2020年四川省达州市中考数学试卷 （解析版）

2020年四川省达州市中考数学试卷

一、选择题

1.人类与病毒的斗争是长期的，不能松懈.据中央电视台报道，截止北京时间2020年6

月30日凌晨，全球新冠肺炎患者确诊病例达到1002万.1002万用科学记数法表示，正

确的是（）

A.1.002X107B.1.002X106

C.1002X104D.1.002X1()2万

2.下列各数中，比3大比4小的无理数是（）

A.3.14B.C..]2D.y/17

3.下列正方体的展开图上每个面上都有一个汉字.其中，手的对面是口的是（）

4.下列说法正确的是（）

A.为了解全国中小学生的心理健康状况，应采用普查

B.确定事件一定会发生

C.某校6位同学在新冠肺炎防疫知识竞赛中成绩分别为98、97、99、99、98、96,那

么这组数据的众数为98

D.数据6、5、8、7、2的中位数是6

5.图2是图1中长方体的三视图，用S表示面积，S±=f+3x,S比=*2+/则S<»=)

主视图左视图

Xj口X

I1)1

正面俯视图

图1图2

A.X2+3X+2B.X2+2X+1C.X2+4X+3D.2X2+4X

6.如图，正方体的每条棱上放置相同数目的小球,设每条棱上的小球数为，%下列代数式

表示正方体上小球总数，则表达错误的是（)

B.4/n+8(m-2)C.12(/n-2)+8D.12m-16

7.中国奇书《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”.如

图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满5进1,用来记录孩子自出生后的

天数.由图可知，孩子自出生后的天数是（）

A.10B.89C.165D.294

8.如图，在半径为5的00中，将劣弧A3沿弦A8翻折，使折叠后的窟恰好与04、OB

相切，则劣孤48的长为（）

9.如图，直线力=«*与抛物线y2=Gc，》x+c交于4、8两点，则（b-k）x+c的

图象可能是（）

10.如图，ZBOD=45°,80=00,点4在。8上，四边形ABCD是矩形,连接AC、

80交于点E,连接0E交AO于点F.下列4个判断：①0E平分NBOO;@0F=BD;

③。尸=扬尸；④若点G是线段。尸的中点，则△AEG为等腰直角三角形.正确判断

的个数是（）

A.4B.3C.2D.1

二、填空题（每小题3分，共18分）

11.2019年是中华人民共和国成立70周年，天安门广场举行了盛大的国庆阅兵式和群众游

行活动.其中，群众游行队伍以“同心共筑中国梦”为主题，包含有“建国创业”“改

革开放”“伟大复兴”三个部分，某同学要统计本班学生最喜欢哪个部分，制作扇形统

计图.以下是打乱了的统计步骤：

①绘制扇形统计图

②收集三个部分本班学生喜欢的人数

③计算扇形统计图中三个部分所占的百分比

其中正确的统计顺序是

12.如图，点尸(-2,1)与点。(a,b)关于直线1(j=-1)对称，则a+b=

-2O\x

13.小明为测量校园里一颗大树A8的高度，在树底部3所在的水平面内，将测角仪C。竖

直放在与8相距8%的位置，在。处测得树顶4的仰角为52°.若测角仪的高度是1m,

则大树A5的高度约为.(结果精确到加.参考数据：sin52°«0.78,cos520

=0.61,tan52°«1.28)

Df---

C'——

19

14.如图，点4、5在反比函数的图象上，4、B的纵坐标分别是3和6,连接。4、

OB,则△043的面积是

6

15.已知△4BC的三边a、b、c满足Z>+|c-3|+J-8a=4后石-19,则△ABC的内切圆半

径=.

16.已知k为正整数，无论k取何值，直线I]：y=kx+k+l与直线L：y=(«+Dx+k+2

都交于一个固定的点，这个点的坐标是;记直线L和12与x轴围成的三角形面

积为S&,则Si=,&+S2+S3+…+S100的值为.

