2024年广东省佛山市禅城区中考数学二模试卷（含解析）

2024年广东省佛山市禅城区中考数学二模试卷

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.2024的相反数是（）

A.2024B.|2024|c击D.-2024

2.鲁班锁是一种广泛流传于民间的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的桦卯

结构.如图是鲁班锁的其中一个部件，从正面看到的平面图形是（）

A-|II

3.下列运算正确的是()

A.a24-a2=a4*B.(a2)3=a6

C.(a+<)2=a2+b2D.Q(a—b)=a2—b

4.不等式组｛:+%<:的解集在数轴上表示正确的是（）

A.

-3-2-10123-3-2-10123

C-3-2-10123D.•1-X*

-3-2-10123

5.如图，教室内地面有个倾斜的畚箕，箕面48与水平地面的夹角4a48为

61。，小明将它扶起（将畚箕绕点“顺时针旋转）后平放在地面，箕面绕点

/旋转的度数为（）

A.119°B.120°C.61°D.121°

6.《墨子・天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆”.度方知圆，感悟数学之

美.如图，以面积为1的正方形2BCD的对角线的交点为位似中心，作它的位似图

形4'B'C'D',若力B：A'B'=1：2,则四边形力‘B'C'D'的面积为（）

A.9

B.6

C.4

D.3

7.如图，在。。中，直径DE1弦48,C是圆上一点，若乙4CD=26。，贝此4。8的度

数为（）

A.104°

B.103°

C.102°

D.52°

8.阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”，这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识杠

杆原理，即“阻力X阻力臂=动力X动力臂”.若某杠杆的阻力和阻力臂分别为1000N和0.66，则它的动力产

和动力臂/之间的函数图象大致是（）

9.若实数b,c满足c—b+2=0,则关于久的方程/+6刀+c=0根的情况是（）

A.有两个相等实数根B.有两个不相等的实数根

C.没有实数根D,无法确定

10.在题目“甲、乙两地相距300km,一辆汽车从甲地匀速开往乙地，…，求汽车实际行驶的时间？”中,

若设汽车原计划需行驶久拉，可得方程（1+25%）•哼=言，则题目中“…”表示的条件是（）

A.速度比原计划增加25%,结果提前1八到达

B.速度比原计划增加25%,结果晚1%到达

C.速度比原计划减少25%,结果提前l/i到达

D.速度比原计划减少25%,结果晚l/i到达

二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。

11.佛山市联合图书馆搭建由市中心馆、镇街分馆、邻里图书馆、智能图书馆、学校图书馆等多维公共图

书馆服务体系，推动了城乡公共文化服务一体建设.截止2023年馆藏图书总量已超1625万册.“1625万”用

科学记数法可表示为

12.不透明口袋中有5个完全相同的小球，标号分别为1,2,3,4,5,随机摸出一个小球，则摸到的小球

的标号是偶数的概率是

13.6个全等的小正方形如图放置在△ABC中，则1加8的值是

14.如图，在矩形4BCD中，点M为CD中点，将△MBC沿BM翻折至△MBE,若

/.AME=15°,则N&BE=

15.如图1,点P从△力BC的顶点4出发，沿着4-C的方向运动，到达点C后停止.设P点的运动时间为

x,4P的长度为y,图2是y与比的关系图象，其中E点是曲线部分的最低点，则△ABC的面积是

三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.（本小题10分）

（1）解方程：2久2一3乂+1=0；

ga—2a^+4a+4a

(2)化间：—+

Q+2

17.（本小题6分）

己知：如图，点D在△ABC内部，连接AD,BD,CD.^AB=AC,NBA。=NCAD.求证：乙DBC=LDCB.

18.（本小题8分）

已知如图，口2BCD中.

（1）尺规作图：作乙48c的平分线交4。于点F,在BC上取点E,使得BE=B2（不写作法，保留作图痕迹）.

（2）在（1）的条件下，连接EF,证明：四边形4BEF是菱形.

19.（本小题9分）

2024年佛山50公里徒步活动期间，约40万市民迎着春光奔跑，用脚步丈量绿美佛山，见证城市高质量发

展.小红所在的学习小组为了解参加活动的市民年龄情况，随机调查了部分参加活动的市民，根据调查结果

绘制成如下两幅统计图（不完整）.

参加徒步活动的市民年龄扇形统计图

49岁以上18岁以下（10%）

40-49

岁

18~24岁

30-3925-29

岁岁

18岁以下18~24岁25~29岁30~39岁40~49岁49岁以上年龄段

(1)单选题：采取下列措施中的,可以使调查样本更具有广泛性和代表性.

