2023-2024学年北京某中学高二（下）段考数学试卷（含解析）

2023-2024学年北京二中高二(下)段考数学试卷

一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

L为了得到函数y=sin(2x+》的图象，只需要把函数y=s讥x的图象上()

A.各点的横坐标缩短到原来的，再向左平移弓个单位长度

B.各点的横坐标缩短到原来的〈，再向左平移［个单位长度

C.各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移与个单位长度

D.各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移［个单位长度

2.已知等差数列｛即｝前9项的和为27,a10=8,则的。。=()

A.100B.99C.98D.97

3.已知TH,ri是两条不同直线，a,/?,y是三个不同平面，下列命题中正确的是()

A.若zn〃a,n//a,则m〃?iB.若a1y,/?1y,则。〃£

C.若m//p,贝b〃SD.若7nla,n1a,则？TI〃?I

4.若抛物线y?=2px(p>0)上的点到其焦点的距离是/到y轴距离的3倍，则p等于

()

13

AqB.1C.|D.2

5.已知椭圆C4+，=l(a>b>0)的左、右顶点分别为A2,且以线段&&为直径的圆与直线人一

ay+2ab=。相切，则C的离心率为

()

6.反射性元素的特征是不断发生同位素衰变，而衰变的结果是放射性同位素母体的数目不断减少，但其子

体的原子数目将不断增加，假设在某放射性同位素的衰变对程中，其含量N(单位：贝克)与时间t(单位：

天)满足函数关系N(t)=为/克(e为自然对数的底数)，其中治为「=0时该同位素的含量，已知当t=48

时，该放射性同位素含量的瞬时变化率为-1,则N(48)=()

A.12贝克B.12e贝克C.24贝克D.24e贝克

7.直线y=5%+6是曲线y=婕+2%+1的一条切线，则实数b=()

A.-1或1B.—1或3C.-1D.3

8.如图，中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.假设中国空间站要安排甲,

乙，丙，丁，戊，己6名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱安排2人，梦天实验舱安

排1人.若安排甲、乙两人同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（）

梦天

实验舱II

A.12种B.16种C.20种D.24种

9•数列L击，急，…，木心后的前几项和堤，则正整数附值为

()

A.6B.8C.9D.10

10.已知直线x+y-a=0(a>0)与圆/+*=4交于不同的两点力，B,。是坐标原点，且有|雨+

OB\>\AB\,那么a的取值范围是()

A.(72,+oo)B.2,4-00)C.[2,2/2)D.[<2,272)

11.若直线ax+by=1(协40)经过点M(cosa,s讥a),贝!|()

A.滔+/W1B.滔+/21C.a?+b?<1D.a?+块>1

12.如图，在棱长为2的正方体ABC。中，P为线段&Q的中点,

Q为线段BC］上的动点，则下列结论正确的是（）

A.存在点Q,使得PQ〃B。

B.存在点Q,使得PQ1平面4B1QD

C.三棱锥Q-4PD的体积是定值

D.存在点Q,使得PQ与4。所成的角为！

O

二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。

13.已知函数f(x)=exlnx,(0)为/(x)的导函数，则r(1)的值为.

14.已知双曲线捻-A=IQ>0,b>0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为亨c,则其离心率为

15.用数字1,2,3,4,5,6,7组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一

共有个.(用数字作答)

16.四面体ABCD中，。是BD的中点，△4BD和△BCD均为等边三角形，AB=2,4C=/石，点。到平面

4BC的距离为.

17.在AABC中，角4B和C所对的边长为a,b和c,面积为寺9？+c?-肝)，且乙。为钝角，贝U

tanB=_(1)_；:的取值范围是_(2)_

18.对于数列｛tin｝，令Tn=a1—a?+a3—<24+…+(―,给出下列四个结论：

①右厮=71,则72023=1012;

②若％=n,则a2022=-1；

③存在各项均为整数的数列｛%J，使得>|Tn+ll对任意的n£N*都成立；

④若对任意的neN*,都有|7J<M,则有|厮+1—即|<2M.

