第21章 一元二次方程 复习课（第1课时） 教学设计

第21章一元二次方程复习课（第1课时）教学内容解析教学流程图地位与作用一元二次方程是重要的数学模型，是初中阶段学习的最后一类方程．一元二次方程的解法涉及较多的数学思想方法，是培养学生思维素养的重要载体．一元二次方程具有丰富的实际背景，建立一元二次方程模型解决实际问题是培养学生数学建模素养，发展应用意识的重要载体．一元二次方程的学习也是后续学习二次函数、圆与相似中线段计算等知识的基础．本节课是复习课的第1课时，是在学生已经学习一元二次方程的有关知识的基础上，对本章内容进行梳理总结并建立知识体系．概念解析一元二次方程是指只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，是对以前所学方程在次数上做推广．解方程的本质是求出方程中未知数的值，解一元二次方程的基本策略是转化，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，从而实现将未知转化为已知的思想.解一元二次方程常用的方法有配方法、公式法和因式分解法．其中公式法居于核心地位，公式法是求一元二次方程根的一般方法，由于有了公式法，我们就可以对一般的一元二次方程进行研究，获得了根的存在性判别式和根与系数的关系，这大大深化了我们对一元二次方程的认识.一元二次方程作为重要的数学模型，体现在解决实际问题中的重要作用，数学建模思想是数学的核心素养，一元二次方程的学习是培养学生数学建模素养的非常重要途径.思想方法从实际问题中抽象出一元二次方程的概念，研究方程的解法，建立方程模型再解决某些具体的实际问题，是本章学习的主线，体现了从特殊到一般再到特殊的研究过程．选择恰当的方法将“二次”降为“一次”，从而将解一元二次方程转化为解一元一次方程，是学习方程解法的主线，充分蕴含着化归的思想．具体地，从方程x2=p和（x＋n）2=p入手得到直接开平方法，再考虑一般的形式ax2＋bx＋c=0（a≠0），通过配方法可将其转化为（x＋n）2=p的形式再解；或通过公式法可以直接对一般形式的一元二次方程求解；再对特殊的（能转化为两个一次因式乘积）的方程采用因式分解法求解，这个过程也体现了从特殊到一般再到特殊的研究过程．应用一元二次方程模型解决实际问题的过程中，体现建模思想，能发展学生的应用意识，培养能力．另外，对根的判别式意义的讨论，体现了分类讨论的数学思想．知识类型一元二次方程属于概念性知识；一元二次方程的解法是关于原理与规则类知识，建立一元二次方程模型解决实际问题，是数学建模思想的重要体现，这是关于数学思想方法的知识．教学重点本节课的教学重点：从两条主线对本章内容进行梳理总结并建立知识体系．教学目标解析教学目标：1．复习巩固本章重点内容，梳理总结本章知识．2．经历构建本章知识体系的过程，深化对知识间内在联系的理解．目标解析：达成目标1的标志是：完成课前检测及相应巩固环节的例题，掌握一元二次方程概念、解法、根的判别式及解决典型实际问题等核心知识．达成目标2的标志是：主动建构本章知识结构图，在过程中引发思考，交流感悟．知道一元二次方程的主要学习内容是概念、解法和应用；能总结解法中化归的基本思想，体会特殊到一般再到特殊的研究过程．教学问题诊断分析具备的基础在本课之前，学生已经基本掌握一元二次方程的概念、解法，经历了应用一元二次方程模型解决简单问题的过程．与本课目标的差距分析在复习中构建知识体系需要一定的归纳和对数学的理解能力及较强的系统思维能力．可能存在的问题存在的问题：学生对知识的掌握呈现碎片化，缺乏系统看待所学内容的经验．应对策略：通过具有典型问题的学习，巩固和加深知识的掌握；通过能触发深入思考的追问，引发对知识内部联系的思考；通过共同绘制知识结构图的过程，明晰各知识点的联系，加深理解．教学难点本节课的教学难点：本章知识体系的建构．教学支持条件分析通过信息技术，动态地构建思维导呈现思维导图，将思维导图逐渐调整为知识结构图，通过希沃授课助手等交互平台，搭建起交流评价的环境，加强对于知识间的相互联系的理解．教学支持条件分析课前检测1．下列方程中是一元二次方程的是__________．（填序号）①3x＋6=0；②x－5y=0；③x2＋3x－4=0；④x2－=0；2．解方程：3x2－9=2x2＋8x．3．一条长40cm的绳子围成一个面积为75cm2的矩形，求这个矩形的长和宽．设计意图：复习一元二次方程的概念、解法和应用．为复习课的开展做好知识上的准备．知识梳理1．