上海市2023-2024学年高二年级下册期中考试数学试题

上海市向明中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试

题

学校:姓名：班级：考号：

一、填空题

1.已知圆锥的母线长为3,底面半径为2,则圆锥的体积为一.

2.两条直线ox-3y-l=0与2x_（a-l）y+l=0平行，则实数。=-

3.已知焦点在x轴上的椭圆二+《=1离心率为正，则实数加等于一.

m42

4.设函数〃x）的导函数为/'（x）,若/'（x°）=。，则1加/（%+2〃）一/（/）=—,

20h

5.在正四棱柱48CZ）-48|CQ|中，AB=BC=544=1，则异面直线与£）与所成

角的余弦值为一.

2

6.双曲线》2_乙=1的两条渐近线夹角的余弦值为

4

7.已知函数/0）=2/'（3）子一|一+出，贝—.

8.若对任意实数上，直线丘+y-左+1=0与圆尤2+/+加x+2y+m+4=0至少有一个交点,

则实数机的取值范围是—.

9.图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收

天线的口径/8=6,深度=2,信号处理中心尸位于焦点处，以顶点。为坐标原点，

建立如图2所示的平面直角坐标系xOy,若尸是该抛物线上一点，点°（装,2），则

试卷第11页，共33页

10-如图.即一/RC'A'E■'为正六棱柱,若从该正六棱柱的6个侧面的12条面对角

线中，随机选取两条，则它们共面的概率是—.

11.若函数/（x）=sinx+“cosx在（孝上是严格单调函数，则实数。的取值范围为_

12.已知双曲线［一/=15>0,6>0）的焦点分别为月、区,州为双曲线上一点，若

HMF。号，OM吗b,则双曲线的离心率为一.

二、单选题

13.已知抛物线尤2=匕上一点尸的横坐标为4,则点尸到焦点的距离为（）

A.4B.2C.6D.8

试卷第21页，共33页

14.已知函数/@）=工3_2办2+/%+1在x=l处有极小值，贝1J。的值为（）

A.1B.3C.1或3D.।或3

15.已知点〃为正方体力台⑺一/避］。。］内部（不包含表面）的一点.给出下列两个命题:

%:过点〃■有且只有一个平面与和Bq都平行；

%：过点〃至少可以作两条直线与AA,和qG所在的直线都相交.

则以下说法正确的是（）

A.命题?是真命题，命题％是假命题B.命题心是假命题，命题%是真命题

C.命题名，见都是真命题D.命题心，％都是假命题

16.已知直线（：x+my—3机—1=0与，2：—3”?+1=0相交于点线段是圆C：

（尤+1）2+壮+1）2=4的一条动弦，且⑷=26，则疝.砺的最小值为（）

A-6-472B.3-72C-5+VsD-75-1

三、解答题

17.已知车辆启动后的一段时间内，车轮旋转的角度和时间（单位：秒）的平方成正比，

且车辆启动后车轮转动第一圈需要1秒.

（1）求车轮转动前2秒的平均角速度；

（2）求车轮在转动开始后第3秒的瞬时角速度.

AA

18.如图，在三棱柱/区叫仁中，必，平面/5C,ZBAC=~,l=AB=AC=l

2

CQ的中点为a.

试卷第31页，共33页

(1)求直线BB\与平面AtBC所成角；

⑵求点”到平面43c的距离.

19.己知双曲线G过点(-4,30)且与双曲线c二一片=1有共同的渐近线，K,且分别

2,23

是£的左、右焦点.

⑴求G的标准方程；

(2)设点P是C1上第一象限内的点，求丽.丽的取值范围.

20.如图，将一根直径为3的圆木锯成截面为矩形的梁.矩形的高为力，宽为“已知梁的

(1)将少表示为方的函数，并写出定义域;

试卷第41页，共33页

(2)求b的值使得抗弯强度最大.

22-622cX

21.双曲线U.方=1(。>0,6>0)的离心率为圆°:x+>=2与轴正半轴交于点

八，点「(亚，在双曲线,上.

(1)求双曲线C的方程；

⑵过点T作圆0的切线交双曲线C于两点“、N’试求的长度；

(3)设圆。上任意一点P处的切线交双曲线C于两点叔、N,试判断1PM.归陷是否为定值?

