人教A版（2019）选择性必修第一册必杀技第一章空间向量与立体几何素养检测（含答案解析）

人教A版（2019）选择性必修第一册必杀技第一章空间向量

与立体几何素养检测

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.以下命题中，不正确的个数为（）

①万|-|均=|衣+5「是5共线”的充要条件；②若M/区，则存在唯一的实数九，使

得。=焉；③若a/=0，b-c=0＞则q=c;④若｛",反c｝为空间的一个基底，贝!]

0+反B+21+Z｝构成空间的另一个基底；⑤10•"勿=|£|.出|.⑻.

A.2B.3C.4D.5

2.已知向量£石是平面。内两个不相等的非零向量，非零向量工在直线/上，贝『'32=0,

且c-石=0"是"/_Lc"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.已知。为坐标原点，向量4=（-2,1,1）,点A（—3,T,4）,8（-2,-2,2）.若点石在直线48

上，且在_L万，则点E的坐标为（）.

A.「（寸6一1二4句2、B-（6142、

。5「6-14'2MJ、D.「（寸6二14，-92）

4.已知4（一1,1,2）,5（1,0,—1）,设。在直线AB上，且亚=2历，设。（九十九

1+A）,若C0LA3,则%的值为（）

1111-11

A.—B.——C.-D.一

6623

5.己知方=（cose』,sina）,5=（sina,1,cosa）,则向量4+5与万-5的夹角是（）.

A.90°B.60°C.30°D.0°

6.如图，在正方体ABCD-4用GR中，以D为原点建立空间直角坐标系，E为BB|的

中点，F为A2的中点，则下列向量中，能作为平面AEF的法向量的是

DiG

(1,-2,4)B.(-4,1,-2)

(2,-2,1)D.(1,2,-2)

7.把正方形ABC。沿对角线AC折起成直二面角，点E,尸分别是A。，5c的中点,

。是正方形中心，则折起后，NEOb的大小为（）.

A.30°B.60C.120(D.1501

8.如图所示，在长方体ABCDAiSCbDi中，AO=AAi=l,A8=2,点E是棱48的中

点，则点E到平面AC£h的距离为（）

二、多选题

9.已知ABC。-AiBiGDi为正方体，下列说法中正确的是（）

A.（卒+硒+丽『=3（丽『

C.向量A/与向量常的夹角是60。

D.正方体ABC。-481clzh的体积为|丽•离•丽|

10.如图，在长方体ABCO-AAG2中，AB==,点尸为线段AC上

的动点，则下列结论正确的是（）

试卷第2页，总8页

A.当卡=2个时，综三点共线

B.当丽1.而时，APl^P

C.当时=3蕈时，RP〃平面8OG

D.当而=5蕈时，A。，平面。人尸

11.如图，在三棱柱48（7-44（71中，侧棱/141底面43。1，ZBAC=90°,

4B=AC=44,=1,。是棱CG的中点，尸是4）的延长线与AG的延长线的交点.若点。

A.当。为线段男尸的中点时，平面48。

B.当。为线段用P的三等分点时，OQ，平面A3。

C.在线段片尸的延长线上，存在一点Q,使得22,平面

D.不存在点Q,使与平面48。垂直

12.已知菱形ABCD中，ZBAD=60°,AC与BD相交于点0.将4ABD沿BD折起,

使顶点A至点在折起的过程中，下列结论正确的是（）

A.BDLCM

B.存在一个位置，使△COM为等边三角形

C.DM与BC不可能垂直

D.直线QM与平面8C。所成的角的最大值为60。

三、填空题

13.如图，在四棱锥S-MCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S至IJA,B,C,

D的距离都等于2.给出以下结论：

®SA+SB+SC+SD=6；®DA+SB-SC-SI5=6；@SA-SB+SC-S15=6；④

SASB=SCSD;⑤亮.元="

其中正确结论的序号是.

14.已知空间三点A（O,O,1）,B（—1』,1）,C（1,2,—3）,若直线AB上一点M,满足CMLAB,

则点M的坐标为.

15.已知球。是棱长为2的正八面体（八个面都是全等的等边三角形）的内切球，MN为

IBB1Y11111k

球。的一条直径，点尸为正八面体表面上的一个动点，则尸的取值范围是.

