2024年江苏省常州市九年级数学中考二模试卷含详解

九年级教学情况调研测试

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数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）

1.I的倒数是（）

11

A.-4B.4C.-D.——

44

2.截止2024年1月31日，理想汽车累计交付量达到约664500辆，其中664500可用科学记数法表示为（）

A.66.45xlO4B.0.6645xlO6C.6.645xlO5D.6.645xlO4

3.计算（-3盯3）2,结果正确是（）

A.6x2y6B.9x2y5C.-6x2y6D.9x2y6

4.如图是由5个完全相同的小正方体组成的几何体，则该几何体的主视图是（

D.

A.有两个不相等的实数根B,有两个相等的实数根

C.有一个实数根D.没有实数根

6.当尤=2时，代数式以3+厩+1的值为6,那么当x=-2时，这个代数式的值是（）

A.1B.-4C.6D.-5

7.如图，A、B、C、D、E、F为（。的六等分点，甲同学从中任取三点画一个三角形，乙同学用剩下的点画一

个三角形，则甲乙两位同学所画的三角形全等的概率为（）

8.小丽从常州开车去南京，开了一段时间后，发现油所剩不多了，于是开到服务区加油，加满油后又开始匀速行

驶，下面哪一幅图可以近似的刻画该汽车在这段时间内的速度变化情况（）

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

9.4的算术平方根是.

10.使J3x-1有意义的x的取值范围是

11.分解因式：x2y-4y=

12.点P（2,-3）关于直线x=1对称的点的坐标是.

13.已知反比例函数、=丝上，当尤＞0时，＞随工的增大而减小，则机的取值范围是

x

14.已知扇形的圆心角为120。，半径为石，则这个扇形的面积S=

4

15.在RtAABC中，ZC=90°sinA==，则tanA=

16.如图，A3是：。的直径，AC是的切线，。。交〈。于点O,连结30,若NC=26。，则的大小

17.如图，正方形ABCD的边长为10，CF=2,BE^5AB,GE//CB,则线段GE的长为

18.如图，正方形A3CD的边长为6,。为正方形对角线AC的中点，点E在边A5上，且3E=2,点R是边

上的动点，连接£/，点G为所的中点，连接OG、BG,当5G=OG时，线段石厂的长为.

三、解答题（共84分，其中19至26题每题8分，27、28题每题10分）

19计算

（1）VT2-6tan60°+（3-7r）°

（2）（3x-y）~-（3x+2y）（3x-2y）

20.解方程和不等式

（1）解方程：-^-+-^-=1

x—33—x

2x+l>x

（2）解不等式组：L+5

------%>1

I2

21.为增进学生对数学知识的了解，某校开展了两次知识问答活动，从中随机抽取了30名学生两次活动的成绩（百

分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析.如图1是将这30名学生的第一次活动成绩作为横坐标，第二次

活动成绩作为纵坐标绘制而成.

(1)学生甲第一次成绩是70分，则该生第二次成绩是分.

(2)两次成绩均达到或高于90分的学生有个.

(3)为了解每位学生两次活动平均成绩的情况，如图2是这30位学生两次活动平均成绩的频数分布直方图(数

据分成8组：60Vx<65,65Vx<70,70Vx<75,75Vx<80,80<X<85,85<x<90,90<X<95,

95<x<100),在75Wx<80的成绩分别是77、77、78、78、78、79、79,则这30位学生平均成绩的中位数

是.

(4)假设全校有1200名学生参加此次活动，请估计两次活动平均成绩不低于90分的学生人数.

22.2024年春晚，魔术师表演了一个与纸牌相关魔术，让人大开眼界，这个魔术中隐含了一个数学问题一约瑟

夫问题，春晚结束后，小华和小丽玩起了抽扑克牌游戏，他们从同一副扑克牌中选出四张牌，牌面数字分别为3,

6,7,9.将这四张牌背面朝上，洗匀.

