圆锥曲线的方程单元检测-2023-2024学年人教A版数学选择性必修第一册

第3章圆锥曲线的方程一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知椭圆M:x2+y24=λ经过点(1,2),则M上一点到两焦点的距离之和为(A.2 B.22 C.4 D.422.已知双曲线x29-y2m=1的一条渐近线的方程为y=2A.13 B.10 C.213 D.253.设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,则以F为圆心,且与l相切的圆的方程为()A.(x-1)2+y2=4 B.(x-1)2+y2=16C.(x-2)2+y2=16 D.(x+2)2+y2=44.以双曲线x24-y212=-1A.x216+y212=1 B.x212+y5.我们把由半椭圆x2a2+y2b2=1(x≥0)与半椭圆y2b2+x2c2=1(x<0)合成的曲线称作“果圆”(其中a2=b2+c2,a>b>c>0),如图所示,其中点F0,F1,F2是相应椭圆的焦点.若△F0A.72,1 B.3,1 C.5,36.已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:y2=8x相交于A,B两点,F为C的焦点,若|FA|=2|FB|,则k等于()A.13 B.223 C.7.已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)与双曲线C2:x2-y24=1有公共的焦点,C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A,B两点.若A.a2=132 B.a2=13 C.b2=12 D.b28.椭圆C的左焦点F关于直线l:y=-33x的对称点是M,连接FM并延长交椭圆C于点P.若FM=MP,则椭圆C的离心率是A.12 B.22 C.3二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(-5,0),F2(5,0),则能使双曲线CA.离心率为54 B.双曲线过点5,94 C.渐近线方程为3x±4y=10.若定点F1(0,-2),F2(0,2),动点P满足|PF1|+|PF2|=a+4a(a>0),则点P的轨迹可能是(A.圆 B.线段 C.椭圆 D.直线11.已知抛物线C:x2=4y,其焦点为F,准线为l,PQ是过焦点F的一条弦,点A(2,2),则下列说法正确的是()A.焦点F到准线l的距离为2 B.焦点F(1,0),准线l:x=-1C.|PA|+|PF|的最小值是3 D.以弦PQ为直径的圆与准线l相切三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.抛物线y2=2px(p>0)上的动点Q到焦点的距离的最小值为1,则p=.

13.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为e,F1,F2分别为椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点P使得∠F1PF14.若抛物线C:y2=2px(p>0)上一点A的横坐标为p3,且点A到抛物线C的焦点的距离为5p26,则点四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)设A,B分别是双曲线x225-y220=1两条渐近线上的动点,且|AB|=25,设O为坐标原点,动点P满足16.(15分)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)(1)求椭圆C的方程;(2)斜率大于0且过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C交于M,N两点,若MF2=3F2N,17.(15分)已知F1,F2分别是双曲线E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P(1)求双曲线的渐近线方程;(2)当∠F1PF2=60°时,△PF1F2的面积为483,求此双曲线的方程.18.(17分)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点A在抛物线上,且A的横坐标为4,|AF|=5.(1)求抛物线的方程;(2)设l为过点(4,0)的任意一条直线,若l交抛物线于A,B两点,求证:以AB为直径的圆必过坐标原点.19.(17分)在平面直角坐标系中,椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,已知点A在直线x=1上运动,且F1A·F1F2=(1)求椭圆C的方程;(2)设点A在椭圆C外,过点B(4,0)的直线l与椭圆C交于P,Q两点,且直线PA,QA与直线x=4分别交于点M,N,求||MB|-|NB||的值.参考答案第11周检测(第三章)1.D由椭圆M:x2+y24=λ经过点(1,2)可得λ=2,即椭圆方程为x22+y28=1,则a=22,由椭圆的定义可知2.C由题意得m3=23则双曲线的焦距为29+m=2133.A根据题意,抛物线y2=4x,其焦点在x轴正半轴上且p=2,则其焦点F(1,0),准线方程为x=-1,以F为圆心,且与l相切的圆的半径r=2,则该圆的方程为(x-1)2+y2=4.故选A.4.D双曲线x24-y212=-1化为标准方程得y212-x24=1,焦点坐标为(0,±4),顶点为(0,±23),则所求椭圆的焦点在y轴上,设所求椭圆的长轴长为2a,短轴长为2b,焦距为2c,则a=4,c=23,所以b2=a25.A|OF2|=b2-c2=12,|OF0|=c=3|OF2|=32,∴b=1,∴a2=b2+c2=74,得a=6.B设A(x1,y1),B(x2,y2),易知x1>0,x2>0,y1>0,y2>0.由y=k(x+2),y2=8x,得k2x2+(所以x1x2=4.