16.如图，已知平面四边形ABCD,AB=BC=3,CD=1,AD=&\ZADC=90°.沿直

线AC将小ACD翻折成△ACD',直线AC与BD所成角的余弦的最大值是.

四、双空题

17.在正四面体ABCD中，M,N分别为棱3C、AB的中点，设荏=£,衣=彼，AD=c，

用£,b,"表示向量丽=,异面直线ZW与CN所成角的余弦值为.

五、解答题

18.已知空间三点A（—2,0,2）,3（—1,1,2）,C（—3,0,4）,a=AB,b=AC.

（1）求2和B的夹角6的余弦值；

（2）若向量左£+后与后一2石互相垂直，求左的值.

试卷第4页，总8页

19.在矩形ABC。中，AB=23C,P,。分别为线段A3、CD的中点，£P_L平面ABCD

(I)求证：4。〃平面CEP；

(II)求证：平面AEQL平面DEP；

TT

20.如图1,在直角梯形ABCD中，AD//BC,ZBAD=-,AB=BC=1,AD=2,E

是AD的中点，0是AC与BE的交点.将AABE沿BE折起到AA|BE的位置，如图2.

图2

(I)证明：CDJ_平面AQC；

(II)若平面A|BE,平面BCDE,求平面A|BC与平面A£D夹角的余弦值.

21.如图，三棱柱ABC-A与G中，四边形AGOL为菱形，

N4AA=NGAA=60°,AC=4,AB=2,平面ACCA，平面ABBJA,。在线段AC上移

动，尸为棱AA的中点.

(1)若。为线段AC的中点，修为8。中点，延长交2。于。，求证：AD//平面男尸。；

⑵若二面角片一加/的平面角的余弦值为手’求点尸到平面2”的距离.

22.已知正四棱锥S-ABCD的各条棱长都相等，且点瓦尸分别是S5,S£)的中点.

(1)求证:AC_LS3；

(2)若Me平面AEF,且MeSC,求名的值.

23.在四棱锥尸—ABC。中，PA1AD,AB//CD,CDLAD,AD=CD=2AB=2,E,F

分别为PC,C£＞的中点，DE=EC.

(1)求证：平面ABE_L平面BEF；

(2)设PA=a,若平面EBD与平面A3GD所成锐二面角。,求。的取值范围.

24.如图，直四棱柱A8CN"4BiCbDi的底面是菱形，AAi=4,AB=2,ZBAD=6Q°,E,

M,N分别是BC,BBi,4D的中点.

(1)证明：MN〃平面CiD£；

(2)求二面角4M4-N的正弦值.

试卷第6页，总8页

25.图1是由矩形AOE8,RSABC和菱形8FGC组成的一个平面图形，其中AB=1,

BE=BF=2,ZFBC=6Q°,将其沿AB,BC折起使得BE与重合，连结。G,如图2.

(1)证明：图2中的A,C,G,。四点共面，且平面ABC,平面8CGE；

(2)求图2中的二面角B-CG-A的大小.

图1图2

26.如图，已知三棱柱ABC-ABIG，平面44。0_1平面48(7,乙45。=90。,

/BAC=30°,AA=AC=AC,E,F分别是AC,A,B,的中点.

(1)证明：EFLBC；

(2)求直线斯与平面ABC所成角的余弦值.

27.如图，在四棱锥P-ABCD中，B4_L平面ABCD,AD±CD,AD//BC,PA=AD=CD=2,

PF1

BC=3.E为尸。的中点，点F在PC上，且立;=§.

(I)求证：C£»_L平面PAD-,

(II)求二面角F-AE-P的余弦值；

(III)设点G在上，且袋=1.判断直线AG是否在平面A所内，说明理由.

试卷第8页，总8页

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参考答案

1.C

【分析】

利用不等式I初-15|,,|a+M等号成立的条件判断①即可；

利用。与任意向量共线，来判断②是否正确；

利用共面向量定理判断③是否正确；

根据不共面的三个向量可构成空间一个基底，结合共面向量定理，用反证法证明即可；

代入向量数量积公式验证即可.

