六年级奥数第六讲分数百分数应用题

一、解答题（共25小题，满分0分）

1.（2023•成都）甲、乙两种商品，成本共2200元，甲商品按20%的利润定价，乙商品按15%的

利润定价，后来都按定价的90%打折出售，结果仍获利131元，甲商品的成本是多少元？

2.（2023•泉山区校级自主招生）100千克刚采下的鲜蘑菇含水量为99%,略微晾晒后，含水量下

降到98%,这100千克的蘑菇现在还有千克.

3.有两桶水：一桶8升，一桶13升，往两个桶中加进同样多的水后，两桶中水量之比是5：7,

那麽往每个桶中加进去的水量是多少升？

4.（2023•哈尔滨校级自主招生）有甲、乙两堆煤，假如从甲堆运12吨给乙堆，那么两堆煤就一

样重.假如从乙堆运12吨给甲堆，那么甲堆煤就是乙堆煤的2倍.这两堆煤共重多少吨？

5.一堆围棋子黑白两种颜色，拿走15枚白棋子后，黑子及白子的个数之比为2：1；再拿走45枚

黑棋子后，黑子及白子的个数比为1：5,求起先时黑棋子、白棋子各有多少枚？

6.某班有学生48人，女生占全班的37.5%,后来又转来女生若干人，这时人数恰好是占全班人数

的40%,问转来几名女生？

7.（2023•北京校级自主招生）把一个正方形的一边削减20%,另一边增加2米,得到一个长方形.它

及原来的正方形面积相等.问正方形的面积是多少？

8.学校男生人数占45%,会游泳的学生占54%.男生中会游泳的占72%,问在全体学生中不会游

泳的女生占百分之几？

9.某校四年级原有2个班，现在要重新编为3个班，将原一班的工及原二班的工组成新一班，将原

34

一班的工及原二班的工组成新二班，余下的30人组成新三班.假如新一班的人数比新二班的人数多

43

10%,那么原一班有多少人？

10.（2023•中山校级模拟）一个长方形长及宽的比是14：5,假如长削减13厘米，宽增加13厘米,

则面积增加182平方厘米，那么原长方形面积是多少平方厘米？

11.有正方形和长方形两种不同的纸板，正方形纸板总数及长方形纸板总数之比为2：5.现在将

这些纸板全部用来拼成横式和竖式两种无盖纸盒，其中竖式盒由一块正方形纸板做底面，四块长

方形纸板做侧面（图1）,横式盒由一块长方形纸板做底面，两块长方形和两块正方形纸板做侧面

（图2）,那么做成的竖式纸盒及横式纸盒个数之比是多少？

图1图2

12.（2023•东莞市校级自主招生）某学校入学考试，参加的男生及女生人数之比是4：3.结果录

用91人，其中男生及女生人数之比是8：5.未被录用的学生中，男生及女生人数之比是3：4.问

报考的共有多少人？

13.（2023•北京模拟）幼儿园大班和中班共有32名男生，18名女生.已知大班男生数及女生数的

比为5：3,中班中男生数及女生数的比为2：1,那么大班有女生多少名？

14.某商店进了一批笔记本，按30%的利润定价.当售出这批笔记本的80%后，为了尽早销完,

商店把这批笔记本按定价的一半出售.问销完后商店实际获得的利润百分数是多少？

15.（2023•长沙）A,B,C三个试管中各盛有10克、20克、30克水.把某种浓度的盐水10克倒

入A中，混合后取出10克倒入B中，混合后又从B中取出10克倒入C中.现在C中盐水浓度

是0.5%.问最早倒入A中的盐水浓度是多少？

16.（2023•泸州校级模拟）小明到商店买红、黑两种笔共66支.红笔每支定价5元，黑笔每支定

价9元.由于买的数量较多，商店就赐予实惠，红笔按定价85%付钱，黑笔按定价80%付钱，假

如他付的钱比按定价少付了18%,那么他买了红笔多少支？

17.制鞋厂生产的皮鞋按质量共分10个档次，生产最低档次（即第1档次）的皮鞋每双利润为24

元.每提高一个档次，每双皮鞋利润增加6元.最低档次的皮鞋每天可生产180双，提高一个档

次每天将少生产9双皮鞋.按天计算，生产哪个档次的皮鞋所获利润最大？最大利润是多少元？

18.某中学，上年度中学男、女生共290人.这一年度中学男生增加4%,女生增加5%,共增加

13人.本年度该校有男、女生各多少人？

19.在如图中AB,AC的长度是15,BC的长度是9.把BC折过去及AC重合，B点落在E点上,

求三角形ADE及三角形ABC面积之比.