若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由.

试卷第51页，共33页

参考答案:

1.4-兀

3

【分析】利用圆锥的结构特征求得其高，再利用其体积公式即可得解.

【详解】因为圆锥的母线长为/=3,底面半径为厂=2，

则圆锥的高为〃=g=石，

所以圆锥的体积为工m匆=l_5x7=也.

333

故答案为：运.

3

2.3

【分析】根据直线平行列式求得Q_3或〃-，，并代入检验.

【详解】由题意可得：_40_1)=_6,解得。=3或°=-2，

若0=3,则两直线方程分别为3x-3y-l=0、2x-2y+l=0,

两直线平行，符合题意；

若。=-2，则两直线方程分另I为2x+3y+l=0、2x+3y+l=0,

两直线重合，不符合题意；

综上所述：fl_3.

故答案为：3.

3.8

【分析】根据题意，由椭圆的标准方程分析可得'五=』2,解之即可.

yfm2

【详解】由题意焦点在X轴上的椭圆片+片=1离心率为正,

m42

答案第11页，共22页

可得Y记解得机=8.

故答案为：8.

4,2a

【分析】利用导数的定义可求得1向〃/+2〃)-/(%).

2。h

【详解】因为/(%)=〃，则

盛山―一盛金”"缶心.

故答案为:

5.叵

7

【分析】法一：建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.

法二：在正四棱柱4gCD-43£。］下方补一个完全相同的正四棱柱/BCD-lB'C'。'，连

接所以/"D耳或其补角为异面直线NA与。耳所成的角，利用余弦定理求解•

【详解】

法一：如图建立空间直角坐标系，则/(G,o,o),A(0,0,1),0(0,0,0),四

答案第21页，共22页

则函=卜百,0,1),西=(每百,1),

AD'DB、-2

cosV7

所以7，

所以，异面直线/〃与°片所成角的余弦值为立.

7

法二：如图，在正四棱柱/8CZ)_481Goi下方补一个完全相同的正四棱柱

ABCD-A'B'C'D'，

连接

因为AA7/DD、,AA'=DD』所以四边形AA'DDl为平行四边形，

则A'DHADl-所以4或其补角为异面直线AD｛与所成的角,

7_4+7-7_V7

在A四中,A，D2+BQ?-4B；

"cosZA'DBX=

2ADBQ2X2XV77

所以，异面直线,2与所成角的余弦值为

故答案为：立.

7

答案第31页，共22页

3

6.-/0.6

5

【分析】根据双曲线方程得出两条渐近线方程，由两方程斜率与倾斜角的关系结合两直线

夹角范围得出夹角，根据两角差的正切公式得出夹角的正切值，即可由同角三角函数关系

结合范围得出答案.

2=1h—QX

【详解】由双曲线方程Y—匕句可得，,且焦点在轴上,

4

2k

则双曲线--匕=1的两条渐近线为〉=±-x=±2x,

4a

作大致图形如下,

乙FqB=2>1,则“。吕>-,

兀兀

22

两直线的夹角范围为0,-

2

/.NBOC为两条渐近线的夹角,

tanZF2OC-tanZF2OB_-2-2_4

tanZ.BOC=tan(ZT^OC-ZF2OB^=

1+tanZF2OCtanZF2OB1+2x(-2)3

答案第41页，共22页

tanZ5°C=S^I=i，解得c°sZ。。总,

则由＜

sin2ZBOC+cos2NBOC=1

兀

•・•ZBOC<~,

2

3

/.cosZBOC=—

5

故答案为：|

7v

【分析】对/(x)求导，再代入x=3,从而求得((3)=1,进而得到〃x)=2尤-：d+lnx,

由此计算可得了(I).

741

【详解】因为/(x)=2r(3)-x-*x2+lnx,所以尸(x)=2/13)--x+—,

99x

则((3)=2/(3)-^+；,解得：/'(3)=1,

所以/(x)=2x-^x2+lnx,则/(l)=2--1+lnl=^.

