江苏省南通、扬州、连云港2024届高三第二次调研(淮安三模)数学试卷

连云港市2024届高三其次次调研测试

数学学科参考答案及评分建议

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案干脆填写在答题卡相应位置上.

1.命题“HxeR,2*>0”的否定是“▲”.

【答案】VxeR,2'WO

2.设部=。+历（i为虚数单位，a,beR）,则漏的值为▲

1-1

【答案】0

3.设集合4=卜1,0,3卜B={x|Vl},则AB=▲.

【答案】{-1,3}

4.执行如图所示的伪代码，则输出的结果为▲.I-1

WhileK7

【答案】11S-2/+1

I—1+2

5.一种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量（单位：t/hn?）

EndWhile

如下：9.8,9.9,10.1,10,10.2,则该组数据的方差为▲.PrintS

【答案】0.02（第4题）

6.若函数/（x）=2sin（s+1）（0>O）的图象与无轴相邻两个交点间的距离为2,则实数。的值

为▲.

【答案】|

7.在平面直角坐标系尤Qy中，若曲线y=lnx在x=e（e为自然对数的底数）处的切线与直线

办-y+3=0垂直，则实数。的值为▲.

【答案】-e

8.如图，在长方体ABCD—A4GD1中，AB=3cm,AD=2cm,相=1cm,则三棱锥耳—AB，

的体积为▲cn?.

【答案】1

9.已知等差数列{4}的首项为4,公差为2,前〃项和为S”.

（第8题）

若S^—以+5=44（左wN*），则一的值为▲.

【答案】7

10.设/'(工)=4X3+g2+(3)x+"(〃?，〃eR)是R上的单调增函数，则m的值为▲

【答案】6

11.在平行四边形ABCD中，ACAD=ACBD=3,则线段AC的长为▲.

【答案】出

12.如图，在△ABC中，旗=3,AC=2,BC=4,点。在边上,

ABAD=45°,则tan/C4D的值为▲

【答案］红普

13.设x,y,z均为大于1的实数，且z为x和y的等比中项，则归+粤的最小值为▲

-41gxlgy

【答案】|

O

14.在平面直角坐标系xOy中，圆C1：(x+l)2+(y-6)2=25,圆C2：(x-17)2+(y-30)2=r2.

若圆C?上存在一点P,使得过点尸可作一条射线与圆G依次交于点A,B,满意=

则半径r的取值范围是▲

【答案】［5,55］

二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证

明过程或演算步骤.

15.(本小题满分14分)

如图，在四面体/WCD中，平面54。_L平面G4D,442)=90°.M,N,。分别为棱AD,

BD,AC的中点.

(1)求证：CD〃平面MAQ；

(2)求证：平面MNQ_L平面C4D.

证明：(1)因为。分别为棱？ID,AC的中点,

所以MQ〃CD,

又CD<Z平面MAQ,MQu平面MAQ,

故CD//平面MNQ....6分

(2)因为N分别为棱相),80的中点，所以MW/AB,

又ZBAD=90°,ikMN±AD.……8分

因为平面54。_L平面C4O,平面54。)平面C4D=">,且MNu平面ABD,

所以ACV_L平面ACD.……11

分

又MNu平面“V。,

平面脑VQ_1_平面C4D....14分

（注：若运用真命题“假如两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平

面"证明“肱V_L平面ACD”，扣1分.）

16.（本小题满分14分）

体育测试成果分为四个等级：优、良、中、不及格.某班50名学生参与测试的结果如下：

等级优良中不及格

人数519233

（1）从该班随意抽取1名学生，求这名学生的测试成果为“良”或“中”的概率；

（2）测试成果为“优”的3名男生记为q,a2,a3,2名女生记为4，b2.现从这5人中

任选2人参与学校的某项体育竞赛.

①写出全部等可能的基本领件；

②求参赛学生中恰有1名女生的概率.

解：（1）记“测试成果为良或中”为事务A,“测试成果为良”为事务A，“测试成果为中”

为事务4,事务A，4是互斥的.……2分

由已知，有尸⑷=舄，尸⑷=畀……4分

因为当事务A,4之一发生时，事务A发生，

所以由互斥事务的概率公式，得

P（A）=尸（4+4）=尸（4）+尸⑷=黑+系=和.……6分

（2）①有10个基本领件：（％,%）,（如4），（卬瓦）,（3%）,Q,.），（%bj,

（。2，4），（。3，4），（。3，4），3],b2）....9分

②记“参赛学生中恰好有1名女生”为事务在上述等可能的10个基本领件中,

事务5包含了（%,伉）,（%,旬），（。2,，），（〃2，）2），（。3，瓦）,（。3,b2）.

