专题08 指数与指数函数-2021年新高考数学基础考点一轮复习

专题08指数与指数函数【考点总结】1．根式(1)根式的概念①若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n>1且n∈N*.式子eq\r(n,a)叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．②a的n次方根的表示：xn＝a⇒eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\r(n,a)，当n为奇数且n∈N*，n>1时，,x＝±\r(n,a)，当n为偶数且n∈N*时.))(2)根式的性质①(eq\r(n,a))n＝a(n∈N*，且n>1)；②eq\r(n,an)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，n为奇数，,|a|＝\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0，))n为偶数.))2．有理数指数幂(1)幂的有关概念①正分数指数幂：aeq\s\up6(\f(m,n))＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)；②负分数指数幂：a－eq\s\up6(\f(m,n))＝eq\f(1,a\s\up6(\f(m,n)))＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)；③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义．(2)有理数指数幂的运算性质①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．3．指数函数的图象与性质y＝ax(a>0且a≠1)a>10<a<1图象定义域R值域(0，＋∞)性质过定点(0，1)当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1当x>0时，0<y<1；当x<0时，y>1在R上是增函数在R上是减函数【常用结论】1．指数函数图象的画法画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,a))).2.指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b>0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象越高，底数越大．3．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a>1与0<a<1来研究．【易错总结】(1)忽略n的范围导致式子eq\r(n,an)(a∈R)化简出错；(2)不能正确理解指数函数的概念致错；(3)指数函数问题时刻注意底数的两种情况；(4)复合函数问题容易忽略指数函数的值域致错．例1．计算eq\r(3,（1＋\r(2)）3)＋eq\r(4,（1－\r(2)）4)＝________．解析：eq\r(3,（1＋\r(2)）3)＋eq\r(4,（1－\r(2)）4)＝(1＋eq\r(2))＋(eq\r(2)－1)＝2eq\r(2).答案：2eq\r(2)例2．若函数f(x)＝(a2－3)·ax为指数函数，则a＝________．解析：由题意知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0<a，,a≠1，,a2－3＝1，))即a＝2.答案：2例3．若函数f(x)＝ax在[－1，1]上的最大值为2，则a＝________．解析：当a>1时，a＝2；当0<a<1时a－1＝2，即a＝eq\f(1,2).答案：2或eq\f(1,2)例4．函数y＝2eq\s\up6(\f(1,x－1))的值域为________．解析：因为eq\f(1,x－1)≠0，所以2eq\s\up6(\f(1,x－1))>0且2eq\s\up6(\f(1,x－1))≠1.答案：(0，1)∪(1，＋∞)【考点解析】【考点】一、指数幂的化简与求值例1．化简eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(－\f(1,2))·eq\f(（\r(4ab－1)）3,（0.1）－1·（a3·b－3）\s\up6(\f(1,2)))(a>0，b>0)＝________．解析：原式＝2×eq\f(23·a\s\up6(\f(3,2))·b－\s\up6(\f(3,2)),10·a\s\up6(\f(3,2))·b－\s\up6(\f(3,2)))＝21＋3×10－1＝eq\f(8,5).答案：eq\f(8,5)例2．计算：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(27,8)))eq\s\up12(－\f(2,3))＋0.002－eq\s\up6(\f(1,2))－10(eq\r(5)－2)－1＋π0＝________．解析：原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))eq\s\up12(－2)＋500eq\s\up6(\f(1,2))－eq\f(10（\r(5)＋2）,（\r(5)－2）（\r(5)＋2）)＋1＝eq\f(4,9)＋10eq\r(5)－10eq\r(5)－20＋1＝－eq\f(167,9).答案：－eq\f(167,9)例3．化简：eq\f(a\s\up6(\f(4,3))－8a\s\up6(\f(1,3))b,4b\s\up6(\f(2,3))＋2\r(3,ab)＋a\s\up6(\f(2,3)))÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\s\up6(\f(2,3))－\f(2\r(3,b),a)))×eq\f(\r(a·\r(3,a2)),\r(5,\r(a)·\r(3,a)))＝________(a>0)．解析：原式＝eq\f(a\s\up6(\f(1,3))[（a\s\up6(\f(1,3))）3－（2b\s\up6(\f(1,3))）3],（a\s\up6(\f(1,3))）2＋a\s\up6(\f(1,3))·（2b\s\up6(\f(1,3))）＋（2b\s\up6(\f(1,3))）2)÷eq\f(a\s\up6(\f(1,3))－2b\s\up6(\f(1,3)),a)×eq\f(（a·a\s\up6(\f(2,3))）\s\up6(\f(1,2)),（a\s\up6(\f(1,2))·a\s\up6(\f(1,3))）\s\up6(\f(1,5)))＝aeq\s\up6(\f(1,3))(aeq\s\up6(\f(1,3))－2beq\s\up6(\f(1,3)))×eq\f(a,a\s\up6(\f(1,3))－2b\s\up6(\f(1,3)))×eq\f(a\s\up6(\f(5,6)),a\s\up6(\f(1,6)))＝a2.答案：a2指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算．(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．[提醒]运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一．【考点】二、指数函数的图象及应用例1、(1)函数f(x)＝21－x的大致图象为()(2)若函数y＝|3x－1|在(－∞，k]上单调递减，则k的取值范围为________．【解析】(1)函数f(x)＝21－x＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)，单调递减且过点(0，2)，选项A中的图象符合要求．(2)函数y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示．由图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以k的取值范围为(－∞，0]．