20.（2023•长春）成本0.25元的练习本1200本，按40%的利润定价出售，当销掉80%后，剩下的

练习本打折扣出售，结果获得的利润是预定的86%.问剩下的练习本出售时按定价打了多少折扣？

21.甲乙两人各有一些书，甲比乙多的数量恰好是两人总数的工，假如甲给乙20本，那么乙比甲

4

多的数量恰好是两人总数的工那么他们共有多少本书？

6

22.甲、乙、丙三位同学共有图书108本.乙比甲多18本，乙及丙的图书数之比是5：4.求甲、

乙、丙三人全部的图书数之比.

23.一个容器内已注满水，有大、中、小三个球.第一次把小球沉入水中；其次次把小球取出，

把中球沉入水中；第三次取出中球，把小球和大球一起沉入水中，现在知道每次从容器中溢出水

量的状况是，第一次是其次次的工第三次是第一次的2.5倍，求三个球的体积之比.

3

24.某种密瓜每天减价20%.第一天妈妈按定价减价20%买了3个密瓜，其次天妈妈又买了5个

密瓜，两天共花了42元.如这8个密瓜都在第三天买，问要花多少钱？

25.（2023•兴庆区校级自主招生）袋子里红球及白球数量之比是19：13.放入若干只红球后，红

球及白球数量之比变为5：3；再放入若干只白球后，红球及白球数量之比变为13：11.已知放入

的红球比白球少80只，那么原先袋子里共有多少只球？

2023年学而思教化小升初专项训练9：比例百分数篇

参考答案及试题解析

一、解答题（共25小题，满分0分）

1.（2023•成都）甲、乙两种商品，成本共2200元，甲商品按20%的利润定价，乙商品按15%的

利润定价，后来都按定价的90%打折出售，结果仍获利131元，甲商品的成本是多少元？

kaodian：利润和利息问题.

分析：设甲成本为X元，则乙为2200-X元，分别把甲、乙商品定价后的价钱求出，然后依据一个数乘

分数的意义，求出后来都按定价的90%打折出售的总价钱，继而依据"按定价的90%打折出售的总

价钱-成本价=获利钱数（131）”列出方程，解答即可.

解答：解：设甲成本为x元，贝U乙为2200-x元，贝

90%x[（1+20%）x+（2200-x）x（1+15%）]-2200=131,

0.9x[1.2x+2200xl.l5-1.15x]-2200=131,

0.9x[0.05x+2530]-2200=131,

0.045x+2277-2200=131,

0.045x+77=131,

x=1200.

答：甲商品的成本是1200元.

点评：解答此题的关键是先设出要求的量，进而推断出单位"1",依据题意，找出数量间的相等关系式,

然后依据关系式，进行解答即可；用到的学问点：一个数乘分数的意义.

2.(2023•泉山区校级自主招生)100千克刚采下的鲜蘑菇含水量为99%,略微晾晒后，含水量下

降到98%,这100千克的蘑菇现在还有千克.

kaodian：浓度问题；百分数的实际应用.

分析：此题转化为浓度问题来解答，相当于蒸发问题，所以蘑菇的数量不变，列方程得：100x

(1-99%)=(1-98%)X,解答即可.

解答：解：设这100千克的蘑菇现在还有X千克，由题意得：

(1-98%)X=100x(1-99%),

2%X=100xl%,

2X=100,

X=50.

答：这100千克的蘑菇现在还有50千克.

点评：此题解答的关键是依据蘑菇的数量不变，列出方程，解决问题.

3.有两桶水：一桶8升，一桶13升，往两个桶中加进同样多的水后，两桶中水量之比是5：7,

那麽往每个桶中加进去的水量是多少升？

kaodian：比的应用；比例的应用.

