备战2024高考数学艺体生一轮复习讲义专题34掌握直线方程的基本类型

专题34掌握直线方程的基本类型【考点预测】一、基本概念斜率与倾斜角我们把直线中的系数（）叫做这条直线的斜率，垂直于轴的直线，其斜率不存在．轴正方向与直线向上的方向所成的角叫这条直线的倾斜角．倾斜角，规定与轴平行或重合的直线的倾斜角为0，倾斜角不是的直线的倾斜角的正切值叫该直线的斜率，常用表示，即．当时，直线平行于轴或与轴重合；当时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随的增大而增大；当时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角随的增大而减小；二、基本公式1、两点间的距离公式2、的直线斜率公式3、直线方程的几种形式（1）点斜式：直线的斜率存在且过，注：①当时，；②当不存在时，（2）斜截式：直线的斜率存在且过，（3）两点式：，不能表示垂直于坐标轴的直线．注：可表示经过两点的所有直线（4）截距式：不能表示垂直于坐标轴及过原点的直线．（5）一般式：，能表示平面上任何一条直线（其中，向量是这条直线的一个法向量）三、两直线平行与垂直的判定两条直线平行与垂直的判定．两直线方程平行垂直（斜率存在）（斜率不存在）或或中有一个为0，另一个不存在．四、三种距离1、两点间的距离平面上两点的距离公式为．特别地，原点O（0，．0）与任一点P（x，y）的距离2、点到直线的距离点到直线的距离特别地，若直线为l：x=m，则点到l的距离；若直线为l：y=n，则点到l的距离3、两条平行线间的距离已知是两条平行线，求间距离的方法：（1）转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离．（2）设，则与之间的距离注：两平行直线方程中，x，y前面对应系数要相等．【典例例题】例1．（2023春·广东·高三统考开学考试）设，则“”是“直线与直线平行”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若直线与直线平行，则，解得或，经检验或时两直线平行．故“”能得到“直线与直线平行”，但是“直线与直线平行”不能得到“”故选：A例2．（2023·高三课时练习）已知点和，直线与线段相交，则实数的取值范围是（

）A．或 B．C． D．【答案】A【解析】直线方程可整理为：，则直线恒过定点，，，直线与线段相交，直线的斜率或.故选：A.例3．（2023·全国·高三专题练习）已知两点到直线的距离相等，则（

）A．2 B． C．2或 D．2或【答案】D【解析】（1）若在的同侧，则，所以，，（2）若在的异侧，则的中点在直线上，所以解得,故选:D.例4．（2023·全国·高三专题练习）已知点、，若线段的垂直平分线的方程是，则实数的值是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由中点坐标公式，得线段的中点坐标为，直线的斜率为，由题意知，直线的斜率为，所以，，解得.故选：C.例5．（2023·全国·高三专题练习）将一张坐标纸折叠一次，使点与重合，求折痕所在直线是（

）．A． B． C． D．【答案】D【解析】，，所以与的中点坐标为，又，所以折痕所在直线的斜率为1，故折痕所在直线是，即.故选：D例6．（2023春·河南·高三河南省淮阳中学校联考开学考试）已知倾斜角为的直线与直线垂直，则___________．【答案】5【解析】直线的斜率为，因为倾斜角为的直线与直线垂直，所以解得，所以，则.故答案为：.例7．（2023·高三课时练习）已知过点和的直线的倾斜角为钝角，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】设直线的倾斜角为，则，为钝角，，则，解得：，即实数的取值范围为.故答案为：.例8．（2023·高三课时练习）已知点，若直线l过点，且A、B到直线l的距离相等，则直线l的方程为______.【答案】或【解析】依题意，到直线的距离相等.的中点为，当过以及时，直线的方程为.直线的斜率为，当直线过并与平行时，直线的方程为.综上所述，直线的方程为或.故答案为：或例9．（2023·上海静安·统考一模）若直线与直线平行，则这两条直线间的距离是____________．【答案】【解析】由直线与直线平行，可知，即，故直线为，直线变形得，故，故答案为：.例10．（2023·全国·高三专题练习）过点P(3，0)有一条直线l，它夹在两条直线l1：2x－y－2＝0与l2：x＋y＋3＝0之间的线段恰被点P平分，则直线l的方程为________．【答案】8x－y－24＝0【解析】设直线夹在直线之间的线段是(在上，在上)，的坐标分别是.因为被点平分，所以，于是.

