备战2024高考数学艺体生一轮复习讲义专题21解三角形

专题21解三角形【考点预测】1、角的关系2、正弦定理为的外接圆的直径）.正弦定理的应用：①已知两角及一边求解三角形.②已知两边及其中一边的对角，求另一对角：若,已知角Ａ求角Ｂ.若,已知角Ａ求角Ｂ，一解（锐角）.3、余弦定理（已知两边a,b及夹角Ｃ求第三边c）（已知三边求角）.余弦定理的应用：①已知两边及夹角求解第三边；②已知三边求角；③已知两边及一边对角未知第三边.4、三角形面积公式【典例例题】例1．（2023·辽宁沈阳·高二学业考试）在中，，，所对的边分别为a，b，c，其中，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，，由正弦定理得，.故选：B.例2．（2023·全国·高一专题练习）在中，角、、的对边分别为、、，其中有两解的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】C【解析】对于A项，方法1：∵，，∴，∴由正弦定理得：∴a、c值唯一确定，∴只有一解.方法2：如图所示，∴只有一解.

故选项A错误；对于B项，方法1：由余弦定理得：，∴只有一解.方法2：如图所示，∴只有一解.故选项B错误；对于C项，方法1：由正弦定理得：，解得：又∵

∴角B有两个解.

方法2：如图所示，∵，∴，∴角B有两个解.

故选项C正确；对于D项，方法1：∵，∴，又∵，∴，∴不存在这样的三角形.方法2：如图所示，∵，∴∴此时A、B、C三点不能构成三角形.

故选项D错误；故选：C.例3．（2023春·河南·高三商丘市回民中学校联考开学考试）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，的面积为，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以，整理得，因为，所以．又，所以．因为的面积为，，所以，解得，，所以，则．故选:D.例4．（2023·高三课时练习）设的内角、、所对的边分别为、、，已知，，且，则______.【答案】5【解析】由得,由正弦定理以及得，故由余弦定理得，故答案为：5例5．（2023·高三课时练习）在中，三边长分别为，，，则的面积为______.【答案】3【解析】由余弦定理得，所以,故面积为,故答案为：3例6．（2023·全国·高三专题练习）在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c且a：b：c=3：5：7，则___________.【答案】【解析】，∴设，.故答案为：.例7．（2023秋·广东广州·高二华南师大附中校考期末）在中，，，且，求：(1)求的值；(2)求的面积．【解析】（1）因为，由正弦定理得，，所以，由余弦定理得，因为，，所以，化简得，解得或，当时，，与题意不符合;当时，，符合题意.所以.（2）因为，，所以，所以的面积例8．（2023秋·辽宁辽阳·高三统考期末）在①，②D是边的中点且，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．问题：在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．(1)求A；(2)若__________，求的最大值．注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．【解析】（1）因为，所以，所以，则．因为，所以．（2）选①,由余弦定理可得，即，则．因为，所以．因为，所以，当且仅当时，等号成立，则，解得，即的最大值是8．选②,因为D是边的中点，所以，所以，因为，且，所以，即．因为，所以，当且仅当时，等号成立，则，解得，即的最大值是．例9．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）在平面四边形ABCD中，，，，对角线AC与BD交于点E，且，.(1)求BD的长；(2)求的值.【解析】（1）在△中，由正弦定理得，所以，所以，又因为，所以，所以．（2）在△中，，因为，所以，，在△中，，，，所以，所以，所以【技能提升训练】一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）在中，设命题p：，命题q：是等边三角形，那么命题p是命题q的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由正弦定理可知，若t，则，即a＝tc，b＝ta，c＝bt，即abc＝t3abc，即t＝1，则a＝b＝c，即是等边三角形，若是等边三角形，则A＝B＝C，则1成立，即命题p是命题q的充要条件，故选：C.2．（2023春·河南新乡·高三校联考开学考试）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以.因为，所以.故选：.3．（2023春·广东·高三统考开学考试）在中，若，，，则（

）A．3 B． C． D．【答案】A【解析】根据正弦定理有，结合，，，则．故选：A4．（2023·陕西·西安市西光中学校联考一模）在中，角的对边分别为，且，则的值为（

）A．1 B． C． D．2【答案】A【解析】因为，所以，由正弦定理与余弦定理得，化简得.故选：A5．（2023·江西上饶·高三校联考阶段练习）的内角、、的对边分别为、、，已知，，的面积为，则等于（

）A．4 B． C． D．【答案】D【解析】因为，，的面积为，所以,所以.由余弦定理得：.故选：D.6．（2023秋·贵州黔东南·高二凯里一中校考期末）已知的内角，，的对边分别为，，，的面积为，，，则（

）A．2 B． C．4 D．16【答案】B【解析】由题意，，所以，，所以，解得或（舍去）．故选：B7．（2023秋·河南南阳·高三统考期末）在中，角的对边分别为，且．角A等于（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】在中,,则,即，即，故，而,故，故选：B8．（2023·高一课时练习）三角形两边之差为2，且这两边的夹角的余弦值为，面积为14，此三角形是（

