2024年江苏省苏州市张家港市中考数学模拟试卷（4月份）　

第1页（共1页）2024年江苏省苏州市张家港市中考数学模拟试卷（4月份）一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．）1．（3分）的倒数是（）A． B． C． D．2．（3分）函数中自变量x的取值范围是（）A．x＞2 B．x＞﹣2 C．x≠﹣2 D．x＜﹣23．（3分）下列运算正确的是（）A．（a﹣b）2＝a2﹣b2 B．a9÷a3＝a3 C．（﹣3a3）2＝9a6 D．a2+a3＝a54．（3分）若x＝1是关于x的方程3x+a＝4的解，则a的值为（）A．7 B．1 C．﹣1 D．﹣75．（3分）某城市3月份某星期7天的最低气温如下（单位℃）：16，20，18，16，18，18，这组数据的中位数、众数分别是（）A．16，16 B．16，20 C．18，20 D．18，186．（3分）如图，在⊙O中，点A、B、C在圆上，∠ACB＝45°，⊙O的半径的长为2，则劣弧AB的长是（）A．2π B．π C． D．7．（3分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定的度数，得到△ADE．若点D在线段BC的延长线上，若∠B＝35°，则旋转的度数为（）A．100° B．110° C．145° D．55°8．（3分）如图1，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．点D从A出发，沿A﹣C﹣B运动到B点停止，过点D作DE⊥AB，垂足为E连接BD．设点D的运动路径长为x，△BDE的面积为y，若y与x的对应关系如图2所示，则a﹣b的值为（）A． B． C． D．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．）9．（3分）因式分解：4x2+4x+1＝．10．（3分）将数字12400000用科学记数法表示为．11．（3分）把一次函数y＝2x﹣1的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到的新图象对应的函数表达式是．12．（3分）已知圆锥的侧面积为15π，底面半径为3，则圆锥的高为．13．（3分）已知方程x2﹣5x+2＝0的两个解分别为x1、x2，则x1+x2的值为．14．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝10，点E在边BC上，DF⊥AE，垂足为F．若DF＝6，则线段EF的长为．15．（3分）如图，社小山的东侧炼A处有一个热气球，由于受西风的影响，以30m/min的速度沿与地面成75°角的方向飞行，20min后到达点C处，此时热气球上的人测得小山西侧点B处的俯角为30°，则小山东西两侧A，B两点间的距离为．16．（3分）如图，点A，B在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足C，D分别在x轴的正、负半轴上，CD＝k，已知AB＝2AC，E是AB的中点，且△BCE的面积是△ADE的面积的2倍，则k的值是．三、解答题（本大题共11小题，共82分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（5分）计算：．18．（5分）解方程：．19．（5分）解不等式组：．20．（6分）先化简，再求值：（﹣x﹣1）÷，其中x＝3．21．（6分）如图，已知A，D，C，E在同一直线上，BC和DF相交于点O，AD＝CE，AB∥DF，AB＝DF．（1）求证：△ABC≌△DFE；（2）连接CF，若∠BCF＝54°，∠DFC＝20°，求∠DFE的度数．22．（6分）在一个不透明的盒子里装有4个小球，它们的形状、大小、质地等完全相同，其中红球分别写有数字1，2，白球分别写有数字3，4．先从盒子里随机取出一个小球，记下数字后不再放回盒子，摇匀后再随机取出一个小球，记下数字．（1）第一次取出恰为写有数字2的小球的概率为；（2）请你用列表法或树状图的方法（只选其中一种）求出两次取出小球上的数字之积为奇数的概率．23．