淮北市重点中学2025届高一数学第二学期期末监测试题含解析

淮北市重点中学2025届高一数学第二学期期末监测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．“”是“函数，有反函数”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．即非充分又非必要条件2．已知不等式的解集是，则()A． B．1 C． D．33．已知为直线，，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则4．若三角形三边的长度为连续的三个自然数，则称这样的三角形为“连续整边三角形”．下列说法正确的是（）A．“连续整边三角形”只能是锐角三角形B．“连续整边三角形”不可能是钝角三角形C．若“连续整边三角形”中最大角是最小角的2倍，则这样的三角形有且仅有1个D．若“连续整边三角形”中最大角是最小角的2倍，则这样的三角形可能有2个5．某协会有200名会员，现要从中抽取40名会员作样本，采用系统抽样法等间距抽取样本，将全体会员随机按1~200编号，并按编号顺序平均分为40组（1－5号，6－10号，…，196－200号）.若第5组抽出的号码为22，则第1组至第3组抽出的号码依次是（）A．3，8，13 B．2，7，12 C．3，9，15 D．2，6，126．若,则（）A． B． C． D．7．已知水平放置的是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中，，那么原中的大小是（）．A． B． C． D．8．已知两条平行直线和之间的距离等于，则实数的值为()A． B． C．或 D．9．将函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是()A． B．C． D．10．若且，则的最小值是（）A．6 B．12 C．24 D．16二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．在直角梯形.中，，分别为的中点，以为圆心，为半径的圆交于，点在上运动（如图）.若，其中，则的最大值是________.12．设三棱锥满足，，则该三棱锥的体积的最大值为____________.13．下列说法中：①若，满足，则的最大值为；②若，则函数的最小值为③若，满足，则的最小值为④函数的最小值为正确的有__________．（把你认为正确的序号全部写上）14．若点关于直线的对称点在函数的图像上，则称点、直线及函数组成系统，已知函数的反函数图像过点，且第一象限内的点、直线及函数组成系统，则代数式的最小值为________.15．在中，角所对的边分别为，下列命题正确的是_____________．①总存在某个内角，使得；②存在某钝角，有；③若，则的最小角小于．16．如图1，动点在以为圆心，半径为1米的圆周上运动，从最低点开始计时，用时4分钟逆时针匀速旋转一圈后停止.设点的纵坐标（米）关于时间（分）的函数为，则该函数的图像大致为________.（请注明关键点）三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．将边长分别为、、、…、、、…的正方形叠放在一起，形成如图所示的图形，由小到大，依次记各阴影部分所在的图形为第个、第个、……、第个阴影部分图形.设前个阴影部分图形的面积的平均值为.记数列满足，（1）求的表达式；（2）写出，的值，并求数列的通项公式；（3）定义，记，且恒成立，求的取值范围.18．的内角的对边分别为，且．（1）求；（2）若，点在边上，，，求的面积．19．如图，在四棱锥中，底面是菱形，底面.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若，求直线与平面所成角的余弦值.20．16种食品所含的热量值如下：111123123164430190175236430320250280160150210123（1）求数据的中位数与平均数；（2）用这两种数字特征中的哪一种来描述这个数据集更合适？21．四棱锥中，，，底面，，直线与底面所成的角为，、分别是、的中点．（1）求证：直线平面；（2）若，求证：直线平面；（3）求棱锥的体积．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解析】

函数，有反函数，则函数，上具有单调性，可得，即可判断出结论．【详解】函数，有反函数，则函数，上具有单调性，．是的真子集，“”是“函数，有反函数”的充分不必要条件．故选：A.【点睛】本题考查了二次函数的单调性、反函数、充分条件与必要条件的判定方法，考查推理能力与计算能力，同时考查函数与方程思想、数形结合思想．2、A【解析】

的两个解为-1和2.【详解】【点睛】函数零点、一元二次等式的解、函数与x轴的交点之间的相互转换。3、C【解析】

利用直线与平面平行、垂直的判断即可。【详解】对于A.若，，则或，所以A错对于B.若，，则，应该为，所以B错对于D.若，，则或，所以D错。所以选择C【点睛】本题主要考查了直线与平面垂直和直线与平面平行的性质。属于基础题。4、C【解析】

