广东省茂名市2024届高三年级下册高考模拟数学试题含答案

茂名市高2024届高三下学期高考模拟试卷

数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑.如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写

在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.若集合A={x|2座-3>0,meR}淇中2eA且则实数机的取值范围是（）

A（331D「33、

A.B.

（42j[42）（42）[42j

2.若z・（2+i）=3—i2°27,贝Ijz的虚部为（）

171.1

A.-1B.-C.一一1D.一一

555

3.已知直角qABC斜边3C的中点为。，且。A=AB，则向量C4在向量CB上的投影向量为（）

1.313

A.-CBB.-CBC.——CBD.——CB

4444

4.直线4,4的倾斜角分别为。邛，则“a=/3"是"tana=tan,"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.如图，在三棱柱ABC—AgC中,EEG）/分别为BB『CCy4用，AG的中点，则下列说法错误的是（）

B

一

4H

A.E,F,G,”四点共面B.EFUGHC.£G，EH，AA三线共点D.NEGB]=NFHG

6..已知抛物线c-2=2px(p〉o)的焦点为F，C的准线与X轴的交点为M,点P是C上一点，且点P在第

一象限，设/尸旧尸==尸，则()

A.tana=sinJ3B.tana=-cos[3C.tan/?=-sinaD.tan=-cosa

7.已知各项均为正数的等比数列｛4｝的前"项和为S〃,且满足/，3%,-生成等差数列，则&=()

A.3B,9C.10D.13

8.已知m,"eR,〃+1w0,记直线nx+my-n=0与直线mx一分一n=0的交点为P,点Q是圆

C:(x+2)2+(y—2)2=4上的一点，若PQ与C相切，则|尸。|的取值范围是()

A.[272,714]B.[20,2网C.[2,V14]D[2,2"]

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知i为虚数单位，下列说法正确的是()

A.若复数z=Hi,则z30=-l

1-i

B.若阂＞用卜则Z；〉Z；

c.若z,HO,则2=耳

Z2Nl

D.复数z在复平面内对应的点为乙若|z+i|+|z-i|=2,则点Z的轨迹是一个椭圆

10.质地均匀的正四面体模型四个表面分别标有2,5,7,70四个数字，抛掷一次并记录与地面接触面上的数字,

记事件"数字为2的倍数"为事件A,"数字是5的倍数"为事件8,"数字是7的倍数"为事件C,则下列选项不正确

的是()

A.事件4B、C两两互斥B.事件A6与事件3。对立

C.P(ABC)=P(A)P(B)P(C)D.事件4B、C两两独立

11.已知函数的定义域为R,且/(x+y)"(x—y)=/2(九⑴=2,/(%+1)为偶函数,

则()

2024

A./(3)=2B.〃x)为奇函数C./(2)=0D.Z/(Q=0

k=l

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.(必+1)(2%-的展开式中常数项为.

3

13.在公差为正数的等差数列｛4｝中，若6=3,色，/，5a8成等比数列，则数列｛4｝的前10项和为

14.已知抛物线C：x2=4y,定点T(l,0),M为直线y=gx—1上一点，过M作抛物线C的两条切

线AM,MB,A,8是切点，则△工钻面积的最小值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)已知函数/(x)=ln2x+(e+a)x-l,g(x)=(2a+e)x+l.

(1)当a=e时，求函数/(%)的最小值；

(2)若/z(x)=/(%)-g(%)在(0,+8)上单调递减，求a的取值范围.

16.(15分)如图，已知四边形ABC。为等腰梯形，E为以3C为直径的半圆弧上一点，平面

ABC£)_L平面3CE,。为6C的中点，M为CE的中点，BE=AB=AD=DC=2,3C=4.

(1)求证：DM//平面ABE；

(2)求平面ABE与平面。CE的夹角的余弦值.

