高中一轮复习数学课时跟踪检测（二十九）平面向量的基本定理及坐标表示

课时跟踪检测（二十九）平面向量的基本定理及坐标表示一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．在平行四边形ABCD中，AC为对角线，若eq\o(AB,\s\up7(→))＝(2,4)，eq\o(AC,\s\up7(→))＝(1,3)，则eq\o(BD,\s\up7(→))＝()A．(－2，－4) B．(－3，－5)C．(3,5) D．(2,4)解析：选B由题意得eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(BC,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→))＝(eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→)))－eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))－2eq\o(AB,\s\up7(→))＝(1,3)－2(2,4)＝(－3，－5)．2．已知A(－1，－1)，B(m，m＋2)，C(2,5)三点共线，则m的值为()A．1 B．2C．3 D．4解析：选Aeq\o(AB,\s\up7(→))＝(m，m＋2)－(－1，－1)＝(m＋1，m＋3)，eq\o(AC,\s\up7(→))＝(2,5)－(－1，－1)＝(3,6)，∵A，B，C三点共线，∴eq\o(AB,\s\up7(→))∥eq\o(AC,\s\up7(→))，∴3(m＋3)－6(m＋1)＝0，∴m＝1.故选A.3.如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))，且eq\o(BP,\s\up7(→))＝2eq\o(PA,\s\up7(→))，则()A．x＝eq\f(2,3)，y＝eq\f(1,3)B．x＝eq\f(1,3)，y＝eq\f(2,3)C．x＝eq\f(1,4)，y＝eq\f(3,4)D．x＝eq\f(3,4)，y＝eq\f(1,4)解析：选A由题意知eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(BP,\s\up7(→))，又eq\o(BP,\s\up7(→))＝2eq\o(PA,\s\up7(→))，所以eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BA,\s\up7(→))＝eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(OA,\s\up7(→))－eq\o(OB,\s\up7(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up7(→))，所以x＝eq\f(2,3)，y＝eq\f(1,3).4．(2015·全国卷Ⅱ)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________.解析：∵λa＋b与a＋2b平行，∴λa＋b＝t(a＋2b)，即λa＋b＝ta＋2tb，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝t，,1＝2t，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(1,2)，,t＝\f(1,2).))答案：eq\f(1,2)5．已知向量a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，且u∥v，则实数x的值为________．解析：因为a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，所以u＝(1,2)＋2(x,1)＝(2x＋1,4)，v＝2(1,2)－(x,1)＝(2－x,3)．又因为u∥v，所以3(2x＋1)－4(2－x)＝0，即10x＝5，解得x＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·温州十校联考)已知a＝(－3,1)，b＝(－1,2)，则3a－2b＝()A．(7,1) B．(－7，－1)C．(－7,1) D．(7，－1)解析：选B由题可得，3a－2b＝3(－3,1)－2(－1,2)＝(－9＋2，3－4)＝(－7，－1)．2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，m＝(eq\r(3)b－c，cosC)，n＝(a，cosA)，m∥n，则cosA的值等于()A.eq\f(\r(3),6) B.eq\f(\r(3),4)C.eq\f(\r(3),3) D.eq\f(\r(3),2)解析：选C由m∥n，得(eq\r(3)b－c)cosA－acosC＝0，再由正弦定理得eq\r(3)sinBcosA＝sinCcosA＋cosCsinA⇒eq\r(3)sinB·cosA＝sin(C＋A)＝sinB，即cosA＝eq\f(\r(3),3).3．已知A(7,1)，B(1,4)，直线y＝eq\f(1,2)ax与线段AB交于点C，且eq\o(AC,\s\up7(→))＝2eq\o(CB,\s\up7(→))，则实数a等于()A．2 B．1C.eq\f(4,5) D.eq\f(5,3)解析：选A设C(x，y)，则eq\o(AC,\s\up7(→))＝(x－7，y－1)，eq\o(CB,\s\up7(→))＝(1－x,4－y)，∵eq\o(AC,\s\up7(→))＝2eq\o(CB,\s\up7(→))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－7＝21－x，,y－1＝24－y，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝3.))∴C(3,3)．又∵点C在直线y＝eq\f(1,2)ax上，∴3＝eq\f(1,2)a×3，∴a＝2.4．