三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步豚(共72分)

17.计算：-2?+"+(IT-。+，-]25。

18.求代数式(丝工-x-l)+；乙—的值，其中x=、&4.

X-1X-2x+l

19.如图，点。在N48C的边8c'上，以08为半径作。。，NA5C的平分线aW交。0

于点。，过点。作Z)E_LBA于点E.

(1)尺规作图(不写作法，保留作图痕迹)，补全图形;

(2)判断OO与。E交点的个数，并说明理由.

20.争创全国文明城市，从我做起.尚理中学在八年级开设了文明礼仪校本课程，为了解

学生的学习情况，随机抽取了20名学生的测试成绩，分数如下：

948390869488961008982

94828489889398949392

整理上面的数据，得到频数分布表和扇形统计图：

等级成绩/分须数

A950W100a

B900V958

C850V905

D800V854

根据以上信息，解答下列问题.

(1)填空：a=,b=;

(2)若成绩不低于90分为优秀，估计该校1200名八年级学生中，达到优秀等级的人数；

(3)已知A等级中有2名女生，现从A等级中随机抽取2名同学，试用列表或画树状

图的方法求出恰好抽到一男一女的概率.

21.如图，△ABC中，BC=2AB,E分别是边8C、AC的中点.将△£!)£绕点E旋转

180度，得△APE.

(1)判断四边形ABO尸的形状，并证明；

(2)已知4B=3,AD+BF=S,求四边形A8D尸的面积S.

22.某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如下表:

原进价(元/张)零售价(元/张)成套售价(元/套)

餐桌a380940

餐椅d-140160

已知用600元购进的餐椅数量与用1300元购进的餐桌数量相同.

(1)求表中a的值；

(2)该商场计划购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍还多20张，且餐桌和餐椅的总数量

不超过200张.若将一半的餐桌成套(一张餐桌和四张餐椅配成一套)销售，其余餐桌、

餐椅以零售方式销售，请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利洞是多少？

23.如图，在梯形ABC。中，AB//CD,NB=90°,AB=6cm,CD=2cm.P为线段BC

上的一动点，且和8、C不重合，连接E4,过点尸作尸交射线CD于点E.聪聪

根据学习函数的经验，对这个问题进行了研究：

(1)通过推理，他发现△48Ps^PCE,请你帮他完成证明.

(2)利用几何画板，他改变5c的长度，运动点尸，得到不同位置时，CE、的长度

的对应值：

这说明，点尸在线段上运动时，要保证点E总在线段CZ)上，5c的长度应有一定的

限制.

①填空：根据函数的定义，我们可以确定，在BP和CE的长度这两个变量中，的

长度为自变量，的长度为因变量；

②设BC=mc，"，当点P在线段8c上运动时，点E总在线段CD上，求，”的取值范围.

24.（1）［阅读与证明］

如图1,在正△ABC的外角NCA”内引射线AM,作点C关于AM的对称点E（点E在

NC4H内），连接BE,BE.CE分别交4W于点F、G.

①完成证明：•.,点E是点C关于AM的对称点，

AZAGE=90°,AE=AC,Z1=Z2.

•.•正△48C中，ZBAC=60°,AB=AC,

：.AE=AB,得N3=N4.

在△ABE中，N1+N2+60。+N3+N4=180。,，Nl+N3=°.

在△AEG中，ZFEG+Z3+Z1=9O",：.ZFEG=°.

②求证：BF=AF+2FG.

（2）［类比与探究］

把（1）中的“正△ABC”改为“正方形A5OC”，其余条件不变，如图2.类比探究，

可得：

①NFEG=°;

②线段8尸、AF,FG之间存在数量关系.

（3）［归纳与拓展］

如图3,点A在射线3“上，AB=AC,ZBAC=a（0°<a<180°）,在NCAH内引

射线AM,作点C关于AM的对称点E（点E在NC4”内），连接BE,BE、CE分别

交AM于点尸、G.则线段BEAF.GF之间的数量关系为.