【详解】

解：对①，・••向量1、5同向时，陌1-|5闰a+5],.•.只满足充分性，不满足必要性，.•・①错

误；

对②，当日为零向量，另为零向量时，2不唯一，当B为零向量，&不为零向量时，丸不存

在；...②错误；

对③，ab=Q>“=0则瓦词cos<£,B>=。，|c|-|g|cos<c,&>=0,不能得到d=故③错误；

对④，用反证法，若他+5,5+济不+万｝不构成空间的一个基底；

T^a+b=x(<b+c)+(l-x)(c+a)=>xa=(x~r)b+c=>c=xa+(I-x)b,即万，b,共面，-：｛a,b,c｝

为空间的一个基底，，④正确；

对⑤，|(a^B)^c|=|a|^|B|^|c|^|cos〈a,历|,^^.⑤错误.

故选：C.

【点睛】

本题借助考查命题的真假判断，考查空间向量的共线向量定理、共面向量定理及向量的数量

积公式，属于中档题.

2.B

【分析】

根据向量的性质以及线面垂直的性质即可作出判断.

【详解】

c-a=O,c-b=O

cLa,c±b

答案第1页，总27页

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若直线/在平面a内时，此时也能找到向量£石与"垂直，不能得到

反过来，/，a,则直线/垂直于平面a内所有直线，则小£=0,且=0

故"AZ=0，且AB=0”是“/，a”的必要不充分条件

故选：B

【点睛】

本题主要考查了判断必要不充分条件，涉及向量的性质以及线面垂直的性质，属于基础题.

3.A

【分析】

由£在直线A8上，设泥=%+髭=次+/蒜，再利用向量垂直，可得t=进而可求E

点坐标.

【详解】

一，,,...,.,一,、，，一，UUU1UULUUUUULUUU

因为E在直线AB上，故存在实数/使得OE=OA+AE=OA+rAB

=(_3,-1,4)+t(l,—1,—2)=(-3+1,-1—f,4—2t),

Q

.若OE,那则砺3=0,所以-2(-3+t)+(-lT)+(4-2/)=0,解得r=

因此点E的坐标为,*

故选：A.

【定睛】

本题考查了空间向量的共线和数量积运算，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于一般

题目.

4.B

【分析】

设O(x,y,z),根据诟=2而求出。(：，：，0),再根据CZ)_LA8得苏茄=2(：T)+/l—3(一

1—4)=0,解方程即得力的值.

【详解】

设£)(无，y,z),则茄=(x+l,y—1,z—2),而=(2,—1,—3),而=(1—x,—y,—1—z),

答案第2页，总27页

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〃_1

>+1=2（1-彳），户?

方）=2方B，：・〈广■1=一2八：.\1

—2=-2—2/尸31，

（z=0.

,og，g，0），而=（：一九一九一i一丸），

■:酉）工崩,・••而•布=2（；—2）+2—3（—1—2）=0,AA=-^-.

3o

故选：B

【点睛】

（1）本题主要考查向量的线性运算和空间向量垂直的坐标表示，意在考查学生对这些知识的

掌握水平和分析推理能力.（2）日=（国,％,Z］）,方=（尤2,%，Z2），江，方=>占尤2+%%+4Z?=。.

5.A

【分析】

求出向量1,5,再由5+5）•（万-B）=|万『-|5『=0得出答案.

【详解】

v|«|2=2,|5/=2,（万+3）・（1一5）=|乙|2—|5『=o,;.（万+5）_L（万一5）.

故选：A

【点睛】

本题主要考查了求向量的夹角，属于基础题.

6.B

【分析】

由A、E、F的坐标算出AE=（0，2,1）,AF=（-L0,2）.设法=（x,y,z）是平面

ABC的一个法向量，利用垂直向量数量积为零的方法建立关于x、y、z的方程组，再取y=l

即可得到向量力的坐标，从而可得答案.

【详解】

设正方体棱长为2,则A（2,0,0）,E（2,2,1）,F（1,0,2）,

AE=（0,2,1）,AF=（-1，0,2）

设向量为=（x,y,z）是平面AEF的一个法向量

n-AE=2y+z=Q

贝lj一，取y=l,得x=-4,z=-2

fi-AF=-x+2z=0

答案第3页，总27页

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...河=(-4,1,-2)是平面AEF的一个法向量

因此可得：只有B选项的向量是平面AEF的法向量

故选B.

