专题05 二次函数y=a(x-h)²+k的图像和性质（七大类型）（题型专练）（解析版）

专题05二次函数y=a(x-h)²+k的图像和性质（七大类型）【题型1二次函数y=a(x-h)²的顶点与对称轴问题】【题型2二次函数y=a(x-h)²图像变换问题】【题型3二次函数y=a(x-h)²的性质】【题型4二次函数y=a(x-h)²的y值大小比较】【题型5二次函数y=a(x-h)²+k的最值问题探究】【题型6根据二次函数y=a(x-h)²+k的性质写解析式】【题型7二次函数y=a(x-h)²+k的图像问题】【题型1二次函数y=a(x-h)²+k的顶点、对称轴和最值问题】1．（2023•阿城区模拟）抛物线y＝﹣（x﹣6）2﹣5的顶点坐标是（6，﹣5）．【答案】（6，﹣5）．【解答】解：∵二次函数y＝﹣（x﹣6）2﹣5，∴该函数的顶点坐标为（6，﹣5）．故答案为：（6，﹣5）．2．（2023•增城区二模）抛物线y＝（x﹣2）2+1的对称轴是直线x＝2．【答案】x＝2．【解答】解：由y＝（x﹣2）2+1可知，抛物线对称轴为直线x＝2．故答案为：x＝2．3．（2023春•渝中区校级期中）抛物线y＝3（x﹣2）2﹣1的顶点坐标是（2，﹣1）．【答案】（2，﹣1）．【解答】解：∵抛物线y＝3（x﹣2）2﹣1，∴该抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），故答案为：（2，﹣1）．4．（2023春•新吴区期中）请写出一个开口向上，顶点坐标为（2，1）的二次函数y＝（x﹣2）2+1（答案不唯一）．【答案】y＝（x﹣2）2+1（答案不唯一）．【解答】解：∵顶点坐标为（2，1），∴设二次函数的解析式为：y＝a（x﹣2）2+1，又∵二次函数的图象开口向上，∴a＞0，取a＝1，得y＝（x﹣2）2+1，故答案为：y＝（x﹣2）2+1（答案不唯一）．5．（2023•东莞市校级二模）二次函数y＝（x﹣2）2+4的顶点坐标是（2，4）．​【答案】（2，4）．【解答】解：二次函数y＝（x﹣2）2+4的图象的顶点坐标是（2，4）．故答案为：（2，4）【题型2二次函数y=a(x-h)²+k图像变换问题】5．（2023•永州模拟）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝（x+2）2﹣3的图象向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得函数的解析式为（）A．y＝（x+3）2﹣1B．y＝（x+1）2﹣1 C．y＝（x+3）2﹣5 D．y＝（x+1）2﹣5【答案】A【解答】解：将二次函数y＝（x+2）2﹣3的图象向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是y＝（x+2+1）2﹣3+2，即y＝（x+3）2﹣1．故选：A．6．（2023•长沙县二模）二次函数y＝（x﹣2）2+1的图象向右平移1个单位，得到的图象对应的函数表达式是（）A．y＝（x﹣1）2+1 B．y＝（x﹣3）2+1 C．y＝（x﹣2）2 D．y＝（x﹣2）2+2【答案】B【解答】解：将二次函数y＝（x﹣2）2+1的图象向右平移1个单位长度，所得图象对应的函数解析式是y＝（x﹣2﹣1）2+1，即y＝（x﹣3）2+1．故选：B．7．（2023•道里区二模）将抛物线y＝x2﹣2向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为（）A．y＝（x+3）2﹣3 B．y＝（x+3）2+3 C．y＝（x﹣3）2+3 D．y＝（x﹣3）2﹣3【答案】D【解答】解：将抛物线y＝x2﹣2向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为y＝（x﹣3）2﹣2﹣1，即y＝（x﹣3）2﹣3，故选：D．8．（2023•南岗区三模）将抛物线y＝3x2向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线的解析式为（）A．y＝3（x+1）2﹣2 B．y＝3（x+1）2+2 C．y＝3（x﹣1）2﹣2 D．y＝3（x﹣1）2+2【答案】D【解答】解：∵抛物线y＝3x2的顶点坐标为（0，0），∴抛物线y＝3x2向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到的抛物线的顶点坐标为（1，2），∴平移后抛物线的解析式为y＝3（x﹣1）2+2．故选：D．9．（2023•瓯海区二模）将抛物线y＝3x2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的表达式为（）A．