(1)小丽从中随机抽出一张牌，则抽到这张牌是奇数的概率是;

(2)小丽从中随机抽取一张，记下牌面上的数字后放回，背面朝上，洗匀，接着小华再从中随机抽取一张，记下

牌面上的数字，请求出他们抽到的两张扑克牌牌面数字之和恰好是3的倍数的概率.

23.如图，在菱形A3CD中，对角线AC,5D相交于点。，过点。作CE〃笈D,过点。作。E〃AC,CE

与DE相交于点£.

(1)求证：四边形CODE是矩形；

(2)若A5=10,AC=12,求四边形CODE周长.

24.《九章算术》中记载了这样一个问题：“假设5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银

子.问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两个问题：

(1)求每头牛、羊各值多少两银子？

(2)若某商人准备用50两银子买牛和羊共20只，要求羊的数目不超过牛的数目的两倍，且银两有剩余，请问商

人有几种购买方法？列出所有可能的购买方案.

12

25.如图，ZAOB=90°,tanA=-,反比例函数y=——(x<0)的图像过点5(—2,a),反比例函数

2x

k

(2)过点8作5C〃九轴，与双曲线y=—交于点C,求工OAC的面积.

x

26.定义：若实数a、b、d、//满足〃=3'+2、b=kb'+2(人为常数，kwG),则在平面直角坐标系元Oy

中，称点(。力)为(人")的''左值友好点”.例如，点(3,0)是点(1,-2)的“1值友好点”.

⑴在(—3,5),(2,3),(-1,4),(1,3)四点中，点是点P(L—1)的“左值友好点”.

(2)设点Q(x,y)是点尸(1,—1)的“左值友好点”.

①当PQ=2O尸时，求上的值.

②若点A坐标为(6,4),当NAQP=45。时，请直接写出点。的坐标以及左的值.

27.如图，抛物线G：y=；x2+x—3,抛物线。2交x轴于点A3(点A在点3右侧)，交》轴于点C,抛物线

C2与抛物线G关于原点成中心对称.

(1)求抛物线。2的函数表达式和直线AC对应的函数表达式•

(2)点。是第一象限内抛物线。2上的一个动点，连接加>、AC,与AC相交于点P.

①作PELx轴，垂足为E,当尸E=CP时，求点尸的横坐标.

②请求出脩的最大值.

28.如图1,小明借助几何软件进行数学探究：中，AB=BC,ZABC=12Q°,。是边AC的中点，E

是线段A£＞上的动点(不与点A、点。重合)，边关于助对称的线段为正，连接A尸.

(1)当AABF为等腰直角三角形时，NABE的大小为°.

(2)图2,延长E4,交射线班于点G.

①请问NG的大小是否变化？如果不变，请求出NG的大小；如果变化，请说明理由.

②若AB=4,则.BEG的面积最大为,此时AE=.

九年级教学情况调研测试

数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）

1.I的倒数是（）

11

A.-4B.4C.-D.——

44

【答案】A

【分析】本题考查倒数的定义，掌握乘积等于1的两个数互为倒数，即可解题.

【详解】解：的倒数是-4，

4

故选：A.

2.截止2024年1月31日，理想汽车累计交付量达到约664500辆，其中664500可用科学记数法表示为（）

A.66.45xlO4B.0.6645xlO6C.6.645xlO5D.6.645xlO4

【答案】C

【分析】本题考查了科学记数法.科学记数法的表示形式为oxi。"的形式，其中1<|a|<10,九为整数.确定九

的值时，要看把原数变成。时，小数点移动了多少位，”的绝对值大于1与小数点移动的位数相同.

【详解】解：664500=6.645xlO5,

故选：C.

3.计算（-3盯3）2,结果正确的是（）

A.6x?y6B.9x2y5C.-6x~y6D.9x2y6

【答案】D

【分析】本题主要考查积的乘方，根据积的乘方法则进行求解即可.

【详解】解：（―3q3）2=9/;/

故选：D.

4.如图是由5个完全相同的小正方体组成的几何体，则该几何体的主视图是（）

A.1-------B.，|C.D.

