重庆市拔尖强基联盟2023-2024学年高二年级下册三月联合考试数学试题（含答案解析）

重庆市拔尖强基联盟2023-2024学年高二下学期三月联合考

试数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.下列函数求导正确的是()

A.(cosx)'=sinxB.(ln2)=-C.(/)=x3D.(2，)=2vIn2

【答案】D

【分析】

根据基本初等函数的导数公式判断即可.

【详解】对于A：(cosx)'=-sinx,故A错误；

对于B：(ln2)'=0，故B错误；

对于C：.)'=4/，故C错误；

对于D：(2)'=2/2，故D正确.

故选：D

2.设函数/(x)在R上可导，其导函数/'(x)的图像如图所示，则()

A.函数/■(%)有极大值/(I)B.函数/(尤)有极大值;'(2)

C.函数f(x)的单调递增区间为［0『D.函数/(X)的单调递增区间为［0,2］

【答案】B

【分析】

根据题意，由导函数的图像，即可判断.

【详解】由/'(x)图像可知，时，f^x)>0,则〃x)单调递增，故CD错误;

xe(2,+s)时，r(x)<0,则/(x)单调递减，

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所以x=2时，/(x)有极大值，故B正确，A错误；

故选：B

22

3.已知。©{3,6,7}力€{2,4,5},则方程=+〈=1可表示焦点在芯轴上的不同椭圆的个数

ab

为()

A.9B.8C.7D.6

【答案】C

【分析】

利用椭圆的定义与性质判定即可.

【详解】由题意可知。>方，则有如下，

a=3,6=2;

〃=6,6=2,4,5;

a=7,b=2,4,5,

共7种情况.

故选：C

4.在等差数列{g}中，%+%=12,则邑-邑的值是()

A.12B.18C.24D.30

【答案】D

【分析】

利用等差数列的性质与求和公式计算即可.

【详解】由题意可知：4-邑=%+%+%+4+%=5%=5x%；%=30.

故选:D

5.已知((x)是函数〃x)(xeR)的导数，且VxeR,/'(x)>2x,/⑵=5,则不等

式〃制八2+1的解集为()

A.(-8,2)B.(2,+00)C.(-叫后)D.(亚,+8)

【答案】B

【分析】

令g(x)=/(x)f2,利用导数说明函数的单调性，再由g⑵=1,不等式/(无)>x?+l即

g(x)>g⑵，结合单调性解得即可.

【详解】令g(x)=/(x)f2,则g，(x)=r(x)-2x>0,

试卷第2页，共16页

所以g(x)在R上单调递增，又42)=5,所以g⑵=〃2)-22=1,

不等式/(力>》2+1,Bp/(x)-x2>l,即g(x)>g(2),所以尤>2,

即不等式/3>/+1的解集为(2,+8).

故选：B

6.已知正项数列｛凡｝满足logs。"”-log?4=1("©N*),且4+%+%=9,则J

logs(%+为+6)的值是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【分析】

根据对数的运算得到logs子=1,从而得到智=3,则｛七｝是公比4=3的等比数列，

即可求出。2+。4+。6,从而得解.

【详解】因为正项数列｛%｝满足log3%+]Tog3%=l(〃eN*),

所以logs4包=1,则驮=3,所以｛%｝是公比q=3的等比数列，

anan

p工工二匚2%+%+%aq+aq+aq

又名+生+%=Q"所以---------=--2-----4-----6-=3所以出+/+4=3,

。2+4+。6%+&+。6

则log3(a2+a4+a6)=log33=1.

故选：A

7.如图，已知片，鸟是双曲线C:「—3=l(a>08>0)的左、右焦点，P、。为双曲

ab

线C上两点，满足磁=3麻，且叵P|=|丹。则双曲线C的离心率为()

【答案】A

【分析】

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根据双曲线的定义和性质分析可得进而可得/月尸。=/£尸舄=90°,结合勾股定

理运算求解.

延长”与双曲线交于点P,因为公尸〃居尸'，根据对称性可知巧尸回月P1，

设|4P|=|4P|=f,则叵尸|=闪°|=攵，可得|心尸|-|耳尸l=2"2a,即」=a,

所以|尸'0|=4/=4a,则|0N|=|Q£|+2a=5a,|么尸'|=|及P|=3a,

即|尸'。『+国尸『=1°闻2,可知/RPQ=ZF{PF2=90°,

在AP月月中,由勾股定理得|居PJ+1耳P『=|月/『,

即〃+（3«）2=公2,解得e=£=画.

v7a2

故选：A.

