2023-2024学年安徽省蚌埠市皖北私立联考（致远、禹泽、汉兴）高二（下）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年安徽省蚌埠市皖北私立联考(致远、禹泽、汉兴)高

二(下)期中数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知函数f(x)的图象与直线4久一y-4=0相切于点(2,”2)),则f(2)+，(2)=()

A.4B.8C.0D.-8

2.下列求导运算结果正确的是()

11

A.(7=I+MB.(xlnx)'=Inx+1

Dg,=甘

C.(sizur)'=cosn

3.已知随机变量X的分布列为P(X=i)==1,2,3,4,5),贝叶(2WX<5)=()

1139

ARB-2C-5D-W

25

4.已知(1+x)(l—2x)4=劭+arx+a2xd---Fa5x,则内的值为()

A.-9B.-7C.9D.7

5.已知/(%)二2/-6x2+a(a为常数)在［-2,2］上有最大值3,则此函数/(%)在［一2,2］上的最小值是()

A.-37B.-29C.-5D.-8

6.用5种不同颜色的粉笔写黑板报，板报设计如图所示，要求相邻区域不

能用同一种颜色的粉笔，则该板报共有多少种不同的书写方案？()

A.240

B.480

C.120

D.200

7.已知函数/(%)为定义在R上的偶函数，当%>0时，%((%)+2/(%)>0,则下列四个判断正确的为()

A./(-2)<4/(1)B./(-2)>4/(1)C"(—2)<喈D./(-2)>空

8.重庆，我国四大直辖市之一，这里资源丰富，旅游景点也多，不仅有山水自然风光，还有人文历史景观.

现有甲、乙两位游客慕名来到重庆旅游，分别准备从巫山小三峡、南川金佛山、大足石刻和酉阳桃花源4

个国家52级旅游景区中随机选择其中一个景区游玩.记事件M：甲和乙至少一人选择酉阳桃花源景区，事件

N；甲和乙选择的景区不同，则概率P(N|M)=()

二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.关于（久+$5的展开式，下列结论正确的是（）

A.奇数项的二项式系数和为32B.所有项的系数和为243

C.只有第3项的二项式系数最大D.含x项的系数为40

10.有一组样本数据0,1,2,3,4,添加一个数X形成一组新的数据，且P（x=k）=砥（卜e

{0,123,4,5}）,则新的样本数据（）

A.众数是1的概率是最B.极差不变的概率是fl

C.第25百分位数不变的概率是噂D.平均值变大的概率是：

16

11.已知函数/(%)=—/一2%—1,则()

A./（%）的极小值点为一1

1

B"（x）的极大值为-十

C.曲线y=f（x）在（-8,伉2）单调递减

D.曲线y=/（%）在点（0,/（0））处的切线方程为x+y+l=0

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.设曲线/Q）=ax3+x在（1,/（1））处的切线与直线2x-y-6=0平行，则实数a的值为.

13.有5位大学生要分配到4B,C三个单位实习，每位学生只能到一个单位实习，每个单位至少要接收一

位学生实习，已知这5位学生中的甲同学分配在4单位实习，则这5位学生实习的不同分配方案有种

.（用数字作答）

第

一

0丁

14.“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早在1261年中国南

第

1Z一

T丁

第

2/一

宋数学家杨辉所著的群解九章算法》一书中出现，欧洲数学家帕斯卡在I丁

第

3Z一

1>r

第

Z一

1654年才发现这一规律，比杨辉要晚近四百年.如图所示的杨辉三角中，4TT

第Z-

5T丁

从第2行开始，每一行除1外，其他每一个数字都是其上一行的左右两个数

字之和，若在杨辉三角中存在某一行，满足该行中有三个相邻的数字之比

为3：5：5,则这一行是第一行.

四、解答题：本题共5小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.（本小题15分）

从7名男生和5名女生中选出4人去参加一项比赛.

(1)若男生甲和女生乙必须参加，则有多少种选法？

(2)若4人中必须既有男生又有女生，则有多少种选法？

(3)若女生至少要有2人参加，则有多少种选法？

16.(本小题15分)

已知函数/(X)=Inx+ax+1.

(1)当a=-l时，求/'(x)的极值;

(2)讨论函数“X)的单调性.

17.(本小题15分)

某地要从2名男运动员、4名女运动员中随机选派3人外出比赛.

(1)若选派的3人中恰有1名男运动员和2名女运动员，则共有多少种选派方法？

(2)设选派的3人中男运动员与女运动员的人数之差为X,求X的分布列.

18.(本小题17分)

在(口-福¥的展开式中：

(1)求二项式系数最大的项；

(2)若第k项是有理项，求k的取值集合.