由于在上，在上，所以，解得，即的坐标是.

直线的方程是，

即

.

所以直线的方程是.例11．（2023·全国·高三专题练习）已知直线：，.(1)证明直线过定点，并求出点的坐标；(2)在（1）的条件下，若直线过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的，求直线的方程；(3)若直线不经过第四象限，求的取值范围.【解析】（1）证明：整理直线的方程，得，所以直线过直线与的交点，联立方程组，解得，所以直线过定点，点的坐标为.（2）当截距为0时，直线的方程为，即，当截距不为0时，设直线的方程为，则，解得，直线的方程为，即，故直线的方程为或.（3）当时，直线的方程为，符合题意；当时，直线的方程为，不符合题意；当，且时，，所以解得或，综上所述，当直线不经过第四象限时，的取值范围是：.【能力提升训练】一、单选题1．（2023春·湖北荆州·高二统考阶段练习）若直线经过两点，，且其倾斜角为135°，则m的值为（

）A．0 B． C． D．【答案】D【解析】经过两点，的直线的斜率为，又直线的倾斜角为135°，∴，解得．故选：D2．（2023·浙江宁波·高二统考期末）直线的倾斜角为（

）A．0 B． C． D．【答案】B【解析】设直线的倾斜角为，由题意可知：，所以，故选：.3．（2023·甘肃庆阳·高二校考期末）已知直线与直线平行，则实数a的值为（

）A． B． C．1 D．或1【答案】D【解析】由，解得或，经过验证满足题意.故选：D.4．（2023春·甘肃武威·高二民勤县第一中学校考开学考试）已知三角形三个顶点的坐标分别为，，，则边上的高的斜率为（

）A．2 B． C． D．【答案】C【解析】，，设边上的高的斜率为，则，故选：C5．（2023春·安徽·高二合肥市第八中学校联考开学考试）若直线：与直线：（）互相垂直，则（

）A． B． C．12 D．【答案】B【解析】由题意得，当时，直线，与直线不垂直，故，直线的斜率为，直线的斜率为，所以，解得，故选：B．6．（2023·山东威海·高二统考期末）经过，两点的直线的倾斜角为（

）A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】B【解析】由斜率公式可得，故经过，两点的直线的倾斜角为60°.故选：B.7．（2023·山西运城·高二统考期末）已知直线：与：平行，则实数a的值为（

）A．或2 B．0或2 C． D．2【答案】C【解析】若两直线斜率都不存在，直线中，直线中，所以没有实数a能同时满足两条直线斜率均不存在；若两条直线都有斜率，两直线平行斜率相等，得，解得或，经过验证：时两直线重合，舍去，所以,故选：C8．（2023·山西临汾·高二统考期末）若三点在同一直线上，则实数等于（

）A． B． C．6 D．12【答案】C【解析】因为，又，所以，即.故选：C.9．（2023·湖北黄冈·高二统考期末）已知直线与轴垂直，则为（

）A． B．0 C． D．或0【答案】A【解析】因为与轴垂直，所以直线的斜率为0，所以，且，解得.故选：A.10．（2023·广东广州·高二统考期末）直线l：的倾斜角θ为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】的倾斜角θ满足，故.故选：D.11．（2023·江苏连云港·高二校考期末）经过点作直线，且直线与连接点，的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由题知，直线的倾斜角为，则，，，且直线与连接点，的线段总有公共点，如下图所示，则，即，.故选：B12．（2023·江苏盐城·高二盐城中学校考期末）已知、，直线过定点，且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（