8.已知函数/（x）=e'-1"'若对任意两个不等的正实数4，*2都有“*）一/但）＞[

2再-x2

恒成立，则a的取值范围是（）

A.（一*1）B.C.（0,1）D.（0,1]

【答案】B

【分析】构造函数g（x）=/（x）-x,根据题设得到g（x）在（0,+向上单调递增，进而得

到e，-ax-120在（0,+“）上恒成立，再利用几何法或转化成求函数的最值来处理，即可

解决问题.

【详解】因为,（*）-"/）＞1,不妨设再＞9＞0,则有〃士）一/卜2）＞占一%,

西-x2

即/（再）-玉＞/（尤2）-%,令g（x）=/（x）-x,由函数单调性可知，g（x）在（0,+8）上单

调递增，

则g'（X）=/（X）-1=e;依-120在（0,+8）上恒成立.

法一：若e"-ax-120,则e*2ar+l，

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又过点（0,1）且与y=e1相切的切线方程为kX+1,

由函数图象可知，只需。VI即可.

法二：若e'-"一120,贝U（e*-办-l）mm»O（xe（O，+8））,

令〃（x）=e*_办-1,=QX-a,

若aW1,则〃'（x"0,〃（x）在（0,+e）上单调递增，〃（x）>〃（0）=0,符合题意，所以aV1；

若a>l,令〃（x）<0,贝（Jxe（O,lna）,所以〃（x）在（0,Ina）上单调递减，

所以当xe（O,lna）时，/z（x）<A（0）=0,不合题意，舍去，综上aWl.

法三：若e*-a尤-120,则^——->a（xe（0,+ao）j,----|6（0,+»））

XVXJmin

令5（%）=匚4X€（0,+动），则s，（x）=ex-（：=e（x1）+l,

xXX

令O=e"（x-1）+1,f（x）=ex（x-l）+e%=xex>0,

所以《X）在（0,+8）上单调递增，《》）>《0）=0,

则“x）〉0,所以s（x）在（0,+。）上单调递增，

由洛必达法则知lim^——-=lim—=1，所以a<1.

x—°Xxf0]

故选：B

二、多选题

9.下列计算正确的是（）

A.A：…（〃-加）B.A；=210

C.A：=〃A：[D.4x5x6x…x2024=A歌：

【答案】BC

【分析】

根据排列数公式计算可得.

【详解】对于A：A>M（M-l）（M-2）--（«-m）（M-m+l）,故A错误;

对于B：A；=7x6x5=210,故B正确；

对于C：因为A：=〃（〃_1）（〃_2）・一（"_〃。（〃_机+1）,

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所以故C正确；

对于D：H^J1X2X3X4X5X6X---X2024=A第，

所以4x5x6x…x2024=A案;，故D错误.

故选：BC

10.定义：设/'(x)是/(x)的导函数，广⑴是函数r(x)的导数，若方程尸(无)=0有

实数解%,则称点(x°J(x。))为函数y=f(x)的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函

数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数/(x)=x3+3?-8+6

图象的对称中心为(0,3),则下列说法中正确的有()

A.。=0,6=3B.函数/(无)的极大值与极小值之和为6

C.函数/(x)有三个零点D.函数/(x)在区间［-3,3］上的最小值为

1

【答案】AB

【分析】

根据函数对称中心的定义求出。，6的值，可判断A的真假；用导数分析函数的单调性,

求出极值，可判断B的真假；结合函数极值的符号，判断函数零点的个数，判断C的

真假；求函数在区间端点处的函数值，与极值点的函数值比较，得到函数的最小值，判

断D的真假.

【详解】由题意，点(0,3)在函数/(x)的图象上,故/(0)=306=3；

又f(x)=x3+ax2-3x+3=>/'(x)=3x2+lax-3=>/"(x)=6尤+2a.

由/(0)=0=2。=0,即。=0.故A正确；

所以〃X)=£—3X+3,所以/'@)=3尤2-3.

由/'(x)=3x2-3=3(x+l)(尤-1)>0=X<-1或x>l.

所以/'(x)在(-8,-1)和(1,+8)上单调递增，在上单调递减，

所以/'(x)的极大值为/'(-1)=-1+3+3=5；极小值为/(1)=1-3+3=1,

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所以极大值与极小值之和为：5+1=6,故B正确；

因为函数的极小值/⑴=1>0,所以三次函数只有一个零点，故C错误；

又止3）=-27+9+3=-15,/⑶=27-9+3=21,

所以函数/（x）在13,3］上的最小值为-15,故D错.

