高考数学复习第八章　第四节　空间直线、平面的垂直（导学案）

第四节空间直线、平面的垂直【课程标准】1.从定义和基本事实出发,借助长方体,通过直观感知,了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系的定义,归纳出有关垂直的性质定理和判定定理,并加以证明.2.能运用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题.【必备知识·精归纳】1.直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义一般地,如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线l与平面α互相垂直.(2)判定定理与性质定理类型文字语言图形表示符号表示判定定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么该直线与此平面垂直l⊥a,l⊥b,a⋂b=O性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行a⊥α,a∥b点睛证明线面垂直关键满足:(1)两条,(2)相交.2.直线和平面所成的角(1)定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角,叫做这条直线和这个平面所成的角.一条直线垂直于平面,则它们所成的角是90°;一条直线和平面平行或在平面内,则它们所成的角是0°.(2)范围:03.二面角(1)定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.(2)二面角的平面角若有①O∈l;②OA⊂α,OB⊂β;③OA⊥l,OB⊥l,则二面角α-l-β的平面角是∠AOB.(3)二面角的平面角θ的范围:0°≤θ≤180°.4.平面与平面垂直(1)定义一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.(2)判定定理与性质定理类型文字语言图形表示符号表示判定定理如果一个平面过另一个平面的垂线,那么这两个平面垂直l⊥α⇒α⊥β性质定理两个平面垂直,如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线,那么这条直线与另一个平面垂直α⊥β⇒l⊥α【常用结论】1.若一条直线垂直于一个平面,则这条直线垂直于这个平面内的任意直线.2.若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面.3.一条直线垂直于两平行平面中的一个,则这条直线与另一个平面也垂直.4.两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三个平面.【基础小题·固根基】教材改编结论应用易错易混12,341.(教材提升)从二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线,则这两条垂线所夹的角与二面角的平面角的关系是 ()A.互为余角 B.相等C.其和为周角 D.互为补角解析：选D.如图,A为二面角α-l-β内任意一点,AB⊥α,AC⊥β,过B作BD⊥l于D,连接CD,因为AB⊥α,l⊂α,所以AB⊥l,因为AC⊥β,l⊂β,所以AC⊥l,且AB∩AC=A,所以l⊥平面ABCD,且CD⊂平面ABCD,所以l⊥CD,则∠BDC为二面角α-l-β的平面角,∠ABD=∠ACD=90°,∠BAC为两条垂线AB与AC所成角,所以∠A+∠BDC=180°,所以两条垂线所夹的角与二面角的平面角互为补角.2.(结论1)已知l1,l2是平面α内的两条直线,l是空间的一条直线,则“l⊥α”是“l⊥l1且l⊥l2”的 ()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析：选A.当l⊥α时,l1⊂α,l2⊂α,所以l⊥l1且l⊥l2;当l⊥l1且l⊥l2,l1⊂α,l2⊂α,但l1,l2是否相交无法判断,所以l⊥α可能成立,也可能不成立.综上,“l⊥α”是“l⊥l1且l⊥l2”的充分不必要条件.3.(多选题)(结论4)已知m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面.下列说法中正确的是 ()A.若m∥α,m⊂β,α∩β=n,则m∥nB.若m∥n,m∥α,则n∥αC.若α∩β=n,α⊥γ,β⊥γ,则n⊥γD.若m⊥α,m⊥β,α∥γ,则β∥γ解析：选ACD.对于选项A,由线面平行的性质可得正确;对于选项B,若m∥n,m∥α,则n⊂α或n∥α,故错误;对于选项C,若α⊥γ,则在γ内可作a⊥α,因为α∩β=n,所以n⊂α,则a⊥n,同理,可在γ内可作b⊥β,可得b⊥n,因为α∩β=n,所以a,b也相交,所以n⊥γ,故正确;对于选项D,若m⊥α,m⊥β,则α∥β,又α∥γ,则由平行的传递性可得β∥γ,故正确.4.(三角形的“心”概念混淆)在三棱锥P-ABC中,点O是点P在底面ABC内的射影.①若PA=PB=PC,则O是△ABC的心;

②若PA⊥BC,PB⊥AC,则O是△ABC的心;

③若侧面PAB,PBC,PAC与底面ABC所成的二面角相等,则O是△ABC的心.

