2024福建省漳州市高三下学期第四次质量检测数学试题及答案

福建省漳州市2024届高三毕业班第四次教学质量检测数学试题本试卷共4页.满分150分.考生注意：1.答题前，考生务必在试题卷､答题卡规定的地方填写自己的准考证号､姓名.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号姓名与考生本人准考证号姓名是否一致.､”､2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回.､一单项选择题：本大题共小题，每小题分，共8540分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.一组数据如下：7,21，该组数据的75%分位数是（A.15B.17C.19D.202.已知复数）1i1izz2024z2025（，则）A.2B.2C.1D.02x)623.二项式展开式中，x项的系数为（）A.-60B.-15C.15D.604.设ab0，且ab1，则ab的（2）2A.最小值为-3C.最大值为-3B.最小值为3D.最大值为3fxxx,gx5.已知函数是函数f2x1的导函数，则（g0）A.1B.2C.3D.46.已知数列是公比不为1的正项等比数列，则t2是aaaa成立的（9）an110tA.充要条件B.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件b(aa，则函数fxC.必要不充分条件fxa1a7.已知函数x的单调性（）aaB.与无关，且与b有关A.与无关，且与b无关aaD.与有关，且与b有关C.与有关，且与b无关x22y22､F,F，过F的直线与Cab0)左右焦点分别为的渐近线1218.已知双曲线C:abbl:yx及右支分别交于,BFAAB,FBFB0，则C的离心率为（两点，若）a11232A.B.2C.5D.3､二多项选择题：本大题共小题，每小题分，共3618分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数fxcos2xasinx2，则下列说法正确的是（）时，fx的最小正周期为πA.当a078时，fx的最大值为B.当a1时，fx在区间2π上有个零点3C.当a4π3D.若在fxa上单调递减，则的取值范围为1底面ABCD，且PAABADCD，10.如图，四棱锥PABCD中，PA∥2CD,ADC90，平面与平面l交线为，则下列直线中与垂直的是（l）A.PB11.我们把方程e函数中的“黄金比例”.下列有关Ω的结论正确的是（B.CDC.D.ex1的实数解称为欧米加常数，记为Ω.Ω和一样，都是无理数，Ω还被称为在指数）ΩA.B.C.1ΩΩ1eu，其中uΩu1exxx1f(Ω)的最小值为D.函数fx､三填空题：本大题共小题，每小题分，共3515分.P112.写出过点且与抛物线y4x有唯一公共点的一条直线方程__________.2a,b4，则a与的夹角为__________.213.已知向量，且b在上的投影向量的坐标为ab14.在矩形ABCD中，ABADP为的中点，将DAP沿折起，把DAP折成，使DC平面SAP平面ABCP，则三棱锥SABP的外接球表面积为__________.､四解答题：本大题共小题，共577分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤..､)15.（13分π记ABC的内角,B,C的对边分别为a,b,c，已知B,b23.3（1）若a,b,c成等差数列，求ABC的面积；3b，求a.（2）若sinAsinC1216.（15分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为梯形，平面PAB平面ABCD，∥CD,ABADPAB是等边三角形，M为侧棱PB的中点，且ADDC2，4.（1）证明：CM∥平面；（2）G是线段上异于端点的一点，从条件①､条件②中选择一个作为已知，求平面与平面PAB所成角的余弦值.条件①：四棱锥GABCD的体积为3；3条件②：点G到平面PAB的距离为.2注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.)17.（15分22y2213232xab0)的离心率为，点A,B,C2中恰有两个点在E已知椭圆E:上.ab2（1）求E的方程；ABC（2）设nN*的内角A,B,Ca,b,c的对边分别为，nnnnnnnnnnannanbc2a,an,n1,n1n,Cnx在轴上且关于原点对称，问：是否存在.若点111n1221，使得点A都在E上，若存在，请求出a，若不存在，请说明理由.n118.（17分）某汽车厂商生产某型号具有自动驾驶功能的汽车，该型号汽车配备两个相互独立的自动驾驶系统（记为系统A和系统B），该型号汽车启动自动驾驶功能后，先启动这两个自动驾驶系统中的一个，若一个出现故障则自动切换到另一个系统.为了确定先启动哪一个系统，进行如下试验：每一轮对系统A和B分别进行测试试验，一轮的测试结果得出后，再安排下一轮试验.当一个系统出现故障的次数比另一个系统少2次时，就停止试验，并认为出现故障少的系统比另一个系统更稳定.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若系统A不出现故障且系统B出现故障，则系统A得1分，系统B得-1分；若系统A出现故障且系统B不出现故障，则系统A得-1分，系统B得1分；若两个系统都不出现故障或都出现故障，则两个系统均得0分.系统B出现故障的概率分别记为和，一轮试验中系统A的得分为X分.（1）求X的分布列；（2）若系统A和B在试验开始时都赋予2分，ii2,3,4表示“系统的累计得分为时，最终认Aipp1pii1ii1i2,3为系统A比系统B更稳定”的概率，则，，其中04aPX1,bPX0,cPX1p.现根据的值来决定该型号汽车启动自动驾驶功能后先启2p„0.1，则先启动系统B…，则先启动系统A；若0.120.9，则随机启动哪个系统，若；若动两个系统中的一个，且先启动系统A的概率为p2.)222①证明：；2)2)22②若0.002，由①可求得20.8，求该型号汽车启动自动驾驶功能后无需自动切换到另一个自动驾驶系统的概率.)19.