(3)系数的绝对值最大的项是第几项.

19.(本小题18分)

已知函数/'(x)=ax2—2Inx.

(1)当a=1时，求y=/(久)在点(l,f(l))处的切线方程；

(2)若对Vxe[1,3],都有恒成立，求a的取值范围；

(3)已知。>0,若三%1，%2且满足0<V使得f(%1)=求证：，方(久1+%2)2-2(%1+%2)>

0.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：直线4x—y—4=0的斜率为4,直线与函数/(%)的图象相切于点(2)(2)),

根据导数的几何意义即为切线的斜率，所以r(2)=4,

又点(2"(2))在函数的图象上，同时也在切线上，所以4义2-/(2)-4=0,

所以/(2)=4.则”2)+((2)=8.

故选：B.

根据导数的几何意义直接求解出，(2)的值，再根据点在直线上求解出f(2)的值，即可计算出结果.

本题主要考查利用导数研究切线方程，属于中档题.

2.【答案】B

【解析】解：对于4：(久+如=1一妥，故A错误；

对于8：(xlnxy=xrlnx+(仇%)'%=Inx+--x=Inx+1,故B正确;

对于C：(simiy=0,故C错误；

对于。：(史)，=竺守=若史=竺早1,故。错误.

y%zxzxz

故选：B.

根据导数的运算法则及基本初等函数的导数公式计算可得.

本题主要考查了函数的求导公式及求导法则的应用，属于基础题.

3.【答案】C

【解析】解：根据题意，随机变量X的分布列为P(X=i)=[(i=l,2,3,4,5),

则P(X=1)P(X=2)=1,P(X=3)=I，P(X=4)=；,P(X=5)=I，

又由尸(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=3+5+1+(+”券=1,则a=15,

故P(2WX<5)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=：+K+2=W=|.

故选：C.

根据题意，由分布列的性质求出a的值，又由P(2WX<5)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4),计算可得

答案.

本题考查随机变量的分布列，涉及概率的计算，属于基础题.

4.【答案】B

【解析】解：根据(1-2x)4的展开式图+1=以.(一2)『,xr(r=0,123,4),

当与1配对时，r=l,x的系数为盘•(-2)=-8,

当与x配对时，r=0,支系数为Cf=1,

故x的系数为-8+1=-7.

故选:B.

直接利用二项式的展开式以及组合数的应用求出结果.

本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于基础题.

5.【答案】A

【解析】解：函数的导数为f'(x)=6x2-12x=6x(%-2),

由/''(Y)>。得x>2或％<0,此时函数递增，

由/''(>:)<0得0<久<2,此时函数递减，

1•,xE［-2,2］,

二函数在［-2,0］上递增,则［0,2］上递减，

则函数的最大值为f(0)=a=3,

贝!|/(尤)=2x3—6x2+3,

•."(2)=2x23-6X22+3=-5,

/(-2)=2x(一-6x(—2尸+3=-37,

・••当x=-2时，函数取得最小值为-37,

故选：A.

求函数的导数，利用导数结合函数的最大值求出a,即可求出函数的最小值.

本题主要考查函数最值的求解，求函数的导数，利用导数研究函数在闭区间上的最值是解决本题的关键.

6.【答案】A

【解析】解：根据题意，“英语角”、“语文学苑”和“理综世界”两两相邻，有废=5x4x3=60种

方案，

而“数学天地”只和“理综世界”相邻，只要和“理综世界”的颜色不同即可，故有4种方案，

总共有60X4=240种方法.

故选：A.

利用分步乘法计数原理与排列的知识即可得解.

本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分步乘法计数原理，属中档题.

7.【答案】D

【解析】解:令g(久)=x2f(x),则g'。)=2xf(x)+x2f'(x)=x(2f(x)+xf'(x')')>0在(0,+o0)恒成立,

所以9(比)=//(*)在(0,+8)单调递增，

所以g(l)<g(2),即/⑴<4/(2),

又因为函数f(x)为定义在R上的偶函数，

所以/(I)<4/(-2),即/(—2)>零.

故选：D.

由无((尤)+2/(x)>0(x>0)结构特征可知W'(x)+2/(x)是函数g(x)=//(x)的导数简单变形得到的，故

构造函数并得到函数g(x)=久)的单调性，再结合函数奇偶性即可判断选项中各函数值大小.

本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题.

8.【答案】D

【解析】解：甲和乙至少一人选择酉阳桃花源景区对应的基本事件有4x4-3x3=7个，

甲和乙至少一人选择酉阳桃花源景区的条件下，甲和乙选择的景点不同对应的基本事件有7-1=6个，

P(N|M)=

故选：D.

