初中数学辅导

初中数学专题辅导

一.应用方程处理问题

在进入了二十一世纪的今天，世界的高科技迅猛发展，带动了各学科的发展，数学也是

一样，特别是计算机的应用，给数的发展助以强大的动力。在这种情况下，数学教育更加重

视提高人的素质，强调了加强应用意识，发展创造能力，这是教育中带有方向性的问题。

在中学数学里加强了问题解决的培养和训练，由一般性问题解决向开放性问题解决发

展，因此列方程解应用题被人们更加重视起来。列方程解应用题的内容很丰富，列方程解应

用题不仅要求能熟练地解方程，而且要求具有从实际问题中抽象出数量关系，并用代数式和

方程将这种关系表达出来的能力。这就需要有较强的分析能力和综合能力。

【考点解析】

例.张清是运输公司的经理，他接受了这样的运输任务：把第一仓库的50吨面粉和第二

仓库的70吨面粉运往甲、乙两个面包加工厂，其中甲厂接收40吨面粉，乙厂接收80吨面

粉。显然，张清是可以安排出很多运输方案的，考虑到厂家的利益，要使总的运费最省，如

果1吨面粉的运输费用如表一所示，那么，张清应该怎样安排运输任务才能使总的运费最

低？

\厂

甲乙

仓腔

第一仓库6元8元

第二仓库4元5元

表一

分析：这是一个生产实际问题，在我们的日常生活中经常遇到，首先应把这个实际问题

转化为数学问题。

三厂

甲乙

仓“

(40)(80)

第一仓库（50）%

第二仓库（70）

表二

解：假设张清安排的运输方案如表二，那么千为、0K应满足下面的数量关系:

jq-+^2=50(D

多=R(2)

%-Hq=40(3)

.+q=80(4)

也就是说我们得到了有四个未知量，三个独立方程组成的四元一次方程组，因此，可以

把豆、毛、③分别用玉表示出来。

如果设总运费为N,那么有

=(y>q-F^3D-^0-K1^O~^)-I^3C>+^)

^^710-^;

所以，只要Xi取最大值40,总运费N取最小值670,也就是说，由第一仓库给甲厂运

40吨面粉，给乙厂运10吨面粉，再由第二仓库给乙厂运70吨面粉，即完成了给定任务，

还使总运费最省，共计670元。

点评：本题是2001年北京市海淀区数学中考说明当中的一道题，是一道数学应用问题。

本题充分运用了方程的思想，用消元的方法把其、毛、W分别用玉表示出来，然后由毛的

取值范围确定运费N的最小值。

【例题分析】

例1一件工作，由甲单独作需要24个小时，由乙单独做需要18个小时，现在先由甲单

独作6个小时，剩下的部分由甲、乙合作，完成这件工作需要几小时？

分析：若直接设元，则设完成这件工作需要x个小时，列方程解出x即可。若间接选元

则可以设甲、乙合作用了x个小时，则x+6就是问题要求的未知量。

解法1：(直接设元)设完成这件工作共需x个小时，由已知甲先工作了6个小时，则甲、

乙合作了(x—6)个小时。设全部工作量为1,则甲的工作效率为」乙的工作效率为上，

2418

根据题意列方程：

17

即：—+(%-6)x——=1

472

解得：％=13^(小时)

答：共需13—小时完成全部工作。

7

解法2：(间接设元)设甲先工作6小时后，甲、乙又合作x个小时，由题意，得:

「工=7^(<|口寸

答：完成这件工作需131小时。

7

小结：本题解法1和解法2表示了两种选元方法，一般地说，当直接选元比较难解时，

可以采用间接选元的方法。

例2一个三位数，它的百位上的数比十位上的数的2倍大1,个位上的数比十位上的数的

3倍小1。如果这个三位数的百位上的数字和个位上的数字对调，那么得到的三位数比原来

的三位数大99。求原来的三位数。

分析：这个问题如果直接选元，很难列出方程，所以适合间接选元。因为百位上的数和

个位上的数都和十位上的数直接发生联系，故可选十位上的数为元。

解：设原来的三位数的十位上的数为x,则它的百位上的数为2x+l,个位上的数为3x

-1,这个三位数表示为：

100(2x+l)+10x+(3x-l)

把这个三位数百位上的数字和个位上的数字对调后得到：

100(3x-l)+10x+(2x+l)

