吉林省长春市黄冈2024届中考考前最后一卷数学试卷含解析

吉林省长春市长春外国语校2024年中考考前最后一卷数学试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1.如图，A,5是半径为1的。。上两点，且点尸从点A出发，在。。上以每秒一个单位长度的速度匀速

运动，回到点A运动结束，设运动时间为x（单位：s）,弦5P的长为y,那么下列图象中可能表示y与x函数关系的

是（）

2.如图，一个斜坡长130m,坡顶离水平地面的距离为50m,那么这个斜坡的坡度为（）

3.下列各式计算正确的是（）

A.娓—6=也B.尼x百=6C.3+石=3占D.痴+2=逐

4.如图，二次函数y=ax?+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（斜），下列结论：①acVl；②a+b=l；③4ac

-b2=4a；④a+b+cVL其中正确结论的个数是（）

AJ~）1E1

6.如图，在AA3CDE/ABC中，D,E分别在边A3,AC边上，已知——=—,则把的值为（）

DB3BC

8.如图是由几个相同的小正方体搭成的一个几何体，它的俯视图是（）

10.如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=4,点E在边BC上，若AE平分NBED,则BE的长为（）

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11.如图，自左至右，第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成；第2个图由2个正六边形、11

个正方形和10个等边三角形组成；第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三角形组成；…按照此规律,

第n个图中正方形和等边三角形的个数之和为个.

12.正十二边形每个内角的度数为.

13.若正“边形的内角为140。，则边数”为.

14.填在下列各图形中的三个数之间都有相同的规律，根据此规律，a的值是

15.如图，在△ABC中，CA=CB,NACB=90。，AB=4,点D为AB的中点，以点D为圆心作圆，半圆恰好经过三角

形的直角顶点C,以点D为顶点，作90。的NEDF,与半圆交于点E,F,则图中阴影部分的面积是.

A

16.小刚家、公交车站、学校在一条笔直的公路旁（小刚家、学校到这条公路的距离忽略不计）.一天，小刚从家出发

去上学，沿这条公路步行到公交站恰好乘上一辆公交车，公交车沿这条公路匀速行驶，小刚下车时发现还有4分钟上

课，于是他沿着这条公路跑步赶到学校（上、下车时间忽略不计），小刚与学校的距离s（单位：米）与他所用的时间

t（单位：分钟）之间的函数关系如图所示.已知小」刚从家出发7分钟时与家的距离是1200米，从上公交车到他到达

学校共用10分钟.下列说法：

①公交车的速度为400米/分钟；

②小刚从家出发5分钟时乘上公交车；

③小刚下公交车后跑向学校的速度是100米/分钟；

④小刚上课迟到了1分钟.

其中正确的序号是.

17.已知三角形两边的长分别为1、5,第三边长为整数，则第三边的长为.

三、解答题（共7小题，满分69分）

18.（10分）在数学活动课上，老师提出了一个问题：把一副三角尺如图摆放，直角三角尺的两条直角边分别垂直或

平行，60。角的顶点在另一个三角尺的斜边上移动，在这个运动过程中，有哪些变量，能研究它们之间的关系吗？

小林选择了其中一对变量，根据学习函数的经验，对它们之间的关系进行了探究.

下面是小林的探究过程，请补充完整：

（1）画出几何图形，明确条件和探究对象；

如图2,在RtAABC中，ZC=90°,AC=BC=6cm,D是线段AB上一动点，射线DE_LBC于点E,NEDF=60。，射

线DF与射线AC交于点F.设B,E两点间的距离为xcm,E,F两点间的距离为ycm.

（2）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：

x/cm0123456

y/cm6.95.34.03.3—4.56

（说明：补全表格时相关数据保留一位小数）

（3）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象;

（4）结合画出的函数图象，解决问题：当△DEF为等边三角形时，BE的长度约为cm.

19.（5分）先化简，再求值:

20.（8分）如图，已知点。在AABC的外部，AD//BC,点E在边48上，AB*AD^BC*AE.求证：N5AC=NAEZ＞；

ADAF

在边AC取一点尸，如果NA尸E=NO,求证：一=—

BCAC

21.（10分）某商店销售两种品牌的计算器，购买2个A品牌和3个B品牌的计算器共需280元；购买3个A品牌和

1个B品牌的计算器共需210元.