y＝3（x﹣1）2+2 B．y＝3（x+1）2﹣2 C．y＝3（x+1）2+2 D．y＝3（x﹣1）2﹣2【答案】B【解答】解：将抛物线y＝3x2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的表达式为：y＝3（x+1）2﹣2．故选：B．10．（2023•徐州模拟）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度所得抛物线对应的函数表达式为（）A．y＝（x﹣2）2+3 B．y＝（x+2）2﹣1 C．y＝x2+1 D．y＝（x﹣2）2+1【答案】C【解答】解：∵将二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，∴所得抛物线对应的函数表达式为y＝（x﹣1+1）2+2﹣1＝x2+1．故选：C．11．（2023•拱墅区模拟）将二次函数y＝5x2的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的函数图象的解析式为（）A．y＝5（x+3）2+2 B．y＝5（x﹣3）2+2 C．y＝5（x+3）2﹣2 D．y＝5（x﹣3）2﹣2【答案】D【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将二次函数y＝5x2的图象先向右平移3个单位所得函数的解析式为：y＝5（x﹣3）2；由“上加下减”的原则可知，将二次函数y＝5（x﹣2）2的图象先向下平移2个单位所得函数的解析式为：y＝5（x﹣3）2﹣2．故选：D．12．（2023•化州市模拟）在二次函数y＝（x﹣1）2﹣3的图象中，将x轴向下平移4个单位，y轴向右平移3个单位后，得到的图象所对应的二次函数表达式为（）A．y＝（x﹣2）2+1 B．y＝（x+2）2+1 C．y＝（x+4）2+1 D．y＝（x﹣4）2+1【答案】B【解答】解：由题意可知二次函数y＝（x﹣1）2﹣3的图象相当于向左平移3个单位，向上平移4个单位后，得到的图象所对应的二次函数表达式为y＝（x﹣1+3）2﹣3+4，即y＝（x+2）2+1．故选：B．13．（2022秋•大连期末）把抛物线y＝﹣（x+1）2向左平移1个单位，再向上平移3个单位，则平移后抛物线为（）A．y＝﹣（x+2）2﹣3 B．y＝﹣x2﹣3 C．y＝﹣x+3 D．y＝﹣（x+2）2+3【答案】D【解答】解：把抛物线y＝﹣（x+1）2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线为：y＝﹣（x+1+1）2+3，即y＝﹣（x+2）2+3．故选：D．14．（2023•宝山区一模）将抛物线y＝x2+3向右平移3个单位长度，平移后抛物线的表达式为（）A．y＝x2 B．y＝x2﹣3 C．y＝（x+3）2+3 D．y＝（x﹣3）2+3【答案】D【解答】解：将抛物线y＝x2+3向右平移3个单位长度，平移后抛物线的表达式为y＝（x﹣3）2+3，故选：D【题型3二次函数y=a(x-h)²+k的性质】15．（2022秋•小店区校级期末）对于二次函数y＝﹣2（x+1）2﹣4，下列说法错误的是（）A．图象开口向下 B．图象的对称轴为直线x＝﹣1 C．图象与y轴的交点坐标为（0，﹣4） D．当x＜﹣1时，y随x的增大而增大【答案】C【解答】解：A、y＝﹣2（x+1）2﹣4，∵a＝﹣2＜0，∴图象的开口向下，故本选项正确；B、y＝﹣2（x+1）2﹣4，即图象的对称轴是直线x＝﹣1，故本选项正确；C；y＝﹣2（x+1）2﹣4，当x＝0时，y＝﹣6，即图象与y轴的交点坐标是（0，﹣6），故本选项错误；D、y＝﹣2（x+1）2﹣4，即当x＞﹣1，y随x的增大而减少，故本选项错误．故选：C．16．（2023•高州市二模）在以下关于二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象的说法，正确的是（）A．开口向下 B．当x＞1时，y随x的增大而减小 C．对称轴是直线x＝﹣1 D．顶点坐标是（1，2）【答案】D【解答】解：A、二次函数y＝（x﹣1）2+2中的a＝1＞0，则其图象开口向上，不符合题意；B、二次函数y＝（x﹣1）2+2的对称轴是直线x＝1，其图象开口向上，则当x＞1时，y随x的增大而增大，不符合题意；C、二次函数y＝（x﹣1）2+2的对称轴是直线x＝1，不符合题意；D、二次函数y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标是（1，2），符合题意．