（8分）为了解某校初三学生英语口语检测成绩等级的分布情况，随机抽取了该校若干名学生的英语口语检测成绩，按A，B，C，D四个等级进行统计分析，并绘制了如下尚不完整的统计图：请根据以上统计图提供的信息，解答下列问题：（1）本次抽取的学生有名；（2）补全条形统计图；（3）在抽取的学生中C级人数所扇形圆心角的度数为°；（4）根据抽样调查结果，请你估计某校880名初三学生英语口语检测成绩等级为C级的人数．24．（10分）随着“双减”政策的逐步落实，其中增加中学生体育锻炼时间的政策引发社会的广泛关注，体育用品需求增加，某商店决定购进A、B两种羽毛球拍进行销售，已知每副A种球拍的进价比每副B种球拍贵20元，用2800元购进A种球拍的数量与用2000元购进B种球拍的数量相同．（1）求A、B两种羽毛球拍每副的进价；（2）若该商店决定购进这两种羽毛球拍共100副，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100副羽毛球拍的资金不超过5900元，那么该商店最多可购进A种羽毛球拍多少副？（3）若销售A种羽毛球拍每副可获利润25元，B种羽毛球拍每副可获利润20元，在第（2）问条件下，如何进货获利最大？最大利润是多少元？25．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC．以AB为直径的圆O分别交AC，BC于点D，E．过点B作圆O的切线交OE的延长线于点F．（1）求证：OE∥AC；（2）如果AB＝10，AD＝6，求EF的长．26．（10分）定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图象的“平衡点”．例如，点（﹣1，1）是函数y＝x+2的图象的“平衡点”．（1）在函数①y＝﹣x+3，②y＝，③y＝﹣x2+2x+1，④y＝x2+x+7的图象上，存在“平衡点”的函数是；（填序号）（2）设函数y＝﹣（x＞0）与y＝2x+b的图象的“平衡点”分别为点A、B，过点A作AC⊥y轴，垂足为C．当△ABC为等腰三角形时，求b的值；（3）若将函数y＝x2+2x的图象绕y轴上一点M旋转180°，M在（0，﹣1）下方，旋转后的图象上恰有1个“平衡点”时，求M的坐标．27．（12分）如图1，抛物线y＝x2+bx+c经过A（0，3），B（4，3）两点，作BC垂直x轴于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点D是抛物线上一点，满足∠BOC＝∠OBD，求点D的坐标；（3）若点P为抛物线上一点，且在第四象限内．已知直线PA，PB与x轴分别交于E、F两点．当点P运动时，是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．

2024年江苏省苏州市张家港市中考数学模拟试卷（4月份）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．）1．（3分）的倒数是（）A． B． C． D．【分析】根据倒数的定义解答，乘积是1的两数互为倒数．【解答】解：﹣的倒数是，故选：D．【点评】本题考查了求倒数的方法，掌握求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置是解题的关键．2．（3分）函数中自变量x的取值范围是（）A．x＞2 B．x＞﹣2 C．x≠﹣2 D．x＜﹣2【分析】根据分式有意义分母不为0直接求解即可得到答案．【解答】解：由题意可得，x+2≠0，解得：x≠﹣2，故选：C．【点评】本题主要考了函数自变量的取值范围，涉及分式时要使分式有意义，保证分母不为0．3．（3分）下列运算正确的是（）A．（a﹣b）2＝a2﹣b2 B．a9÷a3＝a3 C．（﹣3a3）2＝9a6 D．a2+a3＝a5【分析】根据完全平方公式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方及同底数幂的除法进行解答．【解答】解：A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故不符合题意．B．a9÷a3＝a9﹣3＝a6，故不符合题意．C．（﹣3a3）2＝（﹣3）2×（a3）2＝9a6，故符合题意．D．a2与a3不是同类项，不能合并，故不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了完全平方公式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，属于基础题，熟记计算法则是解答本题的关键．