高考数学复习第九章　第一节　直线的倾斜角与斜率、直线的方程（导学案）

第九章解析几何第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程【课程标准】1.理解直线的倾斜角和斜率的概念,经历用代数方法刻画直线斜率的过程.2.掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式).【必备知识精归纳】1.直线的倾斜角(1)定义:当直线l与x轴相交时,我们以x轴为基准,x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0°.(2)范围:直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.2.斜率公式(1)我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,即k=tanα.

(2)倾斜角是90°的直线没有斜率,倾斜角不是90°的直线都有斜率.(3)若P1(x1,y1),P2(x2,y2)在直线l上,且x1≠x2,则直线l的斜率k=y2点睛(1)斜率公式与两点的顺序无关;(2)在锐角范围内,直线的倾斜角越大,其斜率越大;在钝角范围内也是如此.3.直线方程的5种形式名称方程适用条件点斜式y-y0=k(x-x0)不含垂直于x轴的直线斜截式y=kx+b不含垂直于x轴的直线两点式y-y不含直线x=x1(x1≠x2)和直线y=y1(y1≠y2)截距式xa+y不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax+By+C=0,(A2+B2≠0)平面内所有直线点睛(1)用直线的点斜式求方程时,在斜率k不明确的情况下,注意分k存在与不存在讨论,否则会造成失误.(2)“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值,它可正,可负,也可以是零,而“距离”是一个非负数.(3)直线的截距式中易忽视截距均不为0这一条件,当截距为0时可用点斜式.【常用结论】1.经过任意两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示;2.直线Ax+By+C=0,(1)当B=0时,直线的斜率不存在;当B≠0时,直线的斜率k=-AB,直线在y轴上的截距为-C(2)当A=0时,直线在x轴上的截距不存在;当A≠0时,直线在x轴上的截距为-CA【基础小题固根基】教材改编结论应用易错易混1,63,52,41.(教材变化)直线x-y+1=0的倾斜角为 ()A.30° B.45° C.120° D.150°解析：选B.由题得,直线y=x+1的斜率为1.设其倾斜角为α,则tanα=1.又因为0°≤α<180°,故α=45°.2.(忽视斜率不存在)方程y=k(x-2)表示 ()A.通过点(2,0)的所有直线B.通过点(2,0)且不垂直于y轴的所有直线C.通过点(2,0)且不垂直于x轴的所有直线D.通过点(2,0)且除去x轴的所有直线解析：选C.y=k(x-2)为直线的点斜式方程,只能表示斜率存在的直线,且直线过点(2,0).3.(结论2)若直线l为5x-12y+3=0,则直线l的斜率为 ()A.125 B.512 C.-512 D解析：选B.直线l方程5x-12y+3=0可化为y=512x+14,所以直线l的斜率为4.(与坐标轴垂直情况易混)经过点(0,3)且倾斜角为0°的直线方程为 ()A.x=3 B.y=3C.y=x+3 D.y=2x+3解析：选B.因为直线倾斜角为0°,故斜率为tan0°=0,则直线方程为y-3=0×(x-0),即y=3.5.(结论2)直线2x-y-2=0在y轴上的截距为 ()A.1 B.2 C.-1 D.-2解析：选D.由直线2x-y-2=0,可化为y=2x-2,所以直线2x-y-2=0在y轴上的截距为-2.6.(教材提升)已知A(3,5),B(4,7),C(-1,x)三点共线,则x=.

解析：因为A,B,C三点共线,所以kAB=kAC,所以7-54-3=答案:-3题型一直线的倾斜角与斜率[典例1](1)若图中的直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则 ()A.k1<k2<k3 B.k3<k1<k2C.k3<k2<k1 D.k1<k3<k2解析：选D.直线l1的倾斜角α1是钝角,故k1<0.直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角,且α2>α3,所以0<k3<k2,因此k1<k3<k2.(2)直线xcosα+3y-2=0的倾斜角的范围是 ()A.[-π6,π6] B.[0,C.[0,π6]∪[5π6,π) D.[π6解析：选C.已知直线方程xcosα+3y-2=0,设直线的倾斜角为θ,故tanθ=-cosα3=-33cosα∈[-33,即θ∈[0,π6]∪[5π6,π【一题多变】[变式1]若例(2)中直线方程改为“xsinα+3y-2=0”,结果如何?解析：选C.因为直线方程为xsinα+3y-2=0,设直线的倾斜角为θ,故tanθ=-sinα3=-33sinα∈[-33即θ∈[0,π6]∪[5π6,π[变式2]若例(2)中直线方程改为“xsinα+3ycosα-2=0”,则直线倾斜角的范围为.