【点睛】

本题给出空间三个点的坐标，求三点确定平面的法向量的坐标.着重考查了空间向量数量积

的公式和运算性质等知识，属于中档题.

7.C

【分析】

由已知条件可得03,QD,AC两两互相垂直，根据点E,尸分别是A。，的中点，得到

OE=-(OA+OD),OF=-(OB+OC),再分别求得瓦•砺=」|砺『，

224

6—.—.OEOF

\OE\=\OF\=2±-\OA\,代入公式cos(OE,OF)=同雨可求解.

【详解】

因为。是正方形中心，所以O£>_LAC,O3_LAC,

NOOB为二面角D-AC-B的平面角，

又正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角，

即二面角D-AC-3是直二面角，所以ZDOB=90°,OD±OB,

因为点E,歹分别是A。，BC的中点，

所以砺」(西+丽，OF=-(OB+OC),

22

所以无.命」(国•赤+函・云+而・丽+而.反"Jl函匕

44

又|砺|二|酝|=争而，

_kkIOAFi

所以cos〈OE,OF)=Y-----=

；1两22

因为〈砺，砺〉e[o\18O1

所以ZEO产=120°,

故选：C.

答案第4页，总27页

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【点睛】

本题主要考查空间向量的立体几何中的应用，属于基础题.

【分析】

根据题意，以。为坐标原点，直线。4DC,分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，

平面外一点到平面的距离可以用平面上任意一点与该点的连线在平面法向量上的投影表示,

而法向量垂直于平面上所有向量，由近，碣即可求得平面AC?的法向量为，而屏在万

上的投影即为点E到面ACQ的距离，即可求得结果

【详解】

以。为坐标原点，直线以，DC,分别为HVz轴，建立空间直角坐标系，如图所示:

贝U4(1,0,1),9(0,0,1),4(1,0,0),C(0,2,0)

♦.•E为A8的中点，贝iJE（l，l，0）

二屏=0,1,一1),AC=(-1,2,0),函=(-1,0,1)

答案第5页，总27页

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设平面4CQ的法向量为元=3b,c）,贝I

fri'AC=0\—a+2Z?=0

\—,，即Q彳

,ADj=0[—a+c=0

\a=2b

可得

[a=c

可取万=（2,1,2）

2

•••点E到面ACDt的距离为d=组4=2Z=1

\n\33

故选C

【点睛】

本题是一道关于点到平面距离的题目，解题的关键是掌握求点到面距离的方法，建立空间直

角坐标系，结合法向量求出结果，属于中档题。

9.AB

【分析】

利用空间向量的加减法运算法则，数量积公式，向量夹角公式对各个选项进行判断即可.

【详解】

由向量的加法得到：*+而+4瓦=而，：人（2=3人出：，；.（“『=3（砥『，所以

A正确；

V^-X/=ABi,ABilAiC）...年•画=0,故8正确；

•.,△4。。1是等边三角形，；./4。1。=60。，又ALB〃DIC,.•.异面直线ADi与42所成的夹

角为60。，但是向量⑥।与向量入豆的夹角是120。，故C不正确；

VABXAAi,/.ABAA^=0,故|丽・丽・布|=0,因此。不正确.

故选：AB.

【点睛】

本题考查用向量的知识和方法研究正方体中的线线位置关系及夹角与体积.用到向量的加法、

减法、夹角及向量的数量积，研究了正方体中的线线平行、垂直，异面直线的夹角及正方体

的对角线的计算、体积的计算.

10.ACD

答案第6页，总27页

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【分析】

在长方体ABC。-a耳G2中，以点。为坐标原点，建立空间直角坐标系，得到对应点的坐

标，以及而=(-1,后,-1),取=(1,0,-1)；根据空间向量的方法，逐项判断，即可得出结

果.