故答案为：

8.(-oo,-2)

【分析】将原问题转换为直线所过的定点在圆内或者圆上，由此列出不等式即可求解•

答案第51页，共22页

【详解】由题意可知直线去+尸左+1=0经过的定点为。如

则定点在圆内或者圆上的时候满足题意，

所以仔+（-1）2+加一2+m+44。=加"一2,

又X?+J?+加x+2〉+加+4=0表示圆»

所以加2+4_4加+4）〉0，解得加＞6或加＜-2;

综上，7W€（-«?,-2）•

故答案为：（_oo,_2[

9.3

【分析】由题意可知点亿3）在抛物线上，利用待定系数法求抛物线方程，结合抛物线定义

求归尸1+1尸q的最小值,

【详解】设抛物线的方程为丁=2阿2〉0），

因为"8=6,M0=2,所以点,（2,3）在抛物线上，所以9=切，故？，

4

o

所以抛物线的方程为V=；x,

所以抛物线的焦点飞,0）,准线方程为x=-（,

在方程中取x=£可得/=哈＞4,所以点。在抛物线内，

过点P作尸尸，与准线垂直，p为垂足，点。作00与准线垂直，。为垂足，

答案第61页，共22页

则归尸|=|尸尸1,所以忸同+忸@=忸尸[+忸0闫02[="+2=3,当且仅当直线与准线垂

88

直时等号成立，

所以|PF|+|P9的最小值为3.

故答案为：3.

10.—

11

【分析】根据题意，相交时分为：在侧面内相交，两个相邻面相交于一个点，相隔一个面

中相交于对角线延长线上，分别分析几种情况下对角线共面的个数，再利用古典概型的概

率计算公式，计算结果即可.

【详解】由题意知，若两个对角线在同一个侧面，因为有6个侧面，所以共有6组，

若相交且交点在正六棱柱的顶点上，因为有I2个顶点，所以共有12组，

若相交且交点在对角线延长线上时，如图所示，连接AD,C'D,E'D,AB',AF',

先考虑下底面，根据正八边形性质可知EP///O//8C,所以E'F'//AD//B'C，

答案第71页，共22页

且E"'=8'C'w4D，故40。力共面，且ADEN'共面，

故/尸，，£(£■，相交，且C7)，/夕相交，故共面有2组，

则正六边形对角线AD所对应的有2组共面的面对角线，

同理可知正六边形对角线BE，0尸所对的分别有两组，共6组，

故对于上底面对角线4°，B'E'，C尸同样各有两组，共6组，

若对面平行，一组对面中有2组对角线平行，三组对面共有6组，

所以共面的概率是6+12：12+6=6_.

C；211

故答案为：--

11

【分析】转化为了'""0,或/'(x)WO,asinx'cosx,当、(/，兀］时即求

a＞［---］，当xe［兀,乂］时即求aW(---］-

Itanx人axI6)

【详解】f\x)=cosx-tzsinx，

函数/0)=5垣苫+℃05X在［手5_1上是严格单调函数,

所以/(x)Z0,或r(x)W0，

当x=7t时，/，㈤,=_fr(&)＞不符合题意；

答案第81页，共22页

由广⑴40时，得QsinxNcosx，

当xe停用)时,sin”。，所以此熹在xe存，小恒成立，

即求此(一^-］，因为、.女,兀］，所以tanx］_G,0),也、

(tanxjgxI3)tanx('3,

所以.“虫;

3

当4吟)时,一＜。,所以公高在《用上恒成立,

即求日熹L因为.兀曰,所以

即找百；

综上所述，一近waw3

3

故答案为：•

【点睛】关键点点睛：解题的关键点是由广(X)20,或r(x)40,转化为求最值的问题•

12.男

2

【分析】设|及名|=斗|〃与|=弓，先利用余弦定理得4b2=3q弓，然后根据

MO=1(^+ME),两边同时平方得4/+牝=狰1,再结合劭~=3注可得答案.