A.在不同时间、不同途经点增加随机调查的人数

A在中午12：00进行调查

C.在起点进行调查

。在终点进行调查

(2)补全条形统计图；

(3)被调查的市民的年龄的中位数，在年龄段岁中；

(4)你能根据调查样本，估计参加活动的市民中，年龄段为18〜24岁的人数吗？

20.(本小题9分)

如图，抛物线y=/+。久+c与直线y=k久+m相交于点2(0,—4),5(5,6),直线2B与x轴相交于点C.

(1)求抛物线与直线的表达式；

(2)点。是抛物线在直线AB下方部分的一个动点，过点。作轴交AB于点E,过点。作DF〃y轴交48于

点F,求DF—DE的最大值.

21.(本小题9分)

综合与实践

素材一：某款遮阳棚(图1),图2、图3是它的侧面示意图，点力，C为墙壁上的固定点，摇臂CB绕点C旋转

过程中长度保持不变，遮阳棚48可自由伸缩，棚面始终保持平整.C4=CB=CD=1.5米.

素材二：该地区某天不同时刻太阳光线与地面的夹角a的正切值:

时刻（时）12131415

角a的正切值52.51.251

【问题解决】

（1）如图2,当乙4cB=90。时，这天12时在点E位置摆放的绿萝刚好不被阳光照射到，求绿萝摆放位置与墙

壁的距离;

（2）如图3,旋转摇臂CB,使得点B离墙壁距离为1.2米，为使绿萝在这天12时-14时都不被阳光照射到，则

绿萝摆放位置与墙壁的最远距离是多少？

22.（本小题12分）

综合探究

已知点E是边长为2的正方形2BCD内部一个动点,始终保持N4ED=90°.

图1图3

【初步探究】（1）如图，延长DE交边于点尺当点F是BC的中点时，求能的值;

【深入探究】（2）如图，连接CE并延长交边4D于点M当点M是力D的中点时，求器的值；

【延伸探究】（3）如图，连接BE并延长交边CD于点G.当DG取得最大值时，求至的值.

23.（本小题12分）

综合运用

如图，直线y=Cx+6与y轴、x轴分别交于2、8两点，点C的坐标为（6,0）,点P是线段BC上一点且点P

与点。不重合.过4、。、P三点的圆与直线y=口比+6交于点0,连接力C交圆于点E.

⑴求NB4C的度数；

(2)当△4DE和△ABC相似时，求点P的坐标；

(3)设点P的横坐标为m,力E的值是定值吗？若是，求出该定值；若不是，用含血的式子表示.

备用图

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解:2024的相反数是-2024,

故选：D.

根据相反数的定义即可求得答案.

本题考查相反数，熟练掌握其定义是解题的关键.

2.【答案】D

【解析】解：从正面看到的平面图形是：|——।.

故选：D.

找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中.

本题考查了简单组合体的三视图，主视图是从物体的正面看得到的视图.

3.【答案】B

【解析】解：4、a2-a2=1,故A不符合题意；

B、(a2)3=a6,故8符合题意；

C、(a+b)2=a2+2ab+b2,故C不符合题意；

D、a(a—b')=a2-ab,故。不符合题意；

故选：B.

利用同底数塞的除法的法则，幕的乘方的法则，完全平方公式，单项式乘多项式的法则对各项进行运算即

可.

本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握.

4.【答案】C

【解析】解：尸：<丝，

1%-2>0(2)

解不等式①得：%<-2,

解不等式②得：x>2,

.•・原不等式组无解，

.•.该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：

।—।—।—<—1i»

-3-2-10123

故选：c.

按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答.

本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解

题的关键.

5.【答案】A

【解析】解：•MB与地面的夹角NC4B为61。，

.­./.BAB'=180°-/.CAB-ZC=180°-61°=119°,

即旋转角为99。，

箕面48绕点4旋转的度数为119。.

故选：A.

根据旋转的性质和平角的定义，由角的和差关系即可求解.

本题考查了旋转的性质，解决本题的关键是由角的和差关系得到的度数.解题时注意：对应点与旋

转中心所连线段的夹角等于旋转角.

6.【答案】C

【解析】解：•••正方形4BCD的面积为1,AB：A'B'=1：2,

正方形4BCD的面积：四边形AB'C'D'的面积=1：4.

四边形AB'C'D'的面积=4.

故选：C.

根据相似多边形的面积之比等于相似比的平方作答.