25.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=%-2与x轴交于点A,与y轴交于点

B,过4、5两点的抛物线yuaf+bx+c与x轴交于另一•点C(-1,0).

(1)求抛物线的解析式；

(2)在抛物线上是否存在一点尸，像SAPAB=SA(MB?若存在，请求出点尸的坐标，若不

存在，请说明理由；

(3)点M为直线A5下方抛物线上一点，点N为y轴上一点，当AMAB的面积最大时,

求MN+%W的最小值.

参考答案

一、单项选择题（每小题3分，共30分）

1.人类与病毒的斗争是长期的，不能松懈.据中央电视台报道，截止北京时间2020年6

月30日凌晨，全球新冠肺炎患者确诊病例达到1002万.1002万用科学记数法表示，正

确的是（）

A.1.002X107B.1.002X106

C.1002X104D.1.002X1（）2万

【分析】科学记数法的表示形式为“X10”的形式，其中lW|a|<10,"为整数.确定n

的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，”的绝对值与小数点移动的位数

相同.当原数绝对值大于10时，“是正数；当原数的绝对值小于1时，〃是负数.

解：1002万用科学记数法表示为1.002X1（）7,

故选：A.

2.下列各数中，比3大比4小的无理数是（）

A.3.14B.当C.^/12D.777

【分析】由于带根号的要开不尽方是无理数，无限不循环小数为无理数，根据无理数的

定义即可求解.

解：3=79，4=A/16»

A、3.14是有理数，故此选项不合题意；

3、当是有理数，故此选项不符合题意；

c、J适是比3大比4小的无理数，故此选项符合题意；

。、J万比4大的无理数，故此选项不合题意；

故选：C.

3.下列正方体的展开图上每个面上都有一个汉字.其中，手的对面是口的是（）

勤洗手

戴口罩

【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题.

解：4、手的对面是勤，不符合题意；

8、手的对面是口，符合题意；

C、手的对面是罩，不符合题意；

。、手的对面是罩，不符合题意；

故选：B.

4.下列说法正确的是（）

A.为了解全国中小学生的心理健康状况，应采用普查

B.确定事件一定会发生

C.某校6位同学在新冠肺炎防疫知识竞赛中成绩分别为98、97、99、99、98、96,那

么这组数据的众数为98

D.数据6、5、8、7、2的中位数是6

【分析】根据抽样调查与普查的区别、确定性事件的概念、众数和中位数的定义逐一求

解可得.

解：A.为了解全国中小学生的心理健康状况，应采用抽样调查，此选项错误；

B.确定事件一定会发生，或一定不会发生，此选项错误；

C.某校6位同学在新冠肺炎防疫知识竞赛中成绩分别为98、97、99、99、98、96,那

么这组数据的众数为98和99,此选项错误；

D.数据6、5、8、7、2的中住数是6,此选项正确；

故选：D.

5.图2是图1中长方体的三视图，用S表示面积，S±=f+3x,S比=*2+/则S<»=)

主视图左视图

j口

IIXZ)

正面俯视图

A.x+3x+2B.x'+2x+lC.x+4x+3D.2X2+4X

【分析】由主视图和左视图的宽为x,结合两者的面积得出俯视图的长和宽，从而得出

答案.

解：Si.=x2+3x=x(x+3),SA=X2+X=X(X+1),

俯视图的长为x+3,宽为x+1,

则俯视图的面积S«t=(x+3)(x+1)=X2+4X+3,

故选：C.

6.如图，正方体的每条棱上放置相同数目的小球，设每条棱上的小球数为，"，下列代数式

表示正方体上小球总数，则表达错误的是()

A.12(/n-1)B.4"?+8(/n-2)C.12(m-2)+8D.12/n-16

【分析】正方体有12条棱，每条棱上的小球数为m,则有12m个小球，而每个顶点处

的小球重复计算2次，则正方形边上的所有小球的个数为12m-8X2=12/n-16,再将

各选项化简即可.

解：由题意得，当每条棱上的小球数为mBf,正方体上的所有小球数为12/n-8X2=12/n

-16.