4．（3分）若x＝1是关于x的方程3x+a＝4的解，则a的值为（）A．7 B．1 C．﹣1 D．﹣7【分析】把x＝1代入方程3x+a＝4，求解即可．【解答】解：把x＝1代入方程3x+a＝4得：3+a＝4，解得：a＝1．故选：B．【点评】本题考查一元一次方程的解的定义，熟练掌握方程的解是使等式成立的未知数的值，是解题的关键．5．（3分）某城市3月份某星期7天的最低气温如下（单位℃）：16，20，18，16，18，18，这组数据的中位数、众数分别是（）A．16，16 B．16，20 C．18，20 D．18，18【分析】根据中位数和众数的定义分别进行求解即可．【解答】解：把这些数从小到大排列为：16，16，18，18，18，20，则这组数据的中位数是＝18；∵18出现了3次，出现的次数最多，∴这组数据的众数是18；故选：D．【点评】此题考查了中位数和众数．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而做错．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数．6．（3分）如图，在⊙O中，点A、B、C在圆上，∠ACB＝45°，⊙O的半径的长为2，则劣弧AB的长是（）A．2π B．π C． D．【分析】先根据圆周角定理可得出∠AOB＝90°，再根据弧长公式计算即可．【解答】解：∵∠ACB＝45°，∴∠AOB＝2∠ACB＝90°，∵⊙O的半径是2，∴劣弧AB的长是＝π．故选：B．【点评】本题考查了弧长的计算以及圆周角定理，解题关键是掌握弧长公式．7．（3分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定的度数，得到△ADE．若点D在线段BC的延长线上，若∠B＝35°，则旋转的度数为（）A．100° B．110° C．145° D．55°【分析】先由旋转的性质得到AB＝AD，再根据等腰三角形的性质解答即可．【解答】解：由旋转的性质可知AB＝AD，∴∠B＝∠ADB＝35°，∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝110°，故旋转的度数为110°，故选：B．【点评】本题考查了旋转的性质和等腰三角形的性质，解题的关键是求出∠B＝∠ADB＝35°．8．（3分）如图1，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．点D从A出发，沿A﹣C﹣B运动到B点停止，过点D作DE⊥AB，垂足为E连接BD．设点D的运动路径长为x，△BDE的面积为y，若y与x的对应关系如图2所示，则a﹣b的值为（）A． B． C． D．【分析】当点D在AC上，利用△ADE∽△ACB，求出AE、DE，再求出BE，从而求出a，当点在BC上，利用△BDE∽△BAC，求出DE、BE，从而求出b，再计算a﹣b即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∵AC＝3，BC＝4，∴AB＝5，如图，当x＝2时，点D在AC上，∴AD＝2，∵∠A＝∠A，∠DEA＝∠C＝90°，∴△ADE∽△ACB，∴AD：AB＝DE：BC，即2：5＝DE：4，∴ED＝，∴AD：AB＝AE：AC，即2：5＝AE：3，∴AE＝，∴BE＝AB﹣AE＝，∴S△BDE＝××＝，即a＝，如图，当x＝5时，点D在BC上，∵AC+BC＝7，∴BD＝2，∵∠B＝∠B，∠BED＝∠C＝90°，∴△BDE∽△BAC，∴BD：AB＝DE：AC，即2：5＝DE：3，∴ED＝，∴BD：AB＝BE：BC，即2：5＝BE：4，∴BE＝，∴S△BDE＝××＝，即b＝，∴a﹣b＝﹣＝，故选：B．【点评】本题考查了动点问题的函数图形，合理的分析出动点的位置，准确利用相似求出各情况下的值是解题关键．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．）9．（3分）因式分解：4x2+4x+1＝（2x+1）2．【分析】根据公式法分解因式即可．【解答】解：原式＝（2x+1）2，故答案为：（2x+1）2．【点评】本题是对因式分解的考查，熟练掌握因式分解的公式法是解决本题的关键．