【答案】A

【分析】根据从正面看得到的视图是主视图，观察即可得答案.

【详解】从正面看第一层是三个小正方形，第二层左边一个小正方形,

如图所示，

故选A.

【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，解题的关键是明确从正面看得到的视图是主视图.

5.一元二次方程必一3%+1=0根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.有一个实数根D.没有实数根

【答案】A

【分析】先计算求出根的判别式△的值，再根据△的值来判断根的情况即可.

【详解】：由题意得：x?—3x+l=0中：a—1,b=—3>c=l，

A=Z?2-4ac

=（-3）2-4x1x1

=5,

AX）,

方程有两个不相等的实数根.

故选：A

【点睛】本题主要考查判断一元二次方程根的情况，解题的关键是要理解一元二次方程根的情况是由根的判别式

的值判断：A>0,方程有两个不相等的实数根；A=0,方程有两个相等的实数根；A<0,方程没有实数根.

6.当尤=2时，代数式63+6尤+1的值为6,那么当x=-2时，这个代数式的值是（）

A.1B.-4C.6D.-5

【答案】B

【分析】根据题意可得8。+23=5,再将x=-2代入代数式，即可求解.

【详解】解：：当x=2时，代数式G3+a+1的值为6,

8a+2Z?+1=6,

8a+2b=5,

当x=-2时，cvc^~\~bx+1=—8a—2Z?+1=—（8a+2Z?）+1=—5+1=-4.

故选：B

【点睛】本题主要考查了求代数的值，利用整体代入思想解答是解题的关键.

7.如图，A、B、C,D、E、F为（。的六等分点，甲同学从中任取三点画一个三角形，乙同学用剩下的点画一

个三角形，则甲乙两位同学所画的三角形全等的概率为（）

【答案】B

【分析】本题主要考查了几何概率，由对称性可知甲从六个点中选择任意的三个点组成的三角形，与剩下的三个

点组成的三角形的三条边分别对应相等，可得甲乙两人所画的三角形一定全等，据此可得答案.

【详解】解；B、C、D、E、F为。的六等分点，

，由对称性可知甲从六个点中选择任意的三个点组成的三角形，与剩下的三个点组成的三角形的三条边分别对应

相等，

，甲乙两人所画的三角形一定全等，

，甲乙两位同学所画的三角形全等的概率为1,

故选：B.

8.小丽从常州开车去南京，开了一段时间后，发现油所剩不多了，于是开到服务区加油，加满油后又开始匀速行

驶，下面哪一幅图可以近似的刻画该汽车在这段时间内的速度变化情况（）

【分析】主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用.横轴表示时间，纵轴表示速度，根据加速、

匀速、减速时，速度的变化情况，进行选择.

【详解】解：汽车经历：加速-匀速-减速到站-加速-匀速，

加速：速度增加，

匀速：速度保持不变，

减速：速度下降，

到站：速度为0.

观察四个选项的图象是否符合题干要求，只有B选项符合.

故选B.

二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)

9.4的算术平方根是.

【答案】2

【分析】本题考查了算术平方根的定义，熟练掌握算术平方根的概念是解题的关键；

根据算术平方根的概念即可求出结果.

【详解】解：22=4，

4的算术平方根是2,

故答案为：2.

10.使V3x-1有意义的尤的取值范围是.

【答案】x>-

3

详解】由条件得：3x-1>0,

解得：x>—，

3

故答案为x>—.

3

11.分解因式：x2y-4_y=.

【答案】y(x+2)(x-2)

【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解.一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他

方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止.

【详解】解：x2y-4y=y^2-4)

=y(x+2)(x-2),

故答案为：y(x+2)(x-2).

12.点P(2,—3)关于直线1=1对称的点的坐标是.

【答案】(0,—3)

【分析】本题主要考查了关于垂直坐标轴的直线对称的点坐标.设点P(2,-3)关于直线x=l对称的点为P'(a,-3),

根据题意得出——=1,即可求解.

