2022-2023学年北京市北方交大附中数学高三上期末质量检测试题含解析

2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．某工厂只生产口罩、抽纸和棉签，如图是该工厂年至年各产量的百分比堆积图（例如：年该工厂口罩、抽纸、棉签产量分别占、、），根据该图，以下结论一定正确的是（）A．年该工厂的棉签产量最少B．这三年中每年抽纸的产量相差不明显C．三年累计下来产量最多的是口罩D．口罩的产量逐年增加2．已知集合A＝{x∈N|x2＜8x}，B＝{2，3，6}，C＝{2，3，7}，则＝（）A．{2，3，4，5} B．{2，3，4，5，6}C．{1，2，3，4，5，6} D．{1，3，4，5，6，7}3．已知非零向量，满足，，则与的夹角为（）A． B． C． D．4．已知平面向量，满足，，且，则（）A．3 B． C． D．55．已知集合，，则（）A． B．C．或 D．6．直线与抛物线C：交于A，B两点，直线，且l与C相切，切点为P，记的面积为S，则的最小值为A． B． C． D．7．定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），当x∈[﹣3，﹣2]时，f（x）＝﹣x﹣2，则（）A． B．f（sin3）＜f（cos3）C． D．f（2020）＞f（2019）8．已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为点，延长交椭圆于点，若为等腰三角形，则椭圆的离心率A． B．C． D．9．复数的虚部为（）A．—1 B．—3 C．1 D．210．将函数的图象先向右平移个单位长度，在把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（）A． B．C． D．11．设双曲线的左右焦点分别为，点.已知动点在双曲线的右支上，且点不共线.若的周长的最小值为，则双曲线的离心率的取值范围是（）A． B． C． D．12．已知，，，则，，的大小关系为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知实数，满足约束条件则的最大值为________．14．在△ABC中，()⊥(＞1)，若角A的最大值为，则实数的值是_______．15．从4名男生和3名女生中选出4名去参加一项活动，要求男生中的甲和乙不能同时参加，女生中的丙和丁至少有一名参加，则不同的选法种数为______.（用数字作答）16．的展开式中的系数为____.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数．（1）当时，求曲线在点的切线方程；（2）讨论函数的单调性．18．（12分）在四棱锥中，底面为直角梯形，，面.（1）在线段上是否存在点，使面，说明理由；（2）求二面角的余弦值.19．（12分）已知函数．（1）若关于的不等式的整数解有且仅有一个值，当时，求不等式的解集；（2）已知，若，使得成立，求实数的取值范围．20．（12分）某芯片公司对今年新开发的一批5G手机芯片进行测评，该公司随机调查了100颗芯片，并将所得统计数据分为五个小组（所调查的芯片得分均在内），得到如图所示的频率分布直方图，其中．（1）求这100颗芯片评测分数的平均数（同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替）．（2）芯片公司另选100颗芯片交付给某手机公司进行测试，该手机公司将每颗芯片分别装在3个工程手机中进行初测。若3个工程手机的评分都达到11万分，则认定该芯片合格；若3个工程手机中只要有2个评分没达到11万分，则认定该芯片不合格；若3个工程手机中仅1个评分没有达到11万分，则将该芯片再分别置于另外2个工程手机中进行二测，二测时，2个工程手机的评分都达到11万分，则认定该芯片合格；2个工程手机中只要有1个评分没达到11万分，手机公司将认定该芯片不合格．已知每颗芯片在各次置于工程手机中的得分相互独立，并且芯片公司对芯片的评分方法及标准与手机公司对芯片的评分方法及标准都一致（以频率作为概率）．每颗芯片置于一个工程手机中的测试费用均为300元，每颗芯片若被认定为合格或不合格，将不再进行后续测试，现手机公司测试部门预算的测试经费为10万元，试问预算经费是否足够测试完这100颗芯片？请说明理由．21．（12分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2）若射线与和分别交于点，求．22．（10分）（江苏省徐州市高三第一次质量检测数学试题）在平面直角坐标系中，已知平行于轴的动直线交抛物线：于点，点为的焦点.圆心不在轴上的圆与直线，，轴都相切，设的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）若直线与曲线相切于点，过且垂直于的直线为，直线，分别与轴相交于点，.当线段的长度最小时，求的值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