而12(wi-1)=12/n-12#=12/n-16,4»i+8(m-2)=12m-16,12(m-2)+8=

12m-16,

所以A选项表达错误，符合题意；

3、C、。选项表达正确，不符合题意；

故选：A.

7,中国奇书《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”.如

图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满5进1,用来记录孩子自出生后的

天数.由图可知，孩子自出生后的天数是（）

A.10B.89C.165D.294

【分析】根据计数规则可知，从右边第为的计数单位为5°,右边第2位的计数单位为5）

右边第3位的计数单位为52,右边第4位的计数单位为5?……依此类推，可求出结果.

解：2X53+1X52+3X5'+4X5n=294,

故选：D.

8.如图，在半径为5的。。中，将劣弧A8沿弦A7?翻折，便折叠后的窟恰好与。4、OB

相切，则劣弧A8的长为（）

A.-~TCB.~1TC.-~7TD.-^-TT

【分析】作O点关于4B的对称点O',连接O'4、O'B,如图，利用对称的性质得

至404=08=0'A=O'B,则可判断四边形040'8为菱形，再根据切线的性质得到

O'A±OA,O'B±OB,则可判断四边形OA。'8为正方形，然后根据弧长公式求解.

解：如图，作。点关于A8的对称点0',连接O'A、O'B,

"：OA=OB=O'A=0'B,

四边形OAO'8为菱形，

•.•折叠后的窟与04、0B相切，

：.O'AA-OA,O'BLOB,

四边形040，8为正方形，

/.ZAOB=90°,

，劣弧A8的长=吃」至=禁.

1802

故选：B.

B

2

9.如图，直线yi=Ax与抛物线？2=G^+加c+c交于A、B两点,则丁=。％2+(b-k)x+c的

【分析】根据题意和题目中给出的函数图象，可以得到函数y=af+(b-k)x+c的大致

图象，从而可以解答本题.

解：设尸儿一力，

=2

Vji=Ax,y2ax+bx+c,

,\y=ax2+(.b-k)x+c,

由图象可知，在点A和点3之间，y>(),在点A的左侧或点B的右侧，j<0,

故选项8符合题意，选项A、C、O不符合题意；

故选：B.

10.如图，ZBOD=45°,80=00,点A在08上，四边形ABCD是矩形,连接AC、

80交于点E,连接0E交AZ)于点F.下列4个判断：①0£平分N30Q;②0F=BD;

③。尸=扬尸；④若点G是线段。尸的中点，则△AEG为等腰直角三角形.正确判断

的个数是()

D

A.4B.3C.2D.1

【分析】由矩形得E6=ED=EA,N34。为直角，再由等腰三角形的三线合一性质可判

断①的正误；证明△A0厂义△AB。，便可判断②的正误；连接由线段的垂直平分

线得3F=O产，由前面的三角形全等得4尸=A3,进而便可判断③的正误；由直角三角

形斜边上的中线定理得AG=OG,进而求得NAGE=45°,由矩形性质得EO=EA,进

而得NEAD=22.5°,再得NEAG=90°,便可判断④的正误.

解：①・・•四边形A3C0是矩形，

:・EB=ED,

,:BO=DO,

；.OE平分/BOD,

故①正确；

②V四边形ABCD是矩形,

：.ZOAD=ZBAD=90°,

/.ZABD+ZADB=90°,

•：OB=OD,BE=DE9

：・OE工BD,

，N30E+N05£=90°,

工NBOE=NBDA,

VZfiOD=45°,N0AD=9Q°,

AZADO=45°,

：.AO=AD9

:•△A0F94ABD(ASA),

：・OF=BD,

故②正确；

③「△AOFHABD,

：.AF=ABf

连接3尸，如图1,

'：BE=DE,OE±BD,

：.DF=BF,

.••。尸=我阳

故③正确；

④根据题意作出图形，如困2,

：.AG=OG,

:.ZAOG=ZOAG9

VZAOD=45°,OE平分NAOD,

：.ZAOG=ZOAG=22.5°,

AZFAG=67.5°,ZADB=ZAOF=22.5°,

・・•四边形ABC。是矩形，

:・EA=ED,

：.ZEAD=ZEDA=22.5°,

/.ZEAG=90",

VZAGE=ZAOG+ZOAG=45",

：.ZAEG=45°,

:.AE=AG9

•••△AEG为等腰直角三角形，

故④正确;

故选：D.