解析：由三棱锥P-ABC中,点O是点P在底面ABC内的射影,知:①若PA=PB=PC,则OA=OB=OC,所以O是△ABC的外心;②若PA⊥BC,PB⊥AC,则AO⊥BC,BO⊥AC,所以O是△ABC的垂心;③若侧面PAB,PBC,PAC与底面ABC所成的二面角相等,则点O到AB,AC,BC的距离相等,所以O是△ABC的内心.答案:①外②垂③内题型一垂直关系的判断[典例1](多选题)(1)已知m,n是两条不重合的直线,α,β,γ是三个两两不重合的平面,下列四个命题中真命题是 ()A.若m⊥α,m⊥β,则α∥βB.若α∥β,α⊥γ,则β⊥γC.若m∥α,n∥β,m∥n,则α∥βD.若α⊥β,α∩β=n,m∥α,m⊥n,则m⊥β解析：选ABD.对于A,因为α,β是不重合的平面,m⊥α,m⊥β,所以α∥β,正确;对于B,因为α⊥γ,则存在直线a⊂α且a⊥γ,设a和β内一点P确定的平面与β的交线为b,因为α∥β,所以b∥a,从而b⊥γ,而b⊂β,所以β⊥γ,正确;对于C,若m∥α,n∥β,m∥n,α,β可能相交,不一定平行,错误;对于D,由m∥α,m⊥n,得在平面α内一定存在m'∥m,且m'⊥n,又α⊥β,α∩β=n,所以m'⊥β,所以m⊥β,正确.(2)(2023·潍坊模拟)如图所示,平面PAD⊥矩形ABCD,且PA⊥AD,下列结论中不正确的是 ()A.PD⊥BD B.PD⊥CDC.PB⊥BC D.PA⊥BD解析：选A.因为平面PAD⊥矩形ABCD,两平面交线为AD,PA⊥AD,且PA⊂平面PAD,所以PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以PA⊥BD,故D正确;若PD⊥BD,由于PA⊥BD,PA∩PD=P,PA,PD⊂平面PAD,则BD⊥平面PAD,AD⊂平面PAD,则BD⊥AD,这与ABCD为矩形矛盾,故A不正确;因为平面PAD⊥矩形ABCD,两平面交线为AD,AD⊥CD,CD⊂平面ABCD,所以CD⊥平面PAD,PD⊂平面PAD,所以PD⊥CD,故B正确;由于PA⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,所以PA⊥CB,又BC⊥AB,PA∩AB=A,PA,AB⊂平面PAB,所以BC⊥平面PAB,PB⊂平面PAB,所以PB⊥BC,故C正确.【加练备选】(多选题)(2021·新高考Ⅱ卷)如图,下列各正方体中,O为下底的中点,M,N为顶点,P为所在棱的中点,则满足MN⊥OP的是 ()解析：选BC.设正方体的棱长为2.对于A,如图(1)所示,连接AC,则MN∥AC,故∠POC(或其补角)为异面直线OP,MN所成的角,在直角三角形OPC中,OC=2,CP=1,故tan∠POC=12=22,故MN⊥OP对于B,如图(2)所示,取NT的中点为Q,连接PQ,OQ,则OQ⊥NT,PQ⊥MN,在正方体SBCM-NADT中SN⊥平面ANTD,而OQ⊂平面ANTD,故SN⊥OQ,而SN∩NT=N,故OQ⊥平面SNTM,又MN⊂平面SNTM,故OQ⊥MN,而OQ∩PQ=Q,所以MN⊥平面OPQ,而OP⊂平面OPQ,故MN⊥OP,故B正确.对于C,如图(3),连接BD,则BD∥MN,由B的判断可得OP⊥BD,故OP⊥MN,故C正确.对于D,如图(4),取AD的中点Q,AB的中点K,连接AC,PQ,OQ,PK,OK,则AC∥MN,因为DP=PC,故PQ∥AC,故PQ∥MN,所以∠QPO或其补角为异面直线PO,MN所成的角,因为正方体的棱长为2,故PQ=12AC=2,OQ=AO2+AQ2=2+1=3,PO=PK2+OK2=4+1=5,QO2<PQ【方法提炼】与线面垂直关系有关命题真假的判断方法(1)借助几何图形来说明线面关系要做到作图快、准,甚至无需作图通过空间想象来判断.