10．（3分）将数字12400000用科学记数法表示为1.24×107．【分析】科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数；由此进行求解即可得到答案．【解答】解：12400000＝1.24×107．故答案为：1.24×107．【点评】本题主要考查了科学记数法的表示方法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键．11．（3分）把一次函数y＝2x﹣1的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到的新图象对应的函数表达式是y＝2x﹣4．【分析】根据函数图象上下平移的规律可求得答案．【解答】解：把一次函数y＝2x﹣1的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到的新图象对应的函数表达式是y＝2x﹣1﹣3＝2x﹣4，故答案为：y＝2x﹣4．【点评】本题主要考查函数图象的平移，掌握函数图象平移的规律是解题的关键，即“左加右减，上加下减”．12．（3分）已知圆锥的侧面积为15π，底面半径为3，则圆锥的高为4．【分析】设圆锥的母线长为l，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式得到•2π•3•l＝15π，然后求出l后利用勾股定理计算圆锥的高．【解答】解：设圆锥的母线长为l，根据题意得•2π•3•l＝15π，解得l＝5，所以圆锥的高＝＝4．故答案为4．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．13．（3分）已知方程x2﹣5x+2＝0的两个解分别为x1、x2，则x1+x2的值为5．【分析】利用韦达定理求出两根之和即可．【解答】解：∵方程x2﹣5x+2＝0的两个解分别为x1、x2，∴x1+x2＝5，故答案为：5．【点评】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．14．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝10，点E在边BC上，DF⊥AE，垂足为F．若DF＝6，则线段EF的长为3．【分析】证明△AFD∽△EBA，得到，求出AF，即可求出AE，从而可得EF．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD＝3，BC＝AD＝10，AD∥BC，∴∠AEB＝∠DAF，∴△AFD∽△EBA，∴，∵DF＝6，∴AF＝＝＝8，∴，∴AE＝5，∴EF＝AF﹣AE＝8﹣5＝3，故答案为：3．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．15．（3分）如图，社小山的东侧炼A处有一个热气球，由于受西风的影响，以30m/min的速度沿与地面成75°角的方向飞行，20min后到达点C处，此时热气球上的人测得小山西侧点B处的俯角为30°，则小山东西两侧A，B两点间的距离为600．【分析】作AD⊥BC于D，根据速度和时间先求得AC的长，在Rt△ACD中，求得∠ACD的度数，再求得AD的长度，然后根据∠B＝30°求出AB的长．【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D，在Rt△ACD中，∠ACD＝75°﹣30°＝45°，AC＝30×20＝600（米），∴AD＝AC•sin45°＝300（米）．在Rt△ABD中，∵∠B＝30°，∴AB＝2AD＝600（米）．故答案为：600．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角和俯角构造直角三角形并解直角三角形，难度适中．16．（3分）如图，点A，B在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足C，D分别在x轴的正、负半轴上，CD＝k，已知AB＝2AC，E是AB的中点，且△BCE的面积是△ADE的面积的2倍，则k的值是．