故所求的概率为P（B）=今='.

答：（1）这名学生的测试成果为“良”或“中”的概率为

（2）参赛学生中恰有1名女生的概率为,.……14分

（注：不指明互斥事务扣1分；不记事务扣1分，不重复扣分；不答扣1分.事务3包含的6种

基本领件不枚举、运算结果未化简本次阅卷不扣分.）

17.（本小题满分14分）

在平面直角坐标系xOy中，已知向量〃=（1,0）,b=（0,2）.设向量r=a+（l-cos。）〃，

y--kaH■-,其中0V，VTI.

sin。

（1）若k=4,9=%求的值；

6

（2）若x//y,求实数左的最大值，并求取最大值时。的值.

解：（1）（方法1）当左=4,夕=袭时，x=（l,2-73）,y=（-4,4）,……2

分

贝IJx.y=lx（y）+（2_A^）x4=4_4A.......6分

（方法2）依题意，a・b=0,……2分

贝!a+（1—.（一4〃+25）=-4Q2+2x（1—^^）/

=-4+2x(l一号)x4=4—4/.……6分

(2)依题意，％=(1,2—2cos。)，y=卜左，$.2.卜

因为x//y,

所以?=-左(2—2cos0),

sint/

整理得，j=sin^(cos<9-l),.......9分

K,

令于(。)=sin0(cos0-\),

贝U=cos0(cos夕一1)+sin0(-sin0)

=2cos20—cos3—1

=(2cose+1)(cose-1).ii分

令广(6)=°，得cose=—g或cos8=l，

又0<8<兀，故。=弩".

列表：

2兀

T

八。)

以仍\微小值-乎

故当。=竽时，//)=_乎，此时实数上取最大值一半

1mn14分

(注：第(2)小问中，得至ljx=(l,2-2cos6),7=卜3磊)，及上与夕的等式，各1分.)

18.(本小题满分16分)

22

如图，在平面直角坐标系X0V中，椭圆卷■+七=l(a>b>0)的左顶点为A,右焦点为

F(c,0).P(x0,y0)为椭圆上一点，且PAL".

(1)若a=3,b=y/5,求/的值;

(2)若毛=0,求椭圆的离心率;

(3)求证：以尸为圆心，FP为半径的圆与椭圆的

右准线x=正相切.(第18题)

C

解：(1)因为a=3,b=y[5,所以°2=合一廿=4,即c=2,

由得，工・工4=-1,即巾=-无；一天+6,

AQ+3XQ—2

所以4%；+9%-9=0,解得/■或％0=-3(舍去).

(2)当/=0时，%2=〃,

由小所得，学士-1,即心",故……

所以e2+e-l=0,解得e=夸"(负值己舍).……10

分

(3)依题意，椭圆右焦点到直线x=式的距离为武-c,且反+q=1,①

CCa1b1

由PA_LPF得，——---——=—1,即y；=—%:+(c—CI)XQ+cu,②

XQ+ci%—c

a(b2-ac]

由①②得，(%+〃)xH---------=0,

0C

a\"—etc—c2)

解得入0=--------2---------------或%=-4(舍去)....13分

C

所以尸尸二J(%o-c)+y；=—<?)一片+(c*_a)/+ca=a—

ci(a2_ac—/)2

=a+~~-----------=--c,

acc

2

所以以尸为圆心，FP为半径的圆与右准线光=(相切.……16分

(注：第(2)小问中，得到椭圆右焦点到直线工=让的距离为让-c,得1分；干脆运用焦半

CC

径公式扣1分.)

19.(本小题满分16分)

设aeR,函数/(x)=x|尤-a|-a.

(1)若/(元)为奇函数，求。的值；

(2)若对随意的尤e[2,3],/(无)20恒成立，求。的取值范围；

(3)当a>4时，求函数y=〃/(x)+a)零点的个数.

解:(1)若/(x)为奇函数，则/(—x)=-f(x),

令x=O得，/(0)=-/(0),即/(0)=0,

所以。=0,此时/(无)=x|x|为奇函数....4分

(2)因为对随意的xe[2,3],/(x)20恒成立，所以『(初总玄).