(2)寻找反例,只要存在反例,结论就不正确.(3)反复验证所有可能的情况,必要时要运用判定定理或性质定理进行简单说明.【对点训练】1.(2023·六安模拟)设m,n是不同的直线,α,β,γ是不同的平面,则下面说法正确的是()A.若α⊥β,α⊥γ,则β∥γB.若α⊥β,m∥α,则m⊥βC.若m⊥α,m∥β,则α⊥βD.若m∥n,n⊂α,则m∥α解析：选C.A,由α⊥β,α⊥γ,则β∥γ或β,γ相交,错误;B,由α⊥β,m∥α,则m∥β或m⊂β或m,β相交,错误;C,由m∥β,则存在直线l⊂β且l∥m,而m⊥α,则l⊥α,根据面面垂直的判定易知α⊥β,正确;D,由m∥n,n⊂α,则m∥α或m⊂α,错误.2.(2022·石嘴山模拟)如图,PA是圆柱的母线,AB是圆柱的底面直径,C是圆柱底面圆周上的任意一点(不与A,B重合),则下列说法错误的是 ()A.PA⊥平面ABCB.BC⊥平面PACC.AC⊥平面PBCD.三棱锥P-ABC的四个面都是直角三角形解析：选C.因为PA是圆柱的母线,AB是圆柱的底面直径,C是圆柱底面圆周上的任意一点(不与A,B重合),则PA⊥平面ABC,A正确;而BC⊂平面ABC,则PA⊥BC,又AC⊥BC,PA∩AC=A,PA,AC⊂平面PAC,则有BC⊥平面PAC,B正确;由选项A知,△PAB,△PAC都是直角三角形,由选项B知,△ABC,△PBC都是直角三角形,D正确;假定AC⊥平面PBC,PC⊂平面PBC,则AC⊥PC,即∠PCA=90°,而△PAC中∠PAC=90°,矛盾,所以AC⊥平面PBC不正确,C错误.题型二直线与平面垂直的判定与性质角度1直线与平面垂直的判定[典例2](2023·重庆模拟)如图甲,在矩形ABCD中,AB=2AD=22,E为线段DC的中点,△ADE沿直线AE折起,使得DC=6,如图乙.求证:BE⊥平面ADE.【证明】连接BE,取线段AE的中点O,连接DO,OC,在Rt△ADE中,DA=DE=2,所以DO⊥AE,DO=1,在△OEC中,OE=12AE=1,EC=2∠OEC=34OC2=1+2+2×1×2×22所以OC=5,在△DOC中,DC2=6=DO2+OC2,所以DO⊥OC,又AE∩OC=O,AE,OC⊂平面ABCE,所以DO⊥平面ABCE,又DO⊂平面ADE,所以平面ADE⊥平面ABCE,在△ABE中,AE=BE=2,AB=22,所以BE⊥AE,因为平面ADE∩平面ABCE=AE,BE⊂平面ABCE,所以BE⊥平面ADE.【方法提炼】1.判断线面垂直的方法(1)线面垂直的判定:a⊥b,a⊥c,c⊂α,b⊂α,b∩c=P⇒a⊥α;(2)面面垂直的性质:α⊥β,α∩β=b,a⊥b,a⊂α⇒a⊥β;(3)平行线垂直平面的传递性:a⊥α,b∥a⇒b⊥α;(4)面面垂直的性质:α⊥γ,β⊥γ,α∩β=l⇒l⊥γ.2.判断线线垂直的方法(1)线面垂直的性质(a⊥α,b⊂α⇒a⊥b);(2)平行线垂直直线的传递性(a⊥c,a∥b⇒b⊥c).角度2直线与平面垂直性质的应用[典例3](2023·杭州模拟)如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别是棱BC,CC1的中点,P是底面ABCD(含边界)上一动点,满足A1P⊥EF,则线段A1P长度的取值范围是.

