2020-2021学年安徽省黄山市高一年级上册期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年安徽省黄山市高一上学期期末数学试卷

一、单选题(本大题共12小题，共60.0分)

1.设4是整数集的一个非空子集，对于keA,如果k-1g4且k+1C4那么k是4的一个“孤立

元"，给定/={123,4,5},则2的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合共有()

A.10个B.11个C.12个D.13个

2.%、瓦、。1、a2>82、C2均为非零实数，不等式+瓦工+q<0和@2/+匕2%+C2<0的解

集分别为集合M和N,那么噜=?="是"M=N"()

«202c2

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分又非必要条件

3.已知全集(/=8集合4={一2,—1,0,1,2},8={X仅=疹11}，则如图中阴|■―弋

影部分所表示的集合为()

A.{-2,-1}B.{0}C.{-1,0}D.{-1,0,1}

2

4.已知下列不等式：(l)x>log2x,(2)tanx>sinx,(3)2*>e*，(4)士>VI+x,则在％e(0,1)

内上述不等式恒成立的个数为()

A.1B.2C.3D.4

5.若角a的终边过点P(4,-3),则cosatazia的值为()

A.-：B.gC.-gD.—3

6.己知C)a<G"<i,则下列不等关系式中正确的是()

A.log2a<log2bB.G)a>(打

C.a3<b3D.以上选项都不对

7.给出下列命题：

①命题“若方程a/+%+1=0有两个实数根，贝"a<；”的逆否命题是真命题；

②在△4BC中，aA>B”是asinA>sinBw的充要条件；

③函数/(x)=2工一/的零点个数为2；

④寻函数y=xa（aeR）的图象恒过定点（0,0）

其中正确命题的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

8.)

9.

(T)b-a<l；②：+：>2；(3)ab>(4)b2>2a.

A.1个B.2个C.3个D.4个

10.对于函数/（%）的定义域中任意的打、血（对K％2），有如下结论:

①/'01+X2)=/(%1),f(%2)；

②/1(/•乂2)=f(Xi)+/(X2)；

⑶/(%1)一/(%2)>0:

7X1-x2

④八野）＜f(Xi)+f(X2)

2

当，。）=2、时，上述结论中正确的有（)个・

A.3B.2C.1D.0

11.函数f（无）=/在定义域上是（)

A.单调递减的偶函数B.单调递减的奇函数

C.单调递增的偶函数D.单调递增的奇函数

12.设a,B，ye(0,)且cosa=a,sin(cos£)=S，cos(siny)=y,则a,3，y的大小关系是()

A.a<p<yB.0Va<yC.y<a<pD./?<y<a

二、单空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.设23-2，<23X-4,则》的取值范围是.

14.函数y=logo.5(/+ax+1)的值域是R,则a的取值范围是.

15.已知cos(a+0)cos£+sin(a+=g,则cos2a=.

16.设/1(x)=log3(3x+1)+gax是偶函数，贝Ija的值为.

三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.已知函数y=g(%)与/(%)=3*的图象关于y=x对称.

(1)若函数g(k/+2x+1)的值域为R,求实数k的取值范围；

(2)若0<%!<*2且=\9(.X2)\>求4%1+%2的最小值.

18.已知函数/'(X)=Asin^a)x+(p)(x2R,A>0,3>0,0<<g)的部分图象如图所示P是图象的

最高点，Q为图象与x轴的交点，。为坐标原点.若OQ=4,OP=V5,PQ=V13.

(1)求函数y=/(x)的解析式；

(2)将函数y=/(x)的图象向右平移2个单位后得到函数y=g(x)的图象，当％e(-1,2)时，求函数

九(x)=f(x)，g(x)的值域.

19.设P：实数x满足(x-3a)(x-a)<0,其中a>0.

X2-3X<0

实数x满足/

——x—2>0

(1)当a=l，。且4为真时，求实数x的取值范围;

(2)若2是F的充分不必要条件，求实数a的取值范围.

20.求函数/(%)=-x2+2x-3在区间［2Q-1,2］上的最小值和最大值.

21.已知函数/(%)=2y/3sinxcosx+cos2x,(xER)的部分图象如图所示.

(I)求绝);

(口)求函数/'(X)的最小正周期和单调递增区间；

(DI)设点B是图象上的最高点，点A是图象与x轴的交点，求tan/B4。的值.

22.设函数f(x)=x+：+a/nx,g(x)=x+：+(：-x)/nx,其中aCR.

(I)证明：g(无)=g()并求g(x)的最大值：

(n)记/(x)的最小值为/i(a),证明：函数y=/1(a)有两个互为相反数的零点.

参考答案及解析

1.答案：D

解析：

本题考查的是新定义和集合知识联合的问题.在解答时首先要明确集合4的所有子集是什么，然后严

格按照题目当中对“孤立元”的定义逐一验证即可.当然，如果按照“孤立元”出现的情况逐一排

查亦可.