分别求出事件M,事件N对应基本事件的个数，再结合条件概率公式即可解得.

本题考查条件概率的应用，属于基础题.

9.【答案】BD

【解析】解：(*+|)5的展开式的所有二项式系数和为25=32,奇数项的二项式系数和为16,故A错误；

取久=1,可得所有项的系数和为35=243,故8正确；

(x+$5的展开式有6项，第3项与第4项的二项式系数相等且最大，故C错误；

展开式的通项为=C^-r(^)r=2rC^x5-2r,

由5-2r=1,得r=2,

.•.含x项的系数为22•匠=40,故。正确.

故选：BD.

由二项展开式的二项式系数的性质判断4C；取久=1求得所有项的系数和判断B；写出展开式的通项，由x

的指数为1求得r值，可得含x项的系数判断以

本题考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题.

10.【答案】ABD

【解析】解：由题意得P(X=k)=*，ke{0,1,2,3,4,5}；

对于力，众数是1的概率是P(X=1)=吗=卷，选项A正确；

对于8,若极差不变，则X=0,1,2,3,4,概率为1—P(X=5)=1—W=|f，选项2正确；

对于C,由于5X25%=1.25,6X25%=1.5,所以原数据和新数据的第25百分位数均为第二个数，

所以X=L2,3,4,5,第25百分位数不变的概率是1-P(X=0)=l-*=||,选项C错误；

对于D,原样本平均值为1x(0+1+2+3+4)=2,平均值变大，

则X=3,4,5,概率为，+翥+翥=口+,+'=\,选项£)正确.

故选：ABD.

根据题意得到X取各个值的概率，结合极差、百分位数、平均数的概念与计算公式逐一判断即可.

本题考查了离散型随机变量的期望和方差，概率的求法，也考查了推理与运算能力，是中档题.

11.【答案】BD

【解析】解：因为f(x)=xex-X2-2X-1,所以/(久)=(x+l)ex-2x-2=(x+l)(ex-2),

由f'(x)=0>得到％=-1或％=ln2,

当x<—1或x>Zn2时,f'(x)>0,当一1<x<Zn2时,f'(x)<0,

所以极大值点为比=—1,极大值为/(-1)=—eT,极小值点为％=伉2,A错误，2正确；

又y=/(*)的增区间为(一8,-1),(伍2,+8),减区间为(一1,仇2),C错误;

对于选项D,因为/'(0)=-1,/(0)=-1,

所以曲线y=f(>)在点(0,f(0))处的切线方程为y+l=-x,即x+y+l=0,。正确.

故选：BD.

根据条件，直接求出y=/(x)的极值点、极大值及单调区间，即可判断出选项ABC的正误，再利用导数的

几何意义，求出切线方程，即可判断出选项。的正误.

本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，属于中档题.

12.【答案】1

【解析】【分析】

本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查两直线平行的条件：斜率相等，考查运算能力，属于基础题.

求得/(©的导数，可得切线的斜率，运用两直线平行的条件：斜率相等，解方程可得a的值.

【解答】

解：/(x)=ax3+%的导数为尸(%)=3ax2+1,

可得/(%)=ax3+久在(1/(1))处的切线斜率为1+3a,

切线与直线2%—y—6=0平行，可得1+3a=2,

解得a=I.

故答案为：

13.【答案】50

【解析】解：根据特殊元素“甲同学”分类讨论，

当4单位只有甲时，其余四人分配到8,C,不同分配方案有心/&+盘废=14种；

当A单位不只有甲时，其余四人分配到4、B、C,不同分配方案有珞学“=36种；

合计有50种不同分配方案.

故答案为：50.

根据特殊元素进行分类计数，具体分类下是不相同元素分配问题，先分堆再配送，注意平均分堆的要除以

顺序.

本题考查排列组合的应用，属于基础题.

14.【答案】7

【解析】解：由题意得这一行为第2n+1(九6N*)行，且这三个数分别为明泰，C%+i，巡之，

由题章可得总造——(2"+。.加5+1)!_n_3

出整息可向c%+i-(n-l)!@+2)!(2n+l)I~n+2~5,

解得n=3,

••.这一行是2x3+1=7行.

故答案为：7.

设这一行为第2n+l(neN*)行，且这三个数分别为C%>C%+i，。温，利用组合数公式可得出关于九

的等式，解出n,能求出结果.