2

［详解】设点P（2,-3）关于直线x=1对称的点为P'（a,-3）,

.•.*=1,

2

解得，<7=0,

Pf（0,-3）.

故答案为：（0,-3）.

m—5

13.已知反比例函数丁=——,当％>0时，>随1的增大而减小，则加的取值范围是

x

【答案】m>5##5<m

【分析】本题主要查了反比例函数的性质，根据反比例函数丁=V，当x>o,左>0时，y随x增大而减小列不

X

等式求解即可.

【详解】解：反比例函数y=—,当x>0时，y随X的增大而减小，

X

:.m—5>Q,

解得m>5.

故答案为：m>5.

14.已知扇形的圆心角为120。，半径为百，则这个扇形的面积S=.

【答案】兀

【分析】本题考查了扇形面积的计算，直接根据扇形的面积公式S=计算即可.

360

【详解】解：依题意，S=--n-j3-43=n,

360

故答案为：兀.

_4

15.在RtZkABC中，ZC=90°,sinA=—,则tanA=.

4

【答案】一

3

【分析】根据已知条件设出直角三角形一直角边与斜边的长，再根据勾股定理求出另一直角边的长，运用三角函数

的定义解答.

4

【详解】由sinA=g知，可设a=4x,贝1Jc=5x,b=3x,

4

故答案为；.

3

【点睛】本题考查了同角三角函数的关系.求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数

的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值.

16.如图，48是1。的直径，AC是一）。的切线，0。交《。于点连结BD，若NC=26°,则的大小

【答案】32

【分析】本题考查切线的性质、圆周角定理等知识，三角形内角和定理，利用切线的性质求出NOAC,由三角形内

角和定理求出NAOC,根据三角形外角的性质即可求出NB.

【详解】解：AB是（。的直径，AC是，）。的切线，

:.AB±AC,

:.ZOAC=90°,

-ZC=26°,

ZAOC=90°-ZC=64°,

OB=OD,

:./B=NODB,

ZAOC=NB+ZODB=2ZB=64°,

.•.ZB=-x64°=32°,

J2

故答案为：32.

17.如图，正方形A3CD的边长为10,CF=2,BE=5AB,GE//CB,则线段GE的长为.

【答案】75

【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，根据题意得出G石〃CB,得出GE〃AO,则NG=NZMP,

/6=/3=/。=90°可得,47£一"位＞,进而列出比例式，代入数据，即可求解.

【详解】解：；正方形ABCD的边长为10,CF=2,BE=5AB,

：.DF=8,AD=10,AE=AB+BE=6AB=60,

•.•四边形A3CD是正方形，

：.AD//BC,ZD^ZABC=90°

•：GE//CB,

：.GE//AD

:.NG=NDAF,NG=ZB=ND=90。

：..AGE^FAD

.ADDF

"GE~AE

,108

''GE~60

解得：GE=75,

故答案为：75.

18.如图，正方形A3CD的边长为6,。为正方形对角线AC的中点，点E在边A5上，且3E=2,点尸是边

上的动点，连接■，点G为EP的中点，连接OG、BG,当5G=OG时，线段口的长为.

BFC

【答案】275

【分析】连接。耳。&。尸，根据已知得出。及民厂四点共圆，则石厂是直径，进而证明qEOP是等腰直角三

角形，AEOB^AFOC-得出FC=EB=2,则5产=4,勾股定理求得石厂，即可求解.

【详解】解：如图所示，连接OE,03,0尸，

•.•四边形A3CD是正方形,

：.ZEBF=90°,

:点G为防的中点，

/.BG=EF=FG

当OG=5G时，

/.。,及8,歹四点共圆,

•：ZEBF=90°

：.EF是直径

ZEOF=90°

,/。为正方形对角线AC的中点，

AZOFE=ZOBE=45°,OB=OC,ZBOC=90°

：.㈤9「是等腰直角三角形，

AOE=OF,ZEOF=90°

/./EOB=/FOC

在dEOB,“FOC中，

EO=FO

<ZEOB=ZFOC

BO=CO

：.Z\EOB^Z\FOC

：.FC=EB=2

：.BF=BC—FC=6—2=4

在RtABEF中，EF=y/BE2+BF2=722+42=26

故答案为：2亚.