故选：D．17．（2022秋•大安市期末）在二次函数y＝﹣（x+1）2+2的图象中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是（）A．x≤﹣1 B．x≥﹣1 C．x≤1 D．x≥1【答案】A【解答】解：∵y＝﹣（x+1）2+2，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，∴在对称轴左侧，y随x的增大而增大，所以x≤﹣1，故选：A．18．（2022秋•漳州期末）已知抛物线y＝（x﹣1）2+2，下列结论中正确的是（）A．抛物线的开口向上 B．抛物线的对称轴为直线x＝﹣1 C．抛物线的顶点坐标为（﹣1，2） D．当x＞1时，y随x的增大而减小【答案】A【解答】解：抛物线y＝（x﹣1）2+2中，a＞0，抛物线开口向上，因此A选项正确，符合题意；由解析式得，对称轴为直线x＝1，因此B选项不正确，不符合题意；由解析式得，当x＝1时，y取最小值，最小值为2，所以抛物线的顶点坐标为（1，2），因此C选项不正确，不符合题意；因为抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，因此当x＞1时，y随x的增大而增大，因此D选项错误，不符合题意．故选：A．19．（2022秋•温江区期末）对于二次函数y＝2（x﹣3）2﹣5的图象，下列说法正确的是（）A．图象与y轴交点的坐标是（0，﹣5） B．该函数图象的对称轴是直线x＝﹣3 C．当x＜﹣6时，y随x的增大而增大 D．顶点坐标为（3，﹣5）【答案】D【解答】解：令x＝0，则y＝2（0﹣3）2﹣5＝13，∴抛物线与y轴的交点坐标是（0，13），∴A错误，不符合题意；∵y＝2（x﹣3）2﹣5，∴a＝2＞0，开口向上，顶点（3，﹣5），对称轴是直线x＝3，当x＞3时，y随x的增大而增大，∴B，C错误，不符合题意；D正确，符合题意．故选：D．20．（2022秋•黄浦区期末）关于抛物线y＝（x﹣1）2﹣2，以下说法正确的是（）A．抛物线在直线x＝﹣1右侧的部分是上升的 B．抛物线在直线x＝﹣1右侧的部分是下降的 C．抛物线在直线x＝1右侧的部分是上升的 D．抛物线在直线x＝1右侧的部分是下降的【答案】C【解答】解：∵抛物线y＝（x﹣1）2﹣2，∴抛物线在直线x＝﹣1右侧的部分先下降，后上升，故选项A、B错误，不符合题意；抛物线在直线x＝1右侧的部分是上升的，故选项C正确，符合题意，选项D错误，不符合题意；故选：C．21．（2022秋•天河区校级期末）二次函数y＝2（x+3）2+6，下列说法正确的是（）A．开口向下 B．对称轴为直线x＝3 C．顶点坐标为（3，6） D．当x＜﹣3时，y随x的增大而减小【答案】D【解答】解：y＝2（x+3）2+6＝2x2+12x+24，a＝2，b＝12，c＝24，∴A选项，开口向上，故A选项错误；B选项，对称轴为，故B选项错误；C选项，顶点坐标的横坐标为x＝﹣3，纵坐标为6，即顶点坐标为（﹣3，6），故C选项错误；D选项，开口向上，对称轴为x＝﹣3，在对称轴坐标x＜﹣3时，y随x的增大而减小，故D选项正确．故选：D．22．（2022秋•罗湖区校级期末）关于抛物线y＝（x﹣1）2﹣2，下列说法中错误的是（）A．顶点坐标为（1，﹣2） B．对称轴是直线x＝1 C．当x＞1时，y随x的增大而减小 D．开口方向向上【答案】C【解答】解：∵y＝（x﹣1）2﹣2，∴抛物线开口向上，顶点坐标为（1，﹣2），对称轴为直线x＝1，∴x＞1时，y随x的增大而增大．故选：C．23．（2023•西安一模）对于二次函数y＝﹣4（x+6）2﹣5的图象，下列说法正确的是（）A．图象与y轴交点的坐标是（0，5） B．对称轴是直线x＝6 C．顶点坐标为（﹣6，5） D．当x＜﹣6时，y随x的增大而增大【答案】D【解答】解：∵二次函数y＝﹣4（x+6）2﹣5，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣6，顶点坐标为（﹣6，﹣5），∴当x＜﹣6时，y随x的增大而增大，令x＝0，则y＝﹣149，∴图象与y轴得交点为（0，﹣149），故A、B、C选项错误；D选项正确．故选：D．24．（2022秋•崇左期末）对于二次函数y＝﹣2（x+3）2的图象，下列说法正确的是（）A．开口向上 B．对称轴是直线x＝﹣3 C．当x＞﹣4时，y随x的增大而减小 D．顶点坐标为（﹣2，﹣3）【答案】B【解答】解：由y＝﹣2（x+3）2得抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣3，顶点坐标为（﹣3，0），x≤﹣3时y随x增大而增大，x＞﹣3时y随x增大而减小．