（I）求这两种品牌计算器的单价；

（II）开学前，该商店对这两种计算器开展了促销活动，具体办法如下：A品牌计算器按原价的九折销售，B品牌计

算器10个以上超出部分按原价的七折销售.设购买x个A品牌的计算器需要yi元，购买x个B品牌的计算器需要yz

元，分别求出yi,y2关于x的函数关系式.

（III）某校准备集体购买同一品牌的计算器，若购买计算器的数量超过15个，购买哪种品牌的计算器更合算？请说明

理由.

2

22.(10分)(1)化简：［1———m+2m+1

Im+2m2-4

x+31

------>x+1

(2)解不等式组彳2

3+4(x-l)>-9

23.（12分）如图，某人站在楼顶观测对面的笔直的旗杆AB,已知观测点C到旗杆的距离CE=8若m,测得旗杆的

顶部A的仰角NECA=30。，旗杆底部B的俯角NECB=45。，求旗杆AB的高.

24.（14分）如图，在小ABC中，已知AB=AC=5,BC=6,J.AABC^ADEF,将4DEF与小ABC重合在一起，△ABC

不动，ADEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE始终经过点A,EF与AC交于M点.

（1）求证：AABES^ECM；

（2）探究：在ADEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；

（3）当线段AM最短时，求重叠部分的面积.

D

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、D

【解题分析】

分两种情形讨论当点P顺时针旋转时，图象是③，当点尸逆时针旋转时，图象是①，由此即可解决问题.

【题目详解】

分两种情况讨论：①当点P顺时针旋转时，BP的长从夜增加到2,再降到0,再增加到0,图象③符合；

②当点尸逆时针旋转时，BP的长从0降到0,再增加到2,再降到0,图象①符合.

故答案为①或③.

故选D.

【题目点拨】

本题考查了动点问题函数图象、圆的有关知识，解题的关键理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常

考题型.

2、A

【解题分析】

试题解析：•••一个斜坡长130m,坡顶离水平地面的距离为50m,

，这个斜坡的水平距离为：^/1302-502=10m,

这个斜坡的坡度为:50：10=5：1.

故选A.

点睛：本题考查解直角三角形的应用•坡度坡角问题，解题的关键是明确坡度的定义.坡度是坡面的铅直高度h和水平

宽度1的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=l:m的形式.

3、B

【解题分析】

A选项中，•••指、6不是同类二次根式，不能合并，.•.本选项错误；

B选项中，•••屈义百=圆=6，，本选项正确；

C选项中，；36=3x6,而不是等于3+6，♦••本选项错误；

D选项中，,••何+2=亚/6,•,.本选项错误；

2

故选B.

4、C

【解题分析】

①根据图象知道：a<l,c>l,Aac<l,故①正确；

②•・•顶点坐标为(1/2,1),/.x=H-b/2aM=H1/2H,Aa+b=l,故②正确；

③根据图象知道：x=l时，y=a++b+c>l,故③错误；

④,顶点坐标为(1/2,1),.,.4ac-b2=4a,故④正确.

4a

其中正确的是①②④.故选C

5、A

【解题分析】

【分析】根据绝对值的意义进行求解即可得.

【题目详解】表示的是一3的绝对值，

数轴上表示的点到原点的距离是工，即-』的绝对值是工，

9999

所以的值为

故选A.

【题目点拨】本题考查了绝对值的意义，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键.

6、B

【解题分析】

根据DE/7BC得到△ADE^AABC,根据相似三角形的性质解答.

【题目详解】

・AD-1

••=f

AB4

VDE/7BC,

/.△ADE^AABC,

.DEAD1

••3C―AB—4’

故选：B.

【题目点拨】

本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的对应边的比等于相似比是解题的关键.

7、D

【解题分析】

分别计算各方程的根的判别式的值，然后根据判别式的意义判定方程根的情况即可.

【题目详解】

A、△=(-2)2-4xlx0=4>0,方程有两个不相等的实数根，所以A选项错误；

B、A=(-2)2-4xlx(-1)=8>0,方程有两个不相等的实数根，所以B选项错误；

C、△=(-2)2-4xlxl=0,方程有两个相等的实数根，所以C选项错误；

D、△=(-2)2-4x1x2=-4<0,方程没有实数根，所以D选项正确.

故选D.

8、D

【解题分析】试题分析：俯视图是从上面看到的图形.

从上面看，左边和中间都是2个正方形，右上角是1个正方形，

故选D.

考点：简单组合体的三视图

9、A

【解题分析】

根据三角函数的定义直接求解.