【答案】(1)A(2)(－∞，0]【迁移探究1】(变条件)本例(2)变为：若函数f(x)＝|3x－1|－k有一个零点，则k的取值范围为________．解析：函数f(x)有一个零点，即y＝|3x－1|与y＝k有一个交点．由本例(2)得y＝|3x－1|的图象如图所示，故当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有唯一的交点，所以函数f(x)有一个零点．答案：{0}∪[1，＋∞)【迁移探究2】(变条件)若本例(2)的条件变为：函数y＝|3x－1|＋m的图象不经过第二象限，则实数m的取值范围是________．解析：作出函数y＝|3x－1|＋m的图象如图所示．由图象知m≤－1，即m∈(－∞，－1]．答案：(－∞，－1]应用指数函数图象的4个技巧(1)画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,a))).(2)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断所给的图象是否过这些点，若不满足则排除．(3)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(4)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．【变式】1.函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()A．a>1，b<0 B．a>1，b>0C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<0解析：选D.由f(x)＝ax－b的图象可以观察出函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0<a<1.函数f(x)＝ax－b的图象是在f(x)＝ax的基础上向左平移得到的，所以b<0.【变式】2．若关于x的方程|ax－1|＝2a(a＞0，且a≠1)有两个不等实根，则a的取值范围是________．解析：方程|ax－1|＝2a(a＞0，且a≠1)有两个不等实根转化为函数y＝|ax－1|与y＝2a有两个交点．(1)当0＜a＜1时，如图①，所以0＜2a＜1，即0＜a＜eq\f(1,2)；(2)当a＞1时，如图②，而y＝2a＞1不符合要求．所以0＜a＜eq\f(1,2).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))【考点】三、指数函数的性质及应用角度一指数函数单调性的应用例1、(1)已知a＝2eq\s\up6(\f(4,3))，b＝4eq\s\up6(\f(2,5))，c＝25eq\s\up6(\f(1,3))，则()A．b<a<c B．a<b<cC．b<c<a D．c<a<b(2)若f(x)＝ex－ae－x为奇函数，则满足f(x－1)＞eq\f(1,e2)－e2的x的取值范围是()A．(－2，＋∞) B．(－1，＋∞)C．(2，＋∞) D．(3，＋∞)【解析】(1)因为a＝2eq\s\up6(\f(4,3))，b＝4eq\s\up6(\f(2,5))＝2eq\s\up6(\f(4,5))，由函数y＝2x在R上为增函数知，b<a；又因为a＝2eq\s\up6(\f(4,3))＝4eq\s\up6(\f(2,3))，c＝25eq\s\up6(\f(1,3))＝5eq\s\up6(\f(2,3))由函数y＝xeq\s\up6(\f(2,3))在(0，＋∞)上为增函数知，a<c.综上得b<a<c.故选A.(2)由f(x)＝ex－ae－x为奇函数，得f(－x)＝－f(x)，即e－x－aex＝ae－x－ex，得a＝1，所以f(x)＝ex－e－x，则f(x)在R上单调递增，又f(x－1)＞eq\f(1,e2)－e2＝f(－2)，所以x－1＞－2，解得x＞－1，故选B.【答案】(1)A(2)B角度二指数型复合函数的单调性例2、(1)函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(－x2＋2x＋1)的单调递减区间为________．(2)已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是________．【解析】(1)设u＝－x2＋2x＋1，因为y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(u)在R上为减函数，所以函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(－x2＋2x＋1)的减区间即为函数u＝－x2＋2x＋1的增区间．又u＝－x2＋2x＋1的增区间为(－∞，1]，所以f(x)的减区间为(－∞，1]．(2)令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,2)，＋∞))上单调递增，在区间eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(m,2)))上单调递减．而y＝2t为R上的增函数，所以要使函数f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上单调递增，则有eq\f(m,2)≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4]．【答案】(1)(－∞，1](2)(－∞，4]角度三指数函数性质的综合问题例3、已知函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(ax2－4x＋3).(1)若f(x)有最大值3，求a的值；(2)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值．【解】(1)令g(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(g（x）)，由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值－1，因此必有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＞0，,\f(3a－4,a)＝－1，))解得a＝1，即当f(x)有最大值3时，a的值等于1.(2)令g(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(g（x）)，由指数函数的性质知，要使y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(g（x）)的值域为(0，＋∞)．应使g(x)＝ax2－4x＋3的值域为R，因此只能a＝0.(因为若a≠0，则g(x)为二次函数，其值域不可能为R)故f(x)的值域为(0，＋∞)时，a的值为0.(1)利用指数函数的性质比较大小或解不等式，最重要的是“同底”原则．(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．【变式】1．设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是()A．a＜b＜c B．a＜c＜bC．b＜a＜c D．b＜c＜a解析：选C.因为指数函数y＝0.6x在(－∞，＋∞)上为减函数，所以0.60.6＞0.61.5，即a＞b，又0＜0.60.6＜1，1.50.6＞1，所以a＜c，故选C.【变式】2．若偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则不等式f(x－2)>0的解集为________．解析：因为f(x)为偶函数，当x<0时，－x>0，则f(x)＝f(－x)＝2－x－4.所以f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－4，x≥0，,2－x－4，x<0))当f(x－2)>0时，有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2