（17分设a,bR，函数fxex2xaexx2b，12gx2exx22xab,hxx22xab,fx,gx,hx的定义域都为,1.（1）求和的值域；hxgx；m,表示m,n中的最大者，证明：fxgx,hx（2）用（3）记的最大值为，求的最小值.fxFa,bFa,b福建省漳州市2024届高三毕业班第四次教学质量检测数学参考答案及评分细则评分说明：1.本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4.只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.､一单项选择题：本大题共小题，每小题分，共8540分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.B2.B3.D4.C5.D6.A7.A8.C､二多项选择题：本大题共小题，每小题分，共3618分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9.AB10.BCD11.ABC､三填空题：本大题共题，每小题分，共3515分.1yyxyx212.（写对一个方程即可）13.13514.14.4π2､四解答题：本大题共小题，共577分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.解：（1）因为a,b,c成等差数列，所以acb，又b23，所以ac43①，在ABC中，由余弦定理可得：b2a2c22B，π又B，所以12a2c2ac(ac)2ac②，3由①②得，1213所以ABC的面积SsinB1233.22312b，所以sinAsinC（2）因为b23,sinAsinC，12π2π又因为ABCπ且B，所以CA，332π31A，所以sinAsin2312121231所以sinAcosAsinA，所以sinAcosA，222π132sinA所以，ππ2ππππ又因为0Aπ，所以A，所以A，所以A，333362b所以a4.sinB16.解法一：（1）证明：如图，取的中点O，连接OC,OM.因为M为侧棱PB的中点，所以∥PA，因为平面PAD,PA平面，所以∥平面，因为DCABAB∥CD，所以AO,∥，所以四边形为平行四边形，所以∥.因为平面PAD,平面，所以∥平面，因为O,OC,平面，所以平面∥平面.因为CM平面，所以CM∥平面.（2）如图，连接，因为ABAD,∥，所以AB因为PAB是等边三角形，O为所以，的中点，因为平面PAB平面ABCD，平面PAB平面ABCDAB,平面PAB，所以OP平面ABCD，又平面ABCD，所以.以O为原点，所在直线为轴，所在直线为y轴，xz所在直线为轴，建立空间直角坐标系O，则，P0,0,23,A2,0,B2,0,C2,0,0,D2,0M3，2,2,232,2,2,0,1，选择①：设131242由GABCDSABCDhh3，323其中h为点G到平面ABCD的距离，得h，2又因为点P到平面ABCD的距离23，h1414，所以所以所以，3113123CGCD2,0,,,,，22222mx,y,z，设平面的法向量为mCMx,y,z32xy3z3则131233mCGx,y,z,,xyz222227取y1，得m，3n1,0,0是平面PAB的一个法向量，又mn,n235所以平面与平面PAB所成角的余弦值为.mn2,2,232,2,2,0,1，选择②：设因为∥,OC平面PAB，所以平面PAB，所以点D到平面PAB的距离为2，3又点G到平面PAB的距离为h，2PGh34114，所以，所以所以，PD4以下同选择①解法二：（1）证明：取PA的中点Q，1连接,，则，且∥，21又因为CDAB,∥CD，2所以CD且∥CD，所以四边形为平行四边形，所以CM∥，又因为CM平面PAD,平面，所以直线CM∥平面.（2）同解法一.17.解：3A32B与xx,B,C中恰有两个点在E上，所以（1）因为关于轴对称，E也关于轴对称，2,B在E上，C不在E上，91所以4b1，2a2c1又因为e,ca2b,ab0，2a2所以ab3,c1，x2y2所以E的方程为1.43a2，使得点A都在E（2）存在上.理由如下：1n因为n1a，所以aa，nn1nannan因为b,n1，n12211，即bn1bcabnc所以bn1n，n1nn1nn1221b所以bn121n21，n1n2bc2abc2a0，111又因为，所以111bc2a0bc2a所以所以，即，nn1nn1ACAB2aaBC，nnnn11nn所以点A在以n,Cn为焦点，2a为长轴长的椭圆上，n1又因为E的焦点为1,0，长轴长为4，点n,Cx在轴上且关于原点对称，n21所以点n都在椭圆E上12，BCa2nn1a2，使得点A都在E所以存在上.1n18.解法一：（1）X的所有可能取值为0,1.,PX1，PX1111PX，PX01PX1111所以X的分布列为XP-10111111（2）①由题意，pi1p111p1p得，所以i1i1i11i111pi1i111pi1ipi1,i2,3，所以1pp1又，04111p01p2所以111p11111p12311111pp22111[11211p,2111111p23411所以[112111211211111，2)22所以，2)2)22②记“该型号汽车启动自动驾驶功能后无需自动切换到另一个自动驾驶系统”为事件T，“该型号汽车启动自动驾驶功能后先启动系统A”为事件C，p0.80.9，因为2PCpPC1p0.2所以由题意，得，22P∣C11PC110.002，所以∣∣PCPTCPCPTCPT0.810.0010.210.0020.9988，即该型号汽车启动自动驾驶功能后无需自动切换到另一个自动驾驶系统的概率为0.9988.解法二：（1）同解法一.papbp,1012papbp，3（2）①由题意，得212papbp3234pp1又，04pbp,1bp,12112papbp1bp132所以，所以2123papbpc,31bpap2c,323ac12,因为abc1，所以1bac，所以acpap，213ac3ap2c,c2cacacpca2所以，2acc2所以(ac)2p2acpc2，所以2，22ac22aPX11,cPX11，又因为)222所以.22)2)2②同解法一.19.解：（1）x2x22x1ex，gx2x1e11x,0gx0；当时，x0,1gx0，因为当时，