当aW)时，对随意的xe[2,3],/(x)=尤-a，O恒成立，所以aWO；...6分

2

口/口-x+ax-afx<af在卜00,T上是单调增函数，在慢”］上

当a>0时,易得/(%)=2、

x-ax-a,xNa

是单调减函数，在［a,+00)上是单调增函数，

当0<“<2时，/(x)rin=/(2)=2(2-a)-a^O,解得aW?,所以

当2WaW3时，/(x)1nhi=/(a)=-心0,解得aW),所以a不存在；

当a>3时，/(尤)1Tli门二血式/⑵，/(3)}=10111{2(4-2)-4,3(。-3)-0}力0,解得023,

所以；

综上得，aw］或……10分

(3)设尸(%)=/"(%)+〃］,

令”/(x)+Q=x\x-a\

贝Uy=f。)=t\t-a\-a,a>4,

第一步，令/⑺=0==Q,

所以，当［<〃时，t2-at+a=0,判另U式A=a(a—4)>0,

尚窣t_a，a2—4〃(_<2+，片—4a

当，时，由/⑺=0得，即，(，一a)=a,

解得j二空用士坦;

「「2

其次步，易得0<%/气<〃</3，且〃<*，

①若木-4=其中

1

当时，x—ax+tx=0,记〃(%)=/一ax+%,因为对称轴％=£<〃,

p(a)=G>0,且4=/一乜>0,所以方程/-〃+4=0有2个不同的实根;

当时，x2-ax-t^O,记.(%)=%之一以一彳，因为对称轴x=

4(〃)=_.<0,且42=4+4%>0,所以方程—一依一％=0有1个实根,

从而方程入,-a|="有3个不同的实根;

2

=

②x|x—tz|t29其中。</2<2"，

由①知，方程。|=，2有3个不同的实根；

③若川冗-d=t3，

2

当时，x-ax-13=0,记〃(%)=/一改一%,因为对称轴x=/<〃，

r(a)=-t3<0,且43=〃+书3〉0,所以方程f—依-3=。有1个实根；

2

当时，X-ax+t3=0,记s(x)=f—蛇一6,因为对称轴x=?<。，

s(a)=t3>0,且A3=4—4/3,

"一牝>0=d_4〃2_16<0,...14分

1己m(a)=Q'-4/-16,贝!Jm'g)=a(3a—8)>0,

故加(。)为(4,+8)上增函数，且加4)=-16<0,m(5)=9>0,

所以皿a)=0有唯一解，不妨记为小，且4w(4,5),

若4<a<〃0,即A3<°，方程尤之一av+j=。有0个实木艮；

若a=%,BPA3=0,方程%之一公+^=0有1个实根；

若Q>/,BPA3>0,方程f一办+与=0有2个实根，

所以，当4<々</时，方程尤-4=1有1个实根;

当〃=4时,方程小-4=与有2个实根；

当Q>〃0时，方程％上一4=/3有3个实根.

综上，当4<〃<4时，函数,=/"(%)+司的零点个数为7；

当〃=%时，函数y=/"(%)+〃］的零点个数为8；

当时，函数y=/［/(%)+〃］的零点个数为9.……16分

(注：第(1)小问中，求得a=0后不验证了(%)为奇函数，不扣分；第(2)小问中利用分别参

数法参照参考答案给分；第(3)小问中运用数形结合，但缺少代数过程的只给结果分.)

20.(本小题满分16分)

设｛〃“｝是公差为d的等差数列，也,｝是公比为4(q21)的等比数列.记c“=4+*

(1)求证：数列｛c用-g-d｝为等比数列；

(2)已知数列｛q,｝的前4项分别为4,10,19,34.

①求数列｛%｝和也｝的通项公式；

②是否存在元素均为正整数的集合A=｛4,叼，…，4｝(左三4，%eN*),使得数列

c”,，J”…,c”.为等差数列？证明你的结论•

解：(1)证明：依题意，c„+1-cn-d=(a„+1+bn+l)-(an+bn)-d

=(%+i-%)-d+(A+i-6“)