故选：B．25．（2022秋•娄底期末）已知抛物线y＝（x﹣1）2+2，下列说法错误的是（）A．顶点坐标为（1，2） B．对称轴是直线x＝1 C．开口方向向上 D．当x＞1时，y随x的增大而减小【答案】D【解答】解：由抛物线y＝（x﹣1）2+2可知，顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x＝1，抛物线开口向上，函数有最小值为2，x＞1时y随x增大而增大，∴A、B、C判断正确，D错误．故选：D．26．（2023•东莞市校级一模）对于抛物线y＝﹣（x﹣1）2+2，下列说法中错误的是（）A．对称轴是直线x＝1 B．顶点坐标是（1，2） C．当x＞1时，y随x的增大而减小 D．当x＝1时，函数y的最小值为2【答案】D【解答】解：∵抛物线y＝﹣（x﹣1）2+2，∴a＝﹣1，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，2），当x＞1时，y随x的增大而减小，当x＝1时，抛物线有最大值为2，D选项错误．故选：D【题型4二次函数y=a(x-h)²+k的y值大小比较】27．（2022秋•盐湖区期末）抛物线y＝a（x﹣2）2+k的开口向上，点A（﹣1，y1），B（3，y2）是抛物线上两点，则y1，y2的大小关系是（）A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．无法比较【答案】A【解答】解：∵抛物线y＝a（x﹣2）2+k的图象与性质，确定抛物线开口向上，对称轴为x＝2，∴函数y＝a（x﹣2）2+k可取到最小值，∴抛物线上的点离对称轴越近，对应的函数值越小，∵点A（﹣1，y1），B（3，y2）是抛物线上两点，A（﹣1，y1）到对称轴距离为2﹣（﹣1）＝3，B（3，y2）到对称轴距离为3﹣2＝1，1＜3，∴B（3，y2）到对称轴距离比A（﹣1，y1）到对称轴距离近，∴y1＞y2，故选：A．28．（2022秋•历下区期末）已知二次函数y＝（x﹣2）2+2，当点（3，y1）、（2.5，y2）、（4，y3）在函数图象上时，则y1、y2、y3的大小关系正确的是（）A．y3＜y1＜y2 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y1＜y2＜y3【答案】B【解答】解：由二次函数y＝（x﹣2）2+2知，该抛物线开口方向向上，且对称轴为直线x＝2．由于点（3，y1）、（2.5，y2）、（4，y3）在函数图象上，且|2.5﹣2|＜|3﹣2|＜|4﹣2|，所以y2＜y1＜y3．故选：B．29．（2022秋•海州区校级月考）若二次函数y＝a（x﹣2）2+7的图象开口向上，点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（8，y3）都在二次函数y＝a（x﹣2）2+7的图象上，则下列结论正确的是（）A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2【答案】B【解答】解：∵二次函数y＝a（x﹣2）2+7，∴该函数的对称轴为x＝2，∵点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（8，y3），∴点A到对称轴的距离为：2﹣（﹣2）＝4，点B到对称轴的距离为：2﹣（﹣1）＝3，点C到对称轴的距离为：8﹣2＝6，∵函数开口向上，3＜4＜6，∴y2＜y1＜y3．故选：B．30．（2022秋•河北区校级期末）已知抛物线y＝a（x﹣1）2+k（a＜0，a，k为常数），A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）是抛物线上三点，则y1，y2，y3由小到大依序排列为（）A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y2＜y1【答案】A【解答】解：抛物线y＝a（x﹣1）2+k（a＞0，a，k为常数）的对称轴为直线x＝1，所以A（﹣3，y1）到直线x＝1的距离为4，B（﹣1，y2）到直线x＝1的距离为2，C（2，y3）到直线的距离为1，所以y1＜y2＜y3．故选：A．31．（2022秋•朝阳区校级期中）已知抛物线y＝2（x﹣2）2+1，A（﹣3，y1），B（3，y2），C（4，y3）是抛物线上三点，则y1，y2，y3由小到大依序排列是（）A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y3＜y1【答案】D【解答】解：∵二次函数y＝2（x﹣2）2+1，中a＝2＞0∴抛物线开口向上，对称轴为x＝﹣＝2，∵B（3，y2），C（4，y3）中横坐标均大于2，∴它们在对称轴的右侧y3＞y2．