本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的

平方.

7.【答案】A

【解析】解:•••^ACD=26°,^AOD=2ZXCD,

•••^AOD=52°,

•.•直径DE1弦力B,

AD=BD,

：.^AOD=乙BOD=52°,

AAOB=^AOD+乙BOD=104°,

故选：A.

根据圆周角定理求出N&。。=52。，再根据垂径定理及推论求解即可.

此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键.

8.【答案】B

【解析】解：•••阻力x阻力臂=动力x动力臂，且阻力和阻力臂分别为1000N和0.66，

•••动力尸关于动力臂I的函数解析式为：1000x0.6=FI,

即尸=半，是反比例函数，

又动力臂I>0,

反比例函数F=写的图象是双曲线，且在第一象限.

故选：B.

直接利用阻力x阻力臂=动力x动力臂，进而得出动力F关于动力臂/的函数关系式，从而确定其图象即可.

本题考查了反比例函数的应用，正确读懂题意得出关系式是解本题的关键.

9.【答案】B

【解析】解：•.・实数b，c满足c—6+2=0,

**•c—b—2,

A=b2—4c

=b2—4(b—2)

=(/?-2)2+4>0,

.•.方程有两个不相等的实数根，

故选：B.

根据条件得到c=b—2,根据判别式求根的情况即可判断.

本题考查了根的判别式，掌握当/>0时，方程有两个不相等的两个实数根；当2=0时，方程有两个相等

的实数根；当/<0时，方程无实数根是解题的关键.

10.【答案】A

【解析】解：•••汽车原计划需行驶x%,

(X-1)表示汽车实际行驶时间，

二实际比原计划提前1八到达.

:甲、乙两地相距300km,

・•・驷表示原计划的行驶速度，畔表示实际的行驶速度，

XX—1

又•••所列方程为(1+25%)•詈=罟，

・•.实际行驶速度比原计划增加25%,

.••题目中“…”表示的条件是速度比原计划增加25%,结果提前1%到达.

故选：A.

由汽车原计划需行驶xh,可得出(久-1)表示汽车实际行驶时间，进而可得出实际比原计划提前lh到达，

由速度=路程+时间，结合所列方程，可得出实际行驶速度比原计划增加25%,进而可得出题目中“…”表

示的条件.

本题考查了由实际问题抽象出分式方程，根据所列方程，找准题干缺失条件是解题的关键.

11.【答案】1.625x107

【解析】解：1625万=16250000=1.625x107.

故答案为：1.625X107.

用科学记数法表示较大的数时，一般形式为ax10",其中lW|a|<10,n为整数.

本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为ax10"的形式，其中lW|a|<10,几为整数.确定n的

值时，要看把原来的数，变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝

对值210时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，九是负整数，确定a与n的值是解题的关键.

12.【答案】|

【解析】解：由概率的定义可知，摸到的小球的标号是偶数的概率是2+5=|.

故答案为：

根据5个完全相同的小球中标号为偶数的有2个，即可求出所求概率.

本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

13.【答案】1

【解析】解：由题意，知。F//BC,OE//AC.3、、、

.­.Z.EOF=ZC=90°,乙B=LOFE.:I「、'、丹

在RtAOEF中,

tanB=tanzOFE

OE

OF

故答案为：

先利用平行线的性质说明NB=乙OFE,再利用直角三角形的边角间关系求出NOFE的正切值,

本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系及平行线的性质是解决本题的关键,

14.【答案】40°

【解析】解:如图，延长BE交力。于点N,设BN交2M于点0,

•••四边形ZBCD是矩形，

.・.zD=ZC=90°,AD=BC,

点M为中点，

・•.DM=MC,

・•.ADAM=乙CBM,

•・•△是由△MBC翻折得到，

1

・•・乙CBM=乙EBM=^(90°-/ABE),

•••/-DAM=乙MBE,乙AON=乙BOM,

・•.Z.OMB=乙ANB=90°-(ABE,

在aMBE中，^EMB+^EBM=90°,

1

•••^AME+(90°一/-ABE)+1(90°一乙ABE)=90°,

得：3N48E-2NAME=90。，

即3乙=90°+2x15°,

•••乙ABE=40°,

故答案为：40°.

延长BE交于点N,设BN交AM于点。，△ADM之ZkBCM(SZS),Hi^-DAM=Z.CBM,由ABME是由△

MBC翻折得至U，推出NCBM=乙EBM=々(90。-N4BE),由NZMM=乙MBE,乙AON=乙BOM,推出

乙OMB=乙ANB=90°-^ABE,最后根据NEMB+/.EBM=90°,即可得出结果.