其中所有正确结论的序号是.

三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

19.(本小题12分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面力BCD是边长为2的正方形，PA=2,PA1AB,E为BC的中点，F为

PD的中点.

(1)求证：EF〃平面P4B；

(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线4D与平面4EF所成角的正弦值.

条件①：ADLPB-,

条件②：PC=26.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

p

D

20.(本小题12分)

已知函数/(%)=x3—ax2—a2x+1,其中a>0.

(1)当。=1时，求/(%)的单调区间；

-1

(II)若曲线y=f(x)在点a))处的切线与y轴的交点为(0,爪)，求机+(的最小值.

21.(本小题12分)

已知椭圆C；务，=l(a>6>0)的左、右顶点分别为点4,B,且网=4,椭圆C离心率为去

(I)求椭圆C的方程；

(II)过椭圆C的右焦点，且斜率不为0的直线，交椭圆C于M,N两点、,直线AM,8N的交于点Q,求证：点Q

在直线x=4上.

22.(本小题12分)

已知函数/'(x)=x+alnx(aeR).

(1)当。=一1时，求函数/(X)的极值;

(11)若不等式/(%)<+ax对任意久>。恒成立，求a的取值范围.

23.(本小题12分)

已知有穷数列力：的,a2,ajv(NeN*,N23)满足a,e{—l,0,l}(i=1,2,N).给定正整数m,若

存在正整数s,t(s中t),使得对任意的ke[0,1,2,1),都有cis+k=at+k,则称数列力是m-连续等

项数列.

(1)判断数列2：-1,1,0,1,0,1,-1是否为3-连续等项数列？是否为4-连续等项数列？说明理

由；

(II)若项数为N的任意数列4都是2-连续等项数列，求N的最小值；

(III)若数列2：di，a2,(2N不是4一连续等项数列，而数列&：a1a2,aN,-1,数列4：ara2,

a

aN,。与数列43：■■■>N>1都是4一连续等项数列，且口3=0，求心的值.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：把函数y=s讥久的图象上各点的横坐标缩短到原来的,得到函数y=s讥2x的图象，

接下来若向左平移5个单位长度，得到函数y=sin2（x+与）=sin（2x+等的图象；

若向左平移［个单位长度，得到函数y=sin2（x+勺=sin（2x+勺的图象；

oo5

故A错误，8正确；

C、。中伸长到原来的2倍，得到函数，=sin^的图象，在无论怎样平移都得不到所要求的函数的图象，

故。错误.

故选:B.

利用函数图象平移、伸缩变换的法则依次判定各个选择支的变化之后的函数解析式是否符合题目要求即可

作出判定.

本题主要考查函数y=Asin^x+⑴）的图象变换规律，属于基础题.

2.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查等差数列通项公式和前n项和运算，属于基础题.

由前9项的和和的。，求解首项与公差，进而利用通项公式求解即可.

【解答】

解:由已知19al七及弓n”,所以%_=—1,d=1,的。。=a1+99d=-1+99=98.

十ya=o

故选：c.

3.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查空间中线线关系、面面关系判断，考查空间想象能力，属于中档题.

由线面的位置关系可判断4C；由面面位置关系可判断8；由线面垂直的性质可判断。，进而可得正确选

项.

【解答】

解：对于选项A：若?n〃a,n//a,则m,n异面或n相交，故选项A不正确；

对于选项B：若aly,贝！|a〃/?或a,£相交，故选项B不正确;

对于选项C：若mJla,m//p,则a〃.或a,0相交，故选项C不正确；

对于选项。：若m1a,n1a,由线面垂直的性质可得m〃n，故选项。正确.

故选：D.

4.【答案】D

【解析】【分析】

本题主要考查了抛物线的定义和性质.考查了考生对抛物线定义的掌握和灵活应用，属于基础题.

根据抛物线的定义及题意可知3久°=比+基得出均求得p,可得答案.