【分析】过点B作直线AC的垂线交直线AC于点F，由△BCE的面积是△ADE的面积的2倍以及E是AB的中点即可得出S△ABC＝2S△ABD，结合CD＝k即可得出点A、B的坐标，再根据AB＝2AC、AF＝AC+BD即可求出AB、AF的长度，根据勾股定理即可算出k的值，此题得解．【解答】解：过点B作直线AC的垂线交直线AC于点F，如图所示．∵△BCE的面积是△ADE的面积的2倍，E是AB的中点，∴S△ABC＝2S△BCE，S△ABD＝2S△ADE，∴S△ABC＝2S△ABD，且△ABC和△ABD的高均为BF，∴AC＝2BD，又∵OC•AC＝OD•BD，∴OD＝2OC．∵CD＝k，∴点A的坐标为（，3），点B的坐标为（﹣，﹣），∴AC＝3，BD＝，∴AB＝2AC＝6，AF＝AC+BD＝，∴CD＝k＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、三角形的面积公式以及勾股定理，构造直角三角形利用勾股定理巧妙得出k值是解题的关键．三、解答题（本大题共11小题，共82分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（5分）计算：．【分析】根据算术平方根、有理数的乘方、绝对值的运算法则分别计算即可．【解答】解：＝5﹣4+3＝4．【点评】本题考查了实数的运算，熟练掌握算术平方根、有理数的乘方、绝对值的运算法则是解题的关键．18．（5分）解方程：．【分析】根据等式的性质，先去分母，再移项，最后把x的系数化成1．【解答】解：，2x+1＝1+x+3，2x﹣x＝1+3﹣1，x＝3．经检验x＝3是方程的解．【点评】本题考查了解分式方程，关键是去根据等式的性质去分母．19．（5分）解不等式组：．【分析】求出每个不等式的解集，找到公共部分即可．【解答】解：，解不等式①得，x＞﹣1，解不等式②得≤2，∴不等式组的解集是﹣1＜x≤2．【点评】此题考查了一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式的解法和不等式组解集的确定方法是解题的关键．20．（6分）先化简，再求值：（﹣x﹣1）÷，其中x＝3．【分析】先通分算括号内的，把除化为乘，化简后将x＝3代入计算即可．【解答】解：原式＝•＝﹣•＝﹣，当x＝3时，原式＝﹣＝﹣5．【点评】本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式的性质，将所求式子化简．21．（6分）如图，已知A，D，C，E在同一直线上，BC和DF相交于点O，AD＝CE，AB∥DF，AB＝DF．（1）求证：△ABC≌△DFE；（2）连接CF，若∠BCF＝54°，∠DFC＝20°，求∠DFE的度数．【分析】（1）由平行线的性质得∠A＝∠FDE，根据等式的性质可得AC＝DE，再由SAS证明△ABC≌△DFE即可；（2）先根据三角形的外角可得∠DOC＝74°，由平行线的性质可得∠B＝∠DOC，最后由全等三角形的性质可得结论．【解答】（1）证明：∵AB∥DF，∴∠A＝∠EDF，∵AD＝CE，∴AD+CD＝CE+CD，即AC＝DE，在△ABC和△DFE中，，∴△ABC≌△DFE（SAS）；（2）解：∵∠BCF＝54°，∠DFC＝20°，∴∠DOC＝∠BCF+∠DFC＝54°+20°＝74°，∵AB∥DF，∴∠B＝∠DOC＝74°，∵△ABC≌△DFE，∴∠DFE＝∠B＝74°．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，证明三角形全等是解题的关键．22．（6分）在一个不透明的盒子里装有4个小球，它们的形状、大小、质地等完全相同，其中红球分别写有数字1，2，白球分别写有数字3，4．先从盒子里随机取出一个小球，记下数字后不再放回盒子，摇匀后再随机取出一个小球，记下数字．（1）第一次取出恰为写有数字2的小球的概率为；（2）请你用列表法或树状图的方法（只选其中一种）求出两次取出小球上的数字之积为奇数的概率．【分析】（1）直接利用概率公式可得答案．（2）画树状图得出所有等可能的结果数以及两次取出小球上的数字之积为奇数的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：（1）由题意得，第一次取出恰为写有数字2的小球的概率为．故答案为：．