分析：由题意可知：设加进去的水量为x升，则会有(8+x)：(13+x)=5：7,解此比例即可.

解答：解：设加进去的水量为x升，

则会有(8+x)：(13+x)=5：7,

(8+x)x7=(13+x)x5,

56+7x=65+5x,

2x=9,

x=4.5；

答：加进去的水量为4.5升.

点评：解答此题的关键是：设出未知数，利用比例解答比较简洁理解.

4.(2023•哈尔滨校级自主招生)有甲、乙两堆煤，假如从甲堆运12吨给乙堆，那么两堆煤就一

样重.假如从乙堆运12吨给甲堆，那么甲堆煤就是乙堆煤的2倍.这两堆煤共重多少吨？

kaodian：差倍问题.

分析："从甲堆运12吨给乙堆两堆煤就一样重"说明甲堆比乙堆原来重12x2=24吨，这样乙堆运

12吨给甲堆，说明现在甲乙相差就是24+24=48吨，而甲堆煤就是乙堆煤的2倍，说明

相差1份，所以现在甲重48x2=96吨，总共重量为48x3=144吨

解答：解：(12x2+12x2):(2-1),

=48+1,

=48(吨)；

所以甲乙两堆煤重：

48x（2+1）=144（吨）；

答：这两堆煤共重144吨.

点评：此题关系较为困难，要求学生要细致审题，找准等量关系分别得出甲乙原来相差的吨数,

以及2倍关系下1份的重量即乙煤重量，从而求得甲乙的总重量.

5.一堆围棋子黑白两种颜色，拿走15枚白棋子后，黑子及白子的个数之比为2：1；再拿走45枚

黑棋子后，黑子及白子的个数比为1：5,求起先时黑棋子、白棋子各有多少枚？

kaodian：比的应用.

分析：由题意可知：其次次拿走45枚黑棋，黑子及白子的个数之比由2：1（即10：5）变为1：

5,而其中白棋的数目是不变的，这样我们就知道白棋由原来的10份变成现在的1份，

削减了9份，这9分对应的数量是45,可以求出原来黑棋的个数，再据"拿走15枚白棋

子后，黑子及白子的个数之比为2：1”即可求得原来白棋子的个数.

解答：解：因为2：1=10：5,

则原来黑棋子的个数：45+9x10,

=5x10,

=50（个）；

原来白棋的个数：45+9x5+15,

=5x5+15,

=25+15,

=40（个）；

答：原来黑棋子有50个，白棋子有40个.

点评：解答此题的关键是：拿走的45枚棋子对应的是9份的量，求出一份的量，即可逐步求解.

6.某班有学生48人，女生占全班的37.5%,后来又转来女生若干人，这时人数恰好是占全班人数

的40%,问转来几名女生？

kaodian：百分数的实际应用.

分析：把原来全班共有的学生（48人）看作单位"1",则男生人数占全班人数的（1-37.5%）,

依据一个数乘分数的意义，求出男生人数，进而把后来全班人数看作单位"1",依据"对应

数+对应分率=单位"1"的量"进行解答，求出后来的全班人数，然后减去原来全班人数，

即可得出结论.

解答：解：48X（1-37.5%）4-（1-40%）-48,

=30+0.6-48,

=50-48,

=2（人）；

答：转来2名女生.

点评：这是一道变换单位"1"的分数应用题，需抓住男生人数这个不变量，进行解答，用到的学

问点：（1）一个数乘分数的意义，用乘法解答；（2）已知一个数的几分之几是多少，求

这个数用除法.

7.（2023•北京校级自主招生）把一个正方形的一边削减20%,另一边增加2米,得到一个长方形.它

及原来的正方形面积相等.问正方形的面积是多少？

kaodian：百分数的实际应用；长方形、正方形的面积.

分析：把正方形的边长看做单位"1",依据一边削减了20%,另一边将增加2米，得到的长方形

及原来的正方形面积相等，可知削减的面积就等于增加的面积，先求得增加的面积即2x

（1-20%）,也就是削减的面积数，再用削减的面积数除以20%就是原来正方形的边长，

再用边长乘边长即得正方形的面积.