本题考查的是集合知识和新定义的问题.在解答过程当中应充分体会新定义问题概念的确定性，与

集合子集个数、子集构成的规律.此题综合性强，值得同学们认真总结和归纳.

解：“孤立元”是1的集合:｛1｝；｛1,3,4｝；｛1,4,5｝；｛1,3,4,5｝；

“孤立元”是2的集合：｛2｝；｛2,4,5）；

“孤立元”是3的集合：｛3｝；

“孤立元”是4的集合：｛4｝；｛1,2,4｝；

“孤立元”是5的集合：｛5｝；｛1,2,5｝；｛2,3,5｝；[1,2,3,5｝.

共有13个；

故选D.

2.答案：D

解析：解：若噜=?=肾<0"时，则不等式的/+为x+qcO等价于azx2+b2x+c2>0,则

“MHN”；

即噜=・=乎是""=N”的不充分条件；

。2。2

但当"M=N=0”时，如：/+%+1<0和/+%+2<0,，，色=*=£1”不成立，

即T"是"M=N”的不必要条件

0.2

故噜=餐=/是""=N"的既不充分又不必要条件

。2c2

故选：D

根据不等式的基本性质，我们可以判断噜=?=手'="M=N"的真假；根据不等式解集可能

为空集，可判断"M=N”0"詈=?=?”的真假，进而得到答案.

。2c2

本题考查的知识点是充要条件，其中判断出吟=今="n"M=N"与闻=旷今噜=?=十

。2。2t-2。2。21»2

的真假，是解答本题的关键.

3.答案:B

解析：解：；一一120,二X21或X<-1,

则B=(-oo,—l]u[l,+oo)

又图中阴影部分所表示的集合为4nQUB={0},

故选：B.

由图象可知阴影部分对应的集合为4Cl(QB),然后根据集合的基本运算即可.

本题主要考查集合的基本运算，利用图象先确定集合关系是解决本题的关键，比较基础.

4.答案:C

解析：解：(l)vXG(0,l),

2

•••XG(0,1),log2XG(-8,0).

X2>log2%.故选项(1)正确.

(2)vX6(0,1),

Asinx>0,0<cosx<1.

石、、八

・.•・tanx-.sinx=Sin-x--si.nx=-s-in-x(1—cosx)>0.

cosxcosx

・•.tanx>sinx.故选项(2)正确.

(3)考察函数y=xa[a>0)在(0,+8)上单调递增，

v2<e,.%2a<ea.

・•・xG(0,1),2X<故选项(3)不成立.

(4)vxe(0,1),1+%>0,1-x>0,V1+x>0,W>0.

2

.Vi4-x=(i_X)A/1+x—V1—x-V1—x--\/l+x=yjl—x•y/1—x,

l-x

xe(0,1),o<Vi-x<1<0<V1-x2<1.

占>Vl+X.故选项(4)成立.

综上，成立的选项有(1)、(2)、(4).

故答案为C.

本题通过特殊值比较法、作差(作商)比较法、基函数单调性法等方法，比较出相应各式的大小，得

到符合题意的选项.

本题考查的是不等关系判断，考查了作差法比较、作商法比较、特殊值法比较和利用已知函数单调

比较.本题思维维度不大，但有一定的计算量，属于中档题.

5.答案：A

解析:解：・・・a的终边经过点P(4,-3),

Ar=5,

・•・cosatana=si.na=-3

故选：A.

根据三角函数的定义进行求解即可.

本题主要考查三角函数值的计算，根据三角函数的定义是解决本题的关键.

6.答案：0

解析：解：••(1)a<(|)h<1.a>b>0,

所以，log2a>log2&,故A错误；

(|)a<(|)b.故8错误；a3>b3,故C错误；

故选：D.

根据条件，得到a>b>0,利用函数的单调性分别进行判断即可.

本题主要考查函数值的大小比较，根据不等式的性质是解决本题的关键.属于基础题.

7.答案：B

解析：

本题考查了四种命题的关系与真假判定，幕函数，函数的零点与方程根的关系和正弦定理.

利用四种命题的关系与真假判定得①的结论;利用正弦定理得②的结论;利用函数的零点与方程根的

关系得③的结论;利用幕函数得④的结论.

解：对于①，若方程a-+x+i=。有两个实数根，KOI-4a>0,即aW：.

••・命题“若方程a/+x+1=0有两个实数根，则a<尹是真命题，

4

则其逆否命题是真命题，命题①正确；

对于②，A>B,则a>/?,

根据正弦定理知：急=高

则sinA>sinB；

由sinA>sinB,根据正弦定理知合=焉

则a>b,则有4>B.

ABC中，A>B是sinA>sinB成立的充要条件.