（2）列表如下：12341（1，2）（1，3）（1，4）2（2，1）（2，3）（2，4）3（3，1）（3，2）（3，4）4（4，1）（4，2）（4，3）共有12种等可能的结果，其中两次取出小球上的数字之积为奇数的结果有：（1，3），（3，1），共2种，∴两次取出小球上的数字之积为奇数的概率为＝．【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．23．（8分）为了解某校初三学生英语口语检测成绩等级的分布情况，随机抽取了该校若干名学生的英语口语检测成绩，按A，B，C，D四个等级进行统计分析，并绘制了如下尚不完整的统计图：请根据以上统计图提供的信息，解答下列问题：（1）本次抽取的学生有100名；（2）补全条形统计图；（3）在抽取的学生中C级人数所扇形圆心角的度数为108°；（4）根据抽样调查结果，请你估计某校880名初三学生英语口语检测成绩等级为C级的人数．【分析】（1）根据A等级的人数和所占的百分比即可求出总人数；（2）用总人数乘以B等级所占的百分比，即可补全统计图；（3）根据统计图中的数据可以求得在抽取的学生中C级人数所所对应扇形的圆心角度数；（4）用某校860名初三学生乘以A等级所占的百分比，即可得出答案．【解答】解：（1）本次抽取的学生有＝100（名）．故答案为：100；（2）B等级的人数是：100×25%＝25（名）．补图如下：（3）在抽取的学生中C级人数所所对应扇形的圆心角度数为：360°×＝108°，故答案为：108；（4）根据题意得：880×30%＝264（名）．答：估计某校880名初三学生英语口语检测成绩等级为C级的人数是264名．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．24．（10分）随着“双减”政策的逐步落实，其中增加中学生体育锻炼时间的政策引发社会的广泛关注，体育用品需求增加，某商店决定购进A、B两种羽毛球拍进行销售，已知每副A种球拍的进价比每副B种球拍贵20元，用2800元购进A种球拍的数量与用2000元购进B种球拍的数量相同．（1）求A、B两种羽毛球拍每副的进价；（2）若该商店决定购进这两种羽毛球拍共100副，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100副羽毛球拍的资金不超过5900元，那么该商店最多可购进A种羽毛球拍多少副？（3）若销售A种羽毛球拍每副可获利润25元，B种羽毛球拍每副可获利润20元，在第（2）问条件下，如何进货获利最大？最大利润是多少元？【分析】（1）设A种羽毛球拍每副的进价为x元，根据用2800元购进A种球拍的数量与用2000元购进B种球拍的数量相同，列分式方程，求解即可；（2）设该商店购进A种羽毛球拍m副，根据购买这100副羽毛球拍的资金不超过5900元，列一元一次不等式，求解即可；（3）设总利润为w元，表示出w与m的函数关系式，根据一次函数的性质即可确定如何进货总利润最大，并进一步求出最大利润即可．【解答】解：（1）设A种羽毛球拍每副的进价为x元，根据题意，得，解得x＝70，经检验，x＝70是原分式方程的根，且符合题意，70﹣20＝50（元），答：A种羽毛球拍每副的进价为70元，B种羽毛球拍每副的进价为50元；（2）设该商店购进A种羽毛球拍m副，根据题意，得70m+50（100﹣m）≤5900，解得m≤45，m为正整数，答：该商店最多购进A种羽毛球拍45副；（3）设总利润为w元，w＝25m+20（100﹣m）＝5m+2000，∵5＞0，∴w随着m的增大而增大，当m＝45时，w取得最大值，最大利润为5×45+2000＝2225（元），此时购进A种羽毛球拍45副，B种羽毛球拍100﹣45＝55（副），答：购进A种羽毛球拍45副，B种羽毛球拍55副时，总获利最大，最大利润为2225元．【点评】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意并根据题意建立相应的关系式是解题的关键．25．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC．以AB为直径的圆O分别交AC，BC于点D，E．过点B作圆O的切线交OE的延长线于点F．（1）求证：OE∥AC；（2）如果AB＝10，AD＝6，求EF的长．【分析】（1）由等腰三角形的性质证出∠C＝∠OEB，由平行线的判定可得出结论；（2）由勾股定理求出BD＝8，由垂径定理求出BM＝4，得出sin∠OBM＝＝，证出∠OBM＝∠F，得出sinF＝＝，则可得出答案．