二、填空题(每小题3分，共18分)

11.2019年是中华人民共和国成立70周年，天安门广场举行了盛大的国庆阅兵式和群众游

行活动.其中，群众游行队伍以“同心共筑中国梦”为主题，包含有“建国创业”“改

革开放”“伟大复兴”三个部分，某同学要统计本班学生最喜欢哪个部分，制作扇形统

计图.以下是打乱了的统计步骤：

①绘制扇形统计图

②收集三个部分本班学生喜欢的人数

③计算扇形统计图中三个部分所占的百分比

其中正确的统计顺序是②③①.

【分析】根据扇形统计图的制作步骤求解可得.

解：正确的统计顺序是：

②收集三个部分本班学生喜欢的人数；

③计算扇形统计图中三个部分所占的百分比；

①绘制扇形统计图；

故答案为：②③①.

12.如图，点尸(-2,1)与点。(a,b)关于直线1(y=-1)对称，则a+b=-5.

【分析】利用轴对称的性质求出等。的坐标即可.

解：:•点尸(-2,1)与点。(a,b)关于直线1(j=-l)对称，

•*.tz=-2,b=-3,

:.a+b=-2-3=-5,

故答案为-5.

13.小明为测量校园里一颗大树A6的高度，在树底部6所在的水平面内，将测角仪CO竖

直放在与5相距8m的位置，在Z)处测得树顶A的仰角为52°.若测角仪的高度是L%

则大树4B的高度约为(结果精确到加.参考数据：sin52°弋0.78,cos52°»

0.61,tan52°«1.28)

【分析】过点。作。EJ_A5,构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，求出4E,

进而求出A3即可.

解：如图，过点。作OE_LAB,垂足为E,由题意得，BC=DE=S,ZADE=52e,DE

=CD=1

在RtZiAOE中，AD=DE・tanZAD£=8Xtan52°~10.24,

.*.AB=AE+BE=10.24+l«ll(米)

故答案为：11.

io

14.如图，点4、8在反比函数的图象上，4、8的纵坐标分别是3和6,连接。4、

x

0B,则△0A8的面积是9.

【分析】根据图象上点的坐标特征求得A、8的坐标，将三角形A03的面积转化为梯形

A8E。的面积，根据坐标可求出梯形的面积即可，

10

解：•.•点4、3在反比函数y=士的图象上，A、〃的纵坐标分别是3和6,

x

：.A(4,3),B(2,6),

作AOLy轴于O,8E_Ly轴于E,

:.SAAOD=SABOE=±X12=6,

,：S40AB=SAAOD+SABED-S&BOE=S»f)ABED,

S^AOH=~(4+2)X(6—3)=9,

15.已知△ABC的三边“、b、c满足〃+|c-3|+a2-8a=4c二i-19,则△ABC的内切圆半

径=1.

【分析】由非负性可求a,b,c的值，由勾股定理的逆定理可证△A8C是直角三角形，

NA8C=90°,由面积法可求△A5C的内切圆半径.

解：'：b+\c-3\+a-8a=4Vb<-

|c-3|+(a-4)〜+(Jb-1-2)2=0,

；.c=3,a=4,b=5,

V32+42=25=52,

^.c2+a1=b2,

.♦.△ABC是直角三角形，NA8C=9()°,

设内切圆的半径为r,

根据题意，得SAABC=/x3X4=/x3Xr+aX4Xr+^XrX5,

r—1,

故答案为：L

16.已知k为正整数，无论k取何值，直线li：y=kx+k+l与直线)=(攵+1)x+k+2

都交于一个固定的点，这个点的坐标是(-1,1)；记直线L和12与X轴围成的三

1rn

角形面积为则Si=丁，S1+S2+S3+…+S100的值为.