解答：解：正方形的边长：

2x（1-20%）+20%,

=2x0.8+0.2,

=8（米）；

正方形的面积：

8x8=64（平方米）；

答：正方形的面积是64平方米.

点评：解决此题关键是把正方形的边长看做"1”,依据削减的面积就等于增加的面积，先求得正

方形的边长，进而求得面积.

8.学校男生人数占45%,会游泳的学生占54%.男生中会游泳的占72%,问在全体学生中不会游

泳的女生占百分之几？

kaodian：分数和百分数应用题（多重条件）.

分析：由于男生人数占总人数的45%,男生中会游泳的占72%,所以在全体学生中，会游泳的

男生占45%x72%=32.4%；则在全体学生中，会游泳的女生占54%-32.4%=21.6%；由于

男生人数占总人数的45%,设全体学生为单位"1”,由于女生占全体学生的1-45%=55%,

则不会游泳的女生有55%-21.6%=33.4%.

解答：解：会游泳的女生占全体学生的：

54%-45%x72%

=54%-32.4%,

=21.6%；

则不会会游泳的女生占全体学生的：

（1-45%）-21.6%

=55%-21.6%,

=33.4%.

答：在全体学生中不会游泳的女生占33.4%.

点评：先依据已知条件求出会游泳的女生占全体学生的分率是完成本题的关键.

9.某校四年级原有2个班，现在要重新编为3个班，将原一班的工及原二班的工组成新一班，将原

34

一班的工及原二班的△组成新二班，余下的30人组成新三班.假如新一班的人数比新二班的人数多

43

10%,那么原一班有多少人？

kaodian：分数和百分数应用题（多重条件）.

分析：由题意可知，原一班的工及原二班的工+原一班的工及原二班的工=工总人数，所以余下的

344312

30人占总人数的1-1=至，所以总人数有30+至=72人；72-30=42人，即新一班及

121212

新二班的人数和为42人，新一班的人数比新二班的人数多10%,则新二班的人数是42+

（1+1+10%）=20人，则新一班有42-20=22人，即原一班的（2-工）=_1比原二班的

341212

多2人，原一班比原二班共多2二-1=24人，所以，原一班有（72+24）+=48人.

12

解答：解：则总人数有：

30+（1-1-1）

34

=30二-L

-12

=72（人）；

新一、二班共有学生：

72-30=42（人）；

新二班的人数是：42+（1+1+10%）=20（人），

新一班比新二班多：（42-20）-22=2（人）；

即原一班的（工-工）=。比原二班的。多2人，

341212

原一班比原二班共多2上」-=24人，

'12

所以，原一班有（72+24）+2=48人.

答：原一班有48人.

点评：本题中的数量关系较为困难，完成要思路清晰，依据条件中的逻辑关系细致分析，逐步

解答.

10.（2023•中山校级模拟）一个长方形长及宽的比是14：5,假如长削减13厘米，宽增加13厘米,

则面积增加182平方厘米，那么原长方形面积是多少平方厘米？

kaodian：组合图形的面积；长方形、正方形的面积.

分析：画出图便于解题：长方形长及宽的比是14：5,则设原来的长方形的长宽分别为14x厘米、

5x厘米，则图中红色部分是长削减13厘米后原长方形面积削减了13x5x平方厘米，绿色

部分是宽增加13厘米后长方形面积增加了（14x-13）xl3平方厘米，而实际变更后比原

来长方形的面积增加182平方厘米，由此列出方程即可解答.

解答：解：设原长方形长为14x,宽为5x.由图分析得方程

（14x-13）xl3-5xxl3=182,

182x-169-65x=182,

117x=351,

x=3；

则原长方形面积：（14x3）x（5x3）,

=42x15,

=630（平方厘米）.

答：原来的长方形的面积是630平方厘米.

点评：此题的关键是依据长宽的变更，画出图形，正确找出增加部分和削减部分的面积进行解

答.

11.有正方形和长方形两种不同的纸板，正方形纸板总数及长方形纸板总数之比为2：5.现在将

这些纸板全部用来拼成横式和竖式两种无盖纸盒，其中竖式盒由一块正方形纸板做底面，四块长

方形纸板做侧面(图1),横式盒由一块长方形纸板做底面，两块长方形和两块正方形纸板做侧面

(图2),那么做成的竖式纸盒及横式纸盒个数之比是多少？

困1图2

kaodian：比的应用；简洁的立方体切拼问题.

