圆-圆的位置关系2师基础

圆的位置关系

一、基础知识

1.直线与圆的三种位置关系

直线与圆有三种位置关系：直线与圆相交、直线与圆相切、直线与圆相离.

当直线与圆有唯一公共点时，叫做圆与直线相切。与圆0相交的直线叫做圆的割线，与圆0相切的直

线叫做圆的切线.如果。0的半径为r,©0到直线1的距离

为d,那么

(1)直线1和。0相交

(2)直线1和。0相切Od=r；

(3)直线1和。0相离

2.切线的判定和性质

判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；

性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径；

推论(1)：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.

推论(2)：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.

切线长定理：从圆外一点到圆有两条切线，它们的切线长(圆外一点到)相等，圆心和这一点的连线

平分两条切线的夹角.

3.弦切角

定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.广\

表示方法：h•力8

PA与。O相切，则NPAB=NC./).

C

4.三角形的内切圆

在三角形内与三边均相切的圆称为三角形的内切圆，内切圆圆心叫作三角形的内心，三角形的内心是

三个内角平分线的交点.内心到各边的距离为三角形内切圆半径的长.内心的性质还有：

(1)设I是/ABC的内心，则NBIC=9(F+LNA；

2

ZAIC=900+-ZB；ZBIA=90°+-ZC；

22

(2)如图，设I是/ABC的内心，AI的延长线交/ABC的外接圆于D,则DI

=DB=DC

(3)设。。为/ABC的内切圆，r为内切圆半径，a、b、c为/ABC三边长，S为/ABC的面积，则

S=；(〃+/7+少

(4)Rt/ABC的三边长为a、b、c,其中c为斜边，则内接圆半径r=+b—c)

模块一、切线概念

例1.如图，已知RtZ\ABC的斜边AB=8cm,AC=4cm.

(1)以点C为圆心作圆，当半径为多长时，直线AB与。C相切？为什么？

(2)以点C为圆心，分别以2cm和4cm为半径作两个圆，这两个圆与直线AB分别有怎样的位置关

系？

分析：（1）根据切线的判定定理可知，要使直线AB与。C相切，•那么这条半径应垂直于直线AB,

并且C点到垂足的长就是半径，所以只要求出如图所示的CD即可.

（2）用d和r的关系进行判定，或借助图形进行判定.

解：（1）如图24-54：过C作CDLAB,垂足为D.

在RtAABC中

______A

BC=V82-42=A/3

473x4r-〉

••CD=y-=2V3BC

o

因此，当半径为2出cm时，AB与。C相切.

理由是：直线AB为。C的半径CD的外端并且CDLAB,所以AB是。C的切线.

（2）由（1）可知，圆心C到直线AB的距离d=2gcm,所以

当r=2时，d>r,0c与直线AB相离；

当r=4时，d<r,0c与直线AB相交.

例2.如图，AB为。。的直径，C是。。上一点，D在AB的延长线上，且NDCB=・NA.

（1）CD与。O相切吗？如果相切，请你加以证明，如果不相切，请说明理由.

（2）若CD与。O相切，且ND=30°,BD=10,求。O的半径.

分析：（1）要说明CD是否是。。的切线，只要说明OC是否垂直于CD,垂足为C,•因为C点已

在圆上.

由已知易得：ZA=30°,又由/DCB=/A=30°得：BC=BD=10

解：（1）CD与。O相切

理由：①C点在。O上（已知）c

②；AB是直径

AZACB=90°,即NACO+NOCB=90°

,/ZA=ZOCA且NDCB=NAD

:.ZOCA=ZDCB|/

：.ZOCD=90°

综上：CD是。O的切线.

（2）在RtZkOCD中,ZD=30°

/.ZCOD=60°

:.ZA=30°

:.NBCD=30°

ABC=BD=10

/.AB=20,/.r=10

答：（1）CD是。O的切线，（2）。。的半径是10.

练习

一、选择题.

