2025届黑龙江省重点中学高一数学第二学期期末质量检测试题含解析

2025届黑龙江省重点中学高一数学第二学期期末质量检测试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）A． B． C．10 D．2．在边长为的正方形内有一个半径为1的圆，向正方形中随机扔一粒豆子（忽略大小，视为质点），若它落在该圆内的概率为，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为（）A． B． C． D．3．已知等比数列中，若，且成等差数列，则（）A．2 B．2或32 C．2或-32 D．-14．某社区义工队有24名成员，他们年龄的茎叶图如下表所示，先将他们按年龄从小到大编号为1至24号，再用系统抽样方法抽出6人组成一个工作小组，则这个小组年龄不超过55岁的人数为（）3940112551366778889600123345A．1 B．2 C．3 D．45．甲：（是常数）乙：丙：（、是常数）丁：（、是常数），以上能成为数列是等差数列的充要条件的有几个（）A．1 B．2 C．3 D．46．如图，在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值是（）A． B． C． D．7．已知数列的前项和为，且，则()A． B． C． D．8．在数列中，已知，，则一定（）A．是等差数列 B．是等比数列 C．不是等差数列 D．不是等比数列9．如图是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A． B． C． D．10．当点到直线的距离最大时，m的值为（）A．3 B．0 C． D．1二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知a，b，x均为正数，且a＞b，则____（填“＞”、“＜”或“＝”）．12．已知函数fx=Asin13．（如下图）在正方形中，为边中点，若，则__________．14．若，则=.15．若三边长分别为3，5，的三角形是锐角三角形，则的取值范围为______.16．设等比数列满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…an的最大值为．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图，在三棱锥中，侧面与侧面均为边长为2的等边三角形，，为中点.(1)证明:;(2)求点到平面的距离.18．在平面直角坐标系中，直线截以坐标原点为圆心的圆所得的弦长为.（1）求圆的方程；（2）若直线与圆切于第一象限，且与坐标轴交于点，，当时，求直线的方程；（3）设，是圆上任意两点，点关于轴的对称点为，若直线，分别交轴于点和，问是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.19．如图，三棱柱，底面，且为正三角形，，，为中点．（1）求证：直线平面；（2）求二面角的大小．20．已知数列an的前n项和为Sn,a1（1）分别求数列an（2）若对任意的n∈N*,21．已知直线与直线的交点为P，点Q是圆上的动点.（1）求点P的坐标；（2）求直线的斜率的取值范围.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】

由三视图可知该几何体为正四棱台，下底面边长为4，上底面边长为2，高为1．再由正四棱台体积公式求解．【详解】由三视图可知该几何体为正四棱台，下底面边长为4，上底面边长为2，高为1，所以，，∴该正四棱台的体积.故选：B．【点睛】本题考查由三视图求正四棱台的体积，关键是由三视图判断出原几何体的形状，属于基础题．2、A【解析】

通过几何概型可得答案.【详解】由几何概型可知，则.【点睛】本题主要考查几何概型的相关计算，难度中等.3、B【解析】

根据等差数列与等比数列的通项公式及性质，列出方程可得q的值，可得的值.【详解】解：设等比数列的公比为q（），成等差数列，，，，解得：，，，故选B.【点睛】本题主要考查等差数列和等比数列的定义及性质，熟悉其性质是解题的关键.4、B【解析】

求出样本间隔，结合茎叶图求出年龄不超过55岁的有8人，然后进行计算即可．【详解】解：样本间隔为，年龄不超过55岁的有8人，则这个小组中年龄不超过55岁的人数为人．故选：．【点睛】本题主要考查茎叶图以及系统抽样的应用，求出样本间隔是解决本题的关键，属于基础题．5、D【解析】

由等差数列的定义和求和公式、通项公式的关系，以及性质，即可得到结论.【详解】数列是等差数列，设公差为，由定义可得（是常数），且（是常数），，令，即（、是常数），等差数列通项，令，即（、是常数），综上可得甲乙丙丁都对.故选：D.【点睛】本题考查等差数列的定义和通项公式、求和公式的关系，考查充分必要条件的定义，考查推理能力，属于基础题.6、D【解析】连结，∵，

∴是异面直线与所成角（或所成角的补角），

∵在直三棱柱中，，，，

∴，，，，

∴，

∴异面直线与所成角的余弦值为，故选D.7、D【解析】

通过和关系，计算通项公式，再计算，代入数据得到答案.【详解】，取，两式相减得：是首项为4，公比为2的等比数列.故答案选D【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，前N项和，意在考查学生的计算能力.8、C【解析】

依据等差、等比数列的定义或性质进行判断。【详解】因为，，，所以一定不是等差数列，故选C。【点睛】本题主要考查等差、等比数列定义以及性质的应用。9、C【解析】

根据三视图还原直观图，根据长度关系计算表面积得到答案.【详解】根据三视图还原直观图，如图所示：几何体的表面积为：故答案选C【点睛】本题考查了三视图，将三视图转化为直观图是解题的关键.10、C【解析】