答案第91页，共22页

【详解】不妨设点"在第一象限，设I峭1=后峥1=2,又/甲组=^,

所以卤用2=1孙『+|"『一2|町口.|cosgl=d+r；-2陋（一（

=r\+r2+44=（。一弓）2+34G=4Q2+3陋=4c2，

所以4b2=3弓弓，

因为°为百工的中点，所以初=；（诋+丽），BP2Md=MFl+MF2）

――----"2/----------->\2-----►2-----------------*1

所以4Mo=\MFX+MF^=MF[+2MFCMF2+MF2

=rrr+r28"

\~\2i=（彳-G『+04=4Q2+r\r2=

3

所以4Q2+±〃=%1,即4/=8",即"=2加=2。2—2〃

33

所以3/=2C2,则£=逅.

a2

故答案为：圾

13.A

【分析】由题意求得抛物线准线方程以及点尸纵坐标，再结合抛物线定义即可求解.

答案第1。1页，共22页

【详解】由题意抛物线d=8y的准线为尸-2,点P的纵坐标为由=£=2，

P88

所以点尸到焦点的距离即点P到抛物线准线的距离为力+2=4.

故选：A.

14.A

【分析】由/G)在处有极小值可知，r(i)=o解出。的值，并根据单调性验证.

【详解】因为〃x)=x3-2a/+。21+1'

所以f(x)=3x2-4ax+a29

因为函数/(x)=Y—2Q/+Q2X+I在％=i处有极小值，

所以/'(1)=3-4Q+/=。，解得a=l或。=3,

当a=1时，f(x)=3x2-4%+1=(3x-1)(x-1)?

当时，X/或X>1,当/'3<。时，|<X<1,

33

〃x)在x=l处取到极小值，符合题意；

当a=3时，^^)=3%2-12x+9=3(x-l)(x-3),

当/时，x<l或x>3,当/，(x)<0时，l<x<3，

/(同在》=1处取到极大值，不符合题意：

综上：。的值为L

故选：A.

15.A

【分析】根据题意作出图形，根据异面直线定义和线面平行判断即可.

答案第111页，共22页

【详解】已知点M■为正方体4BCD-44GD内（不包含表面）的一点，过点初的平面为

a，

对于名,在平面44Q。与平面班℃之间与平面与平面平行的平面均与

和坊G平行，如平面。

,当点M■为正方体488-48［。1°内（不包含表面）的一点，满足要求的平面有且只有

一个，故命题/是真命题；

对于%，点”在正方体48CD_44GD］内部（不包含表面），假设过点M至少可以作两

条直线与N4和&G所在的直线都相交，则由平面的基本性质可得N4，BQM在同一平

面内，与N4和月G异面矛盾，所以假设错误，所以命题％是假命题―

故选：A.

16.A

【分析】根据直线所过定点和4知症.砺=0，由此得欣轨迹是以G（2,2）为圆心，

右为半径的圆（不含点（3,3）），由垂径定理和圆上点到定点距离最小值的求法求得

答案第121页，共22页

\CD\,\MD\＞结合向量数量积的运算律求得疝.标最小值•

【详解】由圆的方程知：圆心半径r=2;

由4:x+叼-3zn-l=0得:(x-l)+w(y-3)=0,〃恒过定点E(l,3)；

由4：mx-y-3"?+l=0得：加(x-3)+(l-y)=0，.工恒过定点尸(3,1)；

由直线方程可知：：.MELMF,即加.赤=0，

设”(x,y)，贝I庇=0_x,3_y)，赤=(3-尤,1一回，

.•.迈・砺=(l-x)(3-x)+(3-y)(l-y)=(P整理得：(无一21+(y_2『=2，

即点旧的轨迹是以G(2,2)为圆心，也为半径的圆，又直线4斜率存在，

点轨迹不包含(3,3)；

若点。为弦48的中点，则疝+施=2祝5，位置关系如图：

，M

连接C",由14^=26知：卬==1，

贝1JP^LT"CLTcqTCG卜/一l=J（2+l1+（2+l）2一后一1=2收7,

答案第131页，共22页

------»»/►\/■-»\►2/►►\►►*

:.MA.MB=（MD+DA）（MD+DB）=MD+（DA+DB）.MD+DA•DB

=jWD2-3＞（2V2-l）2-3=6-4V2（当'在°』）处取等号），

^MA-MB的最小值为6-4VL

故选：A.

17-（%兀

【分析】（1）设出未知数，得到y=〃2,待定系数法求出解析式，从而计算出车轮转动前

2秒的平均角速度；

（2）求导，由导函数的意义得到答案.