【详解】

在长方体ABC。-A耳GA中，以点。为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

因为AB=也AD=A/3A41=-\/3,所以AD==1,

则4(1,0,0),4(1，。，1)，C(0,A/3,0),2(0,0,1),£>(0,0,0),5(1,73,0),则隶=(-1,6-1),

取=(1,0,-1)；

A选项，当时=24「时，P为4C中点，根据长方体结构特征，P为体对角线的中点，因

此尸也为中点，所以综尸,£>三点共线；故A正确；

B选项，当而，市时，AP1A}C,由题意可得，AC=Jl+l+3=&，AC=V1Z3=2,

所以由S,AAc=；44,-AC=gAOAP，解得：AP=|V5,所以其「二手，即点P为靠近点

A的五等分点，所以2，则用=,泰=，所以

、JJJ'IJJJ)\JJJ

---->_4341___►

DlP-AP=--+---=--^0,所以Q与。尸不垂直，故B错误；

.—►1—，(1J3

c选项，当A0=3AP时，则AP=§AC=「§,事,一§)

n-DC=J§y+z=0_

设平面BZ)G的法向量为三(x,y,z),由一’"广，令》=1,可得：〃=(-后1,-石),

nDB=x+<3y=a

又止乎一而=1|当一:，

所以用工=0,因此印，5,所以2P〃平面&)G；

.—.1_，(1J3—•----.(4也

D选项，当4c=54夕时，A尸一1彳，一］，所以。/二4尸一4。=，

答案第7页，总27页

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所以而•印=0,而.取=0,因此AC，。7,ACLRA,根据线面垂直定理，可得AC,

平面DtAP.

【点睛】

本题主要考查空间向量在立体几何中的应用，建立适当的坐标系，根据空间向量的方法判断

即可，属于常考题型.

11.ABC

【分析】

以4为坐标原点，4耳，AG，AA所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,

求得平面的一个法向量五=(x,y,z),假设。平面Af。，且皿=4用，得到

DQ-DBl+B[Q=—尢―1+22,——^,则无二(2,1,—2)与DQ=(1—尢―1+22,——^共线，研究

1

1一2_-1+2X=-5=1是否有解即可.

21--2-4

【详解】

以A为坐标原点，A4，4G，4A所在直线分别为了轴、

y轴、z轴建立空间直角坐标系，

则由A(o,o,o),4(1,。,。)，G(o,i,o),B(I,o,i),

P(0,2,0),所以乖=(l,o,l),

答案第8页，总27页

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丽=(o,i，m，用=(-1,2,0),西

设平面的一个法向量为为=(%,%Z),

ri-AxB=x+z=G

则―___1取z=—2,贝ljx=2,y=1,

n-A[D=y+~z=0

所以平面AXBD的一个法向量为n=(2,1-2).

假设。平面48。，且耳弓二丸即=X(—l,2,0)=(—4240),

贝!!诙=函+加二lT,T+2X,-g).

因为由也是平面48。的法向量，

所以为=(2,1,一2)与破=(1一％一1+2%一£|共线，

I

所以匕4=±丝=二2=!成立，

2-1~-4

但此方程关于2无解.

因此不存在点Q,使。。与平面A3。垂直，

故选：ABC.

y

【点睛】

本题主要考查空间向量的立体几何中的应用，属于中档题.

12.ABD

【分析】

画出图形，利用直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系判断选项的正误即可.

【详解】

答案第9页，总27页

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对A,菱形45co中，ZBAD=60a,AC与3。相交于点0.将AABD沿2D折起，使顶点A

至点M,如图：取BD的中点E,连接ME,EC,可知ECLBD,所以8£>_1平

面MCE,可知故A正确；

对B,由题意可知他=3。=8=八4=9,三棱锥是正四面体时，ACDM为等边三角形，

故B正确；

对C,三棱锥是正四面体时，与BC垂直，故C不正确；

对D,平面8ZW与平面3DC垂直时，直线DM与平面BCD所成的角的最大值为60。，故D

正确.

故选：ABD.

【点睛】

本题考查空间几何体的直线与直线、直线与平面的位置关系的综合判断、命题的真假的判断,

考查转化与化归思想，考查空间想象能力.

13.③④

【分析】

根据空间向量的加法运算、减法运算，空间向量的数量积定义，逐一判断可得选项.