①根据抛物线的定义得,|FA|=x1+p2=x1+2,|FB|=x2+2因为|FA|=2|FB|,所以x1=2x2+2,②由①②得x2=1(x2=-2舍去),所以B(1,22),代入y=k(x+2)得k=227.C由题意,知a2=b2+5,因此椭圆方程为(a2-5)x2+a2y2+5a2-a4=0,双曲线的一条渐近线方程为y=2x,联立方程消去y,得(5a2-5)x2+5a2-a4=0,所以直线截椭圆的弦长d=5×2a4-5a25a2-5=238.A由题意,可设椭圆C:x2a2+y2b2=1的左焦点F(-c,0),设F关于直线y=-33x的对称点M的坐标为(x∴M-12c,32c.又FM=MP,∴P(0,3c点P在椭圆上,代入椭圆C:x2a2+y2b2=1,得3c2b2=1,即3c2=b2=9.ABC由双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(-如果离心率为54,可得a=4,则b=3,所以双曲线C的方程为x216-y2如果双曲线过点5,94,可得25=a2+b2,25a2如果渐近线方程为3x±4y=0,可得ba=34,a2+b2=25,解得a=4,b=3,所以双曲线C的方程为x216如果实轴长为4,可得a=2,b=21,双曲线C的方程为x24-y221=1,故10.BC由题意知,定点F1(0,-2),F2(0,2),可得|F1F2|=4,因为a>0,可得|PF1|+|PF2|=a+4a≥2a·4a=4,当且仅当a=4a,即a=当a+4a=4时,可得|PF1|+|PF2|=|F1F2|,此时点P的轨迹是线段F1F2当a+4a>4时,可得|PF1|+|PF2|>|F1F2|,此时点P的轨迹是椭圆.故选BC11.ACD对于A,由抛物线C:x2=4y,可得2p=4,即p=2,所以焦点F到准线l的距离为p=2,故A正确;对于B,由抛物线C:x2=4y,可得F(0,1),准线l:y=-1,故B错误;对于C,过点P作PP'⊥l,垂足为P',如图,由抛物线的定义可得|PF|=|PP'|,所以|PA|+|PF|=|PA|+|PP'|≥d=3(d为点A(2,2)到准线l的距离),当且仅当A,P,P'三点共线时,等号成立,所以|PA|+|PF|的最小值是3,故C正确;对于D,过点P,Q分别作PP'⊥l,QQ'⊥l,垂足分别为P',Q',如图,设弦PQ的中点为M,则以弦PQ为直径的圆的圆心为M,过点M作MM'⊥l,垂足为M',则MM'为直角梯形PP'Q'Q的中位线,|MM'|=12(|PP'|+|QQ'|),又根据抛物线的定义有|PP'|=|PF|,|QQ'|=|QF|,所以|MM'|=12(|PF|+|QF|)=12|PQ|,所以以弦PQ为直径的圆与准线l相切,故12.2依题意,设抛物线的焦点为F,点Q的横坐标是x0(x0≥0),则|QF|=x0+p2的最小值是p2=1,则p=13.22,1如图,当点P位于短轴端点P0处时,∠F1PF2最大,因为椭圆上存在点P使得∠F1PF2是钝角,所以在△P0F1F2中,∠F1P0F2>90°,所以直角三角形P0OF2中,∠OP0F2>45°,所以P0O<OF2,即b<c,所以a2-c2<c2,即a2<2c2,又0<e<1,所以22<e<114.63或-63因为准线方程为x=-所以p3所以p=1,所以抛物线C:y2=2x,点A的横坐标为13所以点A的纵坐标为±6315.解设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x,y),∵动点P满足OP=∴x=x1+x2,y=y1+y2.∵A,B分别是双曲线x225-y∴y1=255x1,y2=-25∴x=x1+x2=52(y1-y2),y=y1+y2=255(x1∴|AB|=52y2+化简可得P的轨迹方程为x225+16.解(1)由题意得c=3,设左焦点为F1,则F1(-3,0),F2(3,0),2a=PF1+PF2=(3-∴a=2,b=a2-c故椭圆C的方程为x24+y2=(2)设直线l的方程为x=my+3(m>0),代入椭圆方程得(m2+4)y2+23my-1=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),Δ=16(m2+1)>0恒成立,由根与系数的关系可得y1+y2=-23my1y2=-1m2由MF2=3F2N得y1=-3y由①②③可得m=22故直线l的方程为y=2x-6.17.解(1)因为双曲线的渐近线方程为bx±ay=0,则点F2到渐近线距离为|bc±0|b2+a2=b(其中c又因为a2+b2=c2,解得b=43a故所求双曲线的渐近线方程是4x±3y=0.(2)因为∠F1PF2=60°,由余弦定理得,|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos60°=|F1F2|2,即|PF1|2+|PF2|2-|PF1||PF2|=4c2.①又由双曲线的定义得||PF1|-|PF2||=2a,平方得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=4a2,②由①②式相减得|PF1||PF2|=4c2-4a2=4b2.根据三角形的面积公式得S=12|PF1||PF2|sin60°=34·4b2=3b2=48得b2=48.再由(1)中结论得a2=916b2=故所求双曲线方程是x227-18.(1)解抛物线y2=2px(p>0)的焦点为Fp2,0,准线为x=-p2,由抛物线的定义可得,|AF|=4+p2=5,解得p=2,即抛物线的方程为y2=4x(2)证明设直线l:x=my+4,A(x1,y1),B(x2,y2),代入抛物线方程y2=4x,可得y2-4my-16=0,Δ=16m2+64>0恒成立,y1+y2=4m,y1y2=-16,x1x2=y12即有x1x2+y1y2=0,则OA⊥OB,则以AB19.解(1)设A(1,t),F1(-c,0),F2(c,0),c>0,则F1A·F1F2=2c∵c>0,∴c=1.由题可知当|AF2|=32时,点A1,32在椭圆C上,∴1a2+94b2=1,且c2∴a=2,b=3.∴椭圆C的方程为x24+(2)由题可知,直线l的斜率存在,设P(x1,y1),Q(x2,y2),M(4,yM),N(4,yN),当直线l的斜率为0时,直线l:y=0,此时不妨令P(-2,0),Q(2,0),则直线AP的方程