解析：连接BC1,A1D,如图所示:可得EF∥BC1,A1D⊥BC1,所以A1D⊥EF,又DC⊥EF,可得EF⊥平面A1DC,则A1C⊥EF,所以当P在线段CD上运动时,有A1P⊥EF,当P与D重合时,A1P有最小值为2,当P与C重合时,A1P有最大值为3.所以线段A1P长度的取值范围是[2,3].答案:[2,3]【方法提炼】直线与平面垂直性质的解题策略1.判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想,证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.2.在解题中要重视平面几何的知识,特别是正余弦定理及勾股定理的应用.3.重要结论要熟记:经过一点与已知直线垂直的直线都在过这点且与已知直线垂直的平面内.此结论可帮助解决动点的轨迹问题.【对点训练】1.(2022·安康模拟)如图,在三棱锥P-ABC中,AC⊥平面PAB,AC=2,AB=1,BP=3,PA=2.求证:PB⊥BC.【证明】因为AC⊥平面PAB,PB⊂平面PAB,所以AC⊥PB,又AB=1,PB=3,PA=2,所以AB2+PB2=PA2,所以PB⊥AB,因为AB∩AC=A,AB,AC⊂平面ABC,所以PB⊥平面ABC,又BC⊂平面ABC,所以PB⊥BC.2.在三棱锥P-ABC中,△PAC和△PBC是边长为2的等边三角形,AB=2,E,D分别是AB,PB的中点.(1)求证:ED∥平面PAC;(2)求三棱锥P-ABC的体积.解析：(1)因为E,D分别为AB,PB的中点,所以ED∥PA,又PA⊂平面PAC,ED⊄平面PAC,所以ED∥平面PAC.(2)连接EC,EP,如图所示,因为AC=CB,E为AB中点,所以EC⊥AB,因为AC=CB=2,AB=2,所以AC2+CB2=AB2,即∠ACB=90°,所以AC⊥BC,所以EC=12AB=12同理,PE⊥AB,PE=1,又PC=2,所以PC2=EC2+PE2=2,即∠PEC=90°,所以PE⊥EC,又因为AB∩EC=E,AB,EC⊂平面ABC,所以PE⊥平面ABC,所以PE为三棱锥P-ABC的高,且EP=1,所以VP-ABC=13S△ABC·EP=13×12×2×1×1=13.故三棱锥P-题型三平面与平面垂直的判定与性质角度1平面与平面垂直的判定及应用[典例4](2023·嘉兴模拟)如图,在四棱台ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是正方形,若AB=2A1B1=4,BB1=3,CC1=DD1=5.证明:平面DCC1D1⊥平面ABCD.【证明】将四棱台ABCD-A1B1C1D1补成四棱锥P-ABCD,取CD中点E,连接PE,BE,由题意知PC=PD,且A1,B1,C1,D1分别是棱PA,PB,PC,PD的中点,所以PE⊥CD,又PB=2BB1=6,BE=25,PE=4,所以PB2=PE2+BE2,故PE⊥BE,又BE∩CD=E,BE⊂平面ABCD,CD⊂平面ABCD,所以PE⊥平面ABCD,又PE⊂平面DCC1D1,所以平面DCC1D1⊥平面ABCD.【方法提炼】面面垂直的解题策略(1)证明面面垂直:先证线面垂直,其关键是找其中一个面的垂线;(2)已知面面垂直:其关键是在一个面内作(找)出交线的垂线.角度2平面与平面垂直的性质及应用[典例5]如图,P是正方形ABCD所在平面外一点,PA=PC=AB=2,且平面PAC⊥平面ABCD,E,F分别是线段AB,PC的中点.(1)求证:BD⊥PC;(2)求点E到平面PAD的距离.解析：(1)因为正方形ABCD⇒BD⊥AC,又平面PAC⊥平面ABCD;平面PAC∩平面ABCD=AC,BD⊂平面ABCD,所以BD⊥平面PAC,因为PC⊂平面PAC,所以BD⊥PC.(2)如图,设AC∩BD=O,连接PO,因为PA=PC=2,O为AC中点,所以PO⊥AC,又平面PAC⊥平面ABCD,平面PAC∩平面ABCD=AC,PO⊂平面PAC,故PO⊥平面ABCD,即PO是三棱锥P-ADE的高;由正方形ABCD边AB=2⇒AO=OD=2,所以PO=PA2-因为Rt△POD≌Rt△POA,所以PA=PD=2,设点E到平面PAD的距离为d,因为VE-PAD=VP-ADE⇒13S△PAD·=13S△ADE·PO即34×4×d=12×2×1×2,解得d=所以点E到平面PAD的距离为63【方法提炼】面面垂直的性质的解题策略1.两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据,运用时要注意“平面内的直线”“垂直交线”等关键条件.2.两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三个平面.3.转化思想:在已知两个平面垂直时,一般要用性质定理进行转化.在一个平面内作交线的垂线,转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直.【对点训练】1.(2022·石家庄模拟)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BC,AA1=AB,G是棱A1C1的中点.证明:(1)BC⊥AB1;(2)平面AB1G⊥平面A1BC.