举例三边长分别是的三角形是钝角三角形，否定A，B，通过计算求出最大角是最小角的二倍的三角形，从而可确定C、D中哪个正确哪个错误．【详解】三边长分别是的三角形,最大角为，则，是钝角，三角形是钝角三角形，A，B都错，如图中，，，是的平分线，则，∴，，∴，，又由是的平分线，得，∴，解得，∴“连续整边三角形”中最大角是最小角的2倍的三角形只有一个，边长分别为4，5，6，C正确，D错误．故选D．【点睛】本题考查余弦定理，考查命题的真假判断，数学上要说明一个命题是假命题，只要举一个反例即可，而要说明它是真命题，则要进行证明．5、B【解析】

根据系统抽样原理求出抽样间距，再根据第5组抽出的号码求出第1组抽出的号码，即可得出第2组、第3组抽取的号码．【详解】根据系统抽样原理知，抽样间距为200÷40=5，

当第5组抽出的号码为22时，即22=4×5+2，

所以第1组至第3组抽出的号码依次是2，7，1．

故选：B．【点睛】本题考查了系统抽样方法的应用问题，是基础题．6、A【解析】试题分析：，故选A.考点：两角和与差的正切公式．7、C【解析】

根据斜二测画法还原在直角坐标系的图形，进而分析出的形状，可得结论．【详解】如图：根据斜二测画法可得：，故原是一个等边三角形故选【点睛】本题是一道判定三角形形状的题目，主要考查了平面图形的直观图，考查了数形结合的思想8、C【解析】

利用两条平行线之间的距离公式可求的值.【详解】两条平行线之间的距离为，故或，故选C.【点睛】一般地，平行线和之间的距离为，应用该公式时注意前面的系数要相等.9、C【解析】

将函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，所得函数图象的解析式为y＝sin(x－);再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是.故选C.10、D【解析】试题分析：，当且仅当时等号成立，所以最小值为16考点：均值不等式求最值二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

建立直角坐标系，设，根据，表示出，结合三角函数相关知识即可求得最大值.【详解】建立如图所示的平面直角坐标系：，分别为的中点，，以为圆心，为半径的圆交于，点在上运动，设，，即，，所以，两式相加：，即，要取得最大值，即当时，故答案为：【点睛】此题考查平面向量线性运算，处理平面几何相关问题，涉及三角换元，转化为求解三角函数的最值问题.12、【解析】

取中点，连，可证平面，，要使最大，只需求最大值，即可求解.【详解】取中点，连，所以，，，平面，平面，设中边上的高为，，当且仅当时，取等号.故答案为:.【点睛】本题考查锥体的体积计算，考查线面垂直的判定，属于中档题.13、③④【解析】

①令，得出，再利用双勾函数的单调性判断该命题的正误；②将函数解析式变形为，利用基本不等式判断该命题的正误；③由得出，得出，利用基本不等式可判断该命题的正误；④将代数式与代数式相乘，展开后利用基本不等式可求出的最小值，进而判断出该命题的正误。【详解】①由得，则，则，设，则，则，则上减函数，则上为增函数，则时，取得最小值，当时，，故的最大值为，错误；②若，则函数，则，即函数的最大值为，无最小值，故错误；③若，满足，则，则，由，得，则，当且仅当，即得，即时取等号，即的最小值为，故③正确；④，当且仅当，即，即时，取等号，即函数的最小值为，故④正确，故答案为：③④。【点睛】本题考查利用基本不等式来判断命题的正误，利用基本不等式需注意满足“一正、二定、三相等”这三个条件，同时注意结合双勾函数单调性来考查，属于中等题。14、【解析】

根据函数的反函数图像过点可求出,由、直线及函数组成系统可知在的图象上，且，代入化简为，换元则，利用单调性求解.【详解】因为函数的反函数图像过点，所以，即，由、直线及函数组成系统知在上，所以，代入化简得，令由知，故则在上单调递减，所以当即时，，故填.【点睛】本题主要考查了对称问题，反函数概念，根据条件求最值，函数的单调性，换元法，综合性大，难度大，属于难题.15、①③【解析】