1.如图，AB与。O切于点C,OA=OB,若。O的直径为8cm,AB=10cm,那么OA的长是（）

A.屈B.V40C.A/14D.屈

ACB

2.下列说法正确的是()

A.与圆有公共点的直线是圆的切线.

B.和圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线；

C.垂直于圆的半径的直线是圆的切线；

D.过圆的半径的外端的直线是圆的切线

3.已知。O分别与AABC的BC边，AB的延长线，AC的延长线相切，则NBOC等于()

A.-(ZB+ZC)B.900+-ZA

22

C.90°--ZAD.1800-ZA

2

二、填空题

1.如图，AB为。O直径，BD切。O于B点，弦AC的延长线与BD交于D•点，•若AB=10,AC=8,

则DC长为.

2.如图，P为。。外一点，PA、PB为。。的切线，A、B为切点，弦AB与PO交于C,半径

为1,PO=2,则PA,PB=,PC=AC=,BC=_____ZAOB=.

3.设I是4ABC的内心，O是4ABC的外心，/A=80°,则/BIC=・,•ZBOC=.

三、综合提高题

1.如图，P为。O外一点，PA切。。于点A,过点P的任一直线交。。于B、C,•连结AB、AC,

连PO交。O于D、E.

(1)求证：ZPAB=ZC.

(2)如果PA2=PD•PE,那么当PA=2,PD=1时，求。O的半径.

2.设a、b、c分别为aABC中NA、ZB>NC的对边，面积为S,则内切圆半径r=»,•其

P

中P=』(a+b+c)；(2)RtAABCNC=90°,则r=^(a+b-c)

22

3.如图1,平面直角坐标系中，。01与x轴相切于点A(-2,0),与y轴交于B、C两点，OiB的

..4

延长线交x轴于点D(―,0),连结AB.

3

(1)求证：ZABO=ZABO；

(2)设E为优弧AC的中点，连结AC、BE交于点F,请你探求BE・BF的值.

(3)如图2,过A、B两点作。Ch与y轴的正半轴交于点M,与BD•的延长线交于点N,当。Ch

的大小变化时，给出下列两个结论.

①BM-BN的值不变；②BM+BN的值不变，其中有且只有一个结论是正确的，请你判断哪一个结

论正确，证明正确的结论并求出其值.

4Z7AV)

(友情提示：如图3,如果DE〃BC,那么——=——)

ACAB

答案：

一、1.A2.B3.C

1.4-2.736-——120°3.1300160°

2222

三、1.(1)提示：作直径AF,连BF,如右图所示.

3

(2)由已知PA2=PD•PE,可得。O的半径为一.

2

2.(1)设I为△ABC内心，内切圆半径为r,

nl111ES

贝!ISAABC=-AB•r+-BC•r+-AC•r,则r=-;

222P

(2)设内切圆与各边切于D、E、F,连结ID、IE,

如图，贝！|ID_LAC,IE±BC,又NC=90°,ID=IE,

.♦.DIEC为正方形，ACE=CD=r,

.♦.AD=AF=b-r,BE=BF=a-r,b-r+a-r=c,.*.r=—(a+b-c).

2

3.(1)证明：连结OiA,则ChA_LOA,/.O1A/7OB,/.ZOiAB=ZABO,

又•.,OiA=OiB,AZOiAB^ZOiBA,AZABOi=ZABO

CRCD9

（2）连结CE,・；OiA〃OB,・••丝="=*

OiDAD5

设DB=2x,则OiD=5x,OiA=OiB=5x-2x=3x,

在RtZiDAOi中，（3x）2+（12）2=（5x）2,

35

5

OiA=OiB=—,OB=1,

2

'.,OA是。Ch的切线，/.OA2=OB•OC,/.OC=4,BC=3,AB=A/5,

YE为优弧AC的中点，.*.ZABF=ZEBC,

A_BBF

VZBAF=ZE,AAABF^AEBC,:.——=——，

BEBC

ABE•BF=AB•BC=3A/5.

（3）解：①BM-BN的值不变.