【解答】

解：,•・抛物线y2=2Px（p>0）上的点4（久0，，^）到其焦点的距离是4到y轴距离的3倍，

则3%0=%（）+,XQ=

.P2_

.•万-27,

vp>0,

•••p=2,

故选D

5.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查了椭圆的性质，点到直线的距离公式，考查了计算能力，属于中档题.

根据题意，可得产组=。，进而求得离心率.

Ja2+b2

【解答】解：以线段/遇2为直径的圆与直线故-叼+2ab=0相切，

二原点到直线b%-ay+2ab=。的距离等于a,

即Ma”—CL9

Ja2+b2

化为。2=3接,

:椭圆C的离心率e=（=J1—=苧.

故选A.

6.【答案】C

【解析】【分析】

本题主要考查函数的瞬时变化率的求解，指数函数模型的实际应用，属于基础题.

先对函数求导，结合已知可求出No,把t=48代入即可求解.

【解答】解：因为N(t)=Me-",

1t

所以N，(t)=-^-Ne-^,

Z4o

当t=48时，-黑?-2=—1,

24

所以M=24e2,

则N(48)=24e2Xe-2=24.

故选：C.

7.【答案】B

【解析】解：设切点M(7n,n),y'=3/+2,

则3ni?+2=5,解得m=1或-1；

若m=1,则几=5+6=13+2x1+1=4^6=—1；

若m=-1,贝！Jn=-5+b=(―I)3+2X(-1)+1=—2=>b=3；

综上所述，b=-1或3,

故选：B.

设切点M(m,也利用导数的几何意义可求得机=1或-1,继而可求得6.

本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查函数与方程思想，考查数学运算能力等核心素养，属

于中档题.

8.【答案】B

【解析】解：按照甲是否在天和核心舱划分，

①若甲在天和核心舱，天和核心舱需要从除了甲乙之外的4人中再选取1人，剩下3人去剩下两个舱位，则

有盘•Cj=12种可能；

②若甲不在天和核心舱，则在问天实验舱，剩下4人中选取3人进入天和核心舱即可，则有盘=4种可能；

根据分类加法计数原理，共有12+4=16种可能.

故选：B.

可以按照元素甲分类讨论，特殊元素和特殊位置优先考虑即可得解.

本题考查排列组合的应用，属于基础题.

9.【答案】C

【解析】解：a=-上上=(二、=2(-—")，

“n1+2+3H--\-n(n+l)nn+ly

111112n

+++-

------一

;该数列的刖71项和为%=2(1223n

n+

令含建得"9

故选C

利用等差数列的求和公式得出所给数列的通项公式，使用裂项法求和，列出方程解出71即可.

本题考查了等差数列的求和公式，裂项法求和，属于中档题.

10.【答案】C

【解析】解：设4B的中点为C,

因为|瓦？+话|>\AB\,

所以|OC|>\AC\,

因为|OC|=号，|AC|2=4—|OC|2,

所以2（骋丁>4,

所以a<一2或a>2,

因为骋<2,所以-22<a<2，Z

因为a>0,所以实数a的取值范围是［2,2/2）,

故选：C.

设4B的中点为C,因为|瓦？+4|N|荏所以|0C|2|4C|,因为|OC|=号，|4C|2=4—|OC『，所以

2（瞿）224,可得a<-2或aN2,结合黑<1,a>0,即可求出实数a的取值范围.

本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，属于中档题.

1L【答案】D

【解析】解：因为cos2a+sin2a=1,

所以点M在单位圆/+y2=1上,

因为直线ax+by=H0）经过点M,

所以直线a%+by=l（abW0）与单位圆有公共点，

所以圆心到直线的距离为d=<1,可得a?+b2>l.

、a2+庐

故选：D.

由点M（cosa,s讥a）可知点M在单位圆上运动，由题意可得直线和单位圆有公共点，借助圆心到直线的距离

与半径的关系可求.