命题②正确;

对于③，函数f(x)=2*——的零点个数即为函数y=2工与y=M的交点个数,

而两函数有三个交点，命题③错误;

对于⑷，当a=0时，基函数y=x°不过(0,0),

命题④错误.

二真命题的个数是2.

故选艮

8.答案：A

解析：

本题主要考查函数图象的识别和判断，求函数的导数，利用导函数的性质是解决本题的关键.

求函数的导数，根据函数的性质即可判断函数的图象.

解：••'/(%)=-X2+cosx,

4

<'-rW=^x-sinx,为奇函数，关于原点对称，排除B,D,

设g(x)=f'(x)=-sinx,

则g(x)=0>得=sinx,由图象可知方程有三个根,

在图象A正确，

故选：A.

9.答案：D

a+1

解析:解：2=3,2b=|,5lija=log23-l=log2|,b=

o

log23=3-log23

■■b-a=log2g-log21=log2(|x|)=log2Y<log22=1

故①正确;

o3

・2

••Q+b=log2-+log2-=10g24=2,ab=(log23-1)(3-log23)=-(log23)+4log23-3=

2

-(log23-2)+l<l,

•・,2—log23<2—log2V8=2—|=I，

2

・•・ab=—(log23—2)+1>—]+l=j故③正确;

.•・：+:=>2,故②正确；

2222

b-2a=(3-log23)-2(log23-1)=(log23)-8log23+11=(log23-4)-5,

a

1<log23<

・•・-3<log23<-I，

25r

2

.­.y<(log23-4)<9,

b2—2a>0,故④正确;

故选：D.

由题意可得则a=log23-1=log2pb=log2|=3-log23,分别代值计算即可比较大小.

本题考查了不等式的大小比较和对数的运算，属于基础题.

10.答案：A

解析：

本题考查指数与指数事的运算，考查指数函数及其性质，属于基础题.

利用指数的运算性质可判断①②的真假，根据指数函数的单调性可判断③的真假，由函数/'(x)=2K

的图象是下凹的可判断④的真假，进而得到答案.

【解得】

解：当f(x)=2”时,

①fQi+%2)=2〃+*=2八-2初=/(%!)­/(x2)>所以①正确;

由①可知②不正确；

由瞥乎2>0,可得函数/(%)是增函数，而/•(%)=2丫是增函数，所以③正确；

*142

若函数图象是下凹的，则满足④/(卫署)<弋3.而/(%)=2方的函数图象是下凹的，所以④正

确，

故选：A.

11.答案：D

解析：解：显然，/。)=/是定义域/?上的奇函数，且是增函数.

故选：D.

根据奇函数的定义即可得出f(x)是R上的奇函数，并且/。)是/?上的增函数，从而选。.

本题考查了奇函数和增函数的定义，清楚/Q)=/的奇偶性和单调性，属于基础题.

在平面直角坐标系中画出函数丁=cosx,y=arccosx,y=sinx,y=arcsinx,y=x的图象,

可以发现：p<a<Y.

故选：B.

由cosa=a化简cos(siny)=y,sin(cos£)=S，根据题意画出y=cosx,y=arccos%,y=sinx,

y=arcsin%,y=x图象，由图象得出a、夕、y的大小关系即可.

本题考查了同角三角函数基本关系的运用以及反三角函数的应用，熟练掌握基本关系是解本题的关

键.

13.答案：x>|

解析：

利用指数函数的增减性确定出X的范围即可.

此题考查了指、对数不等式的解法，熟练掌握指数函数的性质是解本题的关键.

解：由y=2X为增函数，且23-2X<23X-4,

得到3-2%<3x-4,

解得：X>[,

故答案为：X>|.

14.答案:(一8,-2]”2,+8)

解析：解：根据题意，函数丫=/+。》+1的值域包含(0,+8);

・••△=a2—4>0；

­•a>2,或a<-2；

・•.Q的取值范围是(一8,-2]U[2,+oo).

故答案为：(-oo,-2]U[2,+oo).

由对数函数的值域和定义域即可得出函数'=%2+。久+i的值域包含(0+8),从而得出△、()，这样

即可求出Q的取值范围.

考查对数函数的定义域和值域，以及二次函数的值域和判别式△的关系.

15.答案:一卷

解析：解：•・,cos(a+/?)cos夕+sin(a+B)sin0=cos(a+夕一夕)=cosa=

则cos2a=2cos2a—1=—

故答案为：_套

由题意利用两角差的余弦公式求得cosa的值，再利用二倍角公式，求得cos2a的值.

本题主要考查两角差的余弦公式、二倍角公式的应用，属于基础题.

16.答案:-1

解析：解：/(一])=卜93(37+1)-gar=log3(l=log3(l+3，)-z-；

•."(X)是偶函数；

：•—x——1ax=-1ax；

22

，ax=—%,故a=—1.

