2024年辽宁省中考数学一模统考训练试卷附答案解析

2024年辽宁省中考数学一模统考训练试卷

一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的）

1.（3分）2024的倒数是（）

11

A.2024B.-2024C.----D.

20242024

2.（3分）六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（）

4.（3分）下列运算正确的是（）

sa,

A.（-nrn）3=-B.in-nf=nr

C.（加+2）2=W2+4D.（-3机）+3小=4〃/

5.（3分）学习电学知识后，小亮同学用四个开关A、8、C、。，一个电源和一个灯泡设计了一个电路图,

现任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的概率为（）

1112

A.-B.-c.一D.-

4323

6.（3分）一元二次方程x2-3x+2=0的根的情况是（）

A.有两个相等的实数根

B.有两个不相等的实数根

C.只有一个实数根

D.没有实数根

7.（3分）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心。的光线相交于

，则N3的度数为（）

55°D.60°

8.（3分）如图，在△4BC中，AB=BC=AC,。是BC的中点，OE_LA8于点E,则△8OE的面积与△ABC

的面积之比为（）

1：4C.1：2D.2：5

9.（3分）从前有一天，一个笨汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高

2尺.他的邻居教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个笨汉一试，不多不少刚好进去了.求竹竿有多长.设

竹竿长x尺，则根据题意，可列方程（）

A.(x+4)2+(x+2)2=/B.(x-4)2+(x-2)2=/

C.(x-4)2+(x+2)2=x2D.(x+4)2+(x-2)2=x2

10.（3分）如图，在矩形4BCO中，点E在4。上，且EC平分N8FD,AB=2fNABE=45°,则。E

的长为（）

A.2V2-2B.戊-1C.V3-1D.2^2

二、填空题

11.（3分）式子疡飞在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是.

12.（3分）分解因式：4/-4=.

13.（3分）一个正多边形的每个外角的度数是72°,则这个正多边形的边数是.

14.（3分）如图，在直角ZkABO中，AO=y/3,A8=l,将aABO绕点。顺时针旋转105°至小B'0

的位置，点E是0夕的中点，且点E在反比例函数y=3的图象上，则2的值为.

V

15.（3分）如图，正方形ABC。中，A0=9,点E是对角线8。上一点，连接AE,过点E作EF_LAE,

交BC于点F,连接AF,交8D于点G,将△EFG沿所翻折，得到连接AM,交£产于点N,

三、解答题

16.（1）计算：3mH30。一（》-2+|百一2|；

（2）化简：（亳一备）.七•

17.在进一步发展国民经济，努力实现全体人民共同富裕的大背景下，“提高农民的收入，提升农民的幸

福感”成为了某镇政府的核心任务.2023年，该镇主要的两种作物总产量如表：

类别小麦大豆

总产量/万公斤1440270

通过统计与计算，发现小麦的亩产量是大豆亩产量的4倍，小麦的种植面积比大豆的种植面积多5000

亩.

（1）求小麦的种植面积.

（2）为提高农民收入，镇政府决定从种植小麦的土地中，拨出一部分土地改种经济价值更高的蔬菜,

要求改种蔬菜的面积不超过剩余种植小麦面积的四分之一.求改种蔬菜的土地的最大面积.

18.近日，教育部印发了《关于举办第三届中华经典诵写讲大赛的通知》，本届大赛以“传承中华经典，

庆祝建党百年”为主题，分为“诵读中国”经典诵读，“诗教中国”诗词讲解，“笔墨中国”汉字书写,

“印记中国”印章篆刻比赛四类（依次记为A,B,C,D）.为了解同学们参与这四类比赛的意向，某

校学生会从有意向参与比赛的学生中随机抽取若干名学生进行了问卷调杳（调查问卷如图所示），所有

问卷全部收回，并将调查结果绘制成如下所示的统计图和统计表（均不完整）.请根据图表提供的信息，

“中华经典诵写讲大赛”参赛意向调查问卷

请在下列选项中选择您有参赛意向的选项，

在其后“[]”内打非常感谢您的合作.