【详解】

对于①：SA+SB+SC+SD=SB+BA+SB+SD+DC+SD=2SB+2SD0-所以①不正确；

对于②：DA+SB-SC-W=DA+CB-SD=2DA-Sl5^6,所以②不正确；

对于③：SA-SB+SC-SD=BA+DC=O,所以③正确；

对于④：因为底面ABC。是边长为1的正方形，SA=SB=SC=SD=2,所以

SASB=2x2xcosZASB，克•丽=2x2xcosNCSZ），而ZAS3=/CS。，于是

SASB=SCSD，因此④正确，其余三个都不正确，故正确结论的序号是③④.

故答案为：③④.

【点睛】

本题考查空间向量的加法、减法运算，空间向量的数量积的定义，属于基础题.

答案第10页，总27页

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【分析】

设M(a,b,c),则画7=(a,b,c-1),AB=(-1,1,0),由M在直线AB上，得AM

=AAB，从而M(-A,,A.,1),再由CM±AB能求出M(-1).

22

【详解】

设M(a,b,c),则AM=(a,b,c-1),AB=(-LL0),

TM在直线AB上，/.AM=AAB，

.*.a=-X,b=Lc=l,.*.M(-九，X,1),

CM—(--1,九-2,4),

VCM1AB,CMAB=X+l+k-2=0,

解得4=—,・，・M(--,—f1).

222

故答案为(-?,1).

【点睛】

本题考查空间中点的坐标的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量垂直的性质的合

理运用.

4

15.[0,-]

【详解】

设已知的正八面体SABCDI,易知5/，平面ABCD于球心0,

且点。为正方形ABCD的中心，设球心。与正四棱锥S-ABCD的侧面53c相切于点尸

答案第11页，总27页

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连接OE,OF,则OE=1,SE=6,SO=y/2

由S.SOE=：SEX°F=；SOXOE，得。尸=手

即正八面体的内切球的半径为亚

3

:.PMPN=(Pd+OM^(Pd+ON^=Pd2+Pd(OM+ON^+OM^ON=Pd2-^

P为正八面体表面上的任意一点

则叫e件臼，

Pd2--eFo,-

3L3_

IIIIIIVLHJLV4

即尸M-PN的取值范围是0,-

点睛：本题考查了空间内的向量点乘问题，将其转化为从。点出发的向量，利用立体几何知

识求出相切时的长度，继而算出取值范围，本题的难点在于向量的转化上，同时也是解题的

方法.

16.叵

6

【分析】

试题分析：设直线AC与8。所成角为0.

设。是AC中点，由已知得AC=y[6,如图，以OB为x轴，OA为y轴，过。与平

面ABC垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，由A(o,手刀)，B(^^,0,0),

C(0,-—.0),作DH1ACH,翻折过程中，D'H始终与AC垂直，

2

…CD21A/6,sfe21x75闻„,,

CH=----=-i==—f则NIOH=9DH=—1=—=----,因此可设

CAV663V66

A/30y/6A/30.uiii_zV30A/30>/6\^0.、匕方彳

D(---cos6Z,----,----sina),贝BD—(----cosoc------,----,----sina),04彳丁

6366236

的单位向量为AZ=(0,1,0),

答案第12页，总27页

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所以cos8=bos(加，万)|=='，所以COS夕=1时，COS0取最大值—.

I〃『M匕同"6

考点：异面直线所成角.

【详解】

1-1

17.-(a+b-2c)-

26

【分析】

画出对应的正四面体，设棱长均为1,

由向量的三角形加法法则和平行四边形加法法则得出答案；

(2)设异面直线DM与CN所成角为仇将丽，国用基底£,b,工表示，代入公式计算得出

答案.

【详解】

画出对应的正四面体，设棱长均为1,则

答案第13页，总27页

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⑵由⑴DM=^(a+b-2c),5LCN=AN-AC=^a-b=^(a-2b).

又。石=。4=5-"=：.设异面直线£)“与。双所成角为仇

12两.2函|(I+B—2：0—2孙

则cos0=

\2DM\-\2CN\56

^a~2a-b+a-b-2b*12-2a-c+4b-c^1l+/2]+2

一3一3一6

1-1

故答案为：-{a+b-2cy-

26

【点睛】

本题考查了空间向量基本定理的应用，考查了向量加法、减法和数量积的运算以及向量夹角

的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题.

18.（1）一®;（2）%=或左=2.

102

【分析】

（1）求出£和B的坐标后利用公式可求夹角的余弦值.

