四川省泸州市江阳区梓橦路学校2023-2024学年八年级上学期期中数学试题

2023-2024学年四川省泸州市江阳区梓橦路学校八年级（上）期中数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列线段能组成三角形的是(

)A.3、4、8 B.5、6、11 C.5、6、10 D.2、2、42.下列图案中，不是轴对称图形的是(

)A. B. C. D.3.商店出售下列形状的地砖：①长方形；②正方形；③正五边形；④正六边形．若只选购其中某一种地砖用来镶嵌教室地面，可供选择的地砖是(

)A.①②③④ B.①②③ C.①②④ D.②③④4.如果一个正多边形的每个外角为，那么这个正多边形的边数是(

)A.12 B.10 C.9 D.85.等腰三角形的周长为17cm，其中一边长为4cm，则该等腰三角形的底边为(

)A.9cm B.9cm或 C. D.4cm6.下列命题错误的是(

)A.三角形的三条高交于一点

B.三角形的三条中线都在三角形内部

C.直角三角形的三条高交于一点，且交点在直角顶点处

D.三角形的三条角平分线交于一点，且这个交点到三角形三边的距离相等7.如图，已知，，添加下列条件中的仍不能证明≌(

)A.

B.

C.

D.8.如图所示，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在，的位置.若，则等于(

)

A.

B.

C.

D.9.如图，BD是的角平分线，于E，的面积是，，，则DE的长度为(

)

A.1cm B.2cm C.3cm D.4cm10.若一个多边形的内角和比它的外角的3倍大，则这个多边形从一个顶点出发可以作的对角线的条数是(

)A.6 B.7 C.8 D.911.如图，在中，，，，，AD是的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则的最小值是(

)

A. B. C.4 D.512.如图，AD是的角平分线，，垂足为E，交ED的延长线于点F，若BC恰好平分，，给出下列五个结论：

①；

②；

③；

④；

⑤；

其中正确的结论共有(

)

A.4个 B.3个 C.2个 D.1个二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。13.等腰三角形的一个角为，它的另外两个角的度数分别为______.14.如图，，点E在AD上，且，，则的大小为______.

15.如图，在中，，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点已知，则的度数为______.

16.如图，，垂足为点A，射线，垂足为点B，，动点E从A点出发以的速度沿射线AN运动，动点D在射线BM上，随着E点运动而运动，始终保持若点E的运动时间为t秒，则当______秒时，与全等.

三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.本小题6分

计算：18.本小题6分

如图，点B，C，D，E在一条直线上，，，，求证：19.本小题6分

如图，在中，AE是角平分线，AD是高，，，求的度数．20.本小题7分

在平面直角坐标系的位置如图所示注：图中每小正方形的边长均为

请画出关于y轴对称的图形、、分别是A、B、C的对应点，不写画法；直接写出、、三点的坐标：______，______，______.

的面积是______.

在y轴上求作一点P，使的值最小不写作法，保留作图痕迹

21.本小题7分

如图，在中，，，BO平分，CO平分，MN经过点O与AB，AC相交于点M，N，且，的周长为

求的周长；

求的度数.22.本小题8分

如图，一条船上午6时从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北方向航行，上午8时到达海岛B处，分别从A，B处望灯塔C，测得，

求海岛B到灯塔C的距离；

若这条船继续向正北航行，问上午几时小船与灯塔C的距离最短？23.本小题8分

如图，已知AC平分，于E点，

求证：；

24.本小题12分

小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.

问题发现：如图1，若和均是顶角为的等腰三角形，BC、DE分别是底边，求证：；

拓展探究：如图2，若和均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接BE，则的度数为______；线段BE与AD之间的数量关系是______；

解决问题：如图3，若和均为等腰直角三角形，，点A、D、E在同一条直线上，CM为中DE边上的高，连接BE，请判断的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系并说明理由.

25.本小题12分

如图，已知在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，

求B点坐标；

若C为x轴正半轴上一动点，以AC为直角边作等腰直角，，连接OD，求的度数.

答案和解析1.【答案】C

【解析】解：A、，、4、8不能组成三角形，故本选项错误；

B、，、6、11不能组成三角形，故本选项错误；

C、，、6、10能组成三角形，故本选项正确；

D、，、2、4不能组成三角形，故本选项错误．

故选：

根据三角形的三边满足任意两边之和大于第三边来进行判断．

本题考查了能够组成三角形三边的条件：用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条线段就能够组成三角形．2.【答案】C