A.“诵读中国”经典诵读[]

B.“诗教中国”诗词讲解[]

C.“笔墨中国”汉字书写[]

D.“印记中国”印章篆刻[]

解答下列问题:

人数A

类别占调查人数的百分比

A70%

B30%

Cm

D20%

（1）参与本次问卷调查的总人数为人，统计表中C的百分比用为；

（2）请补全统计图；

（3）小华想用扇形统计图反映有意向参与各类比赛的人数占被调查总人数的百分比，是否可行？若可

行，求出表示。类比赛的扇形圆心角的度数；若不可行，请说明理由；

（4）学校“诗教中国”诗词讲解大赛初赛的规则是：组委会提供“春”“夏”“秋”“冬”四组题目（依

次记为b,c,d,e）,由电脑随机给每位参赛选手派发一组.选手根据题目要求进行诗词讲解.请用列

表或画树状图的方法求甲，乙两名选手抽到的题目在同一组的概率.

19.每年的3月12日是我国的植树节，某市园林局在3月12日当天安排甲、乙两个小组共种植220棵株

体较大的银杏树，要求在5小时内种植完毕，已知第1个小时两个小组共植树35棵，甲组植树过程中

由于起重机出故障，中途停工1个小时进行维修，然后提高工作效率，直到与乙组共同完成任务为止,

设甲、乙两个小组植树的时间为x（小时），甲组植树数量为y甲（棵），乙组植树数量为），乙（棵），y甲，

y乙与x之间的函数关系图象如图所示，

（1）求y乙与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；

（2）求m、n的值；

（3）直接写出甲、乙两个小组经过多长时间共植树165棵？

y徽

m

1(X)

0

20.为响应国家的“节能减排”政策，某厂家开发了一种新型的电动车，如图，它的大灯A射出的光线

AB、AC与地面MN的夹角分别为22°和31°,AT_LMM垂足为7,大灯照亮地面的宽度BC的长为

6

（1）求57的长（不考虑其他因素）.

（2）一般正常人从发现危险到做出刹车动作的反应时间是0.2s,从发现危险到电动车完全停下所行驶

的距离叫做最小安全距离.某人以20k/n/h的速度驾驶该车，从做出刹车动作到电动车停止的刹车距离

是日血，请判断该车大灯的设计是否能满足最小安全距离的要求（大灯与前轮前端间水平距离忽略不

计），并说明理由.

(参考数据：sin22°«g,tan22°«sin31°«tan31°«g)

21.如图，AB是00的直径，点C为00上一点，连接BC,过点。作8C的垂线交于点?，交。。

于点E,AE与BC交于点”，8。是OO的切线，交OE延长线于。，连接6E,CE.

(1)求证：NODB=/AEC；

（2）若BH=15,tanA=求。。的半径.

B的坐标分别为（0,10）,（8,4）,顶点C,D在第一象限.点P

从点4出发，沿正方形按A-B-C方向运动，同时，点。从点E（4,0）出发，沿x轴正方向以相同

速度运动，当点P到达点。时，P,。两点同时停止运动，设运动时间为，（s）,尸Q的面积S（平

方单位）.

（1）正方形A3C3的边长为；

p45

（2）当点P由点A运动到点8时，过点P作PM_Ly轴交），轴于点M,己知随着点尸在4B上运动时广；=:，

△OPQ的面积S与时间/（s）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图2所示），

求：①点P,。两点的运动速度为:

②S关于，的函数关系式为；

（3）当点尸由点8运动到点。时，经探究发现△OPQ的面积S是关于时间f（s）的二次函数，其中5

与t部分对应取值如下表：

/101520

S2876m

求：用的值及S关于/的函数关系式.

（4）在（2）的条件下若存在2个时刻力，t2（n</2）对应的△OPQ的形状是以OP为腰的等腰三角形，

点P沿正方形按A-B-C方向运动时直接写出当"黑+%时，△OPQ的面积S的值.

过平面内一定点作两条直线（不平行）的垂线，那么这个定点与两个垂足阂成的三角形称为“点足三角

形”，在“点足三角形”中，以这个定点为顶点的角称为“垂角”.

如图1,OA_L/[,0BL2,垂足分别为A、B,则△048为“点足三角形"，NAO8为“垂角”.

M

(1)两条直线相交且所夹锐角为a度，则过平面内一点所画出的“点足三角形”的“垂角”度数为

度(用a表示).

(2)如图2,点。为平面内一点，QA_L/i,O8_L/2,垂足分别为A、B,将“垂角”绕着点。旋转一

个角度，分别与A,b,相交于C、D,连接CD.求证：△OABSZXOCD.