根据题意，得方程：

100(3x-1)4-10x+(2x+1)=100(2x+l)+10x+(3x-1)+99

解这个方程，得：

99x=198+99

贝&+石学3^壬W

答：原来这个三位数是738。

例3一轮船从一号桥逆水开往二号桥，开过2号桥20分钟以后到达A处，发现在二号桥

处失落一根圆木，船即返回追圆木，结果在一号桥追上。已知两桥相距2公里，求水流速度。

分析：这个题需要设辅助未知数来解决。因为题目只给了开过二号桥20分钟和两桥间

相距2公里。如果只设水流速度为每分钟x公里是列不出方程的。这就需要设船速为辅助未

知数，以建立等量关系列出方程。

解：设船速为每分钟a公里，水流速度为每分钟x公里，依题意列方程：

2.20(。—x)2

xa+xa+x

日口220。-20尤+2

xa+x

(2—20x)(〃+尤)=x(20a-20%+2)

...x=：=0.05(公里/分)

经检验知二=,是原方程的解，并且符合题意。

20

答：水流速度为每分钟0.05公里。

例4已知盐水若干升，第一次加入一定量的水后，盐水的浓度变为3%；第二次又加入同

样多的水后，盐水的浓度变为2%,求第三次加入同样多的水后盐水的浓度。

解：本题需设辅助未知数。设原有盐水a升，每次加入水量是b升，且设第三次加入水

后，盐水浓度为x%,依题意列方程组：

，＜3

A

由(1)得：

得a=b

代入(2)得：丰0)

答：第三次再加入同样多的水后，盐水浓度为1.5%。

小结：例3和例4都要把辅助未知数消去，简称消去参数。

【模拟试题】

1.一件工作甲做9天可以完成，乙做6天可以完成，现在甲先做3天，余下的工作由乙

继续完成，乙需要做几天可以完成全部工作？

2.甲乙两地相距12千米，小张从甲地到乙地，在乙地停留半小时后，又从乙地返回甲地,

小王从乙地到甲地，在甲地停留40分钟后，又从甲地返回乙地，已知两人同时分别从甲、

乙两地出发，经过4小时后，他们在返回的途中相遇，如果小张速度比小王速度每小时多走

1.5千米，求两人的速度。

3.有某种农药一桶，倒出8升后用水补满，然后又倒出4升，再用水补满，于是测得桶

中农药与水的比为18：7,求桶的容积。

4.小船航行于内河的A、B两个码头之间逆流而上需要航行6小时，已知小船在静水中

航行AB这段路程比顺流而下要多用1小时，求小船顺流而下航行所需时间。

5.甲、乙二人分别从A、B两地同时出发相向而行，甲走10米后两人第一次相遇，然后

甲继续向前走到B处立即返回，乙继续向前走到A处立即返回，在距离B点6米处二人第

二次相遇，问A、B两地相距多少米？

6.某团体从甲地到乙地，甲、乙两地相距100公里。团体中的一部分人乘车先行，余下

的人步行，先坐车的人到途中某处下车步行，汽车返回接先步行的那部分人，已知步行时速

8公里，汽车时速40公里。问要使大家在下午4点钟同时到达乙地，必须在什么时候出发？

7.某县农机厂金工车间共86个工人，已知每个工人平均可加工甲种部件15个，或乙种

部件12个，或丙种部件9个，问应安排加工甲种部件、乙种部件和丙种部件各多少人，才

能使加工后的3个甲种部件、2个乙种部件和1个丙种部件恰好配套。

8.一支队伍以a公里/小时的速度前进，一名通讯员要传送命令，从排头走到排尾，再回

到排头，此时队伍进行的路程正好等于队伍的长度，求通讯员的速度。

【疑难解答】

A.教师自己设计问题：

1.解答题的第6小题的问题实质是什么？

2.解答题的第7小题能不能用两种方法来解？

3.解答题的第8小题怎样设辅助未知数？

B.对问题的解答：

1.答：这个问题实质上要求的是如果按题设的行走方式，至少需要多少个小时。注意到

先坐车的人和先步行后坐车的人所用的时间总量是相等的，利用这个等量关系可以列方程。

解：设先坐车的一部分人下车地点距甲地x公里，这一部分人下车地点距另一部分人的

上车地点相距y公里。如图所示：(从甲地到乙地100公里)