【解析】解：A、是轴对称图形，不符合题意，本选项错误；

B、是轴对称图形，不符合题意，本选项错误；

C、不是轴对称图形，符合题意，本选项正确；

D、是轴对称图形，不符合题意，本选项错误．

故选：

根据轴对称图形的概念求解．

本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．3.【答案】C

【解析】解：①长方形的每个内角是，4个能组成镶嵌；

②正方形的每个内角是，4个能组成镶嵌；

③正五边形每个内角是，不能整除，不能镶嵌；

④正六边形的每个内角是，能整除，3个能组成镶嵌；

故若只选购其中某一种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖有①②④．

故选：

几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．

此题主要考查了平面镶嵌，用一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除任意多边形能进行镶嵌，说明它的内角和应能整除4.【答案】B

【解析】解：这个正多边形的边数：

故选：

正多边形的外角和是，这个正多边形的每个外角相等，因而用除以外角的度数，就得到外角和中外角的个数，外角的个数就是多边形的边数．

本题考查了多边形的内角与外角的关系，熟记正多边形的边数与外角的关系是解题的关键．5.【答案】D

【解析】解：等腰三角形的周长为17cm，其中一边长为4cm，

有以下两种情况：

①当腰长为4cm时，设底边为acm，

则，

解得：，

此时该等腰三角形的三边为：4cm，4cm，9cm，

，

，4cm，9cm不能构成三角形，故不合题意，舍去；

②当底边为4cm时，设腰长为bcm，

则，

解得：，

此时该等腰三角形的三边为：，，4cm，

，

，，4cm能构成三角形，

该三角形的底边为

故选：

根据等腰三角形的周长为17cm，其中一边长为4cm，分两种情况讨论如下：①当腰长为4cm时，设底边为acm，然后求出a，再利用三角形三边之间的关系进行检验即可；②当底边为4cm时，设腰长为bcm，然后求出b，再利用三角形三边之间的关系进行检验即可，综上所述即可得出答案．

此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形三边之间的关系，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形三边之间的关系是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点．6.【答案】A

【解析】解：A、钝角三角形的三条高线段不能交于一点，是三条高所在的直线交于一点，故原命题错误，符合题意；

B、三角形的三条中线都在三角形的内部，正确，不符合题意；

C、直角三角形的三条高交于一点，且交点在直角顶点处，正确，不符合题意；

D、三角形的三条角平分线交于一点，且这个交点到三角形三边的距离相等，正确，不符合题意．

故选：

利用三角形的垂心的定义、重心的定义及三角形的角平分线的性质分别判断后即可确定正确的选项．

本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解三角形的垂心的定义、重心的定义及三角形的角平分线的性质，难度不大．7.【答案】C

【解析】解：，，，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出≌，故本选项不符合题意；

B.，

，

即，

条件，，，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出≌，故本选项不符合题意；

C.，，，不符合全等三角形的判定定理，不能推出≌，故本选项符合题意；

D.，，，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出≌，故本选项不符合题意；

故选：

根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．

本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有8.【答案】C

【解析】【分析】

本题主要考查平行线的性质及折叠的性质，掌握两直线平行同旁内角互补是解题的关键．

根据平角的定义计算出，再根据折叠的性质得，所以，根据平行线的性质即可求解．

【解答】

解：，

，

长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在、的位置，

，

，

故选：9.【答案】B

【解析】解：作于F，如图，

是的角平分线，，，

，

，

，

即，

故选：

作于F，如图，利用角平分线的性质得，然后根据三角形面积公式得到，从而可计算出DE的长．

本题考查了角平分线的性质，即角的平分线上的点到角的两边的距离相等．10.【答案】A

【解析】解：设多边形的边数为n，

由题意得：，

解得：

则这个多边形从一个顶点出发可以作的对角线的条数是；

故选：

设多边形的边数为n，由题意列出方程，求出，即可得出答案．

本题考查了多边形的内角和定理与外角、多边形的对角线；熟练掌握多边形内角和定理，由题意列出方程是解题的关键．11.【答案】B

【解析】【分析】

本题主要考查了轴对称问题，解题的关键是找出满足有最小值时点P和Q的位置．

过点C作交AB于点M，交AD于点P，过点P作于点Q，由AD是的平分线．得出，这时有最小值，即CM的长度，运用，得出CM的值，即的最小值．

【解答】

解：如图，过点C作交AB于点M，交AD于点P，过点P作于点Q，

因为AD是的平分线．

所以，这时有最小值，即CM的长度，

因为，

所以，

即的最小值为

故选：12.【答案】A

【解析】解：恰好平分，

，

，

，

，

，且AD是的角平分线，

，，

故②，③正确，符合题意；

在和中，

，

≌，

，，，

故①正确，符合题意；

，

，

故④正确，符合题意；

，

，

，

，

故⑤错误，不符合题意；

故选：

由角平分线的性质和平行线的性质可证，可得，由等腰三角形的性质可得，，由“ASA”可证≌，可得，，，即可求解．

本题考查了全等三角形判定和性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，证明≌是本题的关键．13.【答案】，