故选：AB

11.已知直线x=经过抛物线£■：/=2加（°>0）的焦点厂，与E交于4,5两

点，与£的准线/交于点C,则（）

A.p=2B.若@=3FB，贝1=J

3

C.若N（O,-1）,则啖的取值范围是［1,血）D.若|山|,|/C|,|q|成等差数列,

KUFC=SF

【答案】ACD

【分析】利用抛物线的性质可判定A、利用抛物线的定义结合线段关系、平行线分线段

成比例可判定B、利用两点距离公式结合二次函数的性质可判定C,利用等差数列的性

质结合线段关系可判定D.

【详解】对于A,因为直线》=用5-1）过点（0,1）,即尸（0,1）,所以°=2,A选项正确；

对于B,过/作441/于4,过8作独一/于耳，设48与交于E,忸刊=x,

则=朋=3x，幽=\BF\=x,\AB\=4x,

22

易知U一=kn.l=2x,|CSj=y］CB-BtB=^3x,

所以tanZ-ACAX=,

根据抛物线的对称性可知符合题意的直线有两条，则加=±@,故B选项错误；

3

对于C,若N（0「l）,设/（国,必），显然若％=1,此时/2//X,不符题意，故必R1,

Jx；+（必+1）2_〔4乂+（乂+1）2

则少」

AFAAXM+1Ji+1

令仁切+121且公2,贝!|0<141,

tt2

所以噂正予

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对于D,设/（再,必,

因为|E4|,|/C|,怛凶成等差数列，

所以2|/C|=\FB\+\FA\=\AB\,可得|^C|=||SC|,

又⑷卜|第，|他同网,

11o

所以=§忸蜀即[4k=]8竹，且|/用+|毋,

所以|/尸|=，|8C|,|8尸|=：|8C|,

62

三、填空题

12.一水平弹簧振子做简谐运动，其位移与时间的函数为s（/）=2sin（6m-。）0的单

位是cm）,贝！Jt=2s时，弹簧振子瞬时速度是cm/s.

【答案】6兀

【分析】

根据题意，求导可得s'。），代入计算，即可得到结果.

【详解】因为s«）=2sin[6m-,贝Us，⑺=1271cos（6加-；）,

将1=2代入，则/⑵=12TIXcos112兀-127txcos—=67t.

所以弹簧振子瞬时速度是6兀cm/s

故答案为：6兀

13.甲、乙、丙三位同学去电影院看电影，每人可在《第二十条》、《飞驰人生2》、《热

辣滚烫》、《周处除三害》四部电影中任选一部，则不同的选法有种；若至少有一

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人选择《第二十条》，则不同的选法有种.

【答案】6437

【分析】

空1：根据分步乘法即可得到答案；空2：计算出没有人选择《第二十条》的情况数，

再利用空1的总数减去即可.

【详解】空1：根据分步乘法得不同的选法有4、=64种，

空2：若没有人选择《第二十条》，则共有=27种，

则若至少有一人选择《第二十条》，则不同的选法有64-27=37种，

故答案为：64；37.

14.若实数4,4分别是方程M(xT)+x=3,xlnx=e2的根，贝1]西飞-尤2的值为.

【答案】e2

【分析】

2

依题意可得111(玉-1)+再=3,x2Inx2=e,且再>1,x2>1,即可得到

I1-1)2n

(%1-1)-e^=e=x2Inx2,从而同构成eEflne'"")=Z1%且%>1,x2>1,令

f(x)=xlnx,xe(1,+«)),利用导数说明函数的单调性，即可得到小川=x2,从而得

解.

【详解】又2分别是方程ln(xf+x=3,xlnx=e2的根，

2

111(西-1)+X[=3,x2Inx2=e,且无]>1,x2>1,

即皿再一1)+再一1=2,变形为ln(x—l)+lne5T)=2,

从而(XiT»eaT=e?=x2lnjc2,

同构得:e(』T)lne(*T=尤21nx2且再>],x2>1.

设/(x)=xlnx,xG(l,+oo),=1+lnx>0,

所以/(x)在(1，+8)上单调递增，

(V1-1)

又,:f(e)=/(x2),小f=心,从而工氏一%=%(占一1)=ZIn%=e?.

