终

边在第三象限，故tan叙迎,故氏=/，由sin20+cos20=l得cos20=1,即cos0=~.

14.化简:哗R哗飞

cos(j+a)+cos(--a)-----------

【答案】V3

_._,2sin-costzn

【解析】原式=;-I---=tan-=V3.

2cos-cosa3

15.将函数尸sinx的图象向左平移:个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩为原来的右纵坐标不变，便

得到函数式x)的图象，则解析式为.

【答案】/(x)=sin(2x+5

【解析】将函数y=siM的图象向左平移E个单位，则所得图象对应函数的解析式为尸sin(x+),再将所得图

象上各点的横坐标缩为原来的右纵坐标不变，便得到函数段)的图象，则f(x)=sin(2x+》.

16.函数y=sin(2x+,)(0<<p<)图象的一条对称轴是x=已则卬的值是一.

【答案w

【解析】因为函数y=sin(2x+9)(0<<p<与图象的一条对称轴是x=2所以sin俱+3)=±1,又因为。<

V<飘吟<?+9<g，即？+0=*解得8=*故填率

Zoo<5。43n

17.已知|Q|=3,网=5,且a-b=12,则向量a在b方向上的投影为—.

【答案】Y

【解析】由a•b=12得|a||6|cos0=12,而|a|=3,\b\=5,所以cosJ=g,所以|a|cos8=3x(=晟所以

向量a在b方向上的投影为当.

18.当时,函数4x)=sinx-3cosx取得最大值，则cos®的值为.

【答案】一见电

10

【解析】因为/(%)=sinx-3cosx=-/10(sin%,答—cosx1^=VT0sin(x—3)淇中cos。=噜,sin(p=邛V

当於)取得最大值时，。—W=；+2/CTI,cos。=cos管4-2fcn+卬)=—sintp=一号"，故填券

19.已知a6(一,0),且cos2a=sin(a-则tan]等于.

【答案】—赵

3

【解析】由cos2a=sin(a-》有2cos2a+cosa-1=0,而ae(一],0),解得cosa=今得a=一去故tan£=

tan(—

63

4

20.己知B为锐角,cos2B=一1，则cos石二.

【答案】*

4/]0

【解析】由cos2B=-=可得2cos23-1=一4],而8为锐角，所以所以cosB="

5510

二、解答题

21.已知函数/(%)=sin(6ox+9)(3>0,0<(P<n)为偶函数，且其图象上相邻的一个最高点和最低点间

的距离为V4+收.

(I)求f。)的解析式；

(II)若/(a)+sina=求我丝也的值.

31+tana

【答案】解：(I)因为/'(x)=sin(3X+0)(3>0,0W04TT)为偶函数，故W=去

从而/'(x)=sin(3x+])=costox.

由/(%)图象上相邻的一个最高点和最低点间的距离为"TR，知T=2n,故3=1.所以/(x)=cosx.

2

sin2a-cos2a+l2sinacosa+2sina=2sinacosa

(11)原式=1+列更cosa+si前

cosacosa

由条件知cosa+sina=|,平方得1+2sinacosa=.

从而原式=2sinacosa=

9

22.已知函数f(%)=1+2sin(2x-g).

(1)当％G[p=],求兀v)的最大值和最小值.

(2)求/U)的最小正周期和单调递增区间.

⑶若不等式段)-m<2在冗6冷勺上恒成立，求实数m的取值范围.

【答案】(1)因为一<x<—,

42

717127r

所以一<2x---<—.

633

jrjrS

当24-1=1，即犬=乃"时，./

当y

~6即」;1时，

(2)最小正周期T=2三=7t.

(0

令一1+2上江工2x—gw]+2/c7r(keZ)

得一9+kn<x<^+kn(kEZ).

所以单调递增区间为

[——+kic,j+fczr](kGZ).

一、itit

(3)由题设条件可知一人》对x€恒成立,

nn

又当

XC712

所以,所以

23.已知向量«=(1,2),6=(-1,3),。=4。+6]eR.

(1)求向量a马b的夹角&,

(2)求|c|的最小值.

【答案】⑴•.•|。|=倔步|=6。。为=5,

•Zj_Cl-b5y[2

••COS\J--="z=-7==—.

|a||d|V5xV102

:ow­咐.

(2)V|c|=7(Aa+b)2=<5(/1+1)2+5,

.•.当)=-l时,|c|取得最小值，即|c|min=*.

24.已知A,B,C的坐标分别为A(4,0),仇0,4),C(3cos«,3sina).

⑴若aw(-兀,0),且庇|=|瓦]求角a的值；

(2)若前•品=0,求2sin"+sin2a的值

1+tana

【答案】⑴前二(3cosa-4,3sina),BC=(3cosa,

3sina-4).

由|前1=1前I,得(3cosa-4)2+9sin2a=9cos2a+(3sina-4)2,所以sina=cosa.

因为。£(-兀,0),所以。=

4

(2)因为2sm"+sin2a=

1+tana

2sinacosa(cosa+sina)3.

------------------------=2sinacosa,

cosa+sina

又而近二0,

所以3cosa(3cosa-4)+3sina(3sina-4)=0.

3

所以sina+cosa=-.

4

两边平方得2sinacos,

所以2sin2a+sin2a7

1+tana16

25.已知点A(2,0),B(0,2),C(cosa,sina)(其中0<a<7t),O为坐标原点.

⑴若I。？+能仁夕，求方与友的夹角；

(2)若前，求tana的值.

【答案】(1)由已知得函+近=(2+cosa,sina).

<*,\OA+^C\=y/7,(2+cosa)24-sin2a=7,B|J4+4cosa+cos2a+sin2a=7,cos

又aCQ.sina],.•.泥=(净

而祝会0+fX2二6

又^^=(0,2),/.cosZBOC=1X2-2'

I函-国I

NBOC=*故而与方的夹角为？

oo

(2)由已知得前二(cosa-2,sina),反二(cosa,sina-2),

VJC±FC,.'.^CFC=O,

/.cosa(cosa-2)+sina(sina-2)=0,sina+cosa=1.

-IQ

；・两边平方得(sina+cos4=-,即2sinacosa+-=0,

44

3

即2sinacos(sin2a+cos2a)=0,

4

即3sin2a+8sinacosa+3cos2a=0.

两边同时除以cos2a,W3tan2a+8tana+3=0,

解得tana=±立或士2

33

3

2sinotcosa=—<0ae(0,兀),sina>0,cosa<0.

49

又sina+cosa=->0,/.sina>-cosa,.*.^^-<-1,

2cosa

即tana<-1,/.tana=~4--^>-1应舍去，故tana=±亚.

33

26.已知年三.

（I）若。与I的夹角为60。，求,力卜（0：闻；

（H）若（"=61,求。与I的夹角.

【答案】（I）：I正勺壮三，<>与）的夹角为60°,二"bubcosf.U

，(0+一\h\=a=-11.

(11)・・・(％-必)・(“，6㈤-\abM'=37-5。=61，，。・»「，，

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