【解析】解：等腰三角形的一个角为，

的角是顶角，

另两个角是，

即，

故答案为：，

先判断出的角是顶角，再根据等腰三角形的两底角相等解答．

本题考查了等腰三角形的性质，主要利用了等腰三角形两底角相等，需要注意的角只能是顶角．14.【答案】

【解析】解：，，

，

，

，

故答案为：

先根据等腰三角形的性质得，再由三角形的内角和定理得，然后根据平行线的性质可得出的度数．

此题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，平行线的性质是解决问题的关键．15.【答案】

【解析】解：，，

是AC的垂直平分线，

，

，

故答案为：

根据直角三角形的性质求得；根据线段垂直平分线的性质得，则，再根据三角形的外角的性质即可求解．

此题考查了线段垂直平分线的性质，涉及到三角形的外角的性质以及等腰三角形的性质的知识，难度适中．16.【答案】3或7或10

【解析】解：，，

，

，

当E在线段AB上时，

若，

，

，

，

，

；

若，

，

，

舍去，

当E在线段AB延长线上时，

若，

，

，

，

若，

，

，

，

当或7或10秒时，与全等．

故答案为：3或7或

分情况，当E在线段AB上，或当E在线段AB延长线上，由HL即可求解．

本题考查全等三角形的判定，关键是要分情况讨论．17.【答案】解：原式

【解析】利用算术平方根及立方根的定义，绝对值的性质计算即可．

本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．18.【答案】证明：，

，

，

，

在与中，

，

≌，

【解析】根据SAS证明≌即可得出结论．

本题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键．19.【答案】解：是角平分线，

是的高，

，

【解析】根据AE是角平分线，得，那么根据AD是的高，得根据三角形外角的性质，得，那么

本题主要考查三角形的高、角平分线的定义、三角形外角的性质，熟练掌握三角形的高、角平分线的定义、三角形外角的性质是解决本题的关键．20.【答案】解：如图，即为所求．

由图可得，，，

故答案为：；；

的面积是

故答案为：

如图，连接，交y轴于点P，连接AP，

此时，为最小值，

则点P即为所求．

【解析】根据轴对称的性质作图，即可得出答案．

利用割补法求三角形的面积即可．

连接，交y轴于点P，则点P即为所求．

本题考查作图-轴对称变换、轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．21.【答案】解：平分，

，

，

，

，

，

同理可得，

的周长为18，

，即，

，

，

，

即的周长为28；

，

，

平分，CO平分，

，

【解析】由平行线的性质和角平分线的定义可求得，，结合的周长可求得的周长；

由三角形内角和定理可求得，再利用角平分线的定义可求得，在中可求得

本题主要考查等腰三角形的判定和性质，在中求得是解题的关键，在中求得是解题的关键．22.【答案】解：由题意得：海里，

，，

，

，

海里，

海岛B到灯塔C的距离为30海里；

如图，过点C作于点P，

根据垂线段最短，线段CP的长为小船与灯塔C的最短距离，，

又，

，

在中，，

海里，

小时，时，

故上午9时小船与灯塔C的距离最短．

【解析】根据三角形的外角的性质，得，那么，故海里；

过点C作于点P，根据垂线段最短，线段CP的长为小船与灯塔C的最短距离．欲确定什么时间小船与灯塔C的距离最短，求得根据三角形内角和定理，得根据含30度角的直角三角形的性质，在中，，得海里，从而解决此题．

本题主要考查方向角、等腰三角形的判定、三角形外角的性质、含角的直角三角形的性质、垂线段最短，熟练掌握等腰三角形的判定、三角形外角的性质、含角的直角三角形的性质、垂线段最短是解决本题的关键．23.【答案】证明：过C作于F，

平分，，

，

，，

，

在和中，

，

≌，

；

≌，

，

在和中，

，

，

，

【解析】过C作于F，根据角平分线的性质得：，根据AAS证明≌可得结论；

由中的全等得：，证明，得，根据线段的和与差得出结论．

本题考查了全等三角形的性质与判定、角平分线的性质，注意利用角平分线性质时，必须是到角两边的垂线段相等，本题是常考题型，难度不大，在证明线段的和与差时，要将线段根据图形中分成和与差，利用全等三角形的对应边相等作等量代换，从而得出结论．24.【答案】解：因为和均是顶角为的等腰三角形，

所以，，，

所以，

所以，

在和中，

，

所以≌，

所以；

，相等；

，，理由：

同的方法得，≌，

所以，，

因为是等腰直角三角形，

所以，

所以，

所以，

所以，

因为，，

所以，

因为，

所以

所以

【解析】见答案；

因为和均是等边三角形，

所以，，，

所以，

所以，

在和中，

，

所以