）A． B． C． D．或【答案】A【解析】设直线与线段交于点，其中，所以，.故选：A.13．（2023·山东东营·高二统考期末）已知经过两点和的直线的倾斜角为，则m的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为直线的倾斜角为，所以该直线的斜率为.所以，解得.故选:C.14．（2023·江苏连云港·高二统考期末）设为实数，已知过两点，的直线的斜率为，则的值为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】因为过两点，的直线的斜率为，所以，解得.故选：C15．（2023·甘肃庆阳·高二校考期末）直线的纵截距为（

）A． B． C． D．3【答案】A【解析】因为直线，令，可得，所以直线的纵截距为.故选：A.16．（2023·广东河源·高二龙川县第一中学校考期末）过点引直线，使，，两点到直线的距离相等，则直线方程是（

）A． B．C．或 D．或【答案】D【解析】若直线斜率不存在，即，此时，两点到直线的距离分别为3和5，故距离不相等，舍去；若直线斜率存在时，设直线方程为，由得：或，故直线方程为或，整理得或.故选：D17．（2023·河南商丘·高二商丘市第一高级中学校考期末）经过点且斜率为的直线方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由点斜式得，即.故选：A18．（2023·湖南益阳·高二统考期末）过点且与直线平行的直线方程是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设与直线平行的直线方程为：，又因为直线过点，所以，解得：，所以所求直线方程为，故选：.19．（2023春·河南焦作·高二统考开学考试）已知直线，点和到直线l的距离分别为且，则直线l的方程为（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【解析】∵点到直线l的距离为，点到直线l的距离为，而，∴，可得，解得或，故直线l的方程为或．故选：C20．（2023·广东广州·高二广州市协和中学校考期末）过点引直线，使，两点到直线的距离相等，则这条直线的方程是（

）A． B．C．或 D．或【答案】D【解析】若过的直线与平行，因为，故直线的方程为：即.若过的直线过的中点，因为的中点为，此时，故直线的方程为：即.故选：D.21．（2023·全国·高三专题练习）如果关于直线的对称点为，则直线的方程是()A．B．C．D．【答案】A【解析】因为已知点关于直线的对称点为，故直线为线段的中垂线，求得的中点坐标为，的斜率为，故直线的斜率为，故直线的方程为，即.故选：A.22．（2023·高二单元测试）两平行直线与的距离为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，所以这两条平行线的距离为：，故选：B23．（2023·全国·高三专题练习）直线关于点对称的直线方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】设对称的直线方程上的一点的坐标为，则其关于点对称的点的坐标为，因为点在直线上，所以即.故选：D.二、多选题24．（2023·甘肃庆阳·高二校考期末）已知，直线l的方程为，则直线l的倾斜角可能为（

）A．0 B． C． D．【答案】CD【解析】当时，则直线的斜率为，所以直线的倾斜角可能为，当时，则直线的斜率不存在，所以直线的倾斜角为，当时，则直线的斜率为，所以直线的倾斜角范围为，不可能为0和.故选：CD.25．（2023·山东泰安·高二统考期末）下列说法正确的是（

）A．直线必过定点B．直线在y轴上的截距为1C．过点且垂直于直线的直线方程为D．直线的倾斜角为120°【答案】AC【解析】对于A，由直线方程，整理可得，当时，，故A正确；对于B，将代入直线方程，可得，解得，故B错误；对于C，由直线方程，则其垂线的方程可设为，将点代入上式，可得，解得，则方程为，故C正确；对于D，由直线方程，可得其斜率为，设其倾斜角为，则，解得，故D错误.故选：AC.26．（2023·江苏盐城·高二校考期末）下列说法错误的是（