求得直线所过的定点，当和直线垂直时，距离取得最大值，根据斜率乘积等于列方程，由此求得的值.【详解】直线可化为，故直线过定点，当和直线垂直时，距离取得最大值，故，故选C.【点睛】本小题主要考查含有参数的直线过定点的问题，考查点到直线距离的最值问题，属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、<【解析】

直接利用作差比较法解答.【详解】由题得，因为a>0,x+a>0,b-a<0,x>0,所以所以.故答案为＜【点睛】本题主要考查作差比较法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12、f【解析】分析：首先根据函数图象得函数的最大值为2，得到A=2，然后算出函数的周期T=π，利用周期的公式，得到ω=2，最后将点（5π代入，得：2=2sin（2×5π12+φ所以fx的解析式是f详解：根据函数图象得函数的最大值为2，得A=2，又∵函数的周期34T=5π将点（5π12，2）代入，得：2=2sin所以fx的解析式是f点睛：本题给出了函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象，要确定其解析式，着重考查了三角函数基本概念和函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质的知识点，属于中档题．13、【解析】∵，根据向量加法的三角形法则，得到∴λ=1，．则λ+μ=．故答案为．点睛：此题考查的是向量的基本定理及其分解，由条件知道，题目中要用和，来表示未知向量，故题目中要通过正方形的边长和它特殊的直角，来做基底，表示出要求的向量，根据平面向量基本定理，系数具有惟一性，得到结果．14、【解析】.15、【解析】

由三边长分别为3，5，的三角形是锐角三角形，若5是最大边，则，解得范围，若是最大边，则，解得范围，即可得出．【详解】解：由三边长分别为3，5，的三角形是锐角三角形，若5是最大边，则，解得．若是最大边，则，解得．综上可得：的取值范围为．故答案为：．【点睛】本题考查了不等式的性质与解法、余弦定理、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16、【解析】试题分析：设等比数列的公比为，由得，，解得.所以，于是当或时，取得最大值.考点：等比数列及其应用三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析；（2）【解析】

（1）由题设AB=AC=SB=SC=SA，连结OA，推导出SO⊥BC，SO⊥AO，由此能证明SO⊥平面ABC;（2）设点B到平面SAC的距离为h，由VS﹣BAC=VB﹣SAC，能求出点B到平面SAC的距离．【详解】（1）由题设，连结，为等腰直角三角形，所以，且，又为等腰三角形，故，且，从而．所以为直角三角形，．又．所以平面，故AC⊥SO．（2）设B到平面SAC的距离为，则由（Ⅰ）知：三棱锥即∵为等腰直角三角形,且腰长为2.∴∴∴△SAC的面积为=△ABC面积为,∴,∴B到平面SAC的距离为【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查点到平面距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．18、（1）；（2）；（3）见解析【解析】

（1）利用点到直线距离公式，可以求出弦心距，根据垂径定理结合勾股定理，可以求出圆的半径，进而可以求出圆的方程；（2）设出直线的截距式方程，利用圆的切线性质，得到一个方程，结合已知，又得到一个方程，两个方程联立，解方程组，即可求出直线直线的方程；（3）设，，则，，，分别求出直线与轴交点坐标、直线与轴交点坐标，求出的表达式，通过计算可得.【详解】（1）因为点到直线的距离为，所以圆的半径为，故圆的方程为.（2）设直线的方程为，即，由直线与圆相切，得，①.②由①②解得，此时直线的方程为.（3）设，，则，，，直线与轴交点坐标为，，直线与轴交点坐标为，，，为定值2.【点睛】本题考查了圆的垂径定理、圆的切线性质、勾股定理，考查了求直线方程，考查了数学运算能力.19、（1）证明见解析；（2）．【解析】

（1）连交于，连，则点为中点，为中点，得，即可证明结论；（1）为正三角形，为中点，可得，再由底面，得底面，得，可证平面，有，为的平面角，解，即可求出结论.【详解】（1）连交于，连，三棱柱，侧面为平行四边形，所以点为中点，为中点，所以，因为平面，平面，所以直线平面；（2）为正三角形，为中点，可得，三棱柱，所以，底面，所以底面，底面，所以，又平面，所以平面，平面，所以，为的平面角，在中，，，所以，所以二面角的大小为.【点睛】本题考查线面平行的证明，用几何法求二面角的平面角，做出二面角的平面角是解题的关键，属于中档题.20、（1）an=3n-1【解析】

（1）设等差数列bn公差为d，则b解得d=3，bn当n≥2时，an=2Sn-1a2=2a1+1=3aan是以1为首项3为公比的等比数列，则．；（2）由（1）知，Sn原不等式可化为k≥6(n-2)若对任意的n∈N*恒成立，问题转化为求数列6(n-2)