【点睛】本题考查了正方形的性质，圆周角定理，勾股定理，全等三角形的性质与判定，证明△尸OC

是解题的关键.

三、解答题（共84分，其中19至26题每题8分，27、28题每题10分）

19.计算

（1）V12-6tan60o+（3-7r）0

（2）（3x-'J-（3x+2y）（3x-2y）

【答案】（1）1-4^

(2)5y2-6xy

【分析】本题考查了实数的混合运算，整式的乘法运算；

(1)根据二次根式性质化简，特殊角的三角函数值，零指数募进行计算即可求解;

(2)根据完全平方公式，平方差公式进行计算即可求解.

【小问1详解】

g-6tan6(T+(3-兀)°

=2百-6用1

=1-473

【小问2详解】

(3x—yY-(3x+2y)(3x-2y)

=9x2-6xy+y1-{9JC-4J2^

=5,2-6xy

20.解方程和不等式

(1)解方程：<+J—=1

x—33—x

2x+l>x

(2)解不等式组：L+5,

-----%>1

I2

【答案】(1)x=2

⑵-l<x<3

【分析】本题考查了解分式方程，一元一次不等式组；

(1)先去分母，然后化为整式方程，解方程并检验，即可求解;

(2)分别解两个不等式，求公共部分的解集，即可求解.

【小问1详解】

1—2=x—3

解得：x-2

经检验，x=2是原方程的根,

原方程的根为x=2

【小问2详解】

2x+l>x®

解：立-x21②

I2

解不等式①得：x>—1

解不等式②得：x<3

不等式组的解集为：—1<XW3.

21.为增进学生对数学知识的了解，某校开展了两次知识问答活动，从中随机抽取了30名学生两次活动的成绩(百

分制)，并对数据(成绩)进行整理、描述和分析.如图1是将这30名学生的第一次活动成绩作为横坐标，第二次

活动成绩作为纵坐标绘制而成.

(1)学生甲第一次成绩是70分，则该生第二次成绩是分.

(2)两次成绩均达到或高于90分的学生有个.

(3)为了解每位学生两次活动平均成绩的情况，如图2是这30位学生两次活动平均成绩的频数分布直方图(数

据分成8组：60Vx<65,65Vx<70,70Vx<75,75Vx<80,80<X<85,85<x<90,90<x<95,

954尤<100),在75Wx<80的成绩分别是77、77、78、78、78、79、79,则这30位学生平均成绩的中位数

是.

(4)假设全校有1200名学生参加此次活动，请估计两次活动平均成绩不低于90分的学生人数.

【答案】(1)75(2)8

(3)79(4)1200名学生参加此次活动，估计两次活动平均成绩不低于90分的学生人数为360人.

【分析】(1)找到横坐标为70时，对应的纵坐标的值即可得解；

(2)找到横纵坐标均大于等于90的点的个数，即可得解；

(3)将数据进行排序后，找到第15和第16位数据，两个数据的平均值，即为中位数；

(4)利用总人数乘以抽样中两次活动平均成绩不低于90分的占比即可得解.

【小问1详解】

解：由图1可知，横坐标为70时，对应的纵坐标为75,

该生第二次成绩是75分；

故答案为：75；

【小问2详解】

由图1可知：横纵坐标均大于等于90的点的个数为8个，

两次成绩均达到或高于90分的学生有8个；

故答案为：8；

【小问3详解】

解：将平均成绩按从低到高排序，可知，中位数为第15个和第16个数据的平均数，

二中位数位于75Vx<80这一组数据中，第15个和第16个数据均为79,

中位数为79；

【小问4详解】

解：由直方图可知，两次活动平均成绩不低于90分的学生人数有：5+4=9人，

9

...1200名学生参加此次活动，估计两次活动平均成绩不低于90分的学生人数为：1200x—=360人；

30

答：1200名学生参加此次活动，估计两次活动平均成绩不低于90分的学生人数为360人.