（2）求出U+1与3-2石的坐标，利用向量垂直的坐标形式可得关于左的方程，从而可得上

的值.

【详解】

a=AB=(-l,l,2)-(-2,0,2)=(1,1,0),

b=AC=(-3,0,4)-(-2,0,2)=(-1,0,2).

a-b—1+0+0

(1)cos6=-

\a\\b\5/2x5/5lo

所以词的夹角。的余弦值为一票

(2)ka+b=(k,k,0)+(—1,0,2)=(左—1,k,2),

ka—2b—(k,k,0)—(—2,0,4)=(2+2,k,—4),

所以(女—1,匕2).(k+2,匕T)=(左一1)(左+2)+左2—8=0,

BP2左2+左一io=o,

所以左=一（或左=2.

答案第14页，总27页

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19.见解析

【解析】

试题分析：（1）由AP//QC,A?=QC得四边形APCQ为平行四边形，所以AQ〃尸C,根据

线面平行判定定理得结论；（2）易得AQ，£P,通过证明AOQP为正方形得AQJ.OP,所

以线面垂直，最后面面垂直.

试题解析：（1）因为P,Q分别为线段AB、CD的中点，

所以AP//QC,AP=QC,所以四边形APCQ为平行四边形，

所以AQ//PC,所以AQ〃平面CEP

（2）因为EP_L平面A5CD,AQu平面ABCD,

所以AQL改；

又因为AB=23C,尸分别为线段AB的中点，

所以AP=AD,连接尸。,ADQP为正方形，

所以AQ_L£>P,所以AQ，平面OEP

所以平面AEQ_L平面DEP.

20.（I）证明见解析；（H）逅.

3

【解析】

试题分析：（I）先证BEJ_OA1,BE1OC,再可证BE,平面AQC,进而可证CD,平面

AQC；（H）先建立空间直角坐标系，再算出平面A|BC和平面A〈D的法向量，进而可得

平面A.BC与平面A£D夹角的余弦值.

试题解析：（I）在图1中，

TT

因为AB=BC=1,AD=2,E是AD的中点，ZBAD=-,所以BE_LAC

即在图2中，BE±OA,,BE1OC

从而BE_L平面A℃

又CD//BE,所以CD_L平面A。。.

答案第15页，总27页

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(II)由已知，平面485，平面BCDE,又由(I)知，BE±OA,BE10C

所以ZAOC为二面角A.-BE-C的平面角，所以NAQC=|.

如图，以。为原点，建立空间直角坐标系，

因为AB=AE=BC=ED=1,BC//ED

所以B吟,0,0),£(-^,0,0),A(0,0,4),C(0,与,0),

得反(-与，与,0),而(0,4，-5)，而=丽=(-应,0,0).

设平面ABC的法向量I=a，x，zj,平面ACD的法向量后=(%,%,Z2)，平面ABC与平面

ACD夹角为0,

rhBC=0-x+v=0—>

则｛上―得｛।1取々=(1,1,1),

々.qc=o%一4=0

n-CD=0Xn=O——-

2得｛-C，取巧=(0,1,1),

4,AC=0%12=0

276

从而COSe=koS〈"],M2〉|=

gx及一3'

即平面ABC与平面ACD夹角的余弦值为好.

3

考点：1、线面垂直；2、二面角；3、空间直角坐标系；4、空间向量在立体几何中的应用.

21.(1)见解析(2)显

2

【分析】

【详解】

答案第16页，总27页

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解：(1)证明：如图，取2月中点E,连接AE,

为BQ中点，；.EH//BO

在平行四边形A41AB中，P,E分别为的中点，.•.AE//PA

又EHcAE=E,PB】cBiQ=Bi，

平面£744//平面耳。尸

：ADu平面£H4,A。//平面片P。.