根据该厂每年产量未知可判断A、B、D选项的正误，根据每年口罩在该厂的产量中所占的比重最大可判断C选项的正误.综合可得出结论.【详解】由于该工厂年至年的产量未知，所以，从年至年棉签产量、抽纸产量以及口罩产量的变化无法比较，故A、B、D选项错误；由堆积图可知，从年至年，该工厂生产的口罩占该工厂的总产量的比重是最大的，则三年累计下来产量最多的是口罩，C选项正确.故选：C.【点睛】本题考查堆积图的应用，考查数据处理能力，属于基础题.2、C【解析】

根据集合的并集、补集的概念，可得结果.【详解】集合A＝{x∈N|x2＜8x}＝{x∈N|0＜x＜8}，所以集合A＝{1，2，3，4，5，6，7}B＝{2，3，6}，C＝{2，3，7}，故＝{1，4，5，6}，所以＝{1，2，3，4，5，6}.故选：C.【点睛】本题考查的是集合并集，补集的概念，属基础题.3、B【解析】

由平面向量垂直的数量积关系化简，即可由平面向量数量积定义求得与的夹角.【详解】根据平面向量数量积的垂直关系可得，，所以，即，由平面向量数量积定义可得，所以，而，即与的夹角为.故选：B【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算，平面向量夹角的求法，属于基础题.4、B【解析】

先求出，再利用求出，再求.【详解】解：由，所以，，，故选：B【点睛】考查向量的数量积及向量模的运算，是基础题.5、D【解析】

首先求出集合，再根据补集的定义计算可得；【详解】解：∵，解得∴，∴.故选：D【点睛】本题考查补集的概念及运算，一元二次不等式的解法，属于基础题.6、D【解析】

设出坐标，联立直线方程与抛物线方程，利用弦长公式求得，再由点到直线的距离公式求得到的距离，得到的面积为，作差后利用导数求最值．【详解】设，，联立，得则，则由，得设，则，则点到直线的距离从而．令当时，；当时，故，即的最小值为本题正确选项：【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系的应用，考查利用导数求最值的问题．解决圆锥曲线中的面积类最值问题，通常采用构造函数关系的方式，然后结合导数或者利用函数值域的方法来求解最值.7、B【解析】

根据函数的周期性以及x∈[﹣3，﹣2]的解析式，可作出函数f（x）在定义域上的图象，由此结合选项判断即可.【详解】由f（x+2）＝f（x），得f（x）是周期函数且周期为2，先作出f（x）在x∈[﹣3，﹣2]时的图象，然后根据周期为2依次平移，并结合f（x）是偶函数作出f（x）在R上的图象如下，选项A，，所以，选项A错误；选项B，因为，所以，所以f（sin3）＜f（﹣cos3），即f（sin3）＜f（cos3），选项B正确；选项C，，所以，即，选项C错误；选项D，，选项D错误.故选：B.【点睛】本题考查函数性质的综合运用，考查函数值的大小比较，考查数形结合思想，属于中档题.8、B【解析】

设，则，，因为，所以．若，则，所以，所以，不符合题意，所以，则，所以，所以，，设，则，在中，易得，所以，解得（负值舍去），所以椭圆的离心率．故选B．9、B【解析】

对复数进行化简计算，得到答案.【详解】所以的虚部为故选B项.【点睛】本题考查复数的计算，虚部的概念，属于简单题.10、A【解析】

根据y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，根据定义域求出的范围，再利用余弦函数的图象和性质，求得ω的取值范围．【详解】函数的图象先向右平移个单位长度，可得的图象，再将图象上每个点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，得到函数的图象，∴周期，若函数在上没有零点，∴，∴，，解得，又，解得，当k=0时，解，当k=-1时，，可得，.故答案为：A.【点睛】本题考查函数y=Acos（ωx+φ）的图象变换及零点问题，此类问题通常采用数形结合思想，构建不等关系式，求解可得，属于较难题.11、A【解析】

依题意可得即可得到，从而求出双曲线的离心率的取值范围；【详解】解：依题意可得如下图象，所以则所以所以所以，即故选：A【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，属于中档题.12、D【解析】

构造函数，利用导数求得的单调区间，由此判断出的大小关系.【详解】依题意，得，，.令，所以.所以函数在上单调递增，在上单调递减.所以，且，即，所以.故选：D.【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查化归与转化的数学思想方法，考查对数式比较大小，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、1【解析】

作出约束条件表示的可行域，转化目标函数为，当目标函数经过点时，直线的截距最大，取得最大值，即得解.【详解】作出约束条件表示的可行域是以为顶点的三角形及其内部，转化目标函数为当目标函数经过点时，直线的截距最大此时取得最大值1．故答案为：1【点睛】本题考查了线性规划问题，考查了学生转化划归，数形结合，数学运算能力，属于基础题.14、1【解析】