证明：在MB上取一点G,使MG=BN,连结AM、AN>AG>MN,

VZABO=ZABO,/ABO=NAMN,ZABO=ZANM,

AZAMN=ZANM,，AM=AN,

VZAMG=ZANB,MG=BN,

AAAMG^AANB,AAG=AB,

VAD1BG,/.BG=2BO=2,

/.BM-BN=BG=2其值不变.

模块二、切线长定理

例1.从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹

角._A

如图，已知PA、PB是。0的两条切线.厂产

求证：PA=PB,Z0PA=Z0PB.—L——Z~\~

证明：YPA、PB是。0的两条切线.

AOAIAP,OBIBP

又OA=OB,OP=OP,

ARtAAOP^RtABOP

/.PA=PB,Z0PA=Z0PB

例2.如图，已知。0是4ABC的内切圆，切点为D、E,F,如果AE=1,CD=2,BF=3,且AABC的面积

为6.求内切圆的半径r.

分析：直接求内切圆的半径有困难，由于面积是已知的，因此要转化为面积法来求.就需添加辅助

线，如果连结AO、BO、CO,就可把三角形ABC分为三块，那么就可解决.

解：连结AO、BO、CO

是AABC的内切圆且D、E、F是切点.卜

/.AF=AE=1,BD=BF=3,CE=CD=2八

，AB=4,BC=5,AC=3NGA

又飞ABC=6ZAOT

：.-(4+5+3)r=6/----

2BDL

/.r=l

答：所求的内切圆的半径为1.

例3.如图，。。的直径AB=12cm,AM、BN是两条切线，DC切。。于E,交AM于D,交BN于C,设

AD=x,BC=y.

(1)求y与x的函数关系式，并说明是什么函数？

(2)若x、y是方程2t2-30t+m=0的两根，求x,y的值.

(3)求△COD的面积.

分析：(1)要求y与x的函数关系，就是求BC与AD的关系,

根据切线长定理：DE=AD=x,CE=CB=y,即DC=x+y,

又因为AB=12,所以只要作DFLBC垂足为F,

根据勾股定理，便可求得.

(2)Vx,y是2t2-30t+m=0的两根,

顼，30+4900-30-V900-8/W

那么xi+x2=---------------+---------------—,xix2=—＞便可求得x、y的值.

4442

(3)连结0E,便可求得.

解：(1)过点D作DFLBC,垂足为F,则四边形ABFD为矩形.

切AM、BN、CD于A、B、E

ADE=AD,CE=CB

VAD=x,CB=y

•*.CF=y-x,CD=x+y

在RtZkDCF中，DC2=DF2+CF2

即(x+y)2=(x-y)2+122

，xy=36

•••y=型为反比例函数；

X

(2)由x、y是方程2t-30t+m=0的两根，可得：

30+A/302-8OT30-V302-8m

x+y=---------------1---------------=15

44

同理可得：xy=36

•*.x=3,y=12或x=12,y=3.

(3)连结0E,则OE_LCD

11z、1

••SACOD=-CDOE=-X(AD+BC)-AB

222

=-X15X-X12

22

=45cm2

练习

一、选择题.

1.如图1,PA、PB分别切圆0于A、B两点，C为劣弧AB上一点，NAPB=30°,则NACB=().

A.60°B.75°C.105°D.120°

A

(4)

2.从圆外一点向半径为9的圆作切线，已知切线长为18,从这点到圆的最短距离为().

A.9石B.9(石-1)C.9(75-1)D.9

3.圆外一点P,PA、PB分别切。。于A、B,C为优弧AB上一点，若NACB=a,则/APB=()

A.180°-aB.90°-aC.90°+aD.180°-2a

二、填空题

1.如图2,PA、PB分别切圆。于A、B,并与圆0的切线，分别相交于C、D,已知PA=7cm,则4PCD

的周长等于.

2.如图3,边长为a的正三角形的内切圆半径是.

3.如图4,圆0内切RtZ\ABC,切点分别是D、E、F,则四边形0ECF是.