概念问题1方程（m＋2）x|m|＋3mx＋1=0是关于x的一元二次方程，则m的值为_______；若是关于x的一元一次方程，则m的值为_________．师生互动设计：学生先独立思考、回答．为了帮助学生有逻辑地思考，教师可追问以下问题．追问1：一元二次方程的一般式是什么？由此你能给出m需要满足的条件吗？追问2：一元一次方程的一般式是什么？m需要满足什么条件？追问3：我们还学过哪种整式方程？写出一般形式．比较你所学过的各种整式方程，说明它们的未知数个数与次数．设计意图：通过辨析几种整式方程的概念，引导学生进一步理解一元二次方程的概念，加强知识的前后联系，建立有关方程的知识体系．2．解法问题2关于x的方程2ax2＋（a2－4a－5）x－3=0的一个根为1，求实数a的值．师生互动设计：两位学生板演展示，其它学生独立思考、解答．学生交流完善，教师总结并提出以下问题：追问1：什么是方程的根？追问2：这位同学用了什么方法解方程？这种方法解方程的步骤是什么？追问3：一元二次方程有哪些解法？它们各自在什么情况下最适用？追问4：这几种解法之间有何联系？在基本思想上有何共同点？设计意图：本题主要复习一元二次方程的解法，通过比较不同解法，体会如何根据方程特点选择解法．并让学生深入思考这几种解法之间的联系，体会配方法的重要意义以及“降次”的基本思想．【测评1】解下列方程：（1）3x2＋6x－5=0；（2）3x（x－1）=2（x－1）．设计意图：检测一元二次方程解法是否掌握．若测评不合格，则讲解测评1，完成后再测（测评2）．【测评2】解下列方程：（1）x2＋2x=0；（2）x（x－4）=2－8x．3．方程的根问题3关于x的一元二次方程x2＋（m＋5）x＋2m=0，（1）证明方程有两个不相等的实数根；（2）用m表示方程两根的和与积．师生互动设计：学生独立思考、解答、展示．学生交流完善，教师总结并提出以下问题：追问1：如何判别一个一元二次方程根的情况？追问2：根的判别式是依据什么来对一元二次方程根的情况进行判断的？追问3：如何证明根的判别式大于0？追问4：方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的两根x1，x2与系数a，b，c有什么关系？我们如何得到这种关系的？设计意图：回顾判别式的作用，通过教师提问，加深了解求根公式与配方法的关系，再次体会配方法的重要意义，完善一元二次方程解法的体系．【测评3】已知关于x的一元二次方程x2＋4x＋2k=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）若方程的两根为x1，x2，求x1＋x2＋x1·x2的值．设计意图：检测根的判别式及根与系数关系是否掌握．若测评不合格，则回至问题3的教学．4．应用问题4如图，对一块长80m，宽60m的矩形土地进行绿化．绿化区域也为矩形，且绿化区域四周边界与土地边界的距离都相等．（1）若使土地的绿化率为，求绿化区域边界与土地边界的距离．（土地绿化率=绿化面积÷土地面积）（2）绿化区域内种植某种绿色植物，两个月高度恰好增长了一倍，求这种植物高度的月平均增长率．（结果保留百分号前一位小数，≈1.4142）师生互动设计：学生先独立思考，后小组讨论交流，选代表展示，在老师的引导下，师生共同完善答案．设计意图：通过不同类型实际问题的解决，体会建立一元二次方程模型解决实际问题的过程．构建体系（小结）问题5请同学们根据所复习的内容整理本章所学的主要知识．你能画出这些知识的结构图吗？师生互动设计：教师组织学生画知识结构图，学生先独立完成，再小组交流，投影呈现，发表制图的原因，交流完善．教师引导总结方程研究的三块内容：概念、解法和应用．通过追问，感悟数学思想和研究过程．追问1：你能说说我们是怎样研究方程的？又是怎样研究方程的解法的？设计意图：让学生主动建构本章的知识结构，形成知识体系．在此基础上，教师出示本章知识框图，帮助学生形成知识结构．目标检测设计一、选择题1．下列方程是一元二次方程的是（）A．2x＋4=0B．x－3y=2C．x2＋2x－3=0D．x2－=02．方程（x－4）2=9的解是（）A．x=1B．x=7C．x1=3，x2=－3D．x1=1，x2=73．用配方法解方程x2－8x+6=0，变形后的结果正确的是（）A．（x＋4）2=10B．（x－4）2=10C．（x＋8）2=58D．（x－8）2=584．关于x的一元二次方程x2－2x＋m=0有实数根，则m的取值范围是（）A．m≤1B．m﹤1C．m=1D．m≥15．今年“十一”长假某景点迎来旅游高峰，第一