【迁移运用】

Q

(3)如图3,/MPN=a,点4在射线PM上，点8是射线PN上的点，且tana=而以=4.则NMPN

的外部是否存在一点。使得“点足三角形048“的面积为主，若存在，求出此时PB的长；若不存在，

请说明理由.

2024年辽宁省中考数学一模统考训练试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的）

1.（3分）2024的倒数是（）

11

A.2024B.-2024C.-------D.

20242024

【解答】解：2024的倒数是与；

2024

故选：C.

2.（3分）六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（）

【解答】解：由题意知，题中几何体的左视图为:

故选：D.

3.（3分）数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又

是中心对称图形的是（）

A.B.

【解答】解：A.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意;

B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

C.既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；

D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意.

故选：C.

4.（3分）下列运算正确的是（）

26332

A.（-mn）3=-mnB.-/7I=/W

C.（m+2）2=?n2+4D.（12///4-3in）-7-3m=4nr

【解答】解：（-谒〃）3=_m6n3t故选项人正确；

疝-疝不能合并为一项，故选项8错误；

+2）2=闭2+4〃什4,故选项C错误；

（・3机）+3W7=4WP-1,故选项D错误；

故选：A.

5.（3分）学习电学知识后，小亮同学用四个开关A、8、C、。，一个电源和一个灯泡设计了一个电路图,

现任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的概率为（）

【解答】解：画树状图如下:

开始

ABCD

/NZN/4\

BCDACDABDABC

共有12种等可能的结果，其中小灯泡发光的结果有6种，即A。、BD、CD、DA.DB、DC,

.••小灯泡发光的概率为三=3

122

故选：C.

6.（3分）一元二次方程f-3x+2=0的根的情况是（）

A.有两个相等的实数根

B.有两个不相等的实数根

C.只有一个实数根

D.没有实数根

【解答】解：f-3X+2=0,

A=（-3）2-4XlX2=l>0,

所以方程有两个不相等的实数根，

故选：B.

7.（3分）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心0的光线相交于

点P,点尸为焦点.若Nl=155°,Z2=30°,则N3的度数为（）

VZ1=155°,

：.ZOFB=25°,

VZPOF=Z2=30<,,

；.N3=NPOF+NOFB=300+25°=55°.

故选：C.

8.（3分）如图，在△A3。中，AB=BC=AC,。是BC的中点，DELAB于点、E,则△8OE的面积与AABC

的面积之比为（）

【解答】解：连接AD，

•；AB=BC=AC,

•••△ABC是等边三角形，

是8C的中点，

：.AD.LBC,

设等边三角形的边长为小

则BD=>

根据勾股定理，得但J。?一（聂）2=令,

.,.△ABC的面积=28c.AD=.空a=字a?,

:△ABC是等边三角形，

AZB=60°,

VDEIAB,

；・NBED=90°,

:・NBDE=30°,

1ill

.»BE=&BD=2X[a，

根据勾股定理，DE=J（1a）2-（ia）2=2ja,

/.△BED的面积=DE=|ia-空a=^|a2,

•••△BDE的面积与△ABC的面积之比为（枭2）：（辛。2）=1：8,

故选：A.

9.(3分)从前有一天，一个笨汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高

2尺.他的邻居教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个笨汉一试，不多不少刚好进去了.求竹竿有多长.设

竹竿长x尺，则根据题意，可列方程()

A.(x+4)2+(x+2)2=7B.(x-4)2+(x-2)2=J?

C.(x-4)2+(x+2)2=/D.(x+4)2+(厂2)2=^

【解答】解：・・•竹竿的长为x尺，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺.

・・・门框的长为(x-2)尺，宽为(x-4)尺，

，可列方程为(x-4)2+(x-2)2=7,

故选：B.

10.(3分)如图，在矩形A8CD中，点E在AO上，且EC平分N3ED,AB=2,ZABE=45°,则DE

A.2V2-2B.戊-1C.V3-1D.2V2

【解答】解：•・,四边形ABC。为矩形，

J.AD//BC,AD=BC,NA=90°,

VAfi=2,ZABE=45°,

：.AE=AB=2,

:,BE=>lAB2+AE2=2V2,

*：AD//RC,

:"DEC=/ECB,

TEC平分NBEO,

:,NBEC=NDEC,

:・/BEC=/ECB,

:・BC=BE=20,

，AO=2VL

：.DE=AD-AE=2y/2-2,

故选：A.