已知点A(2,3)，B(4,5)，C(7,10)，若eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋λeq\o(AC,\s\up7(→))(λ∈R)，且点P在直线x－2y＝0上，则λ的值为()A.eq\f(2,3) B．－eq\f(2,3)C.eq\f(3,2) D．－eq\f(3,2)解析：选B设P(x，y)，则由eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋λeq\o(AC,\s\up7(→))，得(x－2，y－3)＝(2,2)＋λ(5,7)＝(2＋5λ，2＋7λ)，∴x＝5λ＋4，y＝7λ＋5.又点P在直线x－2y＝0上，故5λ＋4－2(7λ＋5)＝0，解得λ＝－eq\f(2,3).故选B.5．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若eq\o(AC,\s\up7(→))＝a，eq\o(BD,\s\up7(→))＝b，则eq\o(AF,\s\up7(→))＝()A.eq\f(1,4)a＋eq\f(1,2)b B．eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)bC.eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b D.eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)b解析：选C如图，∵eq\o(AC,\s\up7(→))＝a，eq\o(BD,\s\up7(→))＝b，∴eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(AO,\s\up7(→))＋eq\o(OD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b.∵E是OD的中点，∴eq\f(|DE|,|EB|)＝eq\f(1,3)，∴|DF|＝eq\f(1,3)|AB|.∴eq\o(DF,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→)))＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)eq\o(BD,\s\up7(→))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)eq\o(AC,\s\up7(→))))))＝eq\f(1,6)eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\f(1,6)eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\f(1,6)a－eq\f(1,6)b，∴eq\o(AF,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(DF,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,6)a－eq\f(1,6)b＝eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b，故选C.6．已知向量a＝(1,3)，b＝(－2,1)，c＝(3,2)．若向量c与向量ka＋b共线，则实数k＝________，若c＝xa＋yb，则x＋y的值为________．解析：ka＋b＝k(1,3)＋(－2,1)＝(k－2,3k＋1)，因为向量c与向量ka＋b共线，所以2(k－2)－3(3k＋1)＝0，解得k＝－1.因为c＝xa＋yb，所以(3,2)＝(x－2y,3x＋y)，即x－2y＝3,3x＋y＝2，解得x＝1，y＝－1，所以x＋y＝0.答案：－107．已知向量eq\o(OA,\s\up7(→))＝(1，－3)，eq\o(OB,\s\up7(→))＝(2，－1)，eq\o(OC,\s\up7(→))＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点能构成三角形，则实数k应满足的条件是________．解析：若点A，B，C能构成三角形，则向量eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(AC,\s\up7(→))不共线．∵eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\o(OC,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)，∴1×(k＋1)－2k≠0，解得k≠1.答案：k≠18.给定两个长度为1的平面向量eq\o(OA,\s\up7(→))和eq\o(OB,\s\up7(→))，它们的夹角为120°.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动．若eq\o(OC,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是________．解析：以O为坐标原点，OA所在的直线为x轴，eq\o(OA,\s\up7(→))的方向为x轴的正方向，建立平面直角坐标系(图略)，则可知A(1，0)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，设C(cosα，sinα)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3)))))，则有x＝cosα＋eq\f(\r(3),3)sinα，y＝eq\f(2\r(3),3)sinα，所以x＋y＝cosα＋eq\r(3)sinα＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))，所以当α＝eq\f(π,3)时，x＋y取得最大值2.答案：29．平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．(1)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k.