本题考查了翻折变换，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等

三角形解决问题.

当点P到点B处时，y=5,即4B=5,

当点P到点H处时2P最短，y=3,即4"=3,

当点P到点C处时，y=6,即AC=6,

在RtAABH中，BH=V52-32=4,

在RtAAC“中，CH=V62-32=30，

■■■S^ABC=^BC-AH=^-+6.

分析出当点P到点B处时，y=5,即48=5,当点P到点H处时AP最短，y=3,即4H=3,当点P到点C

处时，y=6,即AC=6,再根据勾股定理分别求出8H和CH,即可求出三角形的面积.

本题考查了动点问题的函数图象，准确的分析动点的运动位置，获得相应的解题条件是本题的解题关键.

16.【答案】解：(1)2/—3x+1=0,

(2x-1)(%-1)=0,

2x—1=0或%—1=0,

1y

­,•=2，%2=1；

次+4。+4a

⑵？+a2a+2

a—2+(a+2)2a

aa2a+2

Q—2a+2

-----1-----

aa

2a

a

=2.

【解析】(1)方程利用因式分解法求出解即可;

(2)利用分式混合运算的法则进行计算即可.

此题考查了解一元二次方程-因式分解法，分式的混合运算，熟练掌握运算法则及方程的解法是解本题的

关键.

17.【答案】证明：如图，延长力。交BC于点G,

AB=AC,Z.BAD=Z.CAD,

AG-LBC9BG=CG,

BD—CD,

•••Z-DBC=Z-DCB.

【解析】延长AO交BC于点G,由等腰三角形的性质可得AGIBC,BG=CG,贝加。=CD,可得乙DBC=

乙DCB.

此题考查角等腰三角形的性质，关键是由等腰三角形的性质可得ZG1BC,BG=CG解答.

18.【答案】(1)解：如图，和点E即为所求.

(2)证明：•・・四边形Z8CD为平行四边形,

・•.BC//AD.

Z.AFB=Z.EBF.

・・•为乙4BC的平分线,

Z.ABF=乙EBF,

Z.AFB=Z-ABF,

AB=AF.

vAB=BE,

・•.AF=BE,

・•・四边形ABE尸为平行四边形.

AB=BE，

••・四边形4BEF为菱形.

【解析】(1)根据角平分线的作图方法作图可得BF；以点8为圆心，力B的长为半径画弧，与BC的交点即为

点E.

(2)根据角平分线的定义、平行四边形的性质、菱形的判定即可证明.

本题考查作图一复杂作图、角平分线的定义、平行四边形的性质、菱形的判定，熟练掌握相关知识点是解

答本题的关键.

19.【答案】A30〜39

【解析】解:(1)•••使调查样本更具有广泛性和代表性，

・•・应在不同时间、不同途经点增加随机调查的人数，

故答案为：A；

(2)•.•样本容量为200+10%=2000,

•••年龄段为25〜29岁的人数为：2000-(200+300+700+300+100)=400(人)，

而200+300+400=900,200+300+400+700=1600,

••・被调查的市民的年龄的中位数，在年龄段30〜39岁中，

故答案为：30〜39；

(4)就、40万=6万(人)，

答：估计参加活动的市民中，年龄段为18〜24岁的人数约为6万人.

(1)根据抽样调查样本应具有广泛性和代表性可作出选择；

(2)先求出样本容量，再用样本容量减去其他5个年龄段的人数，可求出年龄段为25〜29岁的人数，再补全

条形统计图即可；

(3)将样本中年龄段为18〜24岁的人数所占比乘以40万，即可作出估计.

本题考查条形统计图，扇形统计图，抽样调查的可靠性，中位数，用样本估计总体，能从统计图中获取有

用信息是解题的关键.

20.【答案】解：(1)由题意，将4(0,-4),B(5,6)代入y=/+.+c得，

(c=-4

125+56+c=6'

.­-[b=-l

lc=-4

・•・抛物线的表达式为y=/一3%-4.

又将4(0,-4),8(5,6)代入y=kx+m得,

(m=-4

t5/c+m=6'

.(m=-4

'Ik=2，

・•・直线的表达式为y=2x—4.

(2)由题意，设O为(771,7712—3772—4)(0<m<5),

令y=2%—4=m2—3m—4,则X=-(m2—3m),

•••E(|m2—|m,m2—3m—4).