【点睛】本题考查统计图，频数分布直方图，中位数，以及利用样本估计总体，解题的关键是从统计图和频数分

布直方图中，有效的获取信息.

22.2024年春晚，魔术师表演了一个与纸牌相关的魔术，让人大开眼界，这个魔术中隐含了一个数学问题一约瑟

夫问题，春晚结束后，小华和小丽玩起了抽扑克牌游戏，他们从同一副扑克牌中选出四张牌，牌面数字分别为3,

6,7,9.将这四张牌背面朝上，洗匀.

（1）小丽从中随机抽出一张牌，则抽到这张牌是奇数的概率是;

（2）小丽从中随机抽取一张，记下牌面上的数字后放回，背面朝上，洗匀，接着小华再从中随机抽取一张，记下

牌面上的数字，请求出他们抽到的两张扑克牌牌面数字之和恰好是3的倍数的概率.

3

【答案】（1）-

4

⑵—

16

【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式；

（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到这张牌是奇数的结果有3种，利用概率公式可得答案.

（2）列表可得出所有等可能的结果数以及他们抽到的两张扑克牌牌面数字之和恰好是3的倍数的结果数，再利用

概率公式可得出答案.

【小问1详解】

解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到这张牌是奇数的结果有：3,7,9,共3种，

3

•••抽到这张牌是奇数的概率为一.

4

3

故答案为：一.

4

【小问2详解】

列表如下：

3679

3（3,3）（3,6）（3,7）（3,9）

6（6,3）（6,6）（6,7）四⑼

753)56)57)亿9）

9（9,3）（9，司（9,7）（9,9）

共有16种等可能的结果,其中他们抽到的两张扑克牌牌面数字之和恰好是3的倍数的结果有：（3,3）,（3,6）,（3,9）,

（6,3）,（6,6）,（6,9）,（9,3）,（9,6）,（9,9）,共9种，

9

他们抽到的两张扑克牌牌面数字之和恰好是3的倍数的概率为7.

16

23.如图，在菱形A3CD中，对角线AC,相交于点。，过点。作CE〃台D,过点。作。E〃AC,CE

与。E相交于点£.

（1）求证：四边形CODE是矩形；

（2）若A5=10,AC=12,求四边形CODE的周长.

【答案】（1）证明见解析；

（2）28.

【分析】（1）如图，首先证明四边形CODE是平行四边形，然后证明NDOC=90°,即可解决问题.

（2）如图，首先证明CO=AO=6,ZAOB=90°；运用勾股定理求出30,即可解决问题.

【小问1详解】

证：VCE//BD,DE//AC,

，四边形CODE是平行四边形，

•.•四边形A3CD是菱形

AZD（9C=90°,

四边形CODE是矩形;

【小问2详解】

解：：四边形A3CD为菱形,

/.AO=OC=-AC=6,OD=OB,ZAOB=90°,

2

由勾股定理得：

B(f=AB--AOr,而AB=10,

•■•BO=A/102-62=8-

由（1）得四边形CODE是矩形，

四边形CODE的周长=2X（6+8）=28.

【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的性质及勾股定理的知识，解题的关键是熟练掌握菱形和矩形的性质并能

灵活运用.

24.《九章算术》中记载了这样一个问题：“假设5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银

子.问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两个问题：

（1）求每头牛、羊各值多少两银子？

（2）若某商人准备用50两银子买牛和羊共20只，要求羊的数目不超过牛的数目的两倍，且银两有剩余，请问商

人有几种购买方法？列出所有可能的购买方案.

【答案】（1）每头牛值3两银子，每只羊值2两银子；

（2）有商人3种购买方案，①购买7头牛，13只羊；②购买8头牛，12只羊；③购买9头牛，11只羊.