17.(15分)设等差数列｛4｝的公差为d，记S"是数列｛4｝的前n项和，若S5=%+20，45—a2a3a8,

(1)求数列｛qj的通项公式；

(2)若d>0,2=4Sn(neN*)，数列也,｝的前0项和为却求证：(<〃+_L.

an-an+\2

18.（17分）2024年初，多地文旅部门用各种形式展现祖国大美河山，掀起了一波旅游热潮.某地游乐园一迷

宫票价为8元,游客从A处进入，沿图中实线游玩且只能向北或向东走,当路口走向不确定时，用抛硬币的方法

选择,硬币正面朝上向北走，否则向东走（每次抛掷硬币等可能出现正反两个结果）直到从

X（X=1,2,3,4,5,6,7）号出口走出，且从x号出口走出,返现金X元.

XV

（1）随机调查了进游乐园的50名游客，统计出喜欢走迷宫的人数如表:

男性女性总计

喜欢走迷宫121830

不喜欢走迷宫13720

总计252550

判断能否在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为喜欢走迷宫与性别有关?

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(6+d)

0.100.050.0250.0100.0050.001

2.7063.8415.0246.6357.87910.828

（2）走迷宫"路过路口B”记为事件B,从"X号走出"记为事件A*，求尸（A18）和|4）值;

（3）设每天走迷宫的游客为500人，则迷宫项目每天收入约为多少?

19.（17分）曲线的曲率是描述几何弯曲程度的量，曲率越大，曲线的弯曲程度越大.曲线在点M处的曲

（其中了表示函数y=f^在点M处的导数，旷表示导函数于3在点M处的导数）.在

曲线）=/（x）上点M处的法线（过该点且垂直于该点处的切线的直线为曲线在此处的法线）指向曲线凹的

|MD|=—=p

一侧上取一点D,使得K,则称以。为圆心，以°为半径的圆为曲线在M处的曲率圆，因为此

曲率圆与曲线弧度密切程度非常好，且再没有圆能介于此圆与曲线之间而与曲线相切，所以又称此圆为曲

线在此处的密切圆.

（1）求出曲线G：V—炉=2在点处的曲率，并在曲线Q：肛=1的图象上找一个点E，使曲

线。2在点E处的曲率与曲线C］在点M（o,/）处的曲率相同；

（2）若要在曲线G：V-炉=2上支凹侧放置圆G使其能在M（0,J5）处与曲线G相切且半径最大，求圆

G的方程;

（3）在（2）的条件下，在圆上任取一点P，曲线G上任取关于原点对称的两点A，B,求RVPB的最

大值.

数学参考答案

1.A2.D3.B4.B5.D6.A7.C8.C9.AC10.ABC11.BCD

12.1613.16514.6

21nx日2inx+2ex

15.(1)因为〃=e,所以=1R2尤+2Q-1,可得/，(%)=------+2e=--------------

xX

令4(x)=21nx+2ex，显然q(x)在(0,+oo)上单调逆增且9:0

因此当0<九<!时，则有q(x)vO,当时，则q(x)>0,

ee

于是有当0<x<工时，两数/(x)单调递减，当x>,时，函数/(x)单调递增,

ee

2

所以/(£U=/In+2e---l=2.

I:e

2]nJC

(2)化简得/z(x)=ln21一改一2,即/(%)=——-tz,

JC

G1

因为/z(x)在(0,+8)上单调递减，所以=———〃V0在(0,+Q0)上恒成立,

X

,21nx,八、21nx

由-------a<0=i>a>-------

XX

设9(力=也，则有〃(x)=2(l—；nx)

当％>e时，0'(x)vO,0(尤)单调逆减,

当Ov尤ve时，0(尤)单调逆增,

/\2Ine2

所以

G1

要想/z'(x)=—a<0在(0,+00)上恒成立,

X

222

只需。>一,经检验，当。=—符合题意，因此a的取值范围为一,+8

eee

16.(1)证明：取3石的中点N,连接4V,MN,

则；W〃台。且MN=，

2

又且4。=工8。，所以且=

2

所以四边形4WD为平行四边形，所以DM〃AN.