【解答】（1）证明：∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB，又∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∴∠C＝∠OEB，∴OE∥AC；（2）解：连接BD，交OF于M，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，在Rt△ABD中，AB＝10，AD＝6，∴BD＝＝＝8，∵OE∥AC，AD⊥BD，∴OE⊥BD，∴BM＝DM＝BD＝4，在Rt△BOM中，OM＝＝＝3，∴sin∠OBM＝＝，∵BF为⊙O的切线，∴OB⊥BF，∴∠OBF＝90°，∴∠BOF+∠F＝90°，∵∠OBM+∠BOM＝90°，∴∠OBM＝∠F，∴sinF＝＝，∴＝，∴OF＝，∴EF＝OF﹣OE＝﹣5＝．【点评】本题考查了切线的性质，垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．26．（10分）定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图象的“平衡点”．例如，点（﹣1，1）是函数y＝x+2的图象的“平衡点”．（1）在函数①y＝﹣x+3，②y＝，③y＝﹣x2+2x+1，④y＝x2+x+7的图象上，存在“平衡点”的函数是③；（填序号）（2）设函数y＝﹣（x＞0）与y＝2x+b的图象的“平衡点”分别为点A、B，过点A作AC⊥y轴，垂足为C．当△ABC为等腰三角形时，求b的值；（3）若将函数y＝x2+2x的图象绕y轴上一点M旋转180°，M在（0，﹣1）下方，旋转后的图象上恰有1个“平衡点”时，求M的坐标．【分析】（1）在y＝﹣x+3中，令y＝﹣x得﹣x＝﹣x+3，方程无解，可知y＝﹣x+3的图象上不存在“平衡点”；同理可得y＝，y＝x2+x+7的图象上不存在“平衡点”，y＝﹣x2+2x+1的图象上存在“平衡点”；（2）在y＝﹣中，令y＝﹣x得A（2，﹣2）或（﹣2，2）；在y＝2x+b中，令y＝﹣x得B（﹣，），当A（2，﹣2）时，C（0，﹣2），可得AB2＝2（2+）2，BC2＝+（2+）2，AC2＝4，分三种情况列方程可得答案；（3）设M（0，m），m＜﹣1，求出抛物线y＝x2+2x的顶点为（﹣1，﹣1），而点（﹣1，﹣1）关于M（0，m）的对称点为（1，2m+1），可得旋转后的抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+2m+1＝﹣x2+2x+2m，令y＝﹣x得x2﹣3x﹣2m＝0，根据旋转后的图象上恰有1个“平衡点”，知x2﹣3x﹣2m＝0有两个相等实数根，故9+8m＝0，m＝﹣，从而得M的坐标为（0，﹣）．【解答】解：（1）根据“平衡点”的定义，“平衡点”的横、纵坐标互为相反数，在y＝﹣x+3中，令y＝﹣x得﹣x＝﹣x+3，方程无解，∴y＝﹣x+3的图象上不存在“平衡点”；同理可得y＝，y＝x2+x+7的图象上不存在“平衡点”，y＝﹣x2+2x+1的图象上存在“平衡点”；故答案为：③；（2）在y＝﹣中，令y＝﹣x得﹣x＝﹣，解得x＝2或x＝﹣2，∵x＞0，∴A（2，﹣2）；在y＝2x+b中，令y＝﹣x得﹣x＝2x+b，解得x＝﹣，∴B（﹣，），当A（2，﹣2）时，C（0，﹣2），∴AB2＝2（2+）2，BC2＝+（2+）2，AC2＝4，若AB＝BC，则2（2+）2＝+（2+）2，解得b＝﹣3；若AB＝AC，则2（2+）2＝4，解得b＝﹣3﹣6或b＝3﹣6；若BC＝AC，则+（2+）2＝4，解得b＝0或b＝﹣6（此时A，B重合，舍去）；∴b的值为﹣3或﹣3﹣6或3﹣6或0；（3）设M（0，m），m＜﹣1，∵y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，∴抛物线y＝x2+2x的顶点为（﹣1，﹣1），点（﹣1，﹣1）关于M（0，m）的对称点为（1，2m+1），∴旋转后的抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+2m+1＝﹣x2+2x+2m，在y＝﹣x2+2x+2m中，令y＝﹣x得：﹣x＝﹣x2+2x+2m，∴x2﹣3x﹣2m＝0，∵旋转后的图象上恰有1个“平衡点”，∴x