二次函数及其图象和性质教案

第09讲二次函数及其图象和性质（一）适用学科初中数学适用年级初中三年级适用区域全国课时时长（分钟）120分钟知识点1.二次函数的定义2.二次函数，，，的图像及性质3.二次函数图像平移规律教学目标理解二次函数的定义会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质3.经过观察、比较、总结和应用等数学活动，感受和体验发现的快乐,并提高应用意识4在对比学习和探究的过程中，总结学习函数的基本方法和套路教学重点二次函数的图像及性质教学难点二次函数的图像及性质的应用教学过程一、复习预习我们已经学了一次函数，请大家回忆一下一次函数的定义一次函数的图像①画图②待定系数法求解析式3.一次函数的性质本节课我们将继续学习二次函数，请同学们先来看我们手里的课本复页.二、知识讲解提问：在式子中，是的函数吗？若是，与我们以前学过的函数相同吗？若不相同，那是什么函数呢？答案：根据函数的定义，可知是的函数，与以前学过的一次函数不同，猜想它是二次函数。该式子的特征是①含两个变量（自变量）、（因变量）；②式子右边有三项：二次项、一次项、常数项，最高次项是次。1.二次函数定义：一般地，形如(是常数，)的函数叫做的二次函数.注意：定义中只要求二次项系数不为零（必须存在二次项），一次项系数、常数项可以为零。2.二次函数基本形式：的图像性质：画图步骤（1）列表：画二次函数的图象，必须先配方找到顶点，再将取五个数，正中取顶点，向两边平均取点；（2）描点：根据表格中每个的实数对，在坐标系中描出相应的点；（3）连线：按照从左到右的顺序沿着各点用平滑的线连起来。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值0．向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值0．的性质：上加下减的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．的性质：左加右减的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上X=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．向下X=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．的性质：左加右减，上加下减的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上X=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．向下X=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．注意：(1)a的绝对值越大，抛物线的开口越小.(2)理解并掌握平移的过程，由，的图象与性质及上下平移与左右平移的规律：将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：平移规律：概括成八个字“左加右减，上加下减”．考点/易错点1定义中只要求二次项系数不为零（必须存在二次项），一次项系数、常数项可以为零。考点/易错点2平移时一定要把一般式变成顶点式，然后再利用平移的规律进行变换.三、例题精析【例题1】【题干】下列函数中是二次函数的有（）①y=x＋；②y=3（x－1）2＋2；③y=（x＋3）2－2x2；④y=＋x．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】①④中未知项的最高次数都是1次，不是2次，因此不是二次函数；②③通过化简成一般形式，发现它们符合且，所以答案为B。【例题2】【题干】函数y=（m＋2）x＋2x－1是二次函数，则m=．【答案】【解析】中，只有二次项系数时，才是二次函数，，故答案为；【例题3】【题干】已知是二次函数，且当时，y随x的增大而增大．（1）求k的值；（2）求顶点坐标和对称轴【答案】解（1）由题意，得，解得k=2．（2）二次函数为，则顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴【解析】主要是考察二次函数的定义及二次函数的图像性质【例题4】【题干】在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．，，，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．【答案】列表x…-3-2-10123……202……8202……60-20…描点、连线，画出这三个函数的图象，所示【解析】观察学生对作图的掌握程度.【例题5】【题干】不画出图象，你能说明抛物线与之间的关系吗?【答案】抛物线的顶点坐标为（0，0）；抛物线的顶点坐标为（-2，0）．因此，抛物线与形状相同，开口方向都向下，对称轴分别是y轴和直线．抛物线是由向左平移2个单位而得的.【解析】考查抛物线的性质以及求顶点坐标、对称轴的方法．【例题6】【题干】将二次函数y=2（x-1）-3的图象向右平移3个单位，则平移后的二次函数的顶点是（）A．（-2，-3）B．（4，3）C．（4，-3）D．（1，0）【答案】C【解析】向右平移3个单位，将抛物线y=2（x-1）-3变为y=2（x-1-3）-3，即y=2（x-4）-3．则平移后的二次函数的顶点是（4，-3）．【例题7】【题干】二次函数y=x+4x+3的图象可以由二次函数y=x的图象平移而得到，下列平移正确的是（）A．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位B．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位C．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位D．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位【答案】B【解析】根据题意y=x+4x+3=（x+2）-1，按照“左加右减，上加下减”的规律，它可以由二次函数y=x先向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到.【例题8】【题干】若二次函数y=-x图象平移后得到二次函数y=-（x-2）+4的图象．