汽车走(x+y)公里的时间与先步行后乘车的那一部分人从甲地走到上车点所用的时间

相等，列出方程为：

84D

先乘车后步行的一部分人从下车点到终点步行所用的时间等于汽车从下车点返回接另

一部分人到终点所用的时间，得出方程为：

x—yx+y

解方程组《840

100—y+、+100—1

^25

答：要使大家下午4点钟同时到达目的地，必须在中午11点出发。

2.答：本题若用方程组解，设安排加工甲种部件需x人，乙种部件需y人，丙种部件需z

人能使加工的三种部件按要求配套。根据等量关系列方程组：

jc+y-i-z=85JC=36

<15^=3x^=^my=3C

]2y=2x^feN=3D

设加工后的丙种部件有x个，那么甲种部件有3x个，乙种部件有2x个。根据题意列方

程：

京e曝…吠曲

「八五”常队

以上两种解法，第一种方法直接设元，第二种方法是间接设元。

3.答：分析：本题的已知量仅有a公里/小时，未知量仅有通讯员的速度，必须设辅助未

知量，设队伍的长度为/公里，通讯员的速度为x公里/小时。

根据题意得方程：」—+」—=,

x+ax-aa

解得:

试题答案

1.设整个工作量是1,乙还需X天完成。

列方程

2.设小张速度是x千米/小时，小王速度是y千米/小时。

12

列方程组：（4—十+&-”=36=解之得厂=6

]»>=15>45

3.设桶的容积为x升。

32

无一（12——）

18

列方程x

32~7

12——

x

答：x=40升。

4.小船顺流而下需航行x小时，小船在静水中速度为a千米/小时，水流速度为b千米/

小时。

列方程组

-、一马戈T二:

5.设两地相距为x米

6、7、8题见疑难解答。

用辩证思维解题

数学世界丰富多彩，又充满矛盾，渗透着辩证法。解题时不妨进行辩证思维，这样可以

激活求知的欲望，培养思维的品质，给解题带来耳目一新的感觉。

一"、顺向与逆向

例1.求一:的值。

解析：顺向与逆向是对立的，囿于顺向思维有时会给解题平添难度。

原式

=(29-28)-27——22+2

•••-22+2

=（23-22）+2

=22+2

=6

二、常量与变量

k

例2.如图，已知正比例函数＞=2＜；和）«＞^^的图像与反比例函数y=—（左＞0）

x

的图像在第一象限内分别交于A、B两点，过A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D。设aGE

和A6C2：的面积分别为5和邑，则4与52的大小关系是（）

CD

Lk

解析：由y=一可得孙=R。很显然，若点在节，是函数y=—(左>Q)图像上

的任意一点，过P作方QLx轴于Q,则△8。的面积是一个常量，都等于g,与点P在图

k

像上的位置无关。所以耳=星=万，选B答案。

三、直接与间接

例3.有一片牧场，假设草每天都在匀速生长(草每天增长量相等)，如果放牧24头牛，

则6天吃完牧草；若放牧21头牛，则8天吃完牧草，如果每头牛每天吃草的量是相等的。

问：

(1)要使牧草永远吃不完，最多放牧几头牛？

(2)如果放牧16头牛，几天可以吃完牧草？

解析：草生长与牛吃草是一组反向的量，我们可把草生长的速度和牛吃草的速度分别看

作是水流速度和船速。由可得草减少的速度。

(1)设草的总量为S,每天生长的速度为V1,每头牛每天吃草量为吃，则

o>

由(1)(2)得H=12^,即草的生长量等于12头牛每天的吃草量,所以最多放牧12头牛，

使牧草永远吃不完。

故放牧16头牛18天可以吃完草。

四、整体与局部

7*,则如出的值是

例4.若昂H1,且有

解析：若按常规方法，先求出a、b的值，再求出吐!■的值，则十分繁琐，而将也」

化为〃+—,利用所给的两个方程，此题就迎刃而解了。

（显然Z?=0不是方程的解）

故a与一都是方程的根，但“K一，由2C,得a与一是此方

1

程的两相异实根，从而乙+=------=^a,即此题应填-sea。

五、一般与特殊

例5.在2MBe中,于D,2L4E于F,AD与CF相交于G,且

则度。

解析：本题看起来似乎无所下手，若将2BT“特殊”为及N,则D、F与B重合，

这样问题就简单化了，可得

六、正面与反面

例6.老师在黑板上写下这样一道题：“已知”BC的面积9^1E,周长Z=12,求它的内切

圆半径”。很多同学很快求出内切圆的半径为3,惟独小明认为该题的已知条件不合时，压根就不

存在符合条件的“BC,你认为小明的想法正确吗？

解析：当正面证明命题结论比较困难时，可从反面提出与题目结论相反的假设，得出矛

盾，从而肯定原来结论成立。

假设存在符合条件的zMBC其内切圆半径为r,则5='>

2

.-=-----=^

I32

这是不可能的。因此小明的想法是正确的。

综上六例，灵活进行辩证思维，可以收到化繁为简，化难为易，缜密思维的奇效。让人

萌生“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”的感悟。

三一元二次方程的整数根

一元二次方程的整数根问题难度较大，是中考特别是竞赛中的爬坡题型。本文举例说明与一

元二次方程整数根有关问题的解法。

例1.已知方程上的两根都是整数，试求整数a的值。

思路分析：当a取值不同时，方程的系数就随之不同，方程的根的情况也就发生变化。

究意什么情况下，方程的两根都是整数呢？还是从根与系数的关系入手比较好。

解：设方程的两整数根为电、与，根据根与系数关系得：

«(D

(1)+⑵得：

所以"43^43^

JV]+1=—1

%2+1=7/+1=—7

因为，NC,所以用芍NC

x,=-2X]=—8

只有।或।符合题意，代入(2)得:

%=-84=-2

例2.已知方程^有两个不等的负整数根，则a的值是

思路分析：本题的条件在“整数根”的基础上更进一步，变为“负整数根”，这对系数

a有了更多的限制。另外，本题的a没有说它是整数，难度更大了。应当抓住“负整数根”

做文章。

解：f

石

所以-------不--------=—

J)

依题意有：——、——均为负整数，符合此条件的仅有＜»5。

fl-1Q+1

例3.设m为自然数，且若方程的

两根均为整数，则01=。

思路分析：题目已给出m的范围，再加上判别式应满足的条件，可进一步对m加以限

制，就不难求出符合条件的m值了。

因为原方程的两根均为整数，所以》?日必为完全平方数，且必为奇数的平方。于是

由得在此范围内的奇完全平方数只有25和49。

所以Nyiaw或Nya<i

所以或

经检验，兀加匚、24均符合题意。

误区点拨：本题解法的最后一步检验虽一语带过，但却是一个必不可少的步骤。因为整

系数一元二次方程的判别式是完全平方数只是该方程有整数根的必要条件，但不是充分条

件。也就是说，△为完全平方数，并不能保证方程一定有整数根，所以说，必须进行检验。

四.例谈求一次函数解析式的常见题型

一次函数及其图像是初中代数的重要内容，也是高中解析几何的基石，更是中考的重点考查

内容。其中求一次函数解析式就是一类常见题型。现以部分中考题为例介绍几种求一次函数

解析式的常见题型。希望对同学们的学习有所帮助。

一.定义型

例1.已知函数E是一次函数，求其解析式。

2_g_]

解：由一次函数定义知1

加一3w0

m=±3

<

m力3

-故一次函数的解析式为

注意：利用定义求一次函数解析式时，要保证^#0。如本例中应保证

二.点斜型

例2.已知一次函数的图像过点（2,-1）,求这个函数的解析式。

解：•.,一次函数*=七一3的图像过点（2,—1）

即左=1

故这4'一■次函数的解析式为

变式问法：已知一次函数当时，y=-1，求这个函数的解析式。

已知某个一次函数的图像与x轴、y轴的交点坐标分别是（一2,0）、（0,4）,则这个

函数的解析式为0

解：设一次函数解析式为

0=-2k+b

由题意得《

b=4

k=2

b=4

故这个一次函数的解析式为

四.图像型

例4.已知某个一次函数的图像如图所示，则该函数的解析式为

解：设一次函数解析式为

由图可知一次函数，=五叶£的图像过点(1,0)、(0,2)

Q=k+b

，有＜

2=0+b

k=-2

b=2

故这个一次函数的解析式为

五.斜截型

例5.己知直线与直线？=自平行，且在y轴上的截距为2,则直线的解

析式为.