【题目详解】

在RtAABC中，ZC=90°,AC=9,

sinB=,

AB

._L_2

••—―,

AB5

解得AB=1.

故选A

10、D

【解题分析】

首先根据矩形的性质，可知AB=CD=3,AD=BC=4,ND=90。，AD〃BC,然后根据AE平分/BED求得ED=AD；利

用勾股定理求得EC的长，进而求得BE的长.

【题目详解】

•••四边形ABCD是矩形，

；.AB=CD=3,AD=BC=4,ND=90。，AD/7BC,

，ZDAE=ZBEA,

；AE是/DEB的平分线，

/.ZBEA=ZAED,

/.ZDAE=ZAED,

，DE=AD=4,

再RtADEC中，EC=y/ED2-DC2=A/42-32=不，

.,.BE=BC-EC=4-V7.

故答案选D.

【题目点拨】

本题考查了矩形的性质与角平分线的性质以及勾股定理的应用，解题的关键是熟练的掌握矩形的性质与角平分线的性

质以及勾股定理的应用.

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11、9n+l.

【解题分析】

•.•第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成，

,正方形和等边三角形的和=6+6=12=9+1；

•.•第2个图由11个正方形和10个等边三角形组成，

/.正方形和等边三角形的和=11+10=21=9x2+1；

•••第1个图由16个正方形和14个等边三角形组成，

/.正方形和等边三角形的和=16+14=10=9x1+1,

...第n个图中正方形和等边三角形的个数之和=9n+L

故答案为9n+l.

12、150°

【解题分析】

首先求得每个外角的度数，然后根据外角与相邻的内角互为邻补角即可求解.

【题目详解】

试题分析：正十二边形的每个外角的度数是：—=30°,

12

则每一个内角的度数是：180。-30。=150。.

故答案为150°.

13、9

【解题分析】

分析：

根据正多边形的性质：正多边形的每个内角都相等，结合多边形内角和定理列出方程进行解答即可.

详解：

由题意可得：140n=180(n-2),

解得：n=9.

故答案为：9.

点睛:本题解题的关键是要明白以下两点：(1)正多边形的每个内角相等；(2)n边形的内角和=180(n-2).

14、1.

【解题分析】

寻找规律：

上面是1,2,3,4,…，；左下是1,4=22,9=32,16=42,

右下是：从第二个图形开始，左下数字减上面数字差的平方：

(4-2)2,(9-3)2,(16-4)2,...

•*.a=(36—6)2=1.

15、n-1.

【解题分析】

连接CD,作DNLAC,证明AOMG之则S四睇KWDMCN,求得扇形尸。E的面积，则阴影

部分的面积即可求得.

【题目详解】

连接CZ>,DM±BC,DNLAC.

'：CA=CB,ZACB=90°,点。为A3的中点，...OC=；AB=1,四边形Z>MCN是正方形，DM=6.

QO;rx?2

则扇形FOE的面积是：=n.

360

'：CA=CB,ZACB=9Q°,点。为4B的中点，...CZ)平分N8CA.

又：DMLBC,DNLAC,：.DM=DN.

ZDMG=ZDNH

:NGDH=NMDN=9Q。,：.ZGDM=ZHDN.在AOMG和△ONW中，V\ZGDM=Z.HDN,：./\DMG^ADNH

DM=DN

(AAS),S四边形DGCH=S四边形DMCN=L

则阴影部分的面积是：n-1.

故答案为Tt-1.

【题目点拨】

本题考查了三角形的全等的判定与扇形的面积的计算的综合题,正确证明4DMG必DNH,得到S四边形OGC*S四边形DMCN

是关键.

16、①②③

【解题分析】

由公交车在7至12分钟时间内行驶的路程可求解其行驶速度，再由求解的速度可知公交车行驶的时间，进而可知小刚

上公交车的时间；由上公交车到他到达学校共用10分钟以及公交车行驶时间可知小刚跑步时间，进而判断其是否迟到，

再由图可知其跑步距离，可求解小刚下公交车后跑向学校的速度.

【题目详解】

解：公交车7至12分钟时间内行驶的路程为3500-1200-300=2000m,则其速度为2000+5=400米/分钟，故①正确；由

图可知,7分钟时,公交车行驶的距离为1200-400=800m,则公交车行驶的时间为800+400=2min,则小刚从家出发7-2=5

分钟时乘上公交车，故②正确；公交车一共行驶了2800+400=7分钟，则小刚从下公交车到学校一共花了10-7=3分钟

＜4分钟，故④错误，再由图可知小明跑步时间为300+3=100米/分钟，故③正确.