本题考查杨辉三角、组合数公式、简单的归纳推理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

15.【答案】解：(1)如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，

则在剩下的10人中任选2人，有C/o=等=45种选法；

(2)如果4人中必须既有男生又有女生，先从所有9人中选4人，去掉只有男生和只有女生的情况，

故有(:务-第一箱=455种选法.

(3)若女生至少要有2人参加，

则分成女生有2人男生2人，女生有3人男生1人，女生有4人.

女生有2人男生2人，有废废=210种选法；

女生有3人男生1人，有底6=70种选法；

女生有4人，有废=5种选法；

则共有210+70+5=285种选法.

【解析】(1)在剩下的10人中任选2人即可；

(2)从所有12人中选4人，去掉只有男生和只有女生的情况.

(3)分成女生有2人男生2人，女生有3人男生1人，女生有4人.

本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分类加法和分步乘法计数原理，属中档题.

16.【答案】解：(1)函数/'(久)的定义域为(0,+8),当a=-l时，f(%)=Inx-x+1,

所以r。)=(一1=V，令/'(X)=0，解得x=l,

令尸(x)>0,解得：0<x<1,即/(x)的单调增区间为(0,1),

令尸Q)<0,解得：x>l,即f(x)的单调减区间为〉,+8),

所以当x=l时，f(x)取得极大值，极大值为〃1)=0,

故当。=-1时，/(x)的极大值为0,无极小值；

(2)函数/(久)的定义域为(0,+8),广(久)=；+a=胃，

①当a20时，/'(%)>0在(0,+8)上恒成立，即/(%)在(0,+8)上单调递增，

②当a<0时，令/(%)=0,解得：x=_：,

令/'(无)>0,解得：0<%<—；,即"X)在(0,—》上单调递增，

令f'(X)<3解得：X>-即/'(久)在(一+8)单调递减.

综上所述：当aN0时，f(x)在(0,+8)上单调递增；

当a<0时，f(x)在(0,-6上单调递增，在(一：,+8)单调递减.

【解析】(1)将a=-1代入函数中，求出函数/(乃的导函数，即可求出函数的极值.

(2)求导数，分类讨论a20和a<0,利用导数的正负，即可求f(x)的单调区间.

本题主要考查利用导数单调性和极值，属于中档题.

17.【答案】解：(1)共有废量=12种选派方法；

(2)由题意知，X的取值范围为{—3,—1,1},

所以P(x=-3)=管=I，P(X=-1)=簧=|,P(X=1)=1—P(X=-3)-P(X=-1)=I，

所以X的分布列为:

X-3-11

131

p

555

【解析】(1)由排列组合性质求出结果；

(2)先求出随机变量X的取值集合，再求出其概率，进而求出其分布列.

本题考查排列组合的性质的应用及随机变量的分布列的求法，属于基础题.

18.【答案】解:(-分=(_l)r/2"Fr=0,1,…,8,

二项式系数最大的项为中间项，即第5项，

/20

所以纭=(-1)4C^24X4~=1120%-6；

_7.5

(2)〃+】=窗G)8-r(一?=(—l)y23F,r=0,1,…，8,

当4—|r为整数时为有理项，即r=0,2,4,6,8,

则k的取值集合为｛1,3,5,7,9｝；

(3)设第r+1项的系数的绝对值最大,

(C^2r>以-12-1->——

(以2r>C^+12r+1所以「「9一丁解得5<r<6,

—>—

V8-r-r+1

故系数的绝对值最大的项为第6项和第7项.

【解析】(1)利用二项式定理求出通项，二项式系数最大的项为中间项，求解即可;

(2)当4-|r为整数时为有理项，即可求解；

(3)设第r+1项的系数的绝对值最大，列方程组即可求解.

本题考查二项式定理，解题中需要理清思路，属于中档题.

19.【答案】解：(1)当a=1时，f(x)=x2—2lnx,

/(1)=1,r(x)=2x—g

k=f(l)=0,

所以/(%)在处的切线方程为y=1.

(2)由题意对Vx£[1,3],f(x)max<pf'M=2ax-l=%畤二

①当a<0时,f'(x)<0,Qx)在［1,3］上单调递减,

所以/'COmax=/(I)=a<；恒成立，所以a<0,

②当a>0时，/'(x)>0,x>今,

所以〃久)在(0,9)上单调递减，在扁,+8)上单调递增,

当盍<1,a>1时，f(x)在［1,3］上单调递增，

fMmax=/(3)<i,a<^-,舍去，

当上23,0Va4"时，/(%)在［1,3］上单调递减，

11

1所以

1<a<O<a<

--?4_--

fmaxJ4-9

当1<心<3,：<a<l时，/(久)在［1,J=］上单调递减，［3,3］上单调递增,

Va»Va