解析：因为直线方程为xsinα+3ycosα-2=0,设直线的倾斜角为θ,当cosα=0时,θ=π2当cosα≠0时,故tanθ=-sinα3cosα=-33tanα∈R,此时θ∈[0,π2)综上可知:即θ∈[0,π).答案:[0,π)(3)(2023·聊城模拟)设点A(2,-3),B(-3,-2),直线l过点P(1,1)且与线段AB相交,则l的斜率k的取值范围是 ()A.(-∞,-4]∪[34,+∞B.[-4,34C.[-34,4D.以上都不对解析：选A.因为kPA=1-(-3)1-2=-4.所以当PA以P为定点顺时针旋转到B,则倾斜角变小(在钝角范围内),此时k≤-4,又kPB=1-(-2)1-(-3)【方法提炼】斜率的两种求法(1)定义法:若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值,一般根据k=tanα求斜率.(2)公式法:若已知直线上两点A(x1,y1),B(x2,y2),一般根据公式k=y2-y1x2-x提醒牢记口诀:“斜率变化分两段,90°是分界线;遇到斜率要谨记,存在与否要讨论”.【对点训练】1.直线3x+2y=6的倾斜角的余弦值为 ()A.31313 B.-21313 C.21313 解析：选B.记直线3x+2y=6的倾斜角为α,则tanα=-32,所以π2<所以1-cos解得cosα=-2132.直线x+(a2+1)y+1=0的倾斜角的取值范围是 ()A.[0,π4] B.[3π4C.[0,π4]∪[π2,π） D.[π4,π2]∪解析：选B.k=-1a2+1∈[-1,0),因此倾斜角的取值范围是[3π3.(多选题)在同一平面直角坐标系中,直线l1:ax+y+b=0和直线l2:bx+y+a=0有可能是 ()解析：选BD.当a>0,b>0时,-a<0,-b<0,结合选项知B符合;当a>0,b<0时,-a<0,-b>0,选项D符合;当a<0,b>0或a<0,b<0或a=0或b=0时都不符合.【加练备选】过A(1,-3),B(-2,0)两点的直线的倾斜角是 ()A.45° B.60° C.120° D.135°解析：选D.由已知得直线的斜率为k=0-(-3)-2所以倾斜角α=135°.题型二求直线的方程[典例2](1)如图,直线l的方程是 ()A.3x-y-3=0 B.3x-2y-3=0C.3x-3y-1=0 D.x-3y-1=0解析：选D.由题图可得直线的倾斜角为30°,所以斜率k=tan30°=33因为直线l与x轴的交点为(1,0),所以直线的点斜式方程可得l:y-0=33(x即x-3y-1=0.(2)(多选题)下列说法正确的是 ()A.截距相等的直线都可以用方程xa+yB.方程x+my-2=0(m∈R)能表示平行于y轴的直线C.经过点P(1,1),倾斜角为θ的直线方程为y-1=tanθ(x-1)D.经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线方程(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0解析：选BD.对于A,若直线过原点,横、纵截距都为零,则不能用方程xa+ya=1表示,所以A不正确;对于B,当m=0时,平行于y轴的直线方程为x=2,所以B正确;对于C,若直线的倾斜角为90°,则该直线的斜率不存在,不能用y-1=tanθ(x-1)表示,所以C不正确;对于D,设点P(x,y)是经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线上的任意一点,根据∥可得(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0,所以D正确.(3)若直线l的方程是y=-x+1,则 ()A.直线经过点(1,0),斜率为1B.直线经过点(-1,0),在y轴上的截距为-1C.直线经过点(1,0),在y轴上的截距为1D.直线经过点(-1,0),斜率为-1解析：选C.令y=0,解得x=1,所以直线过点(1,0),所以选项B,D不正确,又因为直线l的方程是y=-x+1,表示斜率为-1,在y轴上截距为1的直线,所以选项C正确.【方法提炼】求直线方程的注意事项(1)在求直线方程时,根据题目的条件选择适当的形式.(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类与整合思想的运用(若采用点斜式,应先考虑斜率不存在的情况;若采用截距式,应先判断截距是否为零).【对点训练】1.直线ax+by+c=0同时要经过第一、第二、第四象限,则a,b,c应满足 ()A.ab>0,bc<0 B.ab>0,bc>0C.ab<0,bc>0 D.ab<0,bc<0解析：选A.由题意可知直线斜率小于0,纵截距大于0,即-ab<02.(多选题)过点(-2,0)且在两坐标轴上的截距之差为3的直线方程是 ()A.x-2+y=1 B.x-C.x-2+y-1=1 D.解析：选AB.由题可知,直线过点(-2,0),所以直线在x轴上的截距为-2,又直线在两坐标轴上的截距之差为3,所以直线在y轴上的截距为1或-5,则所求直线方程为x-2+y=1或x-23.已知直线l过点(1,0),且倾斜角为直线l0:x-2y-2=0的倾斜角的2倍,则直线l的方程为.