又DM仁平面ABE,ANu平面ABE,

所以£>“〃平面ABE.

(2)解：取A。的中点尸，连接。尸，

因为四边形ABCD为等腰梯形，所以BC,

又平面A5CD，平面3CE,平面A5CD1平面=。厂u平面A3CD,

所以OF,平面3CE.

过点。作直线BC的垂线交3C于点G,

以。为坐标原点，分别以OG,OC,。歹所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标

2

所以ZBCE=30°,ZBOE=60°,ZEOG=30°.

在等腰梯形ABCD中，AB=AD=DC=2,BC=4,

所以。=6,

所以E（6—1,0）,C（0,2,0）,D（0,l,V3）,B（0,-2,0）,A（0,—1,⑹，

所以CE=（£—3,0）,CD=（0,-1,A/3）,BE=M，1,O）,BA=（0,l,V3）

mCE=0,

设平面。CE的法向量为机=(x,y,z),则＜

mCD-0,

y/3x_3y=0,t—

所以令y=j3,则x=3,z=l,

—y+v3z=0,

所以加=(3,、回,1卜

n-BE=y/3a+b=0,

设平面ABE的法向量为〃=(a,。,c),则,l

n•BA=J3c+b=0,

取几=.

\m-n\_V65

设平面ABE1与平面Z)C£的夹角为。，则cosa=

|m|-|n|65

所以平面ABE与平面DCE的夹角的余弦值为".

65

17.（1）由S5=%+20@=风詈^=5%，得5%=%+20,解得%=5，

由S]5=a2a3a8,5I5=+"5）_15ag，所以15a8=5a2a8，所以为=0或出=3,

当/=0时1="二竺=一1，此时%=%+（〃—3）d=8—〃；

8—3

当%=3时d=%—%=2'止匕时%=%+（〃-3）d=2〃一1；

综上可得数列｛4｝的通项公式为为=8—〃或%=2〃—1;

（2）因为]>0,所以%=2〃—1,则S=（1+251）。2,

"2

则公—兹—=4--1+1

"…用（2n-l）（2n+l）（2n-l）（2n+l）

111”11）

（2〃-1）（2几+1）2（2〃-12n+lJ

______?_

2〃一12〃+l

11111111

=n+—1---1------1------F-------------

2335572〃一12〃+1

2（2n+l）22（2M+1）2

18.(1)根据列联表中的数据可得拶=50(12x7—13x18)2=3-3$们,

30x20x25x25

所以不能在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为喜欢走迷宫与性别有关.

(2)依题意当路口走向不确定时，用抛硬币的方法选择，所以向北与向东走的概率均为工,

2

由A到路口B需向北走2个,向东走3个路口，则不同路线有C；条，

所以P(5)=C、C5

事件表示从A出发经过路口B最后从5号路口走出,

5

则p（A0=c；xI

15

所以「(AI3)=笔毕=噜=3,

I"—P(B)g8

16

P(61Aj表示从A出发最后从4号路口走出的条件下经过路口B的概率,

5

P（A/）=C；x

15

所以。⑻4)=雷=唔＜

128

(3)依题意从X(X=1,2,3,4,5,6,7)号出口走出,返现金X元,

所以每名游客游玩一次游乐园收入可能取值为y=8-X，

所以尸(y=7)=C；

p(y=6)=心

尸(y=5)=c；，p(y=4)=c；{J叔

所以每名游客游玩一次游乐园收入的期望为：

r9/28u56,70056c28,9“

7x----F6X----F5X----i-4x----F3X----F2X----Fix---=4，

256256256256256256256

每天走迷宫的游客为500人，则迷宫项目每天收入约为500x4=2000元・

y一X

19.(1)曲线G：V—*=2在点“(oj—2附近满足y=,进一步有6+2,

1H--2---