【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，

（1）设每头牛值x两银子，每只羊值了两银子，根据5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银

子.列出二元一次方程组，解方程组即可；

（2）设购买加头牛，则购买（20-加）只羊，根据某商人准备用50两银子买牛和羊共20只，要求羊的数目不超过

牛的数目的两倍，且银两有剩余，列出一元一次不等式组，解不等式组，即可解决问题.

【小问1详解】

解：设每头牛值x两银子，每只羊值丁两银子，

5x+2y=19

由题意得:

2x+5y=16

x=3

解得：〈

[y=2

答：每头牛值3两银子，每只羊值2两银子;

【小问2详解】

设购买加头牛，则购买（20-m）只羊,

3m+2(20-m)<50

依题意得:

20-m<2m

解得：—<m<lQ,

3

机为整数，

;.m=Q,8,9,

有商人3种购买方案：

①购买7头牛，13只羊；

②购买8头牛，12只羊；

③购买9头牛，11只羊.

25.如图，ZAOB=90°,tanA=—,反比例函数y=—（九<0）的图像过点，反比例函数

2x

（2）过点8作轴，与双曲线y=X交于点C,求一。4c的面积.

【答案】（1）左=8,a=l

（2）15

【分析】本题考查了反比例函数上值的几何意义，相似三角形的性质与判定，待定系数法求反比例函数解析式

（1）根据条件可得。=1,利用一线三垂得到.BOQS-OAE,利用相似比求出点A坐标即可解得左值；

⑵根据5C〃x轴可得点C的坐标为（8,1）,”2,；］,可得AP=?,依据=5ACF+S。”代入数据

计算即可.

【小问1详解】

2

解：反比例函数y=——的图象过点8（—2,。），

-2a=—2，即a=1,

:.BD=1,OD=2,

如图所示，作5。，1轴，AELx轴，垂足分别为。，石,

BOD^OAE,

OB1

tanAA=----=—

OA2

OBBDOD1

OA^OE~AE~2

:.OE=2BD=2,AE=2O£>=4,

，点A的坐标为（2,4）,

将点A坐标代入y=上得4=七,

x2

k=8-

【小问2详解】

BC〃x轴，”=%=1，

Q

将yc=l代入丁=一中，得％。=8,

x

二点。的坐标为（8,1）,

当x=2时，y1即方［2,；）,

.♦.0C所在的直线为y

84

AF=44=7

2一OAC—jACF〒。，OAF

=-AF-0E+—AF'(%—/

115cli5%小

=­x—x2H—x—x(8—2)

2424、)

=15

26.定义：若实数a、b、d、加满足。=如'+2、b^kb'+2（左为常数，左wO）,则在平面直角坐标系x0y

中，称点（。3）为（人少）的“左值友好点”.例如，点（3,0）是点（1,-2）的“1值友好点”.

⑴在（—3,5）,（2,3）,（-1,4）,（1,3）四点中，点是点尸（L—1）的''左值友好点”.

（2）设点Q（x,y）是点P。,—1）的“左值友好点”.

①当PQ=2O尸时，求上的值.

②若点A坐标为（6,4）,当NAQP=45。时，请直接写出点。的坐标以及左的值.

【答案】（1）（1,3）

⑵①％=1；②。（9,—5）时，k=7,Q（—3,7）时，k=-5

【分析】（1）根据“左值友好点”的定义代入验证即可；

（2）①先求得==进而根据PQ=2O尸得出PQ=2J5,根据点Q（x,y）是点P（L—1）的“左

值友好点”.得出Q/+2,-k+2）,进而根据PQ=20,建立方程，解方程，即可求解.

②设A,P的中点为8,则吕（审，即，作AC〃x轴，PC〃y轴，AC,PC交于点C,则

C（6,-l）,根据圆周角定理可得NAQP=；NC=45。，进而根据CQ=C4=5,建立方程，解方程，即可求解.