解析：由题意可设直线l0,l的倾斜角分别为α,2α,因为直线l0:x-2y-2=0的斜率为12则tanα=12所以直线l的斜率k=tan2α=2tanα1-tan所以由点斜式可得直线l的方程为y-0=43(x-1),即4x-3y-4=0答案:4x-3y-4=0【加练备选】(2022·泉州模拟)直线x+ay+b=0经过第一、二、四象限,则 ()A.a<0,b<0 B.a<0,b>0C.a>0,b<0 D.a>0,b>0分析：分析出直线x+ay+b=0的斜率以及该直线在y轴上截距的符号,即可得出a,b的符号.解析：选C.因为直线x+ay+b=0经过第一、二、四象限,则该直线的斜率-1a<0,可得a该直线在y轴上的截距-ba>0,可得b<0题型三直线方程的综合应用角度1求与最值有关的直线方程[典例3]已知直线l过点M(2,1),且与x轴、y轴的正半轴分别相交于A,B两点,O为坐标原点,求当||·||取得最小值时直线l的方程.解析：设A(a,0),B(0,b),且a>0,b>0,直线l的方程为xa+yb=1,所以2a+||·||=-·=-(a-2,-1)·(-2,b-1)=2(a-2)+b-1=2a+b-5=(2a+b)（2a+1b）-5=2ba+2ab≥4,当且仅当a=b=3时取等号,此时直线l的方程为角度2由直线方程求参数的值或范围[典例4](1)(多选题)已知直线l:ax+y-2-a=0在x轴和y轴上的截距相等,则a的值是 ()A.1 B.-1 C.-2 D.2解析：选AC.由直线的方程ax+y-2-a=0,得此直线在x轴和y轴上的截距分别为a+2a和2+a.由a+2a=2+a得a(2)(2023·北京模拟)已知点P(cosθ,sinθ)在直线ax-y+3=0上.则当θ变化时,实数a的取值范围为 ()A.[-22,22]B.(-∞,-22]∪[22,+∞)C.[-3,3]D.(-∞,-3]∪[3,+∞)解析：选B.因为点P(cosθ,sinθ)在直线ax-y+3=0上,所以acosθ-sinθ+3=0,所以sinθ-acosθ=1+a2sin(θ-其中tanφ=a,因为sin(θ-φ)≤1,所以1+a即a2≥8,解得a≤-22或a≥22.【方法提炼】1.求解与最值有关的直线方程问题的一般步骤(1)设出直线方程,建立目标函数.(2)利用基本不等式、一元二次函数求解最值,得出待定系数.(3)写出直线方程.2.由直线方程求参数的值或取值范围的注意事项(1)注意寻找等量关系或不等关系.注意点在直线上,则点的坐标适合直线的方程,再结合函数的单调性或基本不等式求解.(2)注意直线恒过定点问题.【对点训练】1.已知直线l过点M(2,1),且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A,B两点,O为坐标原点,当△AOB面积最小时,直线l的方程为.

解析：设直线l的方程为y-1=k(x-2)(k<0),则A（2-1k,0）,B(0,1-2k),S△AOB=12(1-2k)·（2-1k）=12[4+(-4k)+(-1当且仅当-4k=-1k,即k=-1故直线l的方程为y-1=-12(x即x+2y-4=0.答案:x+2y-4=02.定义域为[a,b]的函数y=f(x)的图象的两个端点为A,B,M(x,y)是f(x)图象上的任意一点,其中x=λa+(1-λ)b(λ∈R),向量=λ+(1-λ),其中O是坐标原点.若不等式||≤k恒成立,则称函数f(x)在[a,b]上“k阶线性近似”.若y=x+1x在[1,2]上“k阶线性近似”,则实数k的取值范围是.

分析：由题意求得点A,B的坐标,写出直线AB的方程,再求出M,N两点的坐标以及||,利用基本不等式求得|