C____________G

BE%

(2)连接PG，AG，

•••四边形AGC4为菱形，•••A41=AC=AC=4

又NC|AA=60°,.•.AAC|A为正三角形

•••尸为AA的中点，.A4t

平面ACC】A1平面ABB^,平面ACQAc平面ABB^=,PQu平面ACC^,

PCX.L平面ABBlAi,

在平面AB用A内过点尸作PR，例交2用于点R

建立如图所示的空间直角坐标系加z,则

答案第17页，总27页

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P（0,0,0）,A（0,2,0）,A（0,-2,0）,G（0,0,2^）,C（0,-4,2A/3）,

^AQ=AAC=A（0,-2,2^）,Ae[0,1],

.-.e（0,-2（/I+1）,2732）,

**.PQ=（0,-2（%+1）,25^X）

VAiB]=AB=2,ZBtAxA=60°,瓦（后1,0）,.,.西=（后1,0）

设平面片的法向量为m=(x,y,z),

m-PQ=O卜2（2+1）y+2显

7Sx=0,令贝r-2+1

则和两=0,x=l,I]y=_©z=———

•J3x+y=0A

平面PQ8］的一个法向量为加=

设平面A41GC的法向量为万=(1,0,0),二面角B.-PQ-C,的平面角为凡

m-n1V13

贝户=丽=1（zl+l）F

••2=—^A=――（舍），AQ=—AC,Q（0,—.

女网6-3,0),.•.诙=(后0,-⑹，顾卜反？=遍

连接3尸，设点尸到平面8。8］的距离为/?,则gx；x4xgx白=；xgx4x#x〃

.•"=手，即点尸到平面2。耳的距离为日.

【点睛】

空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：(1)观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；(2)

答案第18页，总27页

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写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂

直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理

结论求出相应的角和距离.

22.（1）见解析；（2）

【分析】

⑴由题意易证：所以ACJ_平面,从而证得结果；

（2）建立空间直角坐标系，平面AEMF的法向量为为=。,0,2）,因为AMu平面⑷如，所以

n-AM=0,从而得到强的值.

【详解】

（1）设ACn3D=O,则0为底面正方形ABCD中心，连接SO,

因为S-ABCD为正四梭锥.所以SOJ.平面A3CD,所以SOJ_AC.

又BD_LAC,且SOcBD=O,所以AC_L平面SBD;

因为SBu平面SBD，故AC±SB；

（2）作出点M如图所示，连接40.

因为OAO&OS两两互相垂直，如图建立空间直角坐标系。-孙z.设Q4=2,所以

A（2,0,0）,B（0,2,0）,C（-2,0,0）,JD（0,-2,0）,S（0,0,2）,E（0,l,l）,F（0,-l,l）.

设型=2,其中彳e[0,1],则甄=ASC=（-22,0,-22）,

SC

所以砺=旃+荻=（-2-22,0,2-22）,

设平面AEMF的法向量为我=（羽y,z）,

又亚=(-2,1,1),通=(-2,-1,1),

-2%+y+z=0

所以

[I忆和-2x—y+z=0

所以y=0,令x=l,z=2,所以而=(1,0,2),

因为AMu平面AEF,所以后.丽7=0，

即-2-24+2(2-2X)=0.解得2」,所以生△.

3SC3

答案第19页，总27页

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【点睛】

本题考查线面垂直的证明，利用空间向量求点的位置，属中等题.

23.(1)详见解析；(2)礴间［竺，,三竺］.

,睢纸

【详解】

(I)”,，感豫剧，磁"，图1./骞，/嗯=侬=酶嗡=算声分别为图的中点，

二.，!激瞬为矩形，/嚼'1,避雷

•；DE=EC,/.DCXEF,又AB〃CD,；.ABJ_EF

VBFnEF=F,AABXffiBEF,又AEu面ABE,

二平面ABEJ_平面BEF.

(II)*,，豳=,购.二酶L遛源又踊^躁，/嚼藤密二/燔1.解

又J#，所以,感酸，面,遐鲍1_.,微！

法一：建系AB为x轴，，不遨为y轴，总部为z轴，

典11蒯吸/略顺:鳏则虬礴，，僦箸善阪,蜀口.冷

怎

平面.瓢尊法向量1=(0,0,1),平面庭翻;法向量芯=:整碑阚,一编:•

,*01热,骞底鼠场

与H’可B得甯可亍亍｝

法二：连温窗交激出于点尾，四边形,点嘉费为平行四边形，所以盛为,级的中点，连,耀

则豌鼠凄麴!，国鼠工面,嫩融，.翻_L圜爵，

作,_L幽于廨点，所以蠹避