二、填空题

II.(3分)式子VFK在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是Q5.

【解答】解：式子在实数范围内有意义，则X-520,

故实数x的取值范围是：％25.

故答案为：x25.

12.(3分)分解因式：4,-4=4(x+l)(厂1).

【解答】解：原式=4(?-1)=4(x+1)1).

故答案为：4(—1)(x7).

13.(3分)一个正多边形的每个外角的度数是72°,则这个正多边形的边数是5.

【解答】解：3604-72=5,那么它的边数是5.

14.(3分)如图，在直角△ASO中，AO=V3,AB=lt将AAKO绕点。顺时针旋转105°至△4'B'O

的位置，点E是O"的中点，且点E在反比例函数)，=§的图象上，则2的值为_二.

“2

v

【解答】解：如图，作轴，垂足为

由题意，在RlZSBA。中，AO=V1AB=\,

：.BO=>/AB2+AO2=2.

••・A8=妙。.

・・・N4O8=30°.

又△A50绕点。顺时针旋转105°至△4'B'。的位置,

；・NBOB=105°.

:,NB'OX=45°.

又点E是OB'的中点，

1

：,OE=^BO=\.

在RlZXEOH中，

•・・NB'OX=45°,

：.EH=OH=

.V2V2

.»E（—,—）.

22

又上在），=（上，

,,42^421

•^=TXT=2-

故答案为：

15.（3分）如图，正方形ABCO中，AD=9,点七是对角线8。上一点，连接AE,过点上作ERLAE,

交BC于点F,连接AF,交8。于点G,将△EFG沿七尸翻折，得到△"M,连接AM,交E尸于点N,

若B尸=为。，则线段AM的长是史迹•

3-4-

：.AD//BC,AB=BC=AD=9,

:,BF=1fiC=3,

在RtZ\48尸中，根据勾股定理得：

AF=>lAB2+BF2=V92+32=3V10,

，：AD〃BC,

•••△AGDs△尸GB,

AGAD

•••_=__,

FGBF

AG9

•,_•_____—___7—，，

FG3

：.AG=3FG,

'：AG+FG=AF,

/.3re+FG=3V10,

・「厂3/10

•♦FG=-4-.

/.AF=4FG=3V10,

，：BD是正方形ABCD的对角线,

AZABD=450,

VEF1AE,

：.ZAEF=900=NABC,

・・・N4BC+NAM=180°,

二点A,B,F,E四点共圆,

・・・NEFG=NABD=45°,

•・•将沿EF翻折，得到

:・FG=FM,/EFM=/EFG,

：.FM=FG=NEFM=/EFG=45°，

邛4B,

/.ZAFM=ZEFM+ZEFG=450+45°=90°,

.*.AAf=V/1F24-FM2=J(3VIU)2+("j。)2=」了。

jved3V170

故答涂为：—^

三、解答题

16.(1)计算：3£加30。一(》一2+|百一2|；

(2)化简：(亳一嘉).心•

【解答】解：(1)3七加30。一&)-2+|四一2|

=3x—4+2—>/3

=V3-4+2-V3

=-2；

(2)-4)+工

'%2-9%+3，3-x

xx-3,3-x

—rf―1X-5-

(x+3)(x-3)(x+3)(x-3)3

3x-3

=(%+3)(%-3)*W

1

="x+3,

17.在进一步发展国民经济，努力实现全体人民共同富裕的大背景下，“提高农民的收入，提升农民的幸

福感”成为了某镇政府的核心任务.2023年，该镇主要的两种作物总产量如表：

类别小麦大豆

总产量/万公斤1440270

通过统计与计算，发现小麦的亩产量是大豆亩产量的4倍，小麦的种植面积比大豆的种植面积多5000

亩.

(1)求小麦的种植面积.

(2)为提高农民收入，镇政府决定从种植小麦的土地中，拨出一部分土地改种经济价值更高的蔬菜,

要求改种蔬菜的面积不超过剩余种植小麦面积的四分之一.求改种蔬菜的土地的最大面积.

【解答】解：(1)设小麦的种植面积为X亩,

“2701440

由题意得4*%-5000=~x~f

10801440

即-------=——，

x-5000X

方程两边同乘K(x-5000),

得108Qr=1440(%-5000),

解得20000.

检验：当x=20000时，x(x-5000)W0,

20000是分式方程的解.

