2024年北京市昌平区高三高考二模数学试卷含答案

2024年北京市昌平区高三二模数学试卷

本试卷共9页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上

作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）

一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合

题目要求的一项。

1.已知集合A={-1,0,1,2,3},B={X|X2-2X>0},则AB=

A.{0,1,2}B.{1}C.{-1,0,1,2}D.{-1,3}

2.已知数列{〃J满足4+i=24,w=4,则数列{2}的前4项和等于

A.16B.24C.30D.62

2

3.已知抛物线丁=2px（p〉0）的焦点和双曲线％2=1的右顶点重合，则P的值为

A.lB.2C.4D.6

4.在（石-工）6的展开式中，常数项为

X

A.-15B.15C.30D.360

5.若c>\,贝!J

bacc

A.c<cB.logca>logcbC.sin—>sin—D.a<b

ab

6.若圆f+8%+y2—6y+加=0与x轴，y轴均有公共点，则实数机的取值范围是

A.(-oo,9]B.(-oo,16]C.[9,25)D.[16,25)

1

7.设九〃是两条不同的直线，/，是两个不同的平面，且mua,aII（3,则是

“〃_Lm”的

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

8.己知函数/（X）.一厂+4x，x'l,若对任意的了都有|/（x）但办恒成立，则实数。的取值范

[in（x-l）,x>1

围是

A.（-oo,0]B.[-4,0]C.[-3,0]D.（-oo,2]

9.中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明，某种绿茶用

90吧的水泡制，再等到茶水温度降至6（TC时饮用，可以产生最佳口感.在20（室温下，茶

水温度从9（TC开始，经过/min后的温度为VC,可选择函数y=60x0.9,+20«20）来近似

地刻画茶水温度随时间变化的规律.则在上述条件下，该种绿茶茶水达到最佳饮用口感时，

需要放置的时间最接近的是

（参考数据：1g2®0.30,1g3®0.48）

A.2.5minB.4.5minC.6minD.8min

10.已知数列｛a,J满足％_3=-1,%T=1，该数列的前”项和为S”，则下列论

断中第误的是

A.%=1

B.%024=T

C3非零常数T,VneN*,^an+T=an

D.VHGN*,都有S2〃=—2

2

第二部分(非选择题共110分)

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

1+i-

11.已知复数z=5,贝!Jz・z=_______.

i

,3

12.已知△A6C中，〃=4,b=2cjcosA=——,则SAM。=.

13.已知正方形ABCD的边长为1,点尸满足4尸=/MB(2>0).当彳=；时，

ACPD=；当力=时，PC•。尸取得最大值.

14.已知p:设函数/⑴在区间(0,+8)上的图像是一条连续不断的曲线,若/⑴"(2)>0,

则于(x)在区间(1,2)内无零点.能说明p为假命题的一个函数的解析式是.

15.已知曲线G:x|x|+y|y|=4,。为坐标原点.给出下列四个结论：

①曲线G关于直线y=x成轴对称图形；

②经过坐标原点。的直线/与曲线G有且仅有一个公共点；

③直线/:尤+y=2与曲线G所围成的图形的面积为兀-2；

④设直线/:>=丘+2,当左e(-l,0)时，直线/与曲线G恰有三个公共点.

其中所有正确结论的序号是.

3

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

16.(本小题13分)

已知函数/(x)=cosx(Gsinx+3cosx)的图像经过点(―,-).

62

(I)求实数〃的值，并求/(X)的单调递减区间；

(II)当XE。］］时，/(%)2机恒成立，求实数机的取值范围.

4

17.(本小题14分)

如图，在棱长均为2的四棱柱ABCD-A用GA中，点石是CG的中点，BC交平面AD.E

于点尸.

(I)求证：点下为线段BC的中点；

(II)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为己知，使得四棱柱

ABCD-^C^存在且唯一确定.

(i)求二面角A-AF-8的余弦值;

(ii)求点用到平面ADYEF的距离.

条件①：DD,，平面ABC£＞；

条件②：四边形A8CD是正方形；

条件③：平面A41Ao，平面CGA。­

注：如果选择的条件不符合要求，则第(II)问得0分；如果选择多组符合要求的条

件分别解答，按第一个解答计分.