-4——101—

【分析】变形解析式得到两条直线都经过点(-1,1),即可证出无论我取何值，直线

/］与L的交点均为定点(T,1);先求出y=Ax+4+l与x轴的交点和y=(k+1)x+k+2

与x轴的交点坐标，再根据三角形面积公式求出Sk,求出S1=—X(1--)=—,S

2242

=~^~X(£—,以此类推Sioo=["X1工)，相加后得到1

—X(1-■).

loo1012101

解：,直线li：y=kx+k+l=k(x+1)+1,

二直线L：y=(*+l)x+A+2经过点(-1,D;

,直线12：J=(jl+1)x+k+2=k(x+1)+(x+1)+1=(k+1)(x+1)+1,

，直线12：y=(Jt+1)x+A+2经过点(-1,1).

...无论A取何值，直线与，2的交点均为定点（-1,1）.

,直线li：y=Ax+a+I与x轴的交点为（-誓。），

k

直线h：y=（A+l）x+4+2与x轴的交点为（-詈，0）,

k+1

哈雷

•**X|一Xl=^p

11

X

1X24'

:.S1+S2+S3+…+$00=L{---~11

T1X22X3100x101

=手(1-2)+(2^+•••+(11）］

100101

4x-

4X期

2101

_50

一而，

故答案为（-1,1）；4；50

4101

三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共72分）

17.计算：-2、2+（TT--^5）°+^y_|25-

【分析】直接利用零指数瓶的性质和立方根的性质、负整数指数幕的性质分别化简得出

答案.

解：原式=-4+9+1-5

18.求代数式（空L-x-1）+J2_的值其中*=扬1.

x-lx-2x+l

【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得.

.-一2

解：原式=（2x-l.

x-lX-l(x-l)2

x-2

(x-l)2

_~x（x-2）.（x-1产

x-1x-2

=-x（x-1）

当x=J分1时，

原式=-（V2+-1）（扬1-1）

=-（后1）X&

=-2-

19.如图，点。在NA3C的边8c上，以QB为半径作。。，NA3C的平分线交

于点D,过点D作DE±BA于点E.

（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹），补全图形；

（2）判断与OE交点的个数，并说明理由.

【分析】（1）根据要求，利用尺规作出图形即可.

（2）证明直线AE是00的切线即可解决问题.

解：（1）如图，。0,射线BM,直线OE即为所求.

（2）直线。E与。0相切，交点只有一个.

理由：'：OB=OD,

:.Z0DB=Z0BD,

'：BD^-^ZABC,

：.ZABM=ZCBM,

：.Z0DB=ZABD,

J.OD//AB,

'：DE±AB,

：.AE1.OD,

，直线AE是OO的切线，

与直线AE只有一个交点.

20.争创全国文明城市，从我做起.尚理中学在八年级开设了文明礼仪校本课程，为了解

学生的学习情况，随机抽取了20名学生的测试成绩，分数如下：

948390869488961008982

94828489889398949392

整理上面的数据，得到频数分布表和扇形统计图：

等级成绩/分频数

A950W100a

B90Wx<958

C85Wx<905

D8O0V854

根据以上信息，解答下列问题.

(1)填空：a=3,b—40;

(2)若成绩不低于90分为优秀，估计该校1200名八年级学生中，达到优秀等级的人数；

(3)已知A等级中有2名女生，现从A等级中随机抽取2名同学，试用列表或画树状

图的方法求出恰好抽到一男一女的概率.

【分析】(1)由四个等级的人数之和等于总人数可得a的值，利用百分比的概念可得5

的值；

(2)用总人数乘以样本中4、8等级人数和所占比例即可得；

(3)列表得出所有等可能的情况数，找出一男一女的情况数，即可求出所求的概率.

