抽象函数模型归纳总结（八大题型）（学生版）

(1)对于正比例函数fx=kxk≠0，与其对应的抽象函数为fx±y=fx±fy.(2)对于一次函数fx=kx+bk≠0，与其对应的抽象函数为fx±y=fx±fy∓b.(3)对于二次函数fx=ax2+bx+ca≠0，与其对应的抽象函数为fx+y=fx+fy+2axy-c(4)对于幂函数fx=xn，与其对应的抽象函数为fxy=fxfy.(5)对于幂函数fx=xn，其抽象函数还可以是f=.(6)对于指数函数fx=ax，与其对应的抽象函数为fx+y=fxfy.11(7)对于指数函数f(x(=ax，其抽象函数还可以是f(x-y(=.(8)对于对数函数f(x(=logax，与其对应的抽象函数为f(xy(=f(x(+f(y(.(9)对于对数函数f(x(=logax，其抽象函数还可以是f=f(x(-f(y(.(10)对于对数函数f(x(=logax，其抽象函数还可以是f(xn(=nf(x(.(11)对于正弦函数f(x(=sinx，与其对应的抽象函数为f(x+y(f(x-y(=f2(x(-f2(y(注：此抽象函数对应于正弦平方差公式：sin2α-sin2β=sin(α+β(sin(α-β((12)对于余弦函数f(x(=cosx，与其对应的抽象函数为f(x(+f(y(=2ff(13)对于余弦函数f(x(=cosx，其抽象函数还可以是f(x(f(y(=[f(x+y(+f(x-y([(14)对于正切函数f(x(=tanx，与其对应的抽象函数为f(x±y(=1已知f(x+y(=f(x(+f(y(-1且f(1(=2，则f(1(+f(2(+⋯+f(n(不等于1A.f(1(+2f(1(+⋯+nf(1(-B.f+n-1C.D.n(n+1(2已知函数f(x(的定义域为R，且f≠0，若f(x+y)+f(x)f(y)=4xy，则下列结论错误的是2()A.f-=0B.f=-222333+2x-3，f(0(=-1，则不等式f(x(>3-2x的解集为()34411且f(-2)=1，则f(2n((n∈N*(=()A.4n+6B.8n-1C.4n2+2n-1D.8n2+2n-522A.f(1(=1B.f(x(为偶函数C.f(x(有最小值D.f(x(在[0,1[上单调递增3(2024·陕西西安·模拟预测)已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x)+f(y)=f(x+y)-2xy+2,3A.f(4)=12B.方程f(x)=x有解C.f4f(x+y(=f(x(+f(y(+6xy，则f(i(的最小值是()41已知函数f(x(的定义域为(-∞,0(∪(0,+∞(，且xf(x(=(y+1(f(y1A.f(x(≥0B.f(1(=1C.f(x(是偶函数D.f(x(没有极值点2(2024·河北·模拟预测)已知定义在(-∞,0(∪(0,+∞(上的函数f(x(满足f(xy2B.f(x(是奇函数且在(-∞,0(上单调递增A.fB.f(x(是奇函数且在(-∞,0(上单调递增44C.fx是偶函数且在0,+∞上单调递减D.fx是偶函数且在-∞,0上单调递增1(多选题)(2024·山西晋中·三模)已知函数fx的定义域为R，满足fx+y=fxfy+fx+fy，且f0≠-1，f1>-1，则下列说法正确的是()1A.f0=0B.fx为非奇非偶函数C.若f1=1，则f4=15D.fx>-1对任意x∈N*恒成立2已知函数fx满足，fp+q=fp⋅fq,f1=3，则++++的值为()23 如果fa+b=fafb且f1=2，则++=()3A.B.C.6D.84已知函数fx对一切实数a,b满足fa+b=fa⋅fb，且f1=2，若an=4，则数列{an{的前n项和为()A.nB.2nC.4nD.8n1(多选题)已知函数fx的定义域为R，fxy=y2fx+x2fy，则().1A.f0=0B.f1=0C.fx是偶函数D.x=0为fx的极小值点2.已知定义在0,+∞上的函数fx，满足fxy+1=fx+fy，且f=0，则f211=()2A.1B.11C.12D.-133xfy+yfx成立，则下列说法中正确的有()个.①f0=f1=0；②若当x>1时，fx>0，则函数gx=在0,+∞单调递增；*，fxn=nxn-1fx；④若f=-，则=2n-2.D.4A.1B.2C.3D.45544A.f(1(=1B.f(-1(=1C.f(x(为偶函数D.f(x(为奇函数11A.f(x)为偶函数B.f(3)=-2C.f(-1)=f(5)D.f(k)=-22(多选题)(2024·全国·模拟预测)已知函数f(x(的定义域为R，且f(x+y)f(x-y)=f2(x)-f2(y),2A.f(x)为偶函数B.f(3)=-1C.f(-1)=-f(5)D.f(k)=11(多选题)已知定义域为R的函数f(x(满足f(x+y)=f(x)⋅f(y)-f(2-x)f(2-y)，且f(0(≠0,1A.f(2(=1B.f(x(是偶函数2C.