三、综合提高题

1.如图所示,EB、EC是。0的两条切线，B、C是切点，A、D是。0上两点，如果NE=46°,NDCF=32°,

求NA的度数.

2.如图所示，PA、PB是。0的两条切线，A、B为切点,

求证NAB0=，NAPB.

2

3.如图所示，已知在AABC中，ZB=90°,0是AB上一点，以0为圆心，0B为半径的圆与AB交于

点E,与AC切于点D.

(1)求证：DE/70C；

/QD

(2)若AD=2,DC=3,且AD2=AE・AB,求——的值.

BC

c

答案：

一\1.C2.C3.D

二、1.14cm2.Xaa3.正方形

6

三、1.解：・・・EB、EC是。0的两条切线，

AEB=EC,AZECB=ZEBC,

又NE=46°,而NE+NEBC+NECB=180°,ZECB=67°,

又NDCF+NECB+NDCB=180°,

/.ZBCD=180°-67°-32°=81°,

又NA+NBCD=180°,

AZA=180°-81°=99°

2.证明：连结OP、OA,OP交AB于C,

•・・B是切点，Z0BP=90°,Z0AP=90°,

:.ZB0P=ZAP0,

V0A=0B,AZB0P=ZA0C,AZ0CB=90°,

Z0BA=Z0PB,:.Z0BA=-ZAPB.

2

3.(1)证明：连结OD,

则N0DC=RtN,ZODE-ZOED,

由切线长定理得：CD=CB,

,RtAODC^RtAOBC,:.ZC0B=ZC0D,

VZD0E+2Z0ED=180°,

又ND0E+2NC0B=180°,AZOED=ZCOB,ADE/7OC

(2)由AD=2,DC=3得:BC=3,AB=4,

又♦.•AD2=AE•AB,/.AE=1,

13OB1

•\BE=3,OB=—BE=—,——=一.

22BC2

模块三：圆与圆位置关系

1、圆与圆的位置关系

圆与圆的位置关系共有5种，是由两圆的公共点来定义的：

两圆没有公共点一一外离或内含；

两圆有唯一公共点一一外切或内切；

两圆有两个公共点一一相交.

2、两圆位置关系的判定

除定义外，既可根据两圆半径与圆心距的关系来判定，又可根据两圆内、外公切线的总条数来判定.

设两圆的半径分别为R、r(R>r),圆心距为d.

(1)d>R+rO两圆外离O两圆有4条公切线；

(2)d=R+ro两圆外切o两圆有3条公切线；

(3)R—r<d<R+ro两圆相交o两圆有2条公切线;

(4)d=两圆内切o两圆有1条公切线；

(5)—两圆内含o两圆没有公切线；

3、两圆位置关系的性质定理：

(1)圆是轴对称图形，两个圆也组成一个轴对称图

形，通过两圆圆心的直线(连心线)是它的对称轴;

(2)如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上；

(3)如果两圆相交于A、B,那么连心线垂直平分

公共弦AB；

(4)如果两个半径不等的圆相离，那么内公切线交

点、外公切线交点都在连心线所在的直线上，并且

该直线平分两外公切线所夹的角和两内公切线所

夹的角；

(5)如果两条外公切线分别切圆Oi于A、B两点，

切圆于C、D两点，那么两条外公切线长相等,

且AB、CD都被0102垂直平分.

4、两圆关系常用辅助线

(1)作相交两圆的公共弦，利用圆内接四边形性质或公共圆周角，沟通两圆的角的关系；

(2)两圆相切，作过切点的公切线，利用弦切角定理沟通两圆角的关系；

(3)作相交两圆的连心线，利用过交点的半径、公共弦、圆心距构造直角三角形，解决有关计算问题;

(4)两圆相切，作连心线，利用连心线经过切点的性质，解决有关计算问题；

(5)有关公切线问题，常平移公切线，组成以公切线、圆心距、两圆半径差(或和)为三边的直角三

角形，通过解直角三角形来解决.

例1.两个同样大小的肥皂泡黏在一起，其剖面如图1所示(点0,0,是圆心)，分隔两个肥皂泡的肥

皂膜PQ成一条直线，TP、NP分别为两圆的切线，求NTPN的大小.