把向量进行转化，用表示，利用基本不等式可求实数的值.【详解】，解得＝1．故答案为：1.【点睛】本题主要考查平面向量的数量积应用，综合了基本不等式，侧重考查数学运算的核心素养.15、1【解析】

由排列组合及分类讨论思想分别讨论：①设甲参加，乙不参加，②设乙参加，甲不参加，③设甲，乙都不参加，可得不同的选法种数为9+9+5＝1，得解．【详解】①设甲参加，乙不参加，由女生中的丙和丁至少有一名参加，可得不同的选法种数为9，②设乙参加，甲不参加，由女生中的丙和丁至少有一名参加，可得不同的选法种数为9，③设甲，乙都不参加，由女生中的丙和丁至少有一名参加，可得不同的选法种数为5，综合①②③得：不同的选法种数为9+9+5＝1，故答案为：1．【点睛】本题考查了排列组合及分类讨论思想，准确分类及计算是关键，属中档题．16、28【解析】

将已知式转化为，则的展开式中的系数中的系数，根据二项式展开式可求得其值.【详解】，所以的展开式中的系数就是中的系数，而中的系数为，展开式中的系数为故答案为：28.【点睛】本题考查二项式展开式中的某特定项的系数，关键在于将原表达式化简将三项的幂的形式转化为可求的二项式的形式，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）当时,在上单调递增,在上单调递减；当时,在和上单调递增,在上单调递减；当时,在上单调递增；当时,在和上单调递增,在上单调递减.【解析】

(1)根据导数的几何意义求解即可.(2)易得函数定义域是,且.故分,和与四种情况,分别分析得极值点的关系进而求得原函数的单调性即可.【详解】（1）当时,,则切线的斜率为.又,则曲线在点的切线方程是,即.（2）的定义域是..①当时,,所以当时,；当时,,所以在上单调递增,在上单调递减；②当时,,所以当和时,；当时,,所以在和上单调递增,在上单调递减；③当时,,所以在上恒成立.所以在上单调递增；④当时,,所以和时,；时,.所以在和上单调递增,在上单调递减.综上所述,当时,在上单调递增,在上单调递减；当时,在和上单调递增,在上单调递减；当时,在上单调递增；当时,在和上单调递增,在上单调递减.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义以及含参数的函数单调性讨论,需要根据题意求函数的极值点,再根据极值点的大小关系分类讨论即可.属于常考题.18、（1）存在；详见解析（2）【解析】

（1）利用面面平行的性质定理可得，为上靠近点的三等分点，中点，证明平面平面即得；（2）过作交于，可得两两垂直，以分别为轴建立空间直角坐标系，求出长，写出各点坐标，用向量法求二面角．【详解】解：（1）当为上靠近点的三等分点时，满足面.证明如下，取中点，连结.即易得所以面面，即面．（2）过作交于面，两两垂直，以分别为轴建立空间直角坐标系，如图，设面法向量，则，即取同理可得面的法向量综上可知锐二面角的余弦值为．【点睛】本题考查立体几何中的存探索性命题，考查用空间向量法求二面角．线面平行问题可通过面面平行解决，一定要掌握：立体几何中线线平行、线面平行、面面平行是相互转化、相互依存的．求空间角一般是建立空间直角坐标系，用空间向量法求空间角．19、（1）（2）【解析】

（1）求解不等式，结合整数解有且仅有一个值，可得，分类讨论，求解不等式，即得解；（2）转化，使得成立为，利用不等式性质，求解二次函数最小值，代入解不等式即可.【详解】（1）不等式，即，所以，由，解得．因为，所以，当时，，不等式等价于或或即或或，故，故不等式的解集为．（2）因为，由，可得，又由，使得成立，则，解得或．故实数的取值范围为．【点睛】本题考查了绝对值不等式的求解和恒成立问题，考查了学生转化划归，分类讨论，数学运算的能力，属于中档题.20、（1）（2）预算经费不够测试完这100颗芯片，理由见解析【解析】

（1）先求出，再利用频率分布直方图的平均数公式求这100颗芯片评测分数的平均数；（2）先求出每颗芯片的测试费用的数学期望，再比较得解.【详解】（1）依题意，，故．又因为．所以，所求平均数为（万分）（2）由题意可知，手机公司抽取