分析：此题可以用设数法来解答，假设竖式纸盒有a个，横式纸盒有b个，由题意列式为(a+2b)：

(4a+3b)=2：5,然后化简即可.

解答：解：设竖式纸盒有a个，横式纸盒有b个，则共用长方形纸板(4a+3b)块，正方形纸板

(a+2b)块.依据题意有：

(a+2b)：(4a+3b)=2：5,

即5(a+2b)=2(4a+3b),

5a+10b=8a+6b,

3a=4b,

即a：b=4：3.

答：做成的竖式纸盒及横式纸盒个数之比是4：3.

点评：此题的解题思路是：先设出竖式纸盒和横式纸盒的个数，然后相应地表示出共用长方形

纸板的块数，正方形纸板的块数，再依据正方形纸板总数及长方形纸板总数之比为2：5,

列出等式并化简.

12.(2023•东莞市校级自主招生)某学校入学考试，参加的男生及女生人数之比是4：3.结果录

用91人，其中男生及女生人数之比是8：5.未被录用的学生中，男生及女生人数之比是3：4.问

报考的共有多少人？

kaodian：比的应用；比例的应用.

分析：先依据"结果录用91人，其中男生及女生人数之比是8：5”,利用按比例支配的方法求出

录用的男女生的人数，再据未被录用的男女生人数比和参加考试的男女生人数比，即可

列比例求解.

解答：解：录用学生中男生：91x_§_=56(人)，

5+8

女：91-56=35(人).

设未被录用的男生有3x人，未被录用的女生有4x人，

则有(56+3x)：(35+4x)=4：3

(56+3x)x3=(35+4x)x4,

168+9x=140+16x,

7x=168-140,

7x=28,

x=4：

所以未录用男生：4x3=12(人)，女生4x4=16(人).

报考人数是：（56+12）+（35+16）,

=68+51,

=119（人）；

答：报考的共有119人.

点评：解答此题的关键是：先求出录用的男女生的人数，再据题目条件，即可求出报考的总人

数.

13.（2023•北京模拟）幼儿园大班和中班共有32名男生，18名女生.已知大班男生数及女生数的

比为5：3,中班中男生数及女生数的比为2：1,那么大班有女生多少名？

kaodian：比的应用.

分析：方法一：由于男女生有比例关系，而且知道总数，所以我们可以用鸡兔同笼的方法解答,

假设18名女生全部是大班，再据"大班男生数及女生数的比为5：3”,即可逐步求解.

方法二：可以把中班女生数看作"1"份，那么中班男生数为2份.从而大班中的男生数为

32-2份，大班里的女生人数是18-1份.依据题意有（32-2份）：（18-1份）=5：3,

只要求出1份的数目即可.

解答：解：方法一：假设18名女生全部是大班，则

大班男生数：女生数=5：3=30：18,即男生应有30人，

实际男生有32人，32-30=2,相差2个人；

中班男生数：女生数=2：1=6：3,

以3个中班女生换3个大班女生，每换一组可增加1个男生，须要换2组；

所以，大班女生有18-3x2=12个.

方法二：把中班女生数看作单位"1",

则有（32-2份）：（18-1份）=5：3,

（32-2份）x3=（18-1份）x5,

96-6份=90-5份

1份=6；

所以大班的女生则有18-6=12（人）.

答：大班有女生12名.

点评：解答此题的关键是：知道男女生的人数比例，既可以用鸡兔同笼的方法解答，也可以用

份数解答.

14.某商店进了一批笔记本，按30%的利润定价.当售出这批笔记本的80%后，为了尽早销完，

商店把这批笔记本按定价的一半出售.问销完后商店实际获得的利润百分数是多少？

kaodian：利润和利息问题.

分析：把这批笔记本的成本是"1",因此定价是lx（1+30%）=1.3；其中80%的卖价是1.3x80%,

20%的卖价是1.3+2x20%；因此全部卖价是1.3x80%+1.3+2x20%=1.17；实际获得利润的

百分数是1.17-1=0.17=17%.