(1)(2)

分析：要求NTPN,其实就是求NOPO」的角度，很明显，NPOO,是正三角形，如图2所示.

解：VPO=OO,=P0'

。是一个等边三角形

：.Z0P0'=60°

又•••TP与NP分别为两圆的切线，

AZTP0=90°,NNP0'=90°

/.ZTPN=360°-2X90°-60°=120°

例2.如图1所示，。。的半径为7cm,点A为。。外一点，0A=15cm,

求：(1)作。A与。0外切，并求。A的半径是多少？

(2)作。A与。。相内切，并求出此时。A的半径.

分析：(1)作。A和。O外切，就是作以A为圆心的圆与。。的圆心距d=ro+rA；(,2)作0A与。0

相内切，就是作以A为圆心的圆与的圆心距d=rA-ro.

解：如图2所示，(1)作法：以A为圆心，必=15-7=8为半径作圆，则。A的半径为8cm

(2)作法:以A点为圆心，s'=15+7=22为半径作圆，则。A的半径为22cm

例3.如图1所示，半径不等的。Oi、外离，线段0102分别交。Oi、于点A、B,MN为

两圆的内公切线，分别切。Oi、于点M、N,连结MA、NB.

(1)试判断NAMN与NBNM的数量关系？并证明你的结论.

(2)若将“MN”为两圆的内公切线改为“MN为两圆的外公切线”，其余条件不变，ZAMN与NBNM

是否一定满足某种等量关系？完成下图并写出你的结论.

分析：(1)要说明NAMN与NBNM的数量关系，只要说明NMAB和NNBA的数量关系，只要说明NChBN

和NOiAM的数量关系，又因为NO2BN=NOINB,ZOIMA=ZOIAM,因此，只要连结OiM,O2N,再

说明NMOIA=NNO2B,这两个角相等是显然的.

(2)画出图形，从上题的解答我们可以得到一个思路,连结OIM、O2N,•则NOiMN+・ZO2NM=180°,

/.ZMOIA+ZNO2B=180°,AZO2NB+ZOIMA=90°,/.ZAMN+ZBNM=90°.

解：⑴/AMN=NBNM

证明：连结OiM、O2N,如图2所示

VMN为两圆的内公切线，

AOiMlMN,O2N±MN

/.O1M//O2N

:.ZMO1A=ZNO2B

VOIM=OIA,O2N=O2B

:.ZO1MA=ZO2NB

/.ZAMN=ZBNM

(2)VZAMN+ZBNM=90°

证明：连结OiM、O2N

；MN为两圆的外公切线.

AOiMlMN,O2N±MN

.*.O1MZ/O2N

，ZMOIA+ZNO2B=180°

VOIM=OIA,O2N=O2B

:.ZO1MA+ZO2NB=-X18O°=9O°

2

AZAMN+ZBNM=180°-90°=90°

练习

一、选择题.

1.已知两圆的半径分别为5cm和7cm,圆心距为8cm,那么这两个圆的位置关系是（）

A.内切B.相交C.外切D.外离

2.半径为2cm和1cm的。Oi和。O2相交于A、B两点，且OiA^ChA,则公共弦AB的长为（）.

2亚逑

A.---cmB.----cmC.y/5cmD.

55"I"

3.如图所示，半圆0的直径AB=4,与半圆0内切的动圆Oi与AB切于点M,设。01的半径为y,AM=x,

则y关于x的函数关系式是（）.

1,1,

A.y=—x2+xB.y=--x2+x

44

1,

八1

C.y=--x、2-xD.y=­x2-x

44

二、填空题.

1.如图1所示,两圆。01与。。2相交于A、B两点，则OiO2所在的直线是公共弦AB的

(1)(2)(3)

2.两圆半径R=5,r=3,则当两圆的圆心距d满足时，两圆相交；当d满足时，两

圆不外离.

3.如图2所示，•和。Ch内切于T,则T在直线