故答案为：e2

【点睛】关键点点睛：本题关键将式子变形为111(占-1)+111657)=2,从而同构得到

e(w)ine(M)=9In9且%>1,%>1，利用导数说明单调性推出e('T=x2.

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四、解答题

15.已知函数/(x)=l-ax-a)e、在(OJ(O))处的切线平行于直线2尤+y+3=0.

⑴求。的值；

⑵求〃x)的极值.

【答案】(1)。=1

(2)/(x)的极大值为-4，极小值为-e

e

【分析】(1)由导数的几何意义计算即可；

(2)利用导数研究函数的极值计算即可.

【详解】(1)由已矢口可得尸(x)=(2x-a)e£+(x2-ax-a/=(x2+2x—ax-2°)e",

而直线2x+y+3=0的斜率为左=一2,

所以「'⑼=-2。=-2na=1；

(2)由(1)得/(x)=(x?-x—1).e"==e*.(x?+x—2)=e".(x-1)(x+2),

当xe(-”,-2)时，*(x)>0,函数/(x)单调递增；

当xe(-2,1)时，广(“<0,函数/(x)单调递减；

当x«l,+8)时，*(x)>0,函数/⑺单调递增；

故极大值为〃-2)=与，极小值为/⑴=-e.

e

16.已知数列｛。“｝的前〃项乘积为(，即7；=4*a2*a3…xa"，若对"22,〃eN*,都

有TIZM=212成立，且q=2,%=4.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

(2)若数列｛"｝的前"项和为S,,且Zvlog27；=l,求使得S"<£成立的〃的最大值.

【答案】⑴%=2"

(2)7

【分析】

(1)由北.「7;用=27；2,可得%=2a“，又出=2%,可得数列｛%｝为等比数列，即可得

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解；

（2）借助等差数列求和公式可得「，即可得“，借助裂项相消法可得E,,解出不等式

即可得解.

【详解】（1）当"22时，由7；TZ+[=27；2可得变=2，，即有a“+|=2a“，

又％=2,%=4,故4=2%,

则｛%｝为公比为2、首项为2的等比数列，.•.%=2"；

M（M+1）

12n

（2）Tn=2-2---2=2="

用，…2=2R1

则1%北=

V几〃+1

所以S“=2（l-g+］；+…+

若<3，贝1〃<8,

又因为“eN*,所以〃的最大值为7.

17.已知椭圆C：，+（~=l（a>6>0）的离心率为e=乎，且过点

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设椭圆的左顶点为A,左焦点为歹，过点A的直线交椭圆于点尸（尸不与顶点重合）,

交y轴于点。，且满足|/尸|<|/。|,若兀加,=（%收，求直线/尸的方程.

【答案】（1）?+r=1

（2）3x-V6y+6=0或3x+屈y+6=0

【分析】

（1）由离心率得到/=独2,再由椭圆过点（百,g],代入方程求出〃，即可求出。，

从而求出椭圆方程；

（2）设直线4尸的方程为1=叩-2（冽，0）,。（马,力），0（0,打），则为=5，由面积

y24相

比得到立p=弓，联立直线与椭圆方程，求出力=1二，即可求出加，从而求出直线

方程.

【详解】（1）由题知e=£="即1=3,即之匚=2,所以/=4/,

a2a4a4

试卷第11页，共16页

*+匕2-1

则椭圆方程为46#bl，

31

又点在椭圆上,即m+h，解得一，

所以。=2,c=V3

则椭圆c的标准方程J+/=l；

(2)依题意直线4P的斜率存在且不为零,

设直线/P的方程为x=-2（%二0）,P（xp,yp'）,2（0,ye）,

*e-y=~

Qm

OA

2—S&OAPS40Ap^\\yp\2

因为Sw~SAOPQ9所以

Q&OPQS4040—SA0"5

词22

即I，则有又|必陷可得力＞与问号,

/一以坨7

丝=丝=2

所以

先为7

2

%21

彳+、=i得,4m

联立椭圆C和直线4尸的方程:2+4）y2=4my,则力

m~+4

x=my-2

4m

所以"=%尹=：即苏=],所以/=±如,

女2733

m

所以直线4P的方程为：3x-\[hy+6=03x++6=0.

18.已知函数/（x）=aln（尤+l）+（l-a）x.

⑴讨论〃x)的单调性；

⑵设户(x)=/(x)+cosx-l,求证：当0=1时，尸(X)在区间(-1㈤上有且仅有2个零

点.