答：小麦的种植面积为20000亩；

(2)设改种蔬菜的面积为y亩，

根据题意得y<1(20000-y).

解得yW4000.

答：改种蔬菜的最大面积为4000亩.

18.近日，教育部印发了《关于举办第三届中华经典诵写讲大赛的通知》，本届大赛以“传承中华经典，

庆祝建党百年”为主题，分为“诵读中国”经典诵读，“诗教中国”诗词讲解，“笔墨中国”汉字书写,

“印记中国”印章篆刻比赛四类(依次记为A,B,C,。).为了解同学们参与这四类比赛的意向，某

校学生会从有意向参与比赛的学生中随机抽取若干名学生进行了问卷调查(调查问卷如图所示)，所有

问卷全部收回，并将调查结果绘制成如下所示的统计图和统计表(均不完整).请根据图表提供的信息，

“中华经典诵写讲大赛”参赛意向调查问卷

请在下列选项中选择您有参赛意向的选项，

在其后一］“内打非常感谢您的合作.

A.“诵读中国”经典诵读［]

B.“诗教中国”诗词讲解［]

C.“笔墨中国”汉字书写［]

D.“印记中国”印章篆亥打]

解答下列问题:

A诵读B诗教。笔墨D印记类别

中国中国中国中国

类别占调查人数的百分比

A70%

B30%

Cm

D20%

（1）参与本次问卷调查的总人数为120人,统计表中C的百分比加为50%

（2）请补全统计图;

（3）小华想用扇形统计图反映有意向参与各类比赛的人数占被调查总人数的百分比，是否可行？若可

行，求出表示C类比赛的扇形圆心角的度数；若不可行，请说明理由；

（4）学校“诗教中国”诗词讲解大赛初赛的规则是：组委会提供“春”“夏”“秋”“冬”四组题目（依

次记为b,c,d,e）,由电脑随机给每位参赛选手派发一组.选手根据题目要求进行诗词讲解.请用列

表或画树状图的方法求甲，乙两名选手抽到的题目在同一组的概率.

【解答】解：（1）调查人数为：844-70%=120（人），

C的百分比为：604-120X100%=50%,

故答案为：120,50%；

（2）B组的人数=120X30%=36（人，

补全条形统计图如下：

（3）不可行.理由：答案不唯一.

如：由统计表可知70%+30%+50%+20%>1.即有意向参与比赛的人数占调查总人数的百分比之和大于

1：或R4+60>120,即有意向参与A类与「类的人数之和大于总人数120：

（4）用列表法表示所有可能出现的结果情况如F：

手

乙送并、WPQR

WWWPWQWRW

PWPPPQPRP

QWQPQQQRQ

RWRPRQRRR

共有16中等可能出现的结果，其中甲、乙抽到的题目在同一组的有4种，

41

所以甲、乙抽到的题目在同一组的概率为二=:

19.每年的3月12日是我国的植树节，某市园林局在3月12日当天安排甲、乙两个小组共种植220棵株

体较大的银杏树，要求在5小时内种植完毕，已知第1个小时两个小组共植树35棵，甲组植树过程中

由于起重机出故障，中途停工1个小时进行维修，然后提高工作效率，直到与乙组共同完成任务为止,

设甲、乙两个小组植树的时间为x（小时），甲组植树数量为y甲（棵），乙组植树数量为y乙（棵），y甲，

y乙与x之间的函数关系图象如图所示，

（1）求y乙与”之间的函数关系式，并写出x的取值范围；

（2）求切、〃的值；

（3）直接写出甲、乙两个小组经过多长时间共植树165棵？

【解答】解：（1）设y乙与x之间的函数关系式是丁乙="，

;点（5,100）在该函数图象上，代入关系式得：100=52,

解得％=20,

即），乙与x之间的函数关系式是y乙=20x（0«5）；

（2）根据题意得，

乙每小时植树：100・5=20（棵），

则甲每小时植树:35-20=15（棵）,

••Ft—15•=120,

即机的值是120,〃的值是15；

（3）设甲、乙两个小组经过。小时共植树165棵，

甲2小时之后每小时植树：（120-15）4-（5-2）=105+3=35（棵），

23+15+35（a-2）=165,

解得：a=4,

答：甲、乙两个小组经过4小时共植树165棵.

