中考数学复习专题02 求函数的特殊点（解析版）

专题02新知识学习型&新定义问题之求函数的特殊点压轴题解读压轴题解读先把新定义中的等量关系翻译成一个函数解析式、再把翻译出的函数与每一问中的函数联立，总结成六个字，就是：先翻译、再联立。①联立之后若得到含参数的一元一次方程a1.(中考真题)在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“梦之点”,例如点(-1,(1)若点P(2,m)是反比例函数(n为常数，n≠0)的图象上的“梦之点”,求这个反比例函数的解(2)函数y=3kx+s-1(k,s是常数)的图象上存在“梦之点”吗?若存在，请求出“梦之点”的坐标；若不存试求出t的取值范围.【解答】解：(1)“点P(2,m)是“梦之点”,∴m=2,“点P(2,2)在反比例函数(n为常数，联立得：x=3kx+s-1,整理，得(3k-1)x=1-s,当3k-1≠0,即是常数)的图象上存在“梦之点”,时，解得;当3k-1=0,1-s=0,即s=1时，x有无穷多解；当3k-1=0,1-s≠0,●,●,当x₂),∴x₁=ax₁²+bxi+1,x₂=ax₂²+bx₂+1,∴axi²+(b-1)xi+1=0,ax₂²+(b-1)x₂+1=0,∴xi,xz是一元二次方程ax²+(b-1)x+1=0的两个不等实根，;.(2)若点A(1,m)与点B(n,-4)是关于x的“H函数”y=ax²+bx+c(a≠0)的一对“H点”,且该函数的对称轴始终位于直线x=2的右侧，求a,b,c的值或取值范围.-a)(2c+b+3a)<0,求该“H函数”截x轴得到的线段长度的取值范围.(2)∵A,B是“H点”,∴A,B关于原点对称，∴m=4,n=-1,∴A(1,4),B(-1,-4).∵该函数的对称轴始终位于直线x=2的右侧，解得ap²+3c=0,2bp=q,∵p²>0,∴a(2c+b-a)(2c+b+3a)<0,∴(2c-a-c-a)(2c-a-c+3a)<0,∴(c-2a)(c+2a)<0,,,∵-2<t<0,∴2<|xi-x₂|<2√7.=1,我们就说1是函数y=x-1的零点.已知函数y=x²-2mx-2(m+3)(m为常数).(1)当m=0时，求该函数的零点；(2)证明：无论m取何值，该函数总有两个零点；(3)设函数的两个零点分别为x₁和xz,此时函数图象与x轴的交点分别为A、B(点A(2)令y=0,得△=(-2m)2-4[-2(m+3)]=4(m+1)²+20>0∴无论m取何值，方程x²-2mx-2(m+3)=0两个零点.(3)依题意有xi+x₂=2m,xjx₂=-2(m+3),总有两个不相等的实数根.即无论m取何值，该函数总有由解得m=1.解得x₁=-2,x₂=4,∴A(-2,0),B(4,0),连接CB',则∠BCD=45°∴BC=CB'=6,∠B'CD=∠BCD=45°,∴∠BCB'=90°,即AM的解析式为即B'(10,-6),压轴题预测压轴题预测4.在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点.例如：点(1,1),①求a,c的值；②若1≤x≤m时，函数)的最小值为-1,最大值为3,求实数m的取值范围.解得x=-1,∴和谐点为(-1,-1);(2)①∵点是二次函数y=ax²+6x+c(a≠0)的和谐点，A=25-4ac=0,∴a=-1,;函数的最大值为3,最小值为-1;当3≤m≤5时，函数的最大值为3,最小值为-1.5.(青竹湖)定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“青一函数”,该点其“青一点”为(1,2).的图象上的青一点是;上有两个“青一点”,求m的取值范围；(3)若函数的图象上存在唯一的一个“青一点”,且当-1≤m≤3时，n的最小值为y,:整理得，n=(m-k)2+2k(-1≤m≤3),对称轴为直线m=k,此时n的最小值为2k;根据题意需要分类讨论：(舍去).综上，k的值为0或6.在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“立信点”,例如点(-1,-1),(0,0),(2022,2022)….,都是“立信点”.(1)①函数y=-2x+1图象上的“立信点”坐标为(2)若二次函数y=x²+2(k+2)x+k²的图象上存在A(x,x₁),B(xz,x₂)两(3)若二次函数y=ax²+bx+1(a,b是常数，a>0)的图象上有且只有一个“立信点”,令s=b²+4a,当【解答】解：(1)①当x=y时，x=-2x+1,此时坐标为●,●,②当x=y时，x=x²+2x-2,此时坐标为(-2,-2)或(1,1).9有两个相等的实数根，(3)由题意可知，ax²+(b-1)x+1=0,有两个相等的实数根，当7.在平面直角坐标系中，我们不妨把纵坐标是横坐标3倍的点称为“一中点”,例如点(1,3),(2,6),P₂(-1,-3).【解答】解：(1)①当3x=2x-1,解得x=-1,∴点(-1,-3)在y=2x-1上，∴y=2x-1存在一中点”(-1,-3),故答案为：V;1199时，∵△=9-16<0,∴y=x²+4●,,(3)“函数当c≤-1时，(-1-c)2-c+2=c,整理得c2=-3,∴(1)直线(填写直线解析式)上的每一个点都是“麓点”;双曲线上的“麓点”A(xj,yr)和B(xz,yz),(3)若函数(n-k+1)x+m+k-1的图象上存在唯一的一个“麓点”,且当-2≤n≤1时，m的最(2)由题意得：y=x,即：9,9当a=1时，函数取得最小值为(3)∵函数△=(n-k)2-(m+k-1)=0,∴m=(n-k)2-(k-1),②当n=k≤-2时，n=-2,m取得最小值，即：(-2-k)2-(k-1)=k,解得：无解.9.(中雅)已知y是x的函数，若函数图象上存在一点P(a,b),满足b-a=2,则称点P为函数图象(3)若二次函数t,求t的值.【解答】解：(1)设梦幻点P(a,a+2),∵点P是直线∴a=-1±√k+1,∴P₁(-1+√k+1,1+√k+1),P₂(-1-√k+1,1-√k+1),以以(3)∵点P是二次函数∵图象上存在唯一的梦幻点，∴△=0,∴∴n=m²-2mt+t²-t+2,该函数图象开口向上，对称轴为m=t,①当对称轴是m=t≥3时，函数在m=3时，取得最小值，即：n=9-6t+(t²-t+2)=t,②当对称轴是m=t≤-2时，函数在m=-2时，取得最小值，即：n=4+4t+(t²-t+2)=t,③当对称轴是-2<m=t<3时，函数在m=t时，取得最小值，即：n=t²-2t²+(t²-t+2)=t,10.定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n(n≥0)的点叫做这个函数图象的“n阶方点”.例如，点(1)在①;②(-1,-1);③(1,1)三点中，是反比例函数有(填序号);(2)若y关于x的一次函数y=ax-3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，求a的值；(3)若y关于x的二次函数y=-(x-n)2-2n+1图象的“n阶方点”一定存在，请直接写出n的取值范(1)①到两坐标轴的距离分别是2>1,∴不是反比例②(-1,-1)到两坐标轴的距离分别是1≤1,1≤1,∴(-1,-1)是反比例函数③(1,1)到两坐标轴的距离分别是1≤1,1≤1,∴(1,1)是反