5

18.（本小题13分）

某行业举行专业能力测试，该测试由A,B,C三项组成，每项测试成绩分为合格和不合

格，三项测试结果相互独立.当三项测试成绩均合格时，认定分为10分；当C项测试成绩

合格，且43两项中恰有一项成绩合格时，认定分为5分；当C项测试成绩不合格，且A3

两项测试成绩都合格时，认定分为2分；其它测试成绩，认定分为0分.

甲在参加该专业能力测试前进行了20次模拟测试,测试成绩合格的频数统计如下表：

测试项ABC

频数161510

用频率估计概率.

（I）试估计甲参加该专业能力A项测试成绩合格的概率；

（II）设X表示甲获得的认定分，求X的分布列和数学期望E（X）；

（III）若乙参加该专业能力测试，三项测试成绩合格的概率均为士.试估计甲、乙两人获得

3

认定分的大小，并说明理由.

6

19.《本小题15分）

已知椭圆£：4+4=1（«>&>0）的离心率为短轴长为2也.

a2b22

（I）求椭圆£的方程；

（II）设是椭圆E的左、右顶点，尸是椭圆E的右焦点.过点尸的直线/与椭圆E相交

于两点（点M在x轴的上方），直线分别与y轴交于点P,。，试判断博言是

否为定值？若是定值，求出这个定值；若不是定值，说明理由.

7

20.(本小题15分)

已知函数f(x)=x+—.

ev

(I)求曲线y=，(尤)在点(0,7(0))处的切线方程；

(II)求/。)在区间［0,1］上的最小值；

(III)若。>0,当x>0时，求证：/(Ina-x)>/(Ina+x).

8

21.（本小题15分）

已知。吗,〃2，MN为有穷正整数数列，，且$+。2+•+〃N.从。

中选取第"项，第J项，，第以项。；<，2<<M），称数列4,。”为。的长度为相

的子列.规定：数列。的任意一项都是。的长度为1的子列.

若对于任意的正整数E«S,数列。存在长度为根的子列%,，以0,

使得%+%++”=小则称数列。为全覆盖数列.

（I）判断数列1,1,1,5和数列1,2,4,8是否为全覆盖数列；

（II）在数列。中，若s«2N—l,求证：当时，an<n<\+ax+a2+-+an_x；

（III）若数列。满足：%=1,且当2W〃WN时，4<〃41+4+七+.+4——

求证：数列。为全覆盖数列.

9

昌平区2024年高三年级第二次统一练习

数学试卷参考答案2024.5

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

题号(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)

答案DCBBDAABBc

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

(11)2(12)—(13)--

232

3

20

(14)/(X)=(x--)(答案不唯一)(15)①③④

注：(13)题第一空3分，第二空2分；

(15)题选对1个得2分，选对2个得3分，选对3个得5分，错选1个得0分.

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

(16)(共13分)

713

解：(I)由题意得，cos—

66I"。2

3

解得1分

2

所以/(x)=cosx(V3sinx+3cosx)--3=V3sinxcosx+3cos2x~~3

1+cos2x3

—sin2x+3x

222

=—sin2x+3COS2%=V3sin(2x+-).......4分.

223

7TJT

由一+2左兀W2x+—W---F2左兀，

232

所以2+左兀WxW—+kn........6分

1212

所以/(X)的单调递减区间为成+杭段+矶%eZ)...........7分

(II)由(I)可知/(x)=Ain(2x+g).

因为OWxW^,所以三+”........8分

2333

第1页/共9页

所以——W也sin(2x+—)^百.

23

所以一gw/(x)W>A................9分

当2x+/=手，即x=］时，“X)取得最小值是-:...........11分

因为/(无)》加恒成立等价于mW/(x)^，所以根(.

3

所以实数加的取值范围是(-8,-3................13分

2

(17)(共14分)

解：(D连接BC「

因为BC交平面ARE于点尸，BCu平面耳BCG,

所以尸e平面目BCCl.

所以平面耳BCG「平面DAEE=EF................1分

因为平面耳BCq//平面,平面DQAAI平面2APE=ADt,

所以4〃//EF.