本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化能力，属于中档题.

12.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查线线平行的判断，线面垂直的判定定理，三棱锥的体积，线线角的求解，属综合题.

对4由BiDiflPQ=P即可判断；对B若Q为BC1中点，根据正方体、线面的性质及判定即可判

断；对C只需求证与面4PD是否平行；对。利用空间向量求直线夹角的范围即可判断.

【解答】

解：对于4：正方体中BZV/BiA，而P为线段&的的中点，即为当名的中点,

所以BiAnPQ=P,故瓦），PQ不可能平行，所以4错；

对于B：若Q为8G中点，贝UPQ〃2i8,而41814故PQ144,

又4D_1_面438141，4/u面ABB/i，则故PQ14D,

ABrCiAD=A,ABr,ADa^AB^D,贝i]PQlElX^QD,

所以存在Q使得PQ，平面ABiG。，所以B对;

对于C：由正方体性质知：BCJ/ADr,而面4PD=4故与面力PD不平行,

所以Q在线段BCi上运动时，至1」面4PD的距离不一定相等,

故三棱锥Q-4PD的体积不是定值，所以C错;

对于D：构建如下图示空间直角坐标系。-孙z,

则4(2,0,0),P(l,l,2),Q(2—a,2,a)且0WaW2,

所以51=(2,0,0)，PQ=(1-a,l,a-2)，设<育，PQ>=0，

_______2(1-a)_______I_l—al

则cos。=|

2xJ(l-a)2+l+(a-2)2________a213a+3,

令t=则8S"不J号,

当t=。则cos。=0；

|t|1

当tKO时，cos"

/2-Jt2+t+l夕]1+1+：

当te(0,1]>贝壮e[1,+oo),cosde(0,孚]；

t6

当te[-1,0),贝叶e(-00,-1],cosee(。,争;

所以cosg=¥不在上述范围内，所以D错.

62

故选：B.

13.【答案】e

【解析】【分析】

本题考查了导数的运算公式与应用问题，是基础题.

根据导数的运算法则求出函数/(尤)的导函数，再计算尸(1)的值.

【解答】

解：函数/'(x)=ex\nx

则f'(久)=exlnx+%,

/(1)=e1-Ini+y=e.

故答案为e.

14.【答案】2

【解析】解：双曲线占一方=〉。,6>。)的渐近线为：y=±如即6x±ay=0,

因为右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为容c,

所以^^=苧的

JaW2

FbV-3

叫1n=子

解得2b=^3c,

又a?+b2=c2,

所以4(c?-a2)=3c2=>c?=4a2=>^=4=>e2=4,

因为e>1,所以e=2,

故答案为：2.

根据给定条件求出双曲线的渐近线，再用点到直线的距离公式建立a,b,c的等量关系式，计算可得结

果.

本题考查了双曲线的性质，重点是离心率的计算，属于基础题.

15.【答案】408

【解析】解：根据题意，分成两类情况：

①四位数中没有偶数，即在1,3,5,7中任选4个，共有用=24种，

②四位数中只有一个偶数，即在1,3,5,7中任选3个，在2,4,6,8种选一个，共有盘盘用=384

种，

故共有24+384=408.

故答案为：408.

根据题意，分成两类情况：①四位数中没有偶数，即在1,3,5,7中任选4个，②四位数中只有一个偶

数，即在1,3,5,7中任选3个，在2,4,6,8种选一个，然后结合排列组合即可求解.

本题主要考查了分类与分步计数原理，还考查了排列组合知识的应用，属于基础题.