解答：解：[lx（1+30%）x80%+lx（1+30%）+2x（1-80%）]-1,

=[1.04+0.13]-1,

=0.17,

=17%；

答：销完后商店实际获得的利润百分数是17%.

点评：此题较难，解答此题的关键：把这批笔记本的成本是"1",依据题意，求出全部卖出的总

价，进而及成本总价进行比较，得出结论；用到的学问点：一个数乘分数的意义.

15.（2023•长沙）A,B,C三个试管中各盛有10克、20克、30克水.把某种浓度的盐水10

克倒入A中，混合后取出10克倒入B中，混合后又从B中取出10克倒入C中.现在C中盐水

浓度是0.5%.问最早倒入A中的盐水浓度是多少？

kaodian：浓度问题.

分析：混合后，三个试管中的盐水分别是20克、30克、40克，又知C管中的浓度为0.5%,可

算出C管中的盐是：40x0.5%=0.2（克）.由于原来C管中只有水，说明这0.2克的盐来

自从B管中倒入的10克盐水里.

B管倒入C管的盐水和留下的盐水浓度是一样的，10克盐水中有0.2克盐，那么原来B

管30克盐水就应当含盐：0.2x3=06（克）.而且这0.6克盐来自从A管倒入的10克盐水

中.

A管倒入B管的盐水和留下的盐水的浓度是一样的，10克盐水中有0.6克盐，说明原A

管中20克盐水含盐：0.6x2=12（克），而且这1.2克的盐全部来自某种浓度的盐水.即

说明倒入A管中的10克盐水含盐1.2克.所以，某种浓度的盐水的浓度是

1.2-?10xl00%=12%.

解答：解：B中盐水的浓度是：

（30+10）x0.5%-?10xl00%,=40X0.0054-10X100%,=2%.

现在A中盐水的浓度是：

（20+10）x2%-rl0xl00%,=30x0.002^10x100%,=6%.

最早倒入A中的盐水浓度为：

（10+10）x6%+10,=20x6%+10,=12%.

答：最早倒入A中的盐水浓度为12%.

点评：不管是哪类的浓度问题，最关键的思维是要抓住题中没有变更的量，不管哪个试管中的

盐，都是来自最初的某种浓度的盐水中，运用倒推的思维来解答.

16.（2023•泸州校级模拟）小明到商店买红、黑两种笔共66支.红笔每支定价5元，黑笔每支定

价9元.由于买的数量较多，商店就赐予实惠，红笔按定价85%付钱，黑笔按定价80%付钱，假

如他付的钱比按定价少付了18%,那么他买了红笔多少支？

kaodian：浓度问题.

分析：浓度倒三角的妙用：红笔按85%实惠，黑笔按80%实惠，结果少付18%,相当于按82%

实惠，可按浓度问题进行配比.及其他题不同的地方在于红、黑两种笔的单价不同，要

把这个因素考虑进去.然后就可以按比例支配这66支笔了.

解答：解：1-18%=82%；

红笔每支多付：

5x（85%-82%）,

=5x3%,

=0.15（元）；

黑笔每支少付：

9x（82%-80%）,

=9x2%,

=0.18（元）；

红笔总共多付的钱等于黑笔总共少付的钱，红笔及黑笔数量之比是0.15及0.18的反比，

即：

0.18：0.15=6：5,

红笔是：66x—―=36（支）,

5+6

答：他买了红笔36支.

点评：解答此题的关键是求出红笔及黑笔数量之比，然后依据按比例支配的方法解答即可.

17.制鞋厂生产的皮鞋按质量共分10个档次，生产最低档次(即第1档次)的皮鞋每双利润为24

元.每提高一个档次，每双皮鞋利润增加6元.最低档次的皮鞋每天可生产180双，提高一个档

次每天将少生产9双皮鞋.按天计算，生产哪个档次的皮鞋所获利润最大？最大利润是多少元？

kaodian：利润和利息问题.