【证明】(1)因为AA1⊥平面ABC,且BC⊂平面ABC,所以AA1⊥BC.又因为BC⊥AB,AA1∩AB=A,AA1,AB⊂平面ABB1A1,所以BC⊥平面ABB1A1,因为AB1⊂平面ABB1A1,所以BC⊥AB1;(2)因为AA1=AB,易知矩形ABB1A1为正方形,所以BA1⊥AB1.由(1)知BC⊥AB1,又由于A1B∩BC=B,A1B,BC⊂平面A1BC,所以AB1⊥平面A1BC,又因为AB1⊂平面AB1G,所以平面AB1G⊥平面A1BC.2.(2023·潍坊模拟)如图①,在直角梯形ABCD中,∠ADC=90°,CD∥AB,AB=4,AD=CD=2,将△ADC沿AC折起,使平面ADC⊥平面ABC,得到三棱锥D-ABC,如图②所示.(1)若E为AD的中点,试在线段CD上找一点F,使EF∥平面ABC,并加以证明;(2)求证:平面BCD⊥平面ACD;(3)求三棱锥A-BCD的体积.解析：(1)取线段CD的中点,设为F,因为E为AD的中点,F为CD的中点,所以EF∥AC,又因为EF⊄平面ABC,AC⊂平面ABC,所以EF∥平面ABC.(2)在题图①中,可得AC=22,BC=(4-2从而AC2+BC2=16=AB2,故AC⊥BC,取AC的中点H,连接DH,由AD=CD,则DH⊥AC.因为平面ADC⊥平面ABC,平面ADC∩平面ABC=AC,DH⊂平面ACD,从而HD⊥平面ABC,因为BC⊂平面ABC,所以HD⊥BC,因为AC⊥BC,AC∩HD=H,AC,HD⊂平面ACD,所以BC⊥平面ACD,又因为BC⊂平面BCD,所以平面BCD⊥平面ACD.(3)由(2)可知BC为三棱锥B-ACD的高,BC=22,S△ACD=12所以VA-BCD=VB-ACD=13S△ACD×BC=13×2×22=从而三棱锥A-BCD的体积为42题型四求空间角的大小角度1直线与平面所成的角[典例6]在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,PB=PD,M,N分别为PA,BC的中点.(1)求证:BD⊥PA;(2)若∠DAB=∠PAC=60°,∠APC=90°,求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值.解析：(1)连接AC交BD于点O,连接PO,因为四边形ABCD为菱形,所以BD⊥AC,因为PB=PD,O为BD的中点,所以BD⊥PO,又PO∩AC=O,PO,AC⊂平面PAC,所以BD⊥平面PAC,又PA⊂平面PAC,所以BD⊥PA;(2)过P作PK⊥AC,K为垂足,连接BK,因为BD⊥平面PAC,PK⊂平面PAC,所以PK⊥BD,又AC,BD⊂平面ABCD,AC∩BD=O,所以PK⊥平面ABCD,因此直线PB在平面ABCD的射影为KB,即∠PBK为直线PB与平面ABCD所成角.因为四边形ABCD为菱形且边长为2,∠DAB=60°,所以AO=3,BO=1,由题意可知△PAC为直角三角形,易得PO=AO=3,又∠PAC=60°,所以PA=3,所以PK=32由BD⊥平面PAC可知△POB为直角三角形,所以PB=PO在Rt△PKB中,sin∠PBK=322=所以直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为34【方法提炼】求线面角的几何方法(1)定义法:需作出面的垂线(垂面法作垂线);(2)等体积法:用等体积法求出点到面的距离(就是垂线段的长).角度2二面角[典例7](2022·长春模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,E,F分别为PA,BC的中点.(1)证明:EF∥平面PCD;(2)若PD⊥平面ABCD,∠ADC=120°,且PD=2AD=4,求平面DEF与平面ABCD夹角的余弦值.解析：(1)取PD中点G,连接GE,GC,因为E,F分别为PA,BC的中点,底面ABCD为菱形,所以GE∥DA∥CF,GE=12DA=12CB=所以四边形GEFC为平行四边形,所以EF∥GC,又GC⊂平面PCD,EF⊄平面PCD,所以EF∥平面PCD;(2)取DA中点H,连接EH,则EH∥PD,EH=12PD因为PD⊥平面ABCD,所以EH⊥平面ABCD,因为∠ADC=120°,四边形ABCD为菱形,所以∠DCB=60°,所以△BCD为正三角形,又F为BC的中点.所以∠CDF=30°,∠FDA=∠ADC-∠CDF=90°,即DH⊥DF,又平面DEF∩平面ABCD=DF,所以∠EDH为平面DEF与平面ABCD的夹角,cos∠EDH=DHDE=12AD所以平面DEF与平面ABCD夹角的余弦值为55【方法提炼】面面角、二面角的几何求法(1)定义法;(2)由线面垂直进行转化;(3)射影面积法.cosθ=S'S(原几何图形的面积为S,射影图形的面积为S'【对点训练】1.(2023·济南模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,∠ABC=60°,PA=22,E是线段PC上的动点.(1)若E是线段PC中点时,证明:PA∥平面EBD;(2)若直线PC与底面ABCD所成角的正弦值为63,且三棱锥E-PAB的体积为269,请确定解析：(1)连接AC交BD于O,连接EO,因为底面ABCD是菱形,所以O是AC中点,又因为E是PC的中点,所以PA∥EO,