A（﹣3，y1）中横坐标小于2，∵它在对称轴的左侧，它关于x＝2的对称点为2×2﹣（﹣3）＝7，A点的对称点是D（7，y1）7＞4＞3，∵a＞0时，抛物线开口向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，∴y1＞y3＞y2．故选：D．32．（2023•虹口区二模）已知抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝4，点A（1，y1）、B（3，y2）都在该抛物线上，那么y1＞y2.（填“＞”或“＜”或“＝”）．【答案】＞．【解答】解：∵抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝4，a＝1＞0，∴当x＜4时，y随着x的增大而减小，∵1＜3＜4，∴y1＞y2，故答案为：＞【题型5二次函数y=a(x-h)²+k的最值问题探究】33．（2022秋•南宫市期末）若二次函数y＝□（x+1）2﹣6有最大值，则“□”中可填的数是（）A．2 B．1 C．0 D．﹣2【答案】D【解答】解：设□处为a，由题意得二次函数为y＝a（x+1）2﹣6，∵二次函数y＝a（x+1）2﹣6有最大值，∴二次函数的图象开口向下即a＜0，∵﹣2＜0＜1＜2，∴a可以是﹣2，∴□中可填的数是﹣2．故选：D．34．（2023•永嘉县三模）已知二次函数的图象（0≤x≤4）如图，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（）A．有最大值2，有最小值﹣2.5 B．有最大值2，有最小值1.5 C．有最大值1.5，有最小值﹣2.5 D．有最大值2，无最小值【答案】A【解答】解：观察图象可得，在0≤x≤4时，图象有最高点和最低点，∴函数有最大值2和最小值﹣2.5，故选：A．35．（2022秋•顺平县期中）若二次函数y＝x2﹣4x+c的图象经过点（0，3），则函数的最小值是（）A．﹣1 B．3 C．5 D．7【答案】A【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣4x+c的图象经过点（0，3），∴c＝3，∴二次函数为y＝x2﹣4x+3，∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴函数y的最小值是﹣1，故选：A．36．（2023•香坊区二模）二次函数y＝﹣（x+5）2﹣4的最大值是﹣4．【答案】﹣4．【解答】解：∵y＝﹣（x+5）2﹣4，∴顶点坐标为（﹣5，﹣4），∵a＝﹣1＜0，函数存在最大值，∴当x＝﹣5时，最大值为﹣4．故答案为：﹣4．37．（2023•白碱滩区一模）函数y＝（x﹣4）2+2最小值是2．【答案】2．【解答】解：∵（x﹣4）2≥0，∴y＝（x﹣4）2+2≥2，∴仅当x＝4时，y取得最小值，最小值为2．故答案为：2．【题型6根据二次函数y=a(x-h)²+k的性质写解析式】8．（2022秋•肃州区校级期末）抛物线和y＝2x2的图象形状相同，对称轴平行于y轴，顶点为（﹣1，3），则该抛物线的解析式为y＝±2（x+1）2+3．【答案】y＝±2（x+1）2+3．【解答】解：已知抛物线的顶点坐标为（﹣1，3），可设此抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k（a≠0），由于抛物线和y＝2x2的图象形状相同，因此a＝±2．即抛物线的解析式为y＝±2（x+1）2+3．故答案为：y＝±2（x+1）2+3．39．（2022秋•肇源县期末）请你写出一个抛物线使它满足以下条件：（1）开口向下，（2）顶点坐标为（1，3），则这个抛物线的表达式是y＝﹣x2+2x+2（答案不唯一）．【答案】y＝﹣x2+2x+2（答案不唯一）．【解答】解：∵顶点坐标为（1，3），∴可设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+3，∵图象开口向下，∴a＜0，∴可取a＝﹣1，∴抛物线解析式可以为y＝﹣（x﹣1）2+3＝﹣x2+2x+2，故答案为：y＝﹣x2+2x+2（答案不唯一）．40．（2022秋•阳新县校级月考）顶点为（﹣2，1），与y＝x2﹣4x+3的形状、开口方向均相同的抛物线的解析式为y＝（x+2）2+1．【答案】y＝（x+2）2+1．【解答】解：∵抛物线的形状、开口方向与抛物线y＝x2﹣4x+3相同，∴a＝，∵顶点为（﹣2，1），∴抛物线解析式为y＝（x