20.为响应国家的“节能减排”政策，某厂家开发了一种新型的电动车，如图，它的大灯A射出的光线

与地面MN的夹角分别为22。和31°,A7_LMM垂足为T,大灯照亮地面的宽度8C的长为前.

（1）求sr的长（不考虑其他因素）.

（2）一般正常人从发现危险到做出刹车动作的反应时间是0.2.?,从发现危险到电动车完全停下所行驶

的距离叫做最小安全距离.某人以205瓶的速度驾裂该车，从做出刹车动作到电动车停止的刹车距离

14

是请判断该车大灯的设计是否能满足最小安全距离的要求（大灯与前轮前端间水平距离忽略不

计），并说明理由.

（参考数据：sin22°tan22°sin31°a景，tan31。瓷）

oOZDO

【解答】解：（1）根据题意及图知：ZACT=31°,ZABT=22°

*：ATLMN

：.ZATC=90°

在RtZXACT中，NACT=3I°

•...o_AT_3

•JanJ1==g

可设AT=3x米，则CT=5x米，

在RtZXABT中，ZABT=22°

,,„ATAT2

・・tan202=前=就叼=耳

即：5------=7

—+5%5

6

解得：x=i

O

15

ACT=5x2=3('")，

：.BT=BC+CT=j+j=?m；

(2)20km/h=^-m/s,

5010

-x0.2=­m,

99

—10+—14=—8＞一5

9932

・•・该车大灯的设计不能满足最小安全距离的要求.

21.如图，A3是的直径，点。为GO上一点，连接BC,过点。作BC的垂线交8C于点尸，交CO

于点七，AE与BC交于点H,4。是。。的切线，交OE延长线于O,连接BE,CE.

(1)求证：NODB=NAEC；

(2)若BH=15,tanA=求00的半径.

【解答】(1)证明：•・•8。是QO的切线，A8是。。的直径,

・・・A8_L8。，即N008+N0£)8=90°,

yOF±BC,

:・/FOB+NOBF=90°,

：.ZODB=ZABC,

•••NAEC=ZABC,

：.ZODB=ZAEC；

(2)连接BE,

A

•：OE±BC,

，。石垂直平分BC,

:・BF=CF,BE=CE,

：.NCBE=NBCE=ZBAE,

•；NBEH=NAEB,

:AABESABHE,

:・NEBH=NA,

••.AB为。。的直径，

：.ZAEB=90°,

3

工在Rt/^BEH中,tanz.EBH=tanA=

pH

tanZEBH=卷，

3

：.EH=^BE,

由勾股定理得，BH2—B烂土H烂,即©BE/+BE2=BH2=152,

解得：8E=12或・12（舍），

3BE

tanA=4,tanA=而，

.BE_3

••~,

AE4

・・・AE=16,

AAB=7AE?+BE?=20,

・・・OO的半径为10.

22.如图1,正方形ABC。的顶点A,B的坐标分别为（0,10）,（8,4）,顶点C,。在第一象限.点尸

从点A出发，沿正方形按4-BfC方向运动，同时，点。从点E（4,0）出发，沿x轴正方向以相同

速度运动，当点P到达点。时，P,。两点同时停止运动，设运动时间为，(s),尸Q的面积S(平

方单位).

(I)正方形A3CO的边长为10；

5

(2)当点P由点A运动到点8时，过点P作PM_Ly轴交)，轴于点M,己知随着点尸在4B上运动时广；=一，

△OPQ的面积S与时间/(s)之间的函数图象为抛物线的一部分(如图2所示)，

求：①点P,。两点的运动速度为1单位/秒；

②S关于，的函数关系式为__S=-^t2++20(0<t<10)_；

(3)当点P由点8运动到点C时，经探究发现△OPQ的面积S是关于时间，(s)的二次函数，其中S

与t部分对应取值如下表：

t101520

S2876m

求：〃，的值及S关于，的函数关系式.

(4)在(2)的条件下若存在2个时刻H,ti(/1</2)对应的AOP。的形状是以OP为腰的等腰一角形，

3

-

点P沿正方形按方向运动时直接写出当£=££]4功时，△OPQ的面积S的值.