16.【答案】雪

【解析】解：根据题意，设D到平面ABC的距离为h,连接。C,入

为等边三角形,。为BD的中点，.••力。1BD

由于=2,贝!Jz。=V4—1=

同理：CO=/3-

又由4c=，后，

在AAOC中，AO2+CO2AC2,贝!］有N力。C=90°,即4。1OC,

又由2。1BD,

则有4。_L平面BCD,

过点E作。E18C,交BC与点E,连接AE,

贝UOE=OBs讥60°=亨，

又由4。=贝1UE=7A。2+OE2=苧，

2

故S-BC=|xX£xBC=1x2x^p=^>S^BDC=^Jx2=73-

ZZZZ4

11

^A-BCD=§XAOXS^BCD，^D-ABC=3^LBCD'

...由等体积法可得：VA_BCD=VD_ABC,即力xCxJ^=gx苧/1，

变形可得：h=接=罕.

.•.点。到平面2BC的距离为=雪.

故答案为：争.

根据题意，设D到平面2BC的距离为九，连接0C,先证4。_L平面BCD,过。作。E1BC于E,连接4E,利用

等体积能求出。到平面力BC的距离.从而能求出点。到平面4BC的距离.

本题考查点到平面的距离，涉及棱锥的体积公式，属于中档题.

17.【答案】白(|，+8)

【解析】解：根据题意，由余弦定理可知：a2+c2-b2=2accosB,

则S=|acsinB=1(a2+c2—b2)=|x2accosB,变形可得sinB=cosB,则tcmB=g,

又由B锐角，贝！JsinB=卷，cosB=|,

CsinC_sin(714-5)_sinAcosB+cosAsinB

=cosB…+si•nBnx--1--=-4x--1--+.3

asinAsinAsinAtanA5tanA5

又由力=77■—(B+C)=(兀一C)一B,且C为钝角，则则tcmAWtan©—B)=',

ZZ4

1ic、44,35

MTha-5X3+5=3

即;的取值范围是(|,+8);

故答案为：+oo).

根据题意，对于第一空：先由余弦定理和三角形面积公式可得S=：acs讥B=g(a2+c2-62)=^x

2accosB,变形可得s讥B=：cosB,据此可得答案；对于第二空：由正弦定理可得二=*=变吟曳=

包上叫发生姓=cosB+s出BX」=gx」+|,结合诱导公式分析tcm力的范围，计算可得答案.

sinAtanA5tanA5

本题主要考查了余弦定理的应用.解题的过程中主要是利用了余弦定理的变形公式，把边的问题转化为角

的问题.

18.【答案】①②④

【解析】【分析】

本题考查数列的求和以及和与项之间的关系，侧重考查了学生的逻辑推理和运算能力，属于难题.

对于①，利用并项法判断，对于②，利用和与项的关系判断；对于③，利用反证法推出矛盾；对于④结

合不等式的性质推导.

【解答】

aaaa

解：对于①，利用并项法得：Tn=(a1—a2)+(43—4)+…+(2021—2022)+2023=一1。11+

2023=1012,故①对；

对于②，Tn=n,令%=(一1)"+1%”则却=瓦+历H----\-bn-n,故=所以6n=*-

n+1n+1

T'n-i=1=(-l)an,故an=(-l),故口2022=-1，故②对；

对于③，假设存在各项均为整数的数列{5},使得|〃|>|〃+1|对任意的neN*都成立，则必有忆|>

\T2\>\T3\>且都是正整数，令|A|=N,则必有庄|WN—1,禽|WN—2,……,\TN\<1,

|TW+1|<0,|7^+2|<-1,则与|母+212。矛盾，故③错；

对于④，由已知7^=%_—口2++…+(-l)"+lo[n，可知(―l)”+2an+i=7n+1—当n22时，有

(一1尸+】即=/一7；-1，

即7122时，a“+i=(—1尸+2(7“+1—七)，厮=(—1产1(6—T…)，

+1

故小+i-an\=|(-ir||Tn-Tn+1-Tn+rn_J=心_1-Tn+1\<\Tn_r\+\Tn+1\<M+M=2M,(n>

2)，

当n=1时，|42-=|一T2I<M<2M,

故对任意的n£N*,都有|厮+1-an\<2M成立，即④成立.

故答案为：①②④.