O

解：(1)由题意知a=20-(8+5+4)=3,/»%=—X100%=40%,即方=40;

故答案为：3、40;

（2）估计该校1200名八年级学生中，达到优秀等级的人数为1200X法~=660（人）；

（3）列表如下:

男女女

男（男，女）（男，女）

女（男，女）（女，女）

女（男，女）（女，女）

所有等可能的结果有6种，其中恰好是一名男生和一名女生的情况有4种,

...恰好抽到—男一女的概率为—.

63

21.如图，△43C中，BC=2AB,D.E分别是边BC、AC的中点.将△C0E绕点E旋转

180度，得△4FE.

（1）判断四边形ABD尸的形状，并证明；

（2）已知4B=3,AD+BF=S,求四边形ABO尸的面积S.

【分析】（1）结论：四边形45。厂是菱形.根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即

可.

（2）设。4=x,OB=y,构建方程组求出2xy即可解决问题.

解：（1）结论：四边形48。尸是菱形.

•:CD=DB,CE-EA,

:.DE〃AB,AB=2DE,

由旋转的性质可知，DE^EF,

：.AB=DF,AB//DF,

二四边形ABDF是平行四边形，

'：BC=2AB,BD=DC,

：.BA=BD,

二四边形45。厂是菱形.

(2)连接8F,AO交于点。.

•.•四边形A8Of是菱形，

J.AD^BF,OB=OF,AO=OD,设OA=x,OB=y,

'2x+2y=8

则有,

2'

lx2,+y2_=3

；.x+y=4,

x2+2xy+y2=16,

：.2xy=7,

SmABDFBF^AD=2xy=7.

22.某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如下表:

原进价（元/张）零售价（元/张）成套售价（元/套）

餐桌a380940

餐椅〃-140160

已知用600元购进的餐椅数量与用1300元购进的餐桌数量相同.

（1）求表中a的值；

（2）该商场计划购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍还多20张，且餐桌和餐椅的总数量

不超过200张.若将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，其余餐桌、

餐椅以零售方式销售，请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利洞是多少？

【分析】（D根据数量=总价+单价，即可得出结论，解之经检验后即可得出a值；

（2）设购进餐桌x张，则购进餐椅（5x+20）张，由餐桌和餐椅的总数量不超过200张,

可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，设销售利润为y元，根

据销售方式及总利润=单件（单套）利润X销售数量，即可得出y关于x的函数关系式,

利用一次函数的性质即可解决最值问题.

解：(1)根据题意得：_g。_

a-140a

解得a=260,

经检验，a=260是原分式方程的解.

答：表中a的值为260.

(2)设购进餐桌x张，则购进餐椅(5x+20)张，

根据题意得：x+5x+20W200,

解得：xW30.

设销售利润为y元，

根据题意得：j=[940-260-4X(260-110)]X-1-x+(380-260)X^-x+[160-(260

-110)]X(5x+20-4xX:)=250x+1000,

Vfc=250>0,

...当x=30时,y取最大值，最大值为：250X30+1000=8500.

答：当购进餐桌30张、餐椅170张时，才能获得最大利润，最大利洞是8500元.

23.如图，在梯形A5CO中，AB//CD,NB=90°,AB=6cm,CD=2cm.尸为线段BC

上的一动点，且和8、C不重合，连接PA,过点P作PE_LP4交射线于点E.聪聪

根据学习函数的经验，对这个问题进行了研究：

(1)通过推理，他发现△ABPs/^pCE,请你帮他完成证明.

(2)利用几何画板，他改变的长度，运动点尸，得到不同位置时，CE、的长度

的对应值：

当BC=6cm时,得表1:

BP/cm…12345…

CE/cm…0.831.331.501.330.83…

当3c=8c/n时，得表2:

BP/cm…1234567…

CE/cm…1.172.002.502.672.502.001.17…

这说明，点尸在线段5c上运动时，要保证点E总在线段。上，8c的长度应有一定的

限制.

①填空：根据函数的定义，我们可以确定，在8尸和CE的长度这两个变量中，BP的

长度为自变量，EC的长度为因变量:

②设3C=»ic,”，当点尸在线段6c上运动时，点E总在线段上，求，”的取值范围.