故答案为：-1.

x

根据/'(x)为偶函数，所以求出/(-%)=log3(3+1)-x-^ax=f(x),所以得到一=|ax,

从而求出a即可.

本题考查偶函数的定义，考查对数的基本运算，属于中档题.

17.答案:答案：(1)由题意得g(x)=log3X.

2

因为g(k/+2x+1)=log3(kx+2x+1)的定义域为R,

所以以2+2》+1>0有实数解.

当k=0时满足条件------------(2分)

当%中0时，欲函数g(k/+2》+1)的值域为R,

则Cl：-4k>0'即’所以。<鹏1，即实数人的取值范围为。斗――(6分)

(2)由|g(Xi)|=W。2)1，得|10g3%ll=|log3x2|.

因为0<X]<刀2，所以0<Xi<1<刀2，

且一log3Xi=log3X2>所以10g3%l+log3X2=log3X1X2=0,

所以勺％2=1，所以4X]+必=4%1+2,0<%1<1.

因为函数y=4x+；在(0修)上单调递减，在1)上单调递增，

所以当巧=；时，4xi+&取得最小值为生............(12分)

解析：互为反函数的图像关于直线y=x对称，反之亦然.由此求出函数y=g(x)

对多元函数最值，一般可消元，化为一元函数最值.

18.答案：解：⑴由条件知cosNPOQ=fd严=在，所以P(l,2).(2分)

2X4Xv55

由此可得振幅4=2,周期T=4x(4—1)=12,又史=12,则3=£

\/36

将点P(l,2)代入/'(%)=2sin(^x+<p),得sin/x+<?)=1,

因为0<3<5所以9=会于是/'(%)=2sin("+)(6分)

(2)由题意可得g(x)=2sin^(x-2)+)=2sin^x.

所以/i(x)=/(x)■g(x)=4sin(-x+-)-sin-x=2sin2-x+2V3sin7X-cos-%=1—cos^x+

6366663

Visingx=1+2sin(^x—(9分)

当#6(-1,2)时，枭一江(一]，》所以sin(gx-，)6

即1+2sin(^x—》e(-1,3).于是函数h(x)的值域为(一1,3).(12分)

解析：(1)从给出的三角函数图象中给出三个线段信息，从中可以求出图象最高点的坐标，；的长度，

由此推理出三角函数的解析式；

(2)由题意先求出g(x),八。)的函数解析式，由x的范围求出的范围，同时结合三角函数的图

象进行分析，即可求出其函数值域.

本题主要考查了三角函数图象的平移、三角函数的恒等变换及三角函数的值域等知识，考查了求解

三角函数的值域，关注自变量x的取值范围是解题的关键，属于中档题.

19.答案：解：(1)当a=l时，p：1<x<3♦q：2<x<3»

丁尸且可为真,

••・X满足

[1<x<3

即2VxV3.

(2)由「p是「g的充分不必要条件知，0是p的充分不必要条件，

由广知,即A={x<x<3a,n>0),

由g知，B=(x|2<zr<3),

.•.虑A,

・'.a42且3<%，

RWa的取值范围是l<a<2.

解析：(1)本题主要考查p且q真时等价于p真q真的应用，求解不等式的交集即可.

(2)若又是的充分不必要条件到q是p的充分不必要条件的转化是解决本题的关键.

20.答案:解：/(%)=-(%-1)2-2；

/(2)=-3,/(0)=-3；

2

.♦.当2a—1W0即aW;时，fmin(x)=/(2a-1)=-4a+8a-6；

当0<2a—1<2即?<a<弓时，加m(x)=/(2)=-3；

(91

—4Q“+8a—6Q4一

2

不妨记/(%)的最小值为g(Q),则g(a)=<13

l-32-<a<-2

—4a2+8a—6——4(a—1)2—2；

*,•CL4万时，—4a2+8a—6单调递增；

二aW泄，g(a)<遍)=-3；

g(a)的最大值为-3：

即f(x)在［2a-1,2］上的最小值的最大值为-3.

解析：本题考查二次函数的定轴动区间的最值问题.

对/(©配方即可知道/(x)的对称轴为x=1，且f(2)=/(0)=-3,所以讨论2a-1和0的关系，可结

f-4a*+8a—6aW-

合二次函数的图象可求得/(x)的最小值，设最小值为g(a)=4］2根据

\|—32-<a<-2

二次函数的最值及分段函数的最值即可求得g(a)的最大值.

21.答案：解：(I)/(x)=2Hsinxcosx+cos2x=2sin(2x+*),

所以/©)=2siW=2；

oZ

(n)由周期的计算公式可得，八工)的最小正周期为兀，

令2kli--2<2%+-6<2kn+2

解得一^+1兀三尤4m+人兀，

3