①中，根据直角三角形、锐角三角形和钝角三角形分类讨论，得出必要一个角在内，即可判定；②中，利用两角和的正切公式，化简得到，根据钝角三角形，即可判定；③中，利用向量的运算，得到，由于不共线，得到，再由余弦定理，即可判定．【详解】由题意，对于①中，在中，当，则，若为直角三角形，则必有一个角在内；若为锐角三角形，则必有一个内角小于等于；若为钝角三角形，也必有一个角小于内，所以总存在某个内角，使得，所以是正确的；对于②中，在中，由，可得，由为钝角三角形，所以，所以，所以不正确；对于③中，若，即,即，由于不共线，所以，即，由余弦定理可得，所以最小角小于，所以是正确的．综上可得，命题正确的是①③．故答案为：①③．【点睛】本题以真假命题为载体，考查了正弦、余弦定理的应用，以及向量的运算及应用，其中解答中熟练应用解三角形的知识和向量的运算进行化简是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．16、【解析】

根据题意先得出，再画图．【详解】解：设，，，，，则当时，处于最低点，则，，可画图为：故答案为：【点睛】本题考查了三角模型的实际应用，关键是根据题意建立函数模型，属中档题．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2），，；（3）.【解析】

（1）根据题意，分别求出每一个阴影部分图形的面积，即可得到前个阴影部分图形的面积的平均值；（2）依据递推式，结合分类讨论思想，即可求出数列的通项公式；（3）先求出的表达式，再依题意得到，分类讨论不等式恒成立的条件，取其交集，即得所求范围。【详解】（1）由题意有，第一个阴影部分图形面积是：；第二个阴影部分图形面积是：；第三个阴影部分图形面积是：；所以第个阴影部分图形面积是：；故；（2）由（1）知，，，所以，，当时，当时，，综上，数列的通项公式为，。（3）由（2）知，，，由题意可得，恒成立，①当时，，即，所以，②当时，，即，所以，③当时，，即，所以，综上，。【点睛】本题主要考查数列的通项公式求法，数列不等式恒成立问题的解法以及分类讨论思想的运用，意在考查学生逻辑推理能力及运算能力。18、（1）；（2）.【解析】

（1）由正弦定理、三角函数恒等变换化简已知可得：，结合范围，可得，进而可求A的值．（2）在△ADC中，由正弦定理可得，可得，利用三角形内角和定理可求，即可求得，再利用三角形的面积公式即可计算得解．【详解】（1）∵，∴由正弦定理可得：，∴可得：，可得：，∵，∴，可得：，∵，∴，∴，可得：．（2）∵，点D在边上，，∴在中，由正弦定理，可得：，可得：，∴，可得：，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查了正弦定理、三角函数恒等变换的应用，三角形内角和定理及三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化能力，属于中档题．19、（Ⅰ）见解析（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）由底面推出，由菱形的性质推出，即可推出平面从而得到；（Ⅱ）根据已知条件先求出AB，再利用菱形的对角线垂直求出AC，由求出PC，即可求得余弦值.【详解】（Ⅰ）证明：连接，∵底面，底面,∴.∵四边形是菱形，∴.又∵，平面，平面，∴平面，∴.（Ⅱ）设直线AC与BD交于点O，∵底面，∴直线与平面所成角的是.设“”，由，可得，∵四边形是菱形，在中，，则，于是，∴∴直线与平面所成角的余弦值是.【点睛】本题考查线线垂直、线面垂直的证明，菱形的性质，直线与平面所成的角，属于基础题.20、（1）中位数为：，平均数为：；（2）用平均数描述这个数据更合适.【解析】

（1）根据中位数和平均数的定义计算即可；（2）根据平均数和平均数的优缺点进行选择即可.【详解】（1）将数据从小到大排列得：111，123，123，123，150，160，164，175，190，210，236，250，280，320，430，430.所以中位数为：，平均数为：；（2）用平均数描述这个数据更合适，理由如下：平均数反映的是总体的一个情况，中位数只是数列从小到大排列得到的最中间的一个数或两个数，所以平均数更能反映总体的一个整体情况.【点睛】本题考查数据的数字特征的计算及应用，考查