【详解】（1）设车轮旋转的角度为歹，车辆启动后车轮转动的时间为/秒，

则y=kt29

由题意得，=1时，y=2兀，

即27tL2k9解得无=2兀，

故＞=2位2,车轮转动前2秒的平均角速度为2兀-X2=4兀,

2-0

（2）y=2jtt2＞y'=47tr,

由导函数的意义可得车轮在转动开始后第3秒的瞬时角速度为4兀什12兀•

答案第141页，共22页

18⑴•百

1O-v1farcsin——

3

呼

【分析】(1)利用法向量方法求线面角；

(2)利用法向量方法求点面距.

【详解】(1)平面NBC,N8,NCu平面N8C,

:.AA^AB,AAiVAC且已知皿c=~则

2

故以A为坐标原点，分别以/5,4C,441所在直线为'J/轴，建立空间直角坐标系,

于是,8(1,0,0),C(0,1,0),4(0,0,1),耳(1,0,1),，(0,1,?，

则BBX=(0,0,1),45=(l,0,-l),5C=(-1,1,0)-

设平面48c的一个法向量为］=(x,y,z)，

n-Ali=x-z=0工=1y=z=l

则%•任r+乃。'令,则

答案第151页，共22页

所以3=（1,1,1），设直线AB］与平面4BC所成的角为。，

।—.I胸•司173

川1r网桐1x63

所以直线与平面48c所成角为arcsm迫.

3

（2）由（1）知平面48c的一个法向量为"=（1』」），且函=（0,0,g

H&BC।_1

则点到平面的距离*」c""L3

\n\66

故所求点，到平面48c的距离为3.

6

J“2

19.⑴上一匕之

46

⑵（一6,+8）

【分析】（1）由共渐近线方程设法将点代入直接求解；

（2）向量坐标化，由点在双曲线上化简整理为二次函数求得范围.

将代入可得，，g"解得一

「22

a的标准方程为上一匕=i.

46

答案第161页，共22页

(2)设P(x，y),则一11

1

丁点尸在第一象限，；.x>2,且片(_&U,o”F2(Vio,O)

222

PF]■PF2=(-V10-x,-y)■(V10-x,-y)=x-10+j=^-x-16e(-6,+<»),

图.而的取值范围是(-6,+oo).

20.^)w=-b--b3,定义域为(°，3)

26

⑵6

【分析】（1）由勾股定理可得出〃2=9.〃，即可得出少关于/）的函数，结合实际情况写

出该函数的定义域；

（2）利用导数分析函数少=36-」/的单调性，即可得出该函数取最大值时对应的“的值.

26

【详解】（1）由勾股定理可得62+/=9，则〃2=9-/，

所以，W=-bh2^-b（9-b2）=-b--b3,其中即该函数的定义域为（0，3）.

（2）对函数少=36-」/求导得少，=3一』〃=上也，由心=°可得6=6,列表如下：

26222

b（。,、

-

n+0

增极大值减

所以，当6=当时，〃取得极大值，亦即最大值，且匕1a*=6

答案第171页，共22页

2

21.⑴工2-幺=1

2

⑵巾=4

⑶1PM卜|印为定值，^-\PM\-\PN\=2

【分析】（1）由离心率为6，可得b=6a,再由点7（血，8）在双曲线。上可得出“的

值，由此可得出双曲线0的方程；

（2）求出两条切线的方程，进而求出两切线与双曲线C的交点坐标，结合两点间的距离公

式可求得|肱\^；

（3）线斜率存在时，设出其方程并与双曲线方程联立,利用韦达定理、三角形相似可得

1PM为定值，验证切线斜率不存在的情况作答.

【详解】（1）解：设双曲线。的半焦距为0,依题意，£=V3,即有c=则

a

b=\jc2—a2=y[2a'

因为点T（亚，⑹在双曲线。上，则2-三=1,可得"I则6=伍=四

a2a

c2

因此，双曲线。的方程为/一匕=1.

2

（2）解：当切线的斜率不存在时，切线的方程为》=血，此时，圆心。到直线.逝的距

答案第181页，共22页

离为行，合乎题意,

当切线的斜率存在时，设切线的方程为了一挺=后卜一血)，即米-/-而+收=0,

|V2-V2/c|「卜=0y=