【小问1详解】

解：若（—3,5）是尸的黑值友好点”，则左=上一-,不合题意；

1—1

2—93—2

若（2,3）是的隈值友好点”，则上=——主々—,不合题意；

1—1

/、/\—1—24—2

若（―1,4）是P。,—1）的“左值友好点”，则左=-----丰——，不合题意，

1—1

1_93—2

若（1,3）是P。,—1）的黑值友好点”，则左=——=--=-1,符合题意，

1—1

故答案为：（1,3）；

【小问2详解】

①：

OP=A/12+12="s/2

PQ=2OP

：.PQ=2A/2

•.•点Q（x,y）是点P（l,-1）的“k值友好点”.

x=左+2,y=—k+2

・・・Q（C+2i+2）

即左2—2左+1=0

解得：kx-k2-l

②•••4（6,4）,P（l,-1）

设A,P的中点为8,则吕］?，?］即

如图所示，作AC〃x轴，PC〃y轴，人。,尸。交于点。，则。（6,—1）

•••△ACP是直角三角形，

AZACP=90°,且AC=PC=5,

以。为圆心AC为半径作圆，

ZAQP=|zC=45°

CQ=CA=5

VQ（k+2,-k+2）,C（6,-l）

二（左+2—6）2+（—左+2+l『=52

解得：k=Q（舍去）或左=7

，2（9,-5）

同理可得当以。（1,4）为圆心时，k=-5,2（-3,7）

综上所述，。（9,—5）时，k=7,。（—3,7）时，k=—5.

【点睛】本题考查了坐标与图形，新定义，勾股定理，圆周角定理，理解新定义是解题的关键.

27.如图，抛物线G：y=LY+x—3,抛物线C,交x轴于点A、3（点A在点B的右侧），交》轴于点C,抛物线

-4'

C2与抛物线G关于原点成中心对称.

(1)求抛物线。2的函数表达式和直线AC对应的函数表达式.

(2)点。是第一象限内抛物线。2上的一个动点，连接5£)、AC,5。与AC相交于点尸.

①作PELX轴，垂足为E,当尸E=CP时，求点P的横坐标.

②请求出点的最大值.

Dr

【答案】(1)y——%2+x+3,y=—x+3；

42

(2)①尸的横坐标为豆1二1；②黑的最大值为：斗.

216

【分析】(1)根据中心对称的性质可得G的表达式，再令y=0，求解A,3的坐标即可；

(2)①如图，连接BC,设。[m,—；根2+m+3]，而8(—2,0),求解直线班)为

「13、1(2m24—4祖)(2m)

--m+-\x--m+3,可得尸一——，E\--,0,再利用尸C=尸石建立方程求解即可;

[42)218-〃z8-m)[8)

②作DHLEP于H,而BELPE,可得一DHPsBEP,可得°丝=里,再建立二次函数的模型解题即

BEBP

可.

【小问1详解】

解：•..抛物线G：y=；x2+x-3,抛物线。2与抛物线Ci关于原点成中心对称.

1

・•・抛物线为：_,=1(_%)9_犬_3,

12

y-——x+x+3,

4

1

当y=-+9x+3=0,

解得：西=—2,超=6,

/.A(6,0),3(-2,0)；

1

*.*y——x9+x+3,

当％=0时，y=3,

・・・C(0,3),

设AC为丁=履+3,

・,・6左+3=0,

解得：k=--,

2

***AC为y=——尤+3；

【小问2详解】

①如图，连接BC,设。[机，一:m②+机+3

而6(-2,0),

设直线5。为丁=女述+仇，

一2k]+4=0

\12,

mki+&=——m+m+3

l114

f.13

m+—

解得：;’

b=——m+3

I'2

311

...直线3D为y一;〃z+—\xmT

1)2

y=x+3

2

<、

(z13)1;

—m+3

〔I42；2

Im

x-------

5口8-m

解得：〈C/4，

24-4m

y二

、8-m

.(2m24-4m

18一加’8-mJ，(8)

24

解得：加=—,（不符合题意的根舍去）,

2m375-3

8-m~2

・・・尸的横坐标为3石一3；

2

②作DHLEP于H,而

.,.DH//BE,

二DHPs.BEP，

.PH_DP

••而一丽‘

.