=6“(q-l)wO,.......3分

从而必9一，二料=q,又c2f-d=b-O,

1

cn+1-cn-d-

所以｛c“+「c”-力是首项为4(4T)，公比为q的等比数列•……5分

(2)①法1：由(1)得，等比数列匕+]-cn-d｝的前3项为6-4,9-d,15-d,

贝!](9V『=(6-d)(15-d),

解得d=3,从而q=2,.......7分

且!〃i+4=4,

[q+3+2Z?j=10,

解得q=1,4=3,

所以%=3〃一2,b,=3,2"-1........10分

+4=4,

a+d+3=10,

依题意，得1:2

q+2d+如=19,

q+3d+=34,

d+bxq-bx=6,

消去q,得<d+l\q2—b1q=9,

d+4/_瓦/=15,

消去〃，得卜二"”3,

消去,，得q=2,

从而可解得，％=1,4=3,d=3,

所以%=3〃一2,a=3・2"T....10分

②假设存在满意题意的集合A,不妨设/,m,p,r^A(l<m<p<r),且q,cm,

Cp,j成等差数列，

则2。=。P+。/，

因为9>0,所以27>Cp,①

若p>m+1,则m+2,

结合①得，2[(3加—2)+3,2%]>(3〃—2)+3・2“T^3(rn+2)-2+3-2m+1,

化简得，2m-m<-^<0,②

因为m三2,加eN*,不难知2'"-m>0,这与②冲突，

所以只能p=m+l,

同理，r=p+\,

所以C,”，,，1为数列｛g｝的连续三项，从而2c“+i=G+G+2，

即2(。,用+bm+l)=am+bm+am+2+bm+2，

故2%i=一+%2,只能4=1，这与六1冲突，

所以假设不成立，从而不存在满意题意的集合A.……16分

(注：第(2)小问②中，在正确解答①的基础上，写出结论“不存在”，就给1分.)

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数学II（附加题）

A.［选修4-1：几何证明选讲］（本小题满分10分）

如图，从圆O外一点P引圆的切线PC及割线

求证：APBC=ACCP.

证明：因为PC为圆O的切线，

所以NPC4=NCBP,

又NCPA=NCPB,（第21-A题）

故.......7分

所以3£=丝，

BCPC

即AP・3C=ACCP.10分

B.［选修4-2：矩阵与变换］（本小题满分10分）

2a2

设是矩阵M=的一个特征向量，求实数，的值.

332

2

解：设是矩阵属于特征值2的一个特征向量,

3M

a222

则=Z5分

3233

4=4,

故解得10分

4=1.

C.［选修4-4：坐标系与参数方程］（本小题满分10分）

在极坐标系中，设直线。=方与曲线"-lOpcose+dMO相交于A,3两点，求线段AB中点

的极坐标.

解：（方法1）将直线。=1化为一般方程得，＞=后,

将曲线"-100«）5。+4=0化为一般方程得，x2+y2-10x+4=0,……4分

联立并消去y得，2X2-5X+2=0,

x2+y2-10x+4=0

解得玉=4，工2=2，

所以AB中点的横坐标为气三V，纵坐标为,5……8分

化为极坐标为你野……10分

0=匹

（方法2）联立直线/与曲线C的方程组一3'……2分

p1-10夕cos。+4=0,

消去6,得夕2—5夕+4=0,

解得8=1,夕2=4,...6分

所以线段中点的极坐标为方），即停勺•……1。分

（注：将线段中点的极坐标写成《，1+2析）（GeZ）的不扣分.）

D.［选修4-5：不等式选讲］（本小题满分10分）

设实数a,b,c满意a+»+3c=4,求证：a2+b2+c2^y.

证明：由柯西不等式，得（4+加+c2）（i2+22+32）与（a+26+3c）2,……6分

因为a+2Z?+3c=4,

故……8分

当且仅当什■!=］,即a*,b*,C*时取“=”.……10

分

【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出

文字说明、证明过程或演算步骤.

22.（本小题满分10分）

如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(8,-4),尸(2,7)«<0)在抛物线/=2px5>0)上.

(1)求p,t的值;

(2)过点P作尸M垂直于x轴，/为垂足，直线AM与抛物线的另一交点为8,点C在直线

AM1..若上4,PB,PC的斜率分别为%,k2,k3,且左+幻=2%，求点C的坐标.

解：(1)将点4(8，-4)代入y2=2px,

得p=1,2分

将点尸(2,f)代入丁=2尤，得/=±2,

因为t<0,所以t=-2.4分

(2)依题意，Mr的坐标为(2,0),

直线AM的方程为y=-|x+',

24

联立户一铲十》并解得3住，1k

6分

y=2元'；