[f(x)]2+[f(2+x)]2=1D.f(1(+f(2(+f(3(+⋯+f(2024(=12(多选题)(2024·辽宁·二模)已知定义城为R的函数f(x(．满足f(x+y(=f(x(f(y(-f(1-x(f(1-y(，且f(0(≠0，f(-1(=0，则()A.f(1(=0B.f(x(是偶函数C.[f(x([2+[f(1+x([2=1D.f(i(=-13f(3x+1)=-f(-3x+1)，则f(k)=()3A.-2B.-1C.0D.14(2024·安徽·模拟预测)若定义在R上的函数f(x(，满足2f(x+y(f(x-y(=f(2x(+f(2y(，且f(1(=-1，则f(0(+f(1(+f(2(+⋅⋅⋅+f(2024(=()4A.0B.-1C.2D.11定义在(-1,1(上的函数f1f-=1．设m=f+f+⋯+f,n≥2,n∈N∗,则实数m与-1的大小关系为()A.m<-1B.m=-1C.m>-1D.不确定2=f-fn=f，n∈N*1+a2+a3+⋯+a2024=()2A.fB.fC.fD.f（( 1已知函数f(x)对于一切实数x,y均有f(x+y)-f(y)=x(x+2y+1)成立，且f(1)=0，则当x∈ f(2017(=()3f(x(满足对任意的实数a,b都有f(a+b(=f(a(•f(b(，且f(1(=2，则+++⋯+=() +数f(x)对任意a,b满足f(a+b)=f(a)f(b)，且f(1)=2，则+++⋯ A.一定是奇函数B.一定是偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数 6(2024·全国·模拟预测)已知函数f(x(的定义域为R，f(x(f(y(-f(x(=xy-y，则()6A.f(0(=0B.f(-1(=1C.f(x+1(为偶函数D.f(x+1(为奇函数67设函数y=f(x(的定义域为(0,+∞)，f(xy(=f(x(+f(y(，若f(9(=6，则f(33(等于()7A.B.2C.D.8f(x+y(-f(x-y(=2f-x8A.f(x(为偶函数B.f(x(=2ffC.f(1(+2f(2(+3f(3(+⋅⋅⋅+2023f(2023(=1D.[f(x([2+f-x（2=19()9A.f=0B.f(0)=-2C.f(x)的一个周期为3D.f=2f(xy(+xy=xf(y(+A.f(x(为奇函数C.若x≠0，则xf+f(x(为定值B.f(x(为R上减函数A.f(0)=1B.f(1)=-1C.f(x)是偶函数D.f(x)是奇函数(多选题)(2024·广西·二模)已知函数y=f(x(的定义域与值域均为Q+，且f(y(f=f(x(+f2(y(+txf(y((t∈N*(，则()A.f(1(=1B.函数f(x(的周期为4C.f(x(=x2(x∈Q+(D.t=2(多选题)已知非常数函数f(x(的定义域为R，且f(x(f(y(=f(xy(+xy(x+y(，则()A.f(0(=0B.f(1(=-2或f(1(=1D.f(x(是R上的增函数(多选题)已知f(x(是定义在R上的函数，∀x∈R,f(x(>0，且f(xy(=f(x(⋅f(y(-x2-()A.f(1(=1B.f(x(是偶函数C.f(x(的最小值是1D.不等式f(x-2(<10的解集是(-1,5((多选题)已知函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),x,y∈R，则()A.f(0)=0B.f(k)=k77C.f(x)=kf,(k≠0)D.f(-x)f(x)<0(多选题)(2024·高三·云南昆明·开学考试)fy-2xy，则()A.f(0)=0B.f(2)=4C.y=f(x)-2x是奇函数D.y=fx-2x2是偶函数A.f0=0B.f2=8C.f,1=4D.f(k)=(n-1)⋅2n+1+2(多选题)(2024·全国·模拟预测)已知函数fx的定义域为R，且fx+y=fxfy+fx+fy，x>0时，fx>0，f2=3，则()A.f1=1B.函数fx在区间0,+∞单调递增C.函数fx是奇函数D.函数fx的一个解析式为fx=2x-1(多选题)已知函数y=fx，对于任意x,y∈R，=fx-y，则()A.f0=1B.fx2=2fxC.fx>0D.≥fA.f0=0B.fx是偶函数C.当A，B是锐角△ABC的内角时，fsinA<fcosBD.当xn>0，且=，x1=时，fxn=2n-1(多选题)函数fx的定义域为R，f≠0，若fx+y+fxfy=4xy，则下列选项正确的有()A.f-=0B.f=-2