高考数学专题 等差数列、等比数列讲学案理数(解析)

【2016考纲解读】高考侧重于考查等差、等比数列的通项an，前n项和Sn的基本运算，另外等差、等比数列的性质也是高考的热点．备考时应切实理解等差、等比数列的概念，加强五个量的基本运算，强化性质的应用意识．【重点知识梳理】1．等差数列(1)定义式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)；(2)通项公式：an＝a1＋(n－1)d；(3)前n项和公式：Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝na1＋eq\f(nn－1d,2)；(4)性质：①an＝am＋(n－m)d(n、m∈N*)；②若m＋n＝p＋q(m、n、p、q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.2．等比数列(1)定义式：eq\f(an＋1,an)＝q(n∈N*，q为非零常数)；(2)通项公式：an＝a1qn－1；(3)前n项和公式：Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1q＝1，,\f(a11－qn,1－q)q≠1.))(4)性质：①an＝amqn－m(n，m∈N*)；②若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq(p、q、m、n∈N*)．3．复习数列专题要把握等差、等比数列两个定义，牢记通项、前n项和四组公式，活用等差、等比数列的性质，明确数列与函数的关系，巧妙利用an与Sn的关系进行转化，细辨应用问题中的条件与结论是通项还是前n项和，集中突破数列求和的五种方法(公式法、倒序相加法、错位相减法、分组求和法、裂项相消法).【误区警示】1．应用an与Sn的关系，等比数列前n项和公式时，注意分类讨论．2．等差、等比数列的性质可类比掌握．注意不要用混．3．讨论等差数列前n项和的最值时，不要忽视n为整数的条件和an＝0的情形．4．等比数列{an}中，公比q≠0，an≠0.【高频考点突破】考点一等差(比)数列的基本运算例1、(1)(2015·浙江卷)已知{an}是等差数列，公差d不为零，前n项和是Sn，若a3，a4，a8成等比数列，则()A．a1d>0，dS4>0B．a1d<0，dS4<0C．a1d>0，dS4<0D．a1d<0，dS4>0(2)数列{an}是等比数列，若a3＝eq\f(1,2)，a6＝4，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝________.【规律方法】等差(比)数列基本运算的关注点(1)基本量：在等差(比)数列中，首项a1和公差d(公比q)是两个基本的元素．(2)解题思路：①设基本量a1和公差d(公比q)；②列、解方程(组)：把条件转化为关于a1和d(q)的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少计算量．【变式训练】设等比数列{an}的前n项和为Sn，a3＝eq\f(1,8)，且S2＋eq\f(1,16)，S3，S4成等差数列，数列{bn}满足bn＝8n.(1)求数列{an}的通项公式；(2)记数列{bn}的前n项和为Tn，求数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an＋\f(1,Tn)))的前n项和．解：(1)设数列{an}的公比为q，因为S2＋eq\f(1,16)，S3，S4成等差数列，故2S3＝S2＋S4＋eq\f(1,16)，即a3＝a4＋eq\f(1,16)，又a3＝eq\f(1,8)，故a4＝eq\f(1,16)，故q＝eq\f(a4,a3)＝eq\f(1,2)，则a1＝eq\f(a3,q2)＝eq\f(1,2)，故an＝eq\f(1,2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n(n∈N*)．(2)因为bn＝8n(n∈N*)，故Tn＝4n2＋4n，eq\f(1,Tn)＝eq\f(1,4nn＋1)＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1))).所以an＋eq\f(1,Tn)＝eq\f(1,2n)＋eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)))，记数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an＋\f(1,Tn)))的前n项和为Qn.则Qn＝eq\f(\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n))),1－\f(1,2))＋eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,n＋1)))＝eq\f(5,4)－eq\f(1,2n)－eq\f(1,4n＋1).考点二等差(比)数列的判断与证明例2、已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2，n∈N*)，a1＝eq\f(1,2).(1)求证：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,Sn)))是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式；(3)若bn＝2(1－n)an(n≥2，n∈N*)，求证：beq\o\al(2,2)＋beq\o\al(2,3)＋…＋beq\o\al(2,n)<1.解：(1)证明：由an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2，n∈N*)，得Sn－Sn－1＋2Sn·Sn－1＝0，所以eq\f(1,Sn)－eq\f(1,Sn－1)＝2(n≥2，n∈N*)，故eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,Sn)))是等差数列．(2)由(1)知，eq\f(1,Sn)＝2n，故Sn＝eq\f(1,2n)，an＝Sn－Sn－1＝eq\f(1,2n)－eq\f(1,2n－1)＝－eq\f(1,2nn－1)(n≥2，n∈N*)，所以an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，n＝1，,－\f(1,2nn－1)，n≥2，n∈N*.))