19.【答案】证明：（1）取P4中点G,连接GB,GF,

因为尸为PD的中点，所以FG〃加FG=^AD,

因为四边形A8CD为正方形，E为8c中点，

所以BE〃71D,BE=^AD.

所以尸G//BE,FG=BE.

所以四边形BEFG为平行四边形，

所以EF〃BG,又EFC平面PAB,BGu平面P48.

所以EF//平面P4B.

解：（2）若①：AD1PB,SLABVAD,又PBCAB=B,PBu平面PAB,ABu平面P4B,

所以4。1平面PA8,又PAu平面P4B,所以力。1PA,B.PA1AB,

以点力为坐标原点建立空间直角坐标系A-xyz,

所以2(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),E(2,l,0),P(0,0,2),F(0,1,1),

所以荏=(2,1,0)，/=(0,1,1)，AD=(0,2,0)，

设平面4EF的法向量为元=(x,y,z),则故1rx[°，

令％=，，则y=-1,z=1,元=弓,一1,1),n-24D=0x1-2xl+0xl=-2,

设直线4。与平面4EF所成角8,

贝.”|cos同㈤=I瀛I="+]+]=I-

所以直线2D与平面2EF所成角的正弦值为:

选条件②：PC=2，5.由于AB=P4=BC=2,所以PC?=AC?+2寿，^PALAC,

由于PAIAB,S.ABnAC=A,ABu平面ABC。，ACu平面ABC。，

故PAL平面ABC。，底面4BCD是边长为2的正方形，PA=2,

以点a为坐标原点建立空间直角坐标系a-xyz,

所以2(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),0(0,2,0),E(2,l,0),P(0,0,2),

F(0,l,l)，

所以荏=(2,1,0),AF=(0,1,1)>AD=(0,2,0)，

设平面4EF的法向量为元=Qy,z),g,巫二。，故

1九,AF—0Iy

令久=：,则y=-1,z—1,所以元=(：,—1,1),n-AD=0x1-2xl+0xl=-2,

设直线4D与平面AEF所成角仇贝户加=|cosZD,n|=|湍篙|=羡市==|,

所以直线4。与平面4EF所成角的正弦值为|.

【解析】(1)利用中位线定理及平行四边形的性质，结合线面平行的判定定理即可求解；

(2)选择条件①，利用线面垂直的判定定理及性质定理，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，分别

求出直线4D的方向向量与平面力EF的法向量，利用向量的夹角公式，结合线面角与向量夹角公式即可求

解；

选择条件②，利用勾股定理的逆定理、线面垂直的判定定理及性质定理，建立空间直角坐标系，求出相关

点的坐标，分别求出直线4。的方向向量与平面2EF的法向量，利用向量的夹角公式，结合线面角与向量夹

角公式即可求解.

本题考查的知识要点：直线和平面平行的判定和性质，空间直角坐标系，线面的夹角，向量的模和向量的

数量积，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题.

20.【答案】解：(I)当@=1时，/(x)=%3—x2—x+1,

;(x)=3——2%—1=(3%+1)(%—1),

令((%)>0,可得％<一,或%>1,令/'(%)<0,可得一,<%<1,

所以/(久)的单调递增区间为(_8,-当，(1,+8),单调递减区间为(—/I).

(II)/'(%)=3%2—2ax—a2,

—3a2+2a2—a2=4a2,

f(—a)=_q3_q3_|_Q3+]=_q3_|_],

所以曲线y=/(%)在点(—a,/(—a))处的切线方程为y—(—a3+1)=4a2(%+a),

即y=4a2%+3a3+1,令％=0,可得TH=3a3+1,

所以TH+-=3a3+i+_,

aa

令g(a)—3a3+1+/,a〉0,则g'(a)=9Q2——―———,

令"(a)>0,可得令“(a)V0,可得0<aV苧，

所以g(a)在(0,苧)上单调递减，在薛+8)上单调递增，

所以9(。)加九=9(停)=苧+L

即m+工的最小值为巧亘+1.