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【答案】(1)答案见解析

(2)证明见解析

【分析】

(1)求出函数的定义域与导函数，再分°<0、0<«<1>”>1三种情况讨论，分别求出

函数的单调区间；

(2)利用导数说明函数的单调性，结合零点存在性定理说明函数的零点个数.

【详解】(1)函数/(x)=aln(x+l)+(l-a)x的定义域为(-1,+8),

1+(1—

又/。)=含+(1-。)=

X+1

当"0时，令〃(x)>0,解得xeK，+s］，所以“X)在(一上单调递增,

令/。)<0,解得所以在上单调递减，

\d—1)(u—V)

当OVaVI时，f^x}>0,所以/(x)在(-1,+8)上单调递增

当a>l时，令#(尤)>0,解得所以在上单调递增,

令/'(x)<0,解得xj—二,+♦，所以〃x)在(一上单调递减，

综上所述：当。<0时，/■(幻在］^什^)上单调递增，在上单调递减；

当OVaVI时，所以“X)在(T+动上单调递增；

1时，/(%)在(一1,~

当a>上单调递增，在上单调递减.

\a-1

(2)由题下(%)=/(x)+cosx-l=ln(x+l)+cosx-l,

贝［j尸'(x)=--sinx,

1

4*g(^)=Fr^x)=—sinx,贝lJg'W=_(-----T--COSX

x+1)

当X£(-l,0］时--->0,-sinx>0,

x+1

所以F(x)〉0,则/(%)在(-1,0］上单调递增,

又尸(0)=0,所以方卜)在(T0］上有一个零点，即为0,

当xe］。堵时cosx>0,所以g<x)<0,则尸'(x)在向上单调递减,

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又〃(0)=1>0,尸「尸“T<°,所以存在根€„使得尸(M=o,

则当工£(0,间,Fr(x)>0,尸(x)在(0,次)单调递增,

当加,，尸'(x)<。，/(X)在［加掾)上单调递减，

而下(%)>尸⑼=0,F［^］=ln［1+f］-1<0-

所以尸(x)在卜1弓］上必存在唯一零点，即尸(X)在(0,?上存在唯一零点，

当xe停,兀］时，g，(x)在g1上单调递增且g，0<O,g'⑺=1一日!了>°，

所以存在〃€。兀)，使得存(")=°，

当时，g'(x)<0,所以尸'(x)在［上单调递减，

当尤c(〃㈤时,g,(x)>0,所以尸(X)在(〃㈤上单调递增，

xr(«)<F'W<0,尸(兀)=々>0,所以存在兀)，使得厂'(。=0,

V27兀+1

则当xe1/时，尸'(x)<0,尸(x)在怎/上单调递减，

当％£(力兀)时,尸'(X)>0,尸(%)在&兀)上单调递增，

所以尸(/)<呜］<0,F(7t)=ln(7t+l)-2<0,所以尸(X)在(川上无零点，

综上，尸(X)在(T兀)上有且仅有2个零点.

【点睛】关键点点睛：第二问关键是利用导数说明函数的单调性，结合零点存在性定理

判断零点的个数.

19.对于整系数方程/(x)=0,当x的最高次塞大于等于3时，求解难度较大.我们常采

用试根的方法求解：若通过试根，找到方程的一个根毛，则1(x)=(xf)g(x),若

g(无)=0已经可以求解，则问题解决；否则，就对g(x)=0再一次试根，分解因式，以

此类推，直至问题解决.求根的过程中常用到有理根定理：如果整系数方程

a“x"+a“_X'T+…+呼+。0=0仅，产0)有有理根x=1,其中r、seZ,swO,(s/)=l,

那么“佝，s|。”.符号说明：对于整数加，"，(加,〃)表示相，”的最大公约数；加表

示”是加的倍数，即加整除".

(1)过点尸(3,-1)作曲线>-x的切线，借助有理根定理求切点横坐标；

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(2)试证明有理根定理；

⑶若整数。，。不是3的倍数，且存在有理数x,使得2X3+//+2〃X+1=0,求a,b.

【答案】(1)%=：或%=2+n或%=2-痛

(2)证明见解析

[a=1f(7=—1[a=-1[a=\

⑶L1JIAi,IA1J)z.1•

\b=\b=l\b=-\\b=-l

【分析】(1)由过点求切线的方法得出关于毛的方程，再试出一个方程的根，求出