（1）平移的规律是：先向（填“左”或“右”）平移个单位，再向平移个单位．（2）在所给的坐标系内画出二次函数y=-（x-2）+4的示意图．【答案】（1）原抛物线的顶点坐标为（0，0），新抛物线的顶点坐标为（2，4），说明新抛物线向右移动了2个单位，向上移动了4个单位．抓住顶点（2，4），与y轴（0，0），x轴的交点（4，0）（0，0）等关键点来画．【解析】画抛物线，应抓住顶点与y轴x轴的交点等关键点来画．四、课堂运用【基础】1.是二次函数吗？【答案】是【解析】因为化简能变成（）的形式已知函数y=ax2＋bx＋c（其中a，b，c是常数），当a时，是二次函数；当a，b时，是一次函数；当a，b，c时，是正比例函数．【答案】，，；【解析】考察二次函数的定义3.函数的开口，对称轴是，顶点坐标是；【答案】向上；y轴；（0,0）【解析】考察二次函数的性质抛物线的开口，对称轴是，顶点坐标是，它可以看作是由抛物线向平移个单位得到的.【答案】向上，y轴，（0，-9），下，9【解析】考察二次函数图像性质及平移.函数，当x时，函数值y随x的增大而减小．当x时，函数取得最值，最值y=．【答案】大于零，大，大，3【解析】考察二次函数图像性质.抛物线的开口，对称轴是，顶点坐标是，它可以看作是由抛物线向平移个单位得到的【答案】向上，x=1，（1,0）右，1.【解析】考察二次函数图像性质，及平移.【巩固】当m时，y=（m－2）x是二次函数．【答案】【解析】考察二次函数的定义某商场将进价为40元的某种服装按50元售出时，每天可以售出300套．据市场调查发现，这种服装售价每提高1元，销量就减少5套，如果商场将售价定为x元，请你得出每天销售利润y（元）与售价x（元）的函数表达式．【答案】化简得；【解析】提前接触二次函数应用画出函数y＝2x2－3x的图象，并说出它与坐标轴的交点坐标以及顶点坐标.【答案】列表：x0y00描点并连线：【解析】考察图像画法4.将抛物线如何平移可得到抛物线（）A．向左平移4个单位，再向上平移1个单位B．向左平移4个单位，再向下平移1个单位C．向右平移4个单位，再向上平移1个单位D．向右平移4个单位，再向下平移1个单位【答案】A【解析】本题考察的是图像的平移和解析式的关系【拔高】1.二次函数y＝x−2x−2的图象向右平移2个单位后，再向上平移5个单位，平移后的图象的二次函数解析式为_____________.【答案】y＝(x−4)+1【解析】y＝x−2x−2=（x-2）-4，把它向右平移2个单位，再向上平移5个单位，得y=（x-2-2）-4+5，即为y=（x-4）+1．故答案为y=（x-4）+1．2.已知二次函数y=x-2x-1．（1）求此二次函数的图象与x轴的交点坐标；（2）将y=x的图象经过怎样的平移，就可以得到二次函数y=x-2x-1的图象．【答案】（1）二次函数的解析式y=x-2x-1，令y=0，得到x-2x-1=0，移项得：x-2x=1，两边加上1得：x-2x+1=2，即（x-1）=2，可得x-1=2或x-1=-2，解得：x=2+1，x=-2+1，则此二次函数的图象与x轴的交点坐标分别为（2+1，0）、（-2+1，0）；（2）将二次函数y=x2-2x-1化为顶点式为y=（x-1）-2，∴将y=x的图象先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，可得到二次函数y=x-2x-1的图象．【解析】（1）令二次函数解析式中y=0，得到关于x的一元二次方程，求出方程的解可得出二次函数与x轴的交点坐标；（2）将二次函数y=x-2x-1化为顶点形式，然后比较y=x与y=（x-1）-2，根据图象的平移规律“上加下减、左加右减”，可得出平移的过程．课程小结掌握二次函数的定义和性质，能够通过应用描述求二次函数.2.二次函数平移的过程及规律:平移时一定要把一般式变成顶点式，然后再利用平移的规律进行变换.课后作业【基础】1.下列不是二次函数的是（）A．y=3x2＋4B．y=－x2C．y=D．y=（x＋1）（x－2）【答案】C【解析】二次函数定义2.下列函数中，哪些是二次函数？(1)(2)(3)（4）（5）（6） （7） （8）是二次函数的是：【答案】二次函数的是（1）；（3）；（4）；（6）。【解析】化成一般式后再看是否满足二次函数的形式，注意分母和根号不能有未知数。3.函数的开口，对称轴是，顶点坐标是．【答案】向下；y轴；（0，0）【解析】二次函数定义4.在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向上平移2个单位长度长度，所得图象的解析式为（）AB．C．D．【答案】B【解析】二次函数图像平移5.抛物线y=20－x2可以看作抛物线y=______沿y轴向______平移_____个单位长度长度得到的。【答案】y=-，上，20【解析】二次函数图像平移【巩固】1.通过配方，确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画图．【答案】解：因此，抛物线开口向下，对称轴是直线x=1，顶点坐标为（1，8）由对称性列表：x…-2-101234……-1006860-10…描点、连线，如图26．2．7所示．【解析】此题主要考查了二次函数图象以及配方法求出二次函数顶点坐标，利用配方法求出函数顶点坐标是解题关键．2.已知抛物线的顶点在坐标轴上，求的值．【答案】，则抛物线的顶点坐标是．当顶点在x轴上时，有，解得．当顶点在y轴上时，有，解得或．当抛物线的顶点在坐标轴上时，有三个值，分别是–2，4，8．【解析】本题考查二次函数的性质，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．【拔高】1.把抛物线向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线，求b、c的值.【答案】解：．向上平移2个单位，得到，再向左平移4个单位，得到，其顶点坐标是，而抛物线的顶点为（0，0），则解得【解析】考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．2.推理运算：二次函数的图象经过点A（0，-3），B（2，-3），C（-1，0）．（1）求此二次函数的关系式；（2）求此二次函数图象的顶点坐标；（3）填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少平移个单位，使得该图象的顶点在原点．【答案】（1）设y=ax+bx-3，把点（2，-3），（-1，0）代入得4a+2b−3＝−3a−