因为AG//AB，且。q=A8,

所以四边形ABC，是平行四边形.

所以AR//BG.

所以EF//BQ...........................3分

因为点E是CG的中点，

所以点尸为线段BC的中点.

(II)选择条件①②：

因为DR_L平面ABC。，

所以。A_L,DD,1DC.

因为四边形A8CD是正方形，

所以。A1OC.5分

(i)如图建立空间直角坐标系。-孙z.

则0(0,0,0),0,(0,0,2),A(2,0,0)2(2,2,0),C(0,2,0)..................6分

第2页/共9页

所以尸(1,2,0),AD,=(-2,0,2),AF=(-1,2,0)................7分

设平面DtAFE的法向量为m=(x,y,z),贝lj

AD.m-0,\-2x+2z=0,

<即an｛

AFm=Q.x+2y=0.

令x=2,则y=l,z=2,于是机=(2,1,2).

...............8分

因为O'_L平面ABC。,

所以平面ABC。的法向量为“=（0,0,1）................9分

^fftZcos<m,n>=WM................10分

|m||n|3

由题知，二面角A-A尸-B为钝角，........11分

2

所以二面角2-A歹的余弦值为一耳.............12分

（ii）因为4（2,0,0因男（2,2,2）,所以A耳=（0,2,2）.

\1AB.-ml1

所以点一到平面AD.EF的距离为d=,，=2............................14分

\m\

选择条件①③：

因为J_平面ABCD,所以。AJ_D4,DDt1DC.....................2分

因为平面MDQ±平面CGR。，平面A4tR£）|平面CCQ。=Dp,

所以ZM_L平面CGRD................3分

所以D41OC.........................4分

以下同选条件①②.

选择条件②③不合题意，此时几何体不能唯一确定.

（18）（共13分）

164

解：（I）因为甲参加专业能力/项测试成绩合格的频率为一=—,……2分

205

4

由频率估计概率，估计甲参加专业能力/项测试成绩合格的概率为P（A）=—................3分

5

（II）设甲参加专业能力4B,C三项测试成绩合格分别为事件4,耳,G，由频率估计概率，估计

431

p（A）=j-估计尸（心）=1，估计P（G）=]....................4分

根据题意，随机变量X的所有可能取值为10,5,2,0,且

4313八

尸（X=io）=尸（ABG）=尸（A）尸（即尸（4）=[><7乂3=而;.......5分

第3页/共9页

——1314117

P(X=5)=P(AB1C1)+P(AB1C1)=-x-x-+-x-x-=—；................6分

54254240

——4313

P(X=2)=P(ARC1)=-x-x-=—;...............7分

54210

9八

P(X=0)=1-P(X=10)-P(X=5)-P(X=2)=—...................8分

40

所以X的分布列为

X02510

P9373

40104010

9373179

所以X的数学期望为E(X)=0x—+2x—+5x—+10x—=—=4.475..............10分

4010401040

(III)乙获得的认定分大........11分

理由如下：

设乙参加专业能力4B,。三项测试成绩合格分别为事件。2，由频率估计概率，估计

2

P(A2)=P(B2)=P(C2)=-.

设y表示乙获得的认定分，随机变量y的所有可能取值为io,5,2,o,且

2

2I18

尸（丫=5）=x—x2=——

327

7

；p(y=o)=i-p(y=io)-p(y=5)-p(y=2)=—

27

7488128

所以E(y)=0x——+2x——+5x—+10x——二——«4.74>4.475.

2727272727

所以E(X)<E("所以乙获得的认定分大..............13分

(19)(共15分)

cl

a2,

解：(I)由题设，<2b=273,...............2分

a2=b2+c2.

解得〃=2,。=石,0=1................4分

22

所以椭圆E的方程为上+2=1.........................5分

43

OP_1

分

(II)~OQ=3........................6

第4页/共9页

由题意可知A(-2,0),8(2,0),尸(1,0).

33

⑴当MNLx轴时，直线/的方程为x=l,易知"(I,]),N(l,-5).

直线AM的方程为y=g(x+2),所以P(0,l),|OP|=1.