(3)bn＝2(1－n)·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2nn－1)))＝eq\f(1,n)(n≥2，n∈N*)，所以beq\o\al(2,n)＝eq\f(1,n2)<eq\f(1,nn－1)＝eq\f(1,n－1)－eq\f(1,n)(n≥2，n∈N*)，所以beq\o\al(2,2)＋beq\o\al(2,3)＋…＋beq\o\al(2,n)<1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n－1)－eq\f(1,n)＝1－eq\f(1,n)<1.【规律方法】判断和证明数列是等差(比)数列的三种方法(1)定义法：对于n≥1的任意自然数，验证an＋1－aneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或\f(an＋1,an)))为同一常数．(2)通项公式法：①若an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d或an＝kn＋b(n∈N*)，则{an}为等差数列；②若an＝a1qn－1＝amqn－m或an＝pqkn＋b(n∈N*)，则{an}为等比数列．(3)中项公式法：①若2an＝an－1＋an＋1(n∈N*，n≥2)，则{an}为等差数列；②若aeq\o\al(2,n)＝an－1·an＋1(n∈N*，n≥2)，则{an}为等比数列．【变式训练】已知数列{an}，其前n项和为Sn＝eq\f(3,2)n2＋eq\f(7,2)n(n∈N*)．(1)求a1，a2；(2)求数列{an}的通项公式，并证明数列{an}是等差数列；(3)如果数列{bn}满足an＝log2bn，试证明数列{bn}是等比数列，并求其前n项和Tn.(3)由已知得bn＝2an(n∈N*)，eq\f(bn＋1,bn)＝eq\f(2an＋1,2an)＝2an＋1－an＝23＝8(n∈N*)，又b1＝2a1＝32，所以数列{bn}是以32为首项，8为公比的等比数列．所以Tn＝eq\f(321－8n,1－8)＝eq\f(32,7)(8n－1)．考点三等差、等比数列的性质例3、(1)在等比数列{an}中，如果a1＋a2＝40，a3＋a4＝60，那么a7＋a8等于()A．135B．100C．95D．80(2)(2015·江西南昌调研)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知f(x)＝eq\f(2x－1,2x＋1)，且f(a2－2)＝sineq\f(2014π,3)，f(a2014－2)＝coseq\f(2015π,6)，则S2015＝________.(1)答案：A解析：利用等比等比数列{an}的性质有S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6成等比数列，所以S2＝40，S4－S2＝a3＋a4＝60，则S6－S4＝90，S8－S6＝135，故a7＋a8＝S8－S6＝135.故选A.(2)答案：4030【变式训练】等差数列{an}中，3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝24，则该数列前13项的和是()A．13 B．26C．52 D．156答案：B解析：因为3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝24，所以6a4＋6a10＝24，所以a4＋a10＝4，所以S13＝eq\f(13a1＋a13,2)＝eq\f(13a4＋a10,2)＝eq\f(13×4,2)＝26.【经典考题精析】1.【2015高考重庆，理2】在等差数列中，若=4，=2，则=（）A、-1B、0C、1D、6【答案】B【解析】由等差数列的性质得，选B.2.【2015高考福建，理8】若是函数的两个不同的零点，且这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则的值等于（）A．6B．7C．8D．9【答案】D3.【2015高考北京，理6】设是等差数列.下列结论中正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】C【解析】先分析四个答案支，A举一反例，而，A错误，B举同样反例，，而，B错误，下面针对C进行研究，是等差数列，若，则设公差为，则，数列各项均为正，由于，则，选C.【2015高考新课标2，理16】设是数列的前n项和，且，，则________．【答案】【2015高考广东，理10】在等差数列中，若，则=.【答案】10．【解析】因为是等差数列，所以，即，所以，故应填入．【2015高考陕西，理13】中位数1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为．【答案】5【解析】设数列的首项为，则，所以，故该数列的首项为，所以答案应填：5．【2015高考浙江，理3】已知是等差数列，公差不为零，前项和是，若，，成等比数列，则（）B.C.D.【答案】B.【解析】∵等差数列，，，成等比数列，∴，∴，∴，，故选B.【2015高考安徽，理14】已知数列是递增的等比数列，，则数列的前项和等于.【答案】【解析】由题意，，解得或者，而数列是递增的等比数列，所以，即，所以，因而数列的前项和.1.【2014高考北京版理第5题】设是公比为的等比数列，则“”是“为递增数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】D【考点定位】等比数列的性质，充分条件与必要条件的判定2.【2014高考福建卷第3题】等差数列的前项和，若，则()【答案】C【解析】假设公差为,依题意可得.所以.故选C.【考点定位】等差数列的性质.3.【2014高考江苏卷第7题】在各项均为正数的等比数列中，若，，则的值是.【答案】4【解析】设公比为，因为，则由得，，解得，所以．【考点定位】等比数列的通项公式．4.【2014辽宁高考理第8题】设等差数列的公差为d，若数列为递减数列，则（）A．B．C．D．【答案】C【考点定位】等差数列的概念、递减数列.5.【2014重庆高考理第2题】对任意等比数列,下列说法一定正确的是()成等比数列成等比数列成等比数列成等比数列【答案】D【解析】因为数列为等比数列，设其公比为，则所以，一定成等比数列，故选D.【考点定位】等比数列的概念与通项公式、等比中项.6.【2014天津高考理第11题】设是首项为，公差为的等差数列，为其前项和．若成等比数列，则的值为__________．【答案】．【解析】依题意得，∴，解得．【考点定位】等差数列、等比数列的通项公式、等比数列的前项和公式．7.【2014大纲高考理第10题】等比数列中，，则数列的前8项和等于（）A．6B．5C．4D．3【答案】C．【考点定位】等差数列、等比数列的通项公式、等差数列的前项和公式．8.【2014高考广东卷理第13题】若等比数列的各项均为正数，且，则.【答案】50【解析】由题意知，所以，因此，因此.【考点定位】等比数列的基本性质与对数的基本运算9.【2014高考安徽卷理第12题】数列是等差数列，若构成公比为的等比数列，则________.【答案】1【解析】∵成等比，∴，令，则，即，∴，即，∴.【考点定