解析：两条直线《：＞=^^4^；Z2：当4=为，右=4时，Zx//Z2

直线旷=辰42与直线平行,

又•.直线》=展隹在y轴上的截距为2,

故直线的解析式为

六.平移型

例6.把直线向下平移2个单位得到的图像解析式为

解析：设函数解析式为》=辰隹，•.直线向下平移2个单位得到的直线

，=辰42与直线平行

直线、=展+£在y轴上的截距为故图像解析式为

七.实际应用型

例7.某油箱中存油20升，油从管道中匀速流出，流速为0.2升/分钟，则油箱中剩油量

Q(升)与流出时间t(分钟)的函数关系式为o

解：由题意得＜

故所求函数的解析式为生母(

注意：求实际应用型问题的函数关系式要写出自变量的取值范围。

八.面积型

例8.已知直线*=五一1与两坐标轴所围成的三角形面积等于4,则直线解析式为

441

解：易求得直线与x轴交点为(一，0),所以4=—x4x—,所以|左|=2,即左=主

I因2

故直线解析式为口或

九.对称型

若直线I与直线》=辰+£关于

(l)x轴对称，则直线/的解析式为y=-日-6

(2)y轴对称，则直线/的解析式为y=-履+匕

1b

(3)直线y=x对称，则直线/的解析式为y=—九一一

kk

1b

(4)直线＞对称，则直线/的解析式为y=—XH■—

kk

(5)原点对称，则直线/的解析式为

例9.若直线/与直线关于y轴对称，则直线/的解析式为0

解：由(2)得直线/的解析式为

十.开放型

例10.已知函数的图像过点A(1,4),B(2,2)两点，请写出满足上述条件的两个

不同的函数解析式，并简要说明解答过程。

解：(1)若经过A、B两点的函数图像是直线，由两点式易得

(2)由于A、B两点的横、纵坐标的积都等于4,所以经过A、B两点的函数图像还可

4

以是双曲线，解析式为》=-

x

(3)其它(略)

十一.几何型

例H.如图，在平面直角坐标系中,A、B是X轴上的两点，ZACB=90°,ZCAB=30°,

以AO、BO为直径的半圆分别交AC、BC于E、F两点，若C点的坐标为(0,3)。(1)求

图像过A、B、C三点的二次函数的解析式，并求其对称轴；(2)求图像过点E、F的一次

函数的解析式。

解：(1)由直角三角形的知识易得点A(-3V3,0)、B(百，0),由待定系数法可

求得二次函数解析式为尸一二上二川3,对称轴是x=-6

33

(2)连结OE、OF,则《电工、过E、F分别作x、y轴的垂线，垂足为

M、N、P、G,易求得E(-七叵，-)>F,-)由待定系数法可求得一次函数解

4444

+匚一在3

析式为y=—

十二.方程型

例12.若方程与3^笔的两根分别为a、(3,求经过点P("+/S2,-+-)

a汽

和Q(2+巴，的一次函数图像的解析式

a»

解：由根与系数的关系得8。^,c^3=-L

1+1_。+夕于3

a/3a/3

(七/-3—1

.,.点P(11,3)、Q(-11,11)

设过点P、Q的一次函数的解析式为，=辰隹

llk+b=3

则有v

-llfc+Z?=ll

解得

b=7

4

故这个一次函数的解析式为y=—五*+7

十三.综合型

例13.已知抛物线y=(9-加2)一一2(加一3)%+3加的顶点D在双曲线,=上上，

x

直线尸公+c经过点D和点C(a、b)且使y随X的增大而减小，a、b满足方程组

dr-b-^f=O

,求这条直线的解析式。

解：由抛物线y=(9-m2)x2-2(m-3)x+3m的顶点D(----------,----------------------)

在双曲线上，可求得抛物线的解析式为：

2y顶点D](1,—5)及2^:X

顶点D2(',—15)

a,=-1{a,-2

解方程组得」,,2,

b[=-4[b2=-1

即Ci(—1,一4),C2(2,—1)

19

由题意知C点就是Ci(一1,一4),所以过Ci、Di的直线是、=---x---；过Ci、

33zp

D2的直线是、=—三不一”

44

五.应用非负性质解题

在初中代数中出现的非负数主要有三类：

1,绝对值：任何一个实数的绝对值都是非负数，即时20。

2.平方：任何一个实数的平方都是非负数，即42,。。

3.算术平方根：任何一个非负数的算术平方根都是一个非负数，即CNOQN)。

解题过程中巧用以上三个非负性质可以简捷地处理许多问题。现举例说明如下。

例1.已知a、b为实数，且满足求ab的值。

分析：解决本题只需从已知等式中求出a、b值即可。应用中aN：的非负性质可以

立即求出b的值，从而进一步得到a的值。

解：由题意可知且1

b--,此时d^=\

2

-*z7x?=rlx—1=—1

22

例2,若a、b、c满足上的值。

aib

2

解：由非负数的性质可知匕一3=0,且g八+cj=0,且

.,.a=3,小=8,。=-4

6Z—c3—(-4)_7

CL-\~b3+811

例3.已知〜求x+y的值。

解：已知等式可化为

六.一些数学思想在解题中的应用

在直线，射线，线段这一部分内容中，渗透了许多重要的数学思想和方法，下面举例说明。

数形结合思想

例1.同学们去公路旁植树，每隔3m植一棵树，问在21m长的公路旁最多可植几棵树？

你可能会不假思索地在回答，三七二十一，可植树7棵，那就错了，结合图形观察后就知道

了。

解：从图1看，显然可植8棵。

图1

说明：对于这类题目要注意考虑线段的端点，否定容易出错。

二妥方程思想

例2.点D、E