分析：由题意，生产第n(n=l,2,10)档次的皮鞋，每天生产的双数为189-9n=9x(21

-n)双，每双利润为18+6n=6x(3+n)(元)，所以每天获利润[6x(3+n)]x[9x[(21-n)]=54x

(3+n)x(21-n)元；

两个数的和确定时，这两个数越接近，这两个数的乘积越大，上式中，因为(3+n)及(21

-n)的和是24,而n=9时，(3+n)及(21-n)都等于12,所以每天生产第9档次的皮

鞋所获利润最大，然后算出最大利润即可.

解答：由题意，生产第n(n=l,2,10)档次的皮鞋，每天生产的双数为189-9n=9x(21

-n)双，

每双利润为：18+6n=6x(3+n)(元)，

所以每天获利润：[6x(3+n)]x[9x[(21-n)]=54x(3+n)x(21-n)元；

两个数的和确定时，这两个数越接近，这两个数的乘积越大，上式中，因为(3+n)及(21

-n)的和是24,

而n=9时，(3+n)及(21-n)都等于12,所以每天生产第9档次的皮鞋所获利润最大,

最大利润是：

54x(3+9)x(21-9)=7776(元)；

答：生产第9个档次的皮鞋所获利润最大，最大利润是7776元.

点评：解答此题的关键：细致分析题意，找出题中数量间的关系，进而依据每双鞋的利润、生

产鞋的双数和总利润之间的关系解答即可.

18.某中学，上年度中学男、女生共290人.这一年度中学男生增加4%,女生增加5%,共增加

13人.本年度该校有男、女生各多少人？

kaodian：列方程解含有两个未知数的应用题；百分数的实际应用.

分析：假如女生也是增4%,这样增加的人数是290x4%=".6(人)，比13人少1.4人，少的1.4

人就是因为女生本是增加5%,而算成4%,少算了上年度女生的1%,用除法可求出上年度

女生的人数，依据"上年度男、女生共290人"算出上年度男生的人数，又因为4%,5%的单

位"1"是上年度女生和男生，所以用乘法可算出本年度男女生人数.

解答:解：假如女生也是增加4%,这样增加的人数是：290x4%=11.6(人)，

女生少算了：13-11.6=1.4(人)，

上年度女生是1.44-（5%-4%）=140（人）,

上年度男生有290-140=150（人），

本年度男生有150x（1+4%）=156（人），

本年度女生有140x（1+5%）=147（人），

答：本年度该校有男生156人，女生147人.

点评:解此题的关键是先算出上年度男女生的人数，再依据增加的比算出本年度的男女生人数.

19.在如图中AB,AC的长度是15,BC的长度是9.把BC折过去及AC重合，B点落在E点上,

求三角形ADE及三角形ABC面积之比.

kaodian：简洁图形的折叠问题；比的意义；三角形的周长和面积.

分析：首先，依据△ADE和△DEC的高相等，那么可推出这两个三角形的面积之比，等于这两

个三角形的底边之比为（15-9）：9=6：9=2：3.三角形BCD及三角形CDE面积相等.所

以三角形ADE及三角形ABC的面积之比为2：8即1：4

解答：解：因为BC=CE=9,

所以AE=15-9=6（厘米）；

因为△ADE和小DEC的高相等，

所以△ADE和ADEC的面积比为（15-9）：9=6：9=2：3；

又因为三角形BCD及三角形CDE面积相等.

所以三角形ADE及三角形ABC的面积之比为2：8即1：4.

答：三角形ADE及三角形ABC面积之比为1：4.

点评：此题重点考查等高的两个三角形的面积之间的关系.假如在两个三角形中，底边上的高

相等，这两个三角形的面积比等于底边之比.

20.（2023・长春）成本0.25元的练习本1200本，按40%的利润定价出售，当销掉80%后，剩下的

练习本打折扣出售，结果获得的利润是预定的86%.问剩下的练习本出售时按定价打了多少折扣？

kaodian：利润和利息问题.

分析：此题可以先求出每本练习本的预定利润为：0.25x40%=。」元，则预定价格为：

0.25+0.25x40%=0.35元，那么预定总利润就是：1200*）.1=120元，销掉80%得到的利润

就是：1200x80%x0.1=96（元），而实际获得的利润为：120x86%=103.2,所以剩下的20%

的利润是103.2-96=7.2元，由此可以求得剩下的每本的利润为：7.2+（1200x20%）=0.03

元，那么剩下的练习本的单价为：0.03+0.25=0.28元，0.28+0.35=0.8,故剩下的练习本出

售时按定价打了八折.