故正确的序号是：①②③.

【题目点拨】

本题考查了一次函数的应用.

17、2

【解题分析】

分析：根据三角形的三边关系“任意两边之和＞第三边，任意两边之差〈第三边”，求得第三边的取值范围，再进一步

根据第三边是整数求解.

详解：根据三角形的三边关系，得

第三边＞4,而VI.

又第三条边长为整数，

则第三边是2.

点睛：此题主要是考查了三角形的三边关系，同时注意整数这一条件.

三、解答题（共7小题，满分69分）

18、（1）见解析；（1）3.5；（3）见解析；（4）3.1

【解题分析】

根据题意作图测量即可.

【题目详解】

（1）取点、画图、测量，得到数据为3.5

故答案为：3.5

（3）由数据得

(4)当△DEF为等边三角形是，EF=DE,由/B=45。，射线DE_LBC于点E,贝!jBE=EF.即y=x

所以，当(1)中图象与直线y=x相交时，交点横坐标即为BE的长，由作图、测量可知x约为3.1.

【题目点拨】

本题为动点问题的函数图象探究题，解得关键是按照题意画图测量，并将条件转化成函数图象研究.

1

19、-

3

【解题分析】

原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入

计算即可求出值.

【题目详解】

a+1-aa(a+l)

原式a(a+l)(a一

1

当时，原式=g.

【题目点拨】

本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的运算顺序以及运算法则是解题的关键.

20、见解析

【解题分析】

(1)欲证明只要证明△CBAs/iZME即可；

(2)由△ZMEsaC5A,可得包=匹，再证明四边形AOEF是平行四边形，推出。E=AF,即可解决问题;

BCAC

【题目详解】

证明(1),JAD//BC,

:.NB=NDAE,

'：ABAD=BCAE,

.AB_BC

**AEAD?

：./\CBA^/\DAE,

：.ZBAC=ZAED.

(2)由(1)得△ZMEsaCBA

'：ZAFE=ZD,

J.ZAFE^ZC,

：.EF//BC,

,JAD//BC,

：.EF//AD,

,:NBAC=ZAED,

：.DE//AC,

二四边形ADEF是平行四边形，

：.DE=AF,

.AD_AF

*'BCAC'

【题目点拨】

本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常

考题型.

f60x(0<%<10)

21、(1)A种品牌计算器50元/个，B种品牌计算器60元/个；(2)yi=45x,y=⑦、；(3)详见解

242%+18o0n(/%10)

析.

【解题分析】

⑴根据题意列出二元一次方程组并求解即可；

⑵按照“购买所需费用=折扣x单价x数量”列式即可，注意B品牌计算器的采购要分0<x<10和x>10两种情况考虑；

(3)根据上问所求关系式，分别计算当x>15时，由yi=y2、yi>y2、yi<y2确定其分别对应的销量范围，从而确定方案.

【题目详解】

(I)设A、B两种品牌的计算器的单价分别为a元、b元,

2a+3b=280

根据题意得,

3a+b=210

a=50

解得：

b=60

答：A种品牌计算器50元/个，B种品牌计算器60元/个；

(II)A品牌:yi=50x*0.9=45x；

B品牌：①当0<x<10时,y2=60x,

②当x>10时，y2=10x60+60x(x-10)x0.7=42x+180,

综上所述：

yi=45x,

-60x(0<x<10)

y2=[42x+180(x>10)；

(III)当yi=y2时，45x=42x+180,解得x=60,即购买60个计算器时，两种品牌都一样；

当yi>y2时，45x>42x+180,解得x>60,即购买超过60个计算器时，B品牌更合算；

当yi〈y2时，45x<42x+180,解得xV60,即购买不足60个计算器时，A品牌更合算，

当购买数量为15时，显然购买A品牌更划算.

【题目点拨】

本题考查了二元一次方程组的应用.

m-2、

22、(1)--------；(2)-2<x<l

m+1

【解题分析】

(1)原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果;

(2)分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可.

【题目详解】

m+1(m+2)(m-2)m—2

(1)原式:一丁八J-

m+2(m+1)-m+1

x<1

(2)不等式组整理得：\，

x>-2

则不等式组的解集为-2<x<l.

【题目点拨】

此题考查计算能力，(1)考查分式的化简，正确将分子与分母分解因式及按照正确运算顺序进行计算是解题的关键;