\XD

\/E

51~T^c

【分析】(1)根据两角对应相等两三角形相似证明即可.

(2)①根据函数的定义判断即可.

②设BP=xc，"，CE=ycm.利用相似三角形的性质构建二次函数，两条二次函数的性质

求出j的最大值即可解决问题.

【解答】(1)证明：

ZB+ZC=90°,

VZB=90",

AZB=ZC=90°,

'：AP±PE,

NAPE=90°,

/.ZAPB+ZEPC=90°,

VZEPC+ZPEC=90",

/.ZAPB=ZPEC,

:.△ABPS^PCE.

(2)解：①根据函数的定义，我们可以确定，在8P和CE的长度这两个变量中，BP

的长度为自变量，EC的长度为因变量，

故答案为：BP,EC.

②设BP=xcm,CE=ycm.

■:AABPsAPCE,

.AB=BP

*，PC-CE，

.6x

•,m-xy9

--X2+^L/MX=--(x--in)2+IB_

666224

■:--<0,

6

12

：.x=\n时，y有最大值工_,

224

•点E在线段CD上，CD=2cm,

2

.•.JB-W2,

24

；./nW4点，

24.(1)［阅读与证明］

如图1,在正△A8C的外角NC4H内引射线AM,作点C关于AM的对称点E(点E在

NCAH内)，连接BE,BE、CE分别交AM于点F、G.

①完成证明：•.,点E是点C关于AM的对称点，

/.ZAGE=90°,AE=AC,Z1=Z2.

•.•正△45C中，ZBAC=60°,AB=AC,

：.AE=AB,得N3=N4.

在△ABE中，Nl+N2+60°+N3+N4=180°,AZl+Z3=60°.

在△AEG中，ZFEG+Z3+Z1=9O°,/.ZFEG=30°.

②求证：BF=AF+2FG.

(2)【类比与探究］

把(1)中的“正△A3C”改为“正方形ABOC”，其余条件不变，如图2.类比探究,

可得：

(1)ZFEG=45°;

②线段8尸、AF,PG之间存在数量关系5尸=、住尸+、方尸G.

(3)［归纳与拓展］

如图3,点A在射线8〃上，AB=AC,ZBAC=a(00<a<180°),在NC4”内引

射线AM,作点C关于AM的对称点E(点E在NCA〃内)，连接8E,BE、CE分别

交AM于点尸、G.则线段BF、A尸、GF之间的数量关系为3尸=24尸・

【分析】(1)①利用等腰三角形的性质，三角形内角和定理解决问题即可.

②如图1中，连接CT,在尸3上取一点7,使得尸T=C尸，连接CT.证明△BCT'g4

ACF(.SAS')可得结论.

(2)①如图2中，利用圆周角定理解决问题即可.

②结论：BF=-/2AF+yp2PG.如图2中，连接CF,在/<'8上取一点7,使得尸7=CF,

连接CT.证明△BCT'S/^AC尸，推出言=提=&，推出8T=&CF可得结论.

(3)如图3中，连接C尸，BC,在B尸上取一点T,使得尸7=CP.构造相似三角形，

利用相似三角形的性质解决问题即可.

【解答】(1)①解：如图1中，\,点E是点C关于4M的对称点，

AZAG£=90°,AE=AC,Z1=Z2.

•.•正△ABC中，N5AC=60°,AB=AC,

：.AE=AB,得N3=N4.

在△48E中，Z1+Z2+600+Z3+Z4=180°,

AZl+Z3=60°.

在△AEG中，ZFEG+Z3+Z1=9O°,

，NFEG=300.

故答案为60,30.

②证明：如图1中，连接CF,在尸5上取一点T,使得尸T=C居连接CT.

；・4M垂直平分线段£C,

:・FE=FC,

工NFEC=NFCE=30。,EF=2FG,

：.ZCFT=ZFEC+ZFCE=60°,