解：(1)由题意得(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－m＋4n＝3，,2m＋n＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(5,9)，,n＝\f(8,9).))(2)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，由题意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，解得k＝－eq\f(16,13).10．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＝eq\f(1,3)BC，E，F分别为线段AD与BC的中点．设eq\o(BA,\s\up7(→))＝a，eq\o(BC,\s\up7(→))＝b，试用a，b为基底表示向量eq\o(EF,\s\up7(→))，eq\o(DF,\s\up7(→))，eq\o(CD,\s\up7(→)).解：eq\o(EF,\s\up7(→))＝eq\o(EA,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BF,\s\up7(→))＝－eq\f(1,6)b－a＋eq\f(1,2)b＝eq\f(1,3)b－a，eq\o(DF,\s\up7(→))＝eq\o(DE,\s\up7(→))＋eq\o(EF,\s\up7(→))＝－eq\f(1,6)b＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)b－a))＝eq\f(1,6)b－a，eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\o(CF,\s\up7(→))＋eq\o(FD,\s\up7(→))＝－eq\f(1,2)b－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)b－a))＝a－eq\f(2,3)b.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1.如图，G是△OAB的重心，P，Q分别是边OA，OB上的动点，且P，G，Q三点共线．设eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(OQ,\s\up7(→))＝yeq\o(OB,\s\up7(→))，则eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝________.解析：∵点P，G，Q在一条直线上，∴eq\o(PG,\s\up7(→))＝λeq\o(PQ,\s\up7(→))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)≤λ≤\f(2,3))).∴eq\o(OG,\s\up7(→))＝eq\o(OP,\s\up7(→))＋eq\o(PG,\s\up7(→))＝eq\o(OP,\s\up7(→))＋λeq\o(PQ,\s\up7(→))＝eq\o(OP,\s\up7(→))＋λ(eq\o(OQ,\s\up7(→))－eq\o(OP,\s\up7(→)))＝(1－λ)eq\o(OP,\s\up7(→))＋λeq\o(OQ,\s\up7(→))＝(1－λ)xeq\o(OA,\s\up7(→))＋λyeq\o(OB,\s\up7(→))，①又∵G是△OAB的重心，∴eq\o(OG,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OM,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up7(→)).②而eq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(OB,\s\up7(→))不共线，∴由①②，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－λx＝\f(1,3)，,λy＝\f(1,3).))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＝3－3λ，,\f(1,y)＝3λ.))∴eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝3.答案：32．设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若eq\o(A1A3,\s\up7(→))＝λeq\o(A1A2,\s\up7(→))(λ∈R)，eq\o(A1A4,\s\up7(→))＝μeq\o(A1A2,\s\up7(→))(μ∈R)，且eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)＝2，则称A3，A4调和分割A1，A2.已知点C(c,0)，D(d,0)(c，d∈R)调和分割点A(0,0)，B(1,0)，则下面说法正确的是()A．C可能是线段AB的中点B．D可能是线段AB的中点C．C，D可能同时在线段AB上D．C，D不可能同时在线段AB的延长线上解析：选D根据已知得(c,0)－(0,0)＝λ[(1,0)－(0,0)]，即(c,0)＝λ(1,0)，从而得c＝λ.(d,0)－(0,0)＝μ[(1,0)－(0,0)]，即(d,0)＝μ(1,0)，得d＝μ.根据eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)＝2，得eq\f(1,c)＋eq\f(1,d)＝2.线段AB的方程是y＝0，x∈[0,1]．若C是线段AB的中点，则c＝eq\f(1,2)，代入eq\f(1,c)＋eq\f(1,d)＝2得，eq\f(1,d)＝0，此等式不可能成立，故选项A的说法不正确；同理选项B的说法也不正确；若C，D同时在线段AB上，则0<c≤1,0<d≤1，此时eq\f(1,c)≥1，eq\f(1,d)≥1，eq\f(1,c)＋eq\f(1,d)≥2，若等号成立，则只能c＝d＝1，根据定