）A．过点且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为B．直线必过定点C．经过点，倾斜角为的直线方程为D．直线和以，为端点的线段相交，则实数的取值范围为【答案】ACD【解析】对于A：当在两坐标轴上的截距相等且等于0时，直线过原点，可设直线方程为，又直线过点，则，即，此时直线方程为，故A错误；对于B：直线可变形为，由解得，即直线必过定点，故B正确；对于C：当倾斜角时，无意义，故C错误；对于D：直线即，经过定点，当直线经过点时，斜率为，当直线经过点时，斜率为，由于线段与轴相交，故实数的取值范围为或，故D错误；故选：ACD三、填空题27．（2023·上海杨浦·高二复旦附中校考期末）已知直线：，：，若，则实数a的值为______.【答案】【解析】，则，解得.故答案为：28．（2023·高二课时练习）若直线的倾斜角是直线的倾斜角的两倍，则直线l的方程为______．【答案】【解析】设直线的倾斜角为，且，则直线的倾斜角是.所以，所以，即，代入直线方程，整理得：.故答案为：29．（2023·上海杨浦·高二复旦附中校考期末）直线，当m变动时，所有直线都通过定点______.【答案】【解析】将直线方程化为.解，可得，所以，当m变动时，所有直线都通过定点.故答案为：.30．（2023·高二课时练习）直线与的交点在曲线上，则______．【答案】【解析】联立，得，即直线与的交点为，因为两直线的交点在曲线上，所以，解得.故答案为：.31．（2023·高二课时练习）若直线与直线的交点在第一象限，则实数b的取值范围是___________.【答案】【解析】由题意，直线，令，可得；令，可得，即，如图所示，当直线过点，可得；当直线过点，可得，要使得直线与直线的交点在第一象限，则，即实数的取值范围是.故答案为：.32．（2023·高二课时练习）到直线的距离为______．【答案】【解析】到直线的距离为，故答案为：33．（2023·上海长宁·高二上海市延安中学校考期末）已知，两点关于直线对称，则点的坐标为______.【答案】【解析】设点，因为直线的斜率为，则有，解得：，所以点的坐标为.故答案为：34．（2023·福建三明·高二统考期末）两条平行直线与间的距离为________.【答案】【解析】因为直线与平行，可知,则，解得，直线，即，直线，所以直线与间距离为.故答案为：35．（2023·高二课时练习）直线与直线的距离为，则实数a的值为______．【答案】3，-4【解析】直线方程化为和，∴，解得或．故答案为：3或．36．（2023·高二单元测试）直线关于点的对称直线方程是______．【答案】【解析】设对称直线为，则有，即解这个方程得（舍）或.所以对称直线的方程中.故答案为：.四、解答题37．（2023春·甘肃武威·高二民勤县第一中学校考开学考试）直线过两直线：和：的交点，且与直线：平行，求直线的方程．【解析】方程得与的交点为．∵直线的斜率为，，∴直线的斜率为，故直线的方程为，即．38．（2023·高二课时练习）求直线绕逆时针旋转后所得到的直线方程．【解析】设直线的倾斜角为，旋转之后的倾斜角为，则，，且旋转之后的直线过点，所以直线方程为.所以旋转之后的直线方程为.39．（2023·高二课时练习）若直线与的夹角是，求实数m的值．【解析】由，所以直线的斜率为，由，所以直线的斜率为，因为直线与的夹角是，所以于是有.40．（2023·湖南益阳·高二统考期末）已知点和直线．(1)若直线经过点P，且，求直线的方程；(2)若直线过原点，且点P到直线，l的距离相等，求直线的方程．【解析】（1）由直线l的方程可知它的斜率为，因为，所以直线的斜率为2．又直线经过点，所以直线的方程为：，即．（2）点P到直线l的距离为：，①当直线的斜率不存在时，的方程为：，点P到直线的距离为2，与己知矛盾；②当直线的斜率存在时，可设直线的方程为：，则，解得．所以，直线的方程为：．41．（2023·高二课时练习）经过点并且在两个坐标轴上的截距相等，求满足条件的直线的斜率．【解析】