解答：解：预定价格为：0.25+0.25x40%=0.35（元），

预定利润为：0.25x40%=0.1（元），

预定总利润为：0.1x1200=120（元），

剩下的20%的练习本的每一本价格为：

（120x86%-120x80%）+（1200x20%）+0.25,

=（103.2-96）+240+0.25,

=7.2+240+0.25,

=0.03+0.25,

=0.28（元），

0.28+0.35=0.8

答：剩下的练习本出售时按定价打了8折.

点评：此题的解题过程有点困难，只要抓住先求得预定价格，和剩下的20%的练习本的价格为

做题思路，即可解决问题

21.甲乙两人各有一些书，甲比乙多的数量恰好是两人总数的工，假如甲给乙20本，那么乙比甲

4

多的数量恰好是两人总数的上那么他们共有多少本书？

6

kaodian：分数和百分数应用题（多重条件）.

分析：甲比乙多的数量恰好是两人总数的，把差1份，和4份，用和差问题来算一下，大数为:

（4+1）-2=2.5,小数：（4-1）+2=1.5,,得甲是2.5份,乙是1.5份,甲及乙的比是5：

3.同理，甲给乙20本后，甲及乙的比是5：7；因为甲给乙20本书，甲削减多少，乙就

增加多少，甲乙两人共有书的总数不变，在这里8及12的最小公倍数是24份：

5：3=15：9,5：7=10：14

视察比较甲从15份变为10份，是因为少了20本书，因此每份是4本，共有书就为4x

（15+9）=96本

解答：解：甲比乙多的数量恰好是两人总数的L

4

甲：（4+1）+2=2.5（份），

乙：4-2.5=1.5（份），

甲：乙二2.5：1.5=5：3=15：9；

那么乙比甲多的数量恰好是两恰好是两人总数的工

6

乙：（1+6）+2=3.5（份），

甲：6-3.5=2.5份，

甲：乙=2.5：3.5=5：7=10：14,

每份：20+（15-10）=4（本），

一共有:4x（15+9）=96（本）.

答:他们共有96本书.

点评：依据和差问题求出他们前后书的本数的比是完成本题的关键.

22.甲、乙、丙三位同学共有图书108本.乙比甲多18本，乙及丙的图书数之比是5：4.求甲、

乙、丙三人全部的图书数之比.

kaodian：比的应用.

分析：由题意可知：设乙有5x本书，则甲有5x78本书，丙有4x本书，再据"甲、乙、丙三

位同学共有图书108本”即可列方程求出每人的图书本数，从而求得甲、乙、丙三人全部

的图书数之比.

解答：解：设乙有5x本书，则甲有5x-18本书，丙有4x本书，

贝IJ有5x+5x-18+4x=108,

14x=108+18,

14x=126,

x=9；

甲有图书：5x9-18=27（本），

已有图书:5x9=45（本），

丙有图书：4x9=36（本）；

所以图书数量比为：27：45：36=3：5：4；

答：甲、乙、丙三人全部的图书数之比3：5：4.

点评：解答此题的关键是：灵敏的设未知数，分别求出各自的图书数量，即可求出图书数之比

23.一个容器内已注满水，有大、中、小三个球.第一次把小球沉入水中；其次次把小球取出，

把中球沉入水中；第三次取出中球，把小球和大球一起沉入水中，现在知道每次从容器中溢出水

量的状况是，第一次是其次次的工第三次是第一次的2.5倍，求三个球的体积之比.

3

kaodian：比的应用.

分析：假设小球溢出的水量为1个单位，其次次把中球沉入水中是第一次的3倍，说明中球的

体积是1+3=4个单位.第三次把小球和大球一起沉入水中是一次的2.5倍，小球及大球

的体积和是4+2.5=6.5个单位，大球的体积是6.5-1=5.5个单位，从而可以求出三个球的

体积比.

解答：解：假设小球溢出的水量为1