图1图2

【解答】解：(1)VA,B的坐标分别为(0,10),(8,4),

：.AB=,(0-8J+(10-4(=10,

・••正方形的边长为10,

故答案为：10：

(2)①由图2可知，当，=10时，5=28,此时点尸从A点移动到B点,

工点P从A点移动到B点用了10s,

由(1)得：AB=10,

V104-10=1,

・・・P、。两点的速度为1单位/秒,

故答案为：1单位/秒：

②如图1,

由题意得：AP=t,EQ=h0A=10,

：.OQ=OE+EQ=4+t,

..PA5

•AM-9

3

-

5

3

-

5

11QQIQ

即s=±OQ.OM=.(t+4)(10一狗=一击产+^t+20(0<t<10)；

(3)由题意可得：

由题意可得：Z=20时，点尸运动到点C处，EQ=20i

••・。。=。£+硕=4+20=24,

过点C作C〃J_x轴于H,过点5作轴交。/于点N,如图2,

图2

则CN工CH,

:・/AGB=/BNC=NCHO=90°,

：.ZBAG+ZABG=9O°,四边形OG”N为矩形,

•・•四边形ABC。是正方形,

，AR=RC,7ARC=9O0,

：・NCBN+NABG=90°,

:・NCBN=NBAG,

:,AABG妾ABCN(A45),

,:A,B的坐标分别为(0,10),(8,4),

・・・AG=6,BG=8,OG=4,

:・AG=BN=6,BG=CN=8,NH=OG=4,

・・・CH=4+8=12,GN=8+6=14,

・••点C坐标(14,12),

.*.m=1x24x12=144,

设S关于f的函数关系式为S=aAbi+c,

(100a+10b+c=28①

225a+15b+c=76@,

(400a+20b+c=144@

由②.①,③-②得：｛禽蓑?=粤

(175a+5b=68

a=2

：="

(c=-8

97

:.S=|t28(10<t<20)；

(4)解：由题意得：AP=t,EQ=tfOA=10,

：,OQ=OE+EQ=4+lt

5

--

>

3

3

-

5

：,PM=7Ap2-4M2=*

3

：,0M=OA-AM=10-?，

当OP=PQ时，作PK_LOQ于K,如氨3,

1

则OK=*OQ,四边形OKPM是矩形,

：.MP=OK=3OQ,

41

=3（4+£），

解得：亡=挈

当。尸=OQ时，MP1+OM1=OP1,

43

22

^-=+

^5(4

解得：£=甘,

综上可得：0=卷，12=至

53

-£+-

34

21.320

X+X=12,

T4T

・••当f=12时，S=1X122-|X12-8=

23.【定义学习】

过平面内一定点作两条直线（不平行）的垂线，那么这个定点与两个垂足阂成的三角形称为“点足三角

形”，在“点足三角形”中，以这个定点为顶点的角称为“垂角”.

如图1,OAl/i,OB112,垂足分别为A、8,则△OAB为“点足三角形"，NAOB为“垂角”.

(1)两条直线相交且所夹锐角为a度，则过平面内一点所画出的“点足三角形”的“垂角”度数为_a

度(用a表示).

(2)如图2,点。为平面内一点，QA_L/i,0B_L/2,垂足分别为A、B,将“垂角”绕着点0旋转一

个角度，分别与八，匕,相交于C、D,连接CD.求证：△OABSZXOCD.

【迁移运用】

Q

(3)如图3,/MPN=a,点4在射线PM上，点8是射线PN上的点，且tana=而以=4.则NMPN

的外部是否存在一点。使得“点足三角形”的面积为卷，若存在，求出此时的长；若不存在，

请说明理由.

【解答】(1)解：如图1,・・・NCAO=NCBO=90°,

工点A,点B,点O,点。四点共圆，

••・NACB=NAOB=a,

・•・“垂角”度数为a度，

故答案为：a：

(2)•・•将“垂角”绕着点O旋转一个角度，分别与八，3相交于C、D,

：,NAOC=/BOD,

*：OA1AC,OBLBD,

・••在为△04。中，cosZAOC=铝，

0D

在RtZXOB。中，cosN8OQ二端，

:.cosZAOC=cosNBOD,

XVNAOB=NCOD,

:•△OXBsXOCD.

（3）当定点O在两直线的同侧.且在PN的下方时.令CA与PN交于点D.过点人作ABIPN干点、E,

如图：

•・・OA_LPM,OBIPN,且NAOP=NBOO,

・・・NP=NO=a,

又〈AE_LPN,OA±PM,ZADP=ZADP,

/.ZP=ZE4D=a,