令久=m,则y=2m—4,

:.F(m,2m—4).

DF—DE=2m—4—(m2—3m—4)—[m—(-m2--m)]

12I5

=--m+-m

1z5、2上25

.•・当爪=射，DF-DE取最大值为期.

Zo

【解析】(1)依据题意，将4(0,-4),8(5,6)代入丫=%2+.+。得方程组后，进而计算可得抛物线的表达

式；又将4(0,-4),8(5,6)代入丫=/0：+血得，求出A,m可得直线的表达式；

(2)依据题意，设。为(m,TH?_3m-4)(0<m<5),令y=2%—4=m2—3m—4,贝！Jx=-(m2—3m—

4),故无弓加？—17n，血？—377t—4),令x=m,则y=27n—4,故尸(zn,2m—4),从而。F—DE=2m—

4一（病一3m-4）一[m-弓病_|根）]=一2（根一|）2+多再由二次函数的性质，进而可以判断得解.

本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键.

21.【答案】解：（1）如图1,过8作BM1DE于M,

.・.CD=BM=1.5,BC=DM=1.5,

在Rt△BEM中，tanzBEM=瞿，

EM

即5="，

1EM

.・.EM=0.3,

DE=DM-EM=1.5-0.3=1.2.

答：绿萝摆放位置与墙壁的距离为1.2m.

（2）过B作BF14c于F,过B作BM1DE于M,

则BF=DM=1.2,

•••CF=VFC2-BF2=V1.52-1.22=0.9，

BM=DF=CD-CF=1.5-0.9=0.6,

由表格可知，在12时-14时，

角a的正切值逐渐减小，即NBEM逐渐较小，

・••当14时，点E最靠近墙角，

此时DE的长度就是绿萝摆放位置与墙壁的最大距离，

在中，

RtABEMtanzBFM=EM

即1.25=罂，

EM

・•.EM=0.48,

・•.DE=DM—EM=1.2-0.48=0.72.

答：绿萝摆放位置与墙壁的最远距离是0.72m.

【解析】（1）过8作BMLDE于M,在中，解直角三角形求出EM,进而解答即可；

（2）过8作BF12C于F,过B作于M,在RtABEM中，解直角三角形求出EM,进而解答即可.

本题考查了解直角三角形的应用，解题关键是恰当作辅助线，构建直角三角形解决问题.

22.【答案】解：（1）如图1,在正方形2BCD中，^AED=AADC=NC=90°,AB=BC=CD=AD=2,

：.z2=zl=90°—43,

图1

•••tanz2=tanzl,

.DE___CF_

''~AE~~CD~~CB'

■.•点F是BC的中点，

_DE_CF_1

“乐一而-2；

(2)延长DE交边BC于点F,如图2,

图2

・・,点M是4。的中点时，^AED=90°,

1

・•.AM=MD=ME=^AD=1,

z2=zl,

在RtAMOC中，MC=VMD2+CD2=Vl2+22=75,

CE=MC-ME=A-1,

在正方形ABC。中，AD]IBC,

••・z2=z4,

zl=z3,

••・z4=z3,

CF=CE=^5-1，

与⑴同理可得：器=柒=与；

(3)延长DE交边BC于点F,如图3,

图3

•••AD=2,/.AED=90°,

.•.点E在以4D为直径的半圆上运动，

取力。中点。，连接。E,OB,

・••当BE与半圆相切时，DG有最大值.

•••4BAD=90。且。4为半径，

BA也为半圆的切线，

AB=BE,

.••点B在线段AE的垂直平分线上，

同理：点。在线段4E的垂直平分线上，

。8是线段的垂直平分线，

Z1=乙AED=90°,

•­.BO//FD,

又•••BC//AD,

四边形8。。尸是平行四边形.

OD=BF=1,

FC=BC-BF=1.

与(1)同理可得:=

【解析】(1)如图1,首先推导出42=N1=90。—43,由tan42=tanNl推导出普=第=再，结合点尸是

BC的中点，得到爷=称=4

AECB2

(2)延长OE交边于点F,如图2,利用勾股定理求得MC=」MD2+/+=/可,CE=MC-

ME=V-5—1,继而推导出CF=CE=—1,与(1)同理可得：M=胃=吩I

(3)延长DE交边BC于点F,如图3,取力。中点。，连接OE,OB,当BE与半圆相切时，DG有最大值.同时

推导出B4也为半圆的切线，点B在线段4E的垂直平分线上，同理：点。在线段4E的垂直平分线上，所以

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