直线的方程为37=5(尤一2),所以。(0,-3),\OQ\=3.

所以禺

........................7分

(ii)当直线MN的斜率存在时，设直线/的方程为y=七x-l)(AwO).

了十5一

由，得(3+4严)/_8左2%+4〃-12=0.

y=k(x-1)

则A=144(%2+1)>0

...............8分

4P-1?

设加(%，%)，N(x,y),则再+々=々44，&尤2=；/14..................9分

22DI/1/CI'I/v

直线AM的方程为y=U^(x+2),令x=0,则%所以尸(0,2V).

石+2再+2%+2

...............10分

直线BN的方程为y=3^(x-2),令x=0,则〉=二工，所以。©二期之).

入2—2%—2%—2

...............11分

所以|0尸|=鼻，［00=弋.

七十，%一，

所嗯-2)

y2a+2)

%(%—1)(%2—2)玉入22玉入2+2

...............12分

k(x2一1)(石+2)匹入2_%+2%2—2

4k2-nc,8/4k2-6

—X])+2

3+4r-XTjTZF3+4公一、1

可得㈣14分

4fe2-128左212^2-18°3

如_&+2(-x()-2---------5——3x,

3+4423+4k23+4左21

OP1

综上,........................15分

OQ3

(20)(共15分)

第5页/共9页

解：⑴因为/(彳)=尤+£,

所以尸(尤)=1-二........2分

e

所以尸(0)=1-。，/(0)=a...........................3分

所以曲线y=f(x)在点(0,/(0))处的切线方程为y=(1-a)x+。....4分

(II)由题知，/<X)=1-三=三3.

(1)当。WO时，/'(x)>0在区间［0,1］上恒成立，

所以函数/(%)在区间［0,1］上是增函数.

所以当％=0时，/(X)min=Q・...............6分

(2)当〃>0时，令/(x)=0,即e*-a=O,

所以x=Ina.

①当InaWO,即0<aWl时，尸⑺〉0在区间(0,1)上恒成立，

所以函数/(%)在区间［0,1］上是增函数.

所以当尤=0时，/(X)min=a・................7分

②当Ovlnavl,即l<a<e时，/(%)与/(x)的情况如下：

X(0,Intz)Ina(Intz,1)

f'M-0+

极小值/

所以当x=Ina时，/(x)min=lna+L...............9分

③当Ina»1,即aee时，f\x)<0在区间(0,1)上恒成立,

所以函数/(乃在区间［0』］上是减函数.

所以当x=l时，/(x)min=1+-.

e

a,QW1,

综上，/(^min=SIn〃+1,1<^<e,........................11分

a

1H—,a2e.

、e

(III)解法1：设g(x)=/(ln〃_x)_/(lnq+X)

aa

=lna-x+-..........(InQ+%+--------)

eIna-%'ema+x/

第6页/共9页

%1

=-2x+e---X-,

所以g")=—2+e，+」.........12分

令//(兀)=-2+e'+^y,贝Uh'(x)=e"--^.

exe'

因为犬>。，所以e">l,0<丁<1.

e%

所以h\x)>0,即h(x)在(0,+oo)上单调递增........13分

又因为以工)>"(0)=0,

所以屋⑴>0.

所以g(x)在(0,+oo)上是单调递增.........14分

所以g(%)>g(0)=0.

所以g(x)=/(Ina-x)-/(In〃+%)>0.

所以/(Ina-x)>/(Ina+x).............15分

【解法21g(x)=/(Ina-x)-/(Ina+x)

aa

=\na—x+------(InQ+%+--------)

eIna—%'elna+x/

%1

=-2x+e----,

e%

所以g(x)=-2+e"+4.........12分

e

因为x>。，所以e">0,—>0,且e'w--,

e%ex

所以一2+e*+4>2je*」-2=0.........13分

e'Ve"

所以屋(x)>0.

所以函数g(x)在区间(0,+℃)上是增函数.........14分

所以g(x)而n>g(0)=0.

所以g(x)=/(Ina-x)-/(Ina+x)>0.

所以/(Ina-x)>/(Ina+x).........15分

(21)(共15分)

解：