【解析】本题主要考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性与最值，考查转化思想与运算求解能

力，属于中档题.

(I)对/(久)求导，利用导数与单调性的关系即可求解；

(II)利用导数求出切线方程，从而可求得m=3a3+1,令g(a)=m+:=3a3+1+；,a>0,利用导数

即可求得最值.

21.【答案】解：(I)因为阿|=4,椭圆C离心率为

"2a=4,

所以上解得a2=4,62=3.

a2

<a2=拉+c2.

所以椭圆C的方程是F+4=l.

43

(II)①若直线/的斜率不存在时，如图,

因为椭圆C的右焦点为(1,0),所以直线2的方程是x=1.

所以点M的坐标是(1,|),点N的坐标是(1,一|).

所以直线4M的方程是y=|(%+2),

直线BN的方程是y=5(x-2).

所以直线AM,BN的交点Q的坐标是(4,3).

所以点(4,3)在直线x=4上.

②若直线/的斜率存在时，如图.

设直线I的斜率为鼠所以直线，的方程为y=k(x-1).

y=k(x-1),

联立方程组/y2

1-4---T1--3=1,

消去y,整理得(3+41)%2―81%+4k2-I20,

显然△＞。不妨设N(%2，y2)，

所以"】+"2=黑’”「冷=亶缶

所以直线力M的方程是y=需(无+2).令久=4,得y=兽.

十乙十乙

直线BN的方程是y=为。-2).令X=4,得y=老.

九2乙4

所以6yl_2y2_6koi-1)_2攵(%2-1)

%1+2%2—2/+2%2—2

6k(x^—1)(%2—2)—2k(X1+2)(%2—1)

(%i+2)3-2)

6k(%1—1)(%2—2)—2k(X]+2)(%2—1)

=2fc[3(x1x2一%2—2%i+2)—(%i%2—+2%2—2)]

=2fc[2x1x2—5(久1+%2)+8]

2战-12)5x8k2

=2k[+8]

3+4fc23+4k2

“，8/—24-40廿+24+32今.

=2k（-----------n-------）=0.

3+4/

所以点Q在直线％=4上.

【解析】（I）根据题意列方程组，得a,b,进而可得椭圆的方程.

（II）分两种情况①若直线/的斜率不存在时，②若直线/的斜率存在时，直线AM,BN的交于点Q,是否在

定直线X=4上.

本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题.

22.【答案】解：函数/（%）的定义域是（0,+8）,（（%）=1+?

（1）当&=—1时，/⑶=1—;=

令「。）=0,解得：%=1,

X,1（X）,/（X）的变化如下：

X(0,1)1(1,+00)

「（X）—0+

递减极小值递增

故/(久)的极小值是f(l)=1,无极大值；

(11)不等式/(久)<|%2+a久恒成立

等价于+ax—x—alnx>。恒成立，

令0(%)=2%2+a%—%—alnx,xG(0,+oo),

.,yax^+ax—x—a(%—

故g(%)=%+a—1——=---------=--------二

D'xxx

(1)当aNO时，xG(0,+oo),%+a>0,

令"(%)=。，解得：X=1,

x,“(%),g(%)的变化如下:

X(0,1)1(l,+8)

g'(x)—0+

1

g(x)递减最小值g(l)=a--递增

当a20时，不等式g(%)20恒成立当且仅当a-g20,

故a之2符合题意；

2

(2)当a=-1时，g，(x)=殳券20,

故g(%)在(0,+8)递增，而g(l)<0,故不合题意，

(3)—1<a<0时，令g'(%)=0,解得：x=1或x=-a,

则0V-。<1,

x,“(%),g(%)的变化如下：

X(0,—a)一d(—a,1)1(1,+8)

g'Q)+0—0+

g(x)递增极大值递减极小值递增

显然g(l)=a<0,故不合题意，

(4)当a<一1时，令“(%)=0,解得：x—1或％=—a,

则—a>1,

x,g'(%),g(%)