）．A．钝角三角形； B．锐角三角形； C．直角三角形； D．不能确定．【答案】B【解析】设三角形两边a，b之差为2，且这两边的夹角的余弦值为，则，，，由，得，解得，由余弦定理得，则，所以，所以三角形是锐角三角形，故选：B9．（2023秋·内蒙古呼和浩特·高三统考期末）小明同学学以致用，欲测量学校教学楼的高度，他采用了如图所示的方式来进行测量，小明同学在运动场上选取相距20米的C，D两观测点，且C，D与教学楼底部B在同一水平面上，在C，D两观测点处测得教学楼顶部A的仰角分别为，，并测得，则教学楼AB的高度是（

）A．20米 B．米 C．米 D．25米【答案】A【解析】设教学楼的高度为，在直角三角形中，因为，所以，在直角三角形中，因为，所以，所以，在中，由余弦定理可得，代入数值可得解得或（舍），故选:A.二、填空题10．（2023·高一课时练习）在中，若，，如果可解，则边a的取值范围是______．【答案】【解析】由题意在中，若，则,由正弦定理得，可解，则需有，解得，故边a的取值范围是，故答案为：11．（2023·高一课时练习）张老师在整理试题时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在中，分别是角的对边，已知，，求边．显然缺少条件，张老师打算补充条件，给出的大小，使得有两解，则可以给出的的范围是______．【答案】【解析】由题意可知三角形有两个解由上图可知：若有两解，可知以为圆心，为半径的圆弧与有两个交点则，即,故答案为：12．（2023·高一课时练习）的外接圆半径为3，则______．【答案】【解析】因为的外接圆半径为3，由正弦定理可得：，则有，，所以，故答案为：.13．（2023·高三课时练习）在中，内角､､的对边分别为､､，若的面积为，则的值为___________.【答案】【解析】，所以，由正弦定理得．故答案为：．14．（2023·高一课时练习）在锐角中，若a＝3，b＝4，三角形的面积为，则c＝______．【答案】【解析】又锐角，所以，根据余弦定理得：故答案为：15．（2023·上海·高三专题练习）在中，已知，则的面积_______．【答案】12【解析】∵，∴根据余弦定理得，∴∴，故答案为：12．16．（2023·全国·高三专题练习）在中，内角成等差数列，则___________.【答案】【解析】由内角成等差数列，知：，而，∴，而由余弦定理知：，由正弦定理边角关系，得：.故答案为：.17．（2023·全国·高一专题练习）在△中，角的对边分别为．，，，则_____________．【答案】【解析】由正弦定理得，即，则，又，所以，即为锐角，所以．考点：正弦定理．18．（2023·高三课时练习）在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，，则的值为___________.【答案】12【解析】由余弦定理可得，即，解得，则，故．故答案为：12．19．（2023·高一课时练习）已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，，则一定为_____三角形．【答案】等腰【解析】因为，由正弦定理可得，即，故一定为等腰三角形.故答案为：等腰.20．（2023·全国·高三专题练习）若在中，，则面积S的取值范围是___________．【答案】【解析】根据题意可得，当且仅当时取得最大值；故，又，故.故答案为：.21．（2023·高一课时练习）已知a、b、c分别为的三个内角A、B、C的对边，，且，则面积的最大值为______．【答案】【解析】解析：因为，根据正弦定理可知，即，由余弦定理可知，又，故，又因为，所以，（当且仅当时取等号），即所以，即面积的最大值为，故答案为：.三、解答题22．（2023·全国·模拟预测）如图，在中，，，，点D在边BC上，且．(1)求BD；(2)求的面积．【解析】（1）在中，，则，，所以，由正弦定理可得：，则.（2）在中，由余弦定理可得：，解得：.所以的面积.23．（2023秋·浙江衢州·高二浙江省龙游中学校联考期末）从①，②，③这三个条件中任选一个，补充到下面横线处并解答.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足____________.(1)求角A；(2)若，求面积的最大值.【解析】（1）若选①，由正弦定理得：，所以，因为，所以，因为，所以，所以，因为，所以；选②，由正弦定理得：，所以所以，因为，所以，所以，因为，所以；选③，由正弦定理得：，所以，所以，因为，所以；（2）因为，所以，所以，当且仅当时等号成立，所以面积的最大值为.24．（2023·全国·模拟预测）如图，四边形中，的面积为.(1)求；(2)求.【解析】（1）在中，由的面积，可得，由余弦定理，即.（2）在中，由正弦定理，可得，∵，则，故.25．（2023·全国·高三专题练习）a，b，c分别为内角A，B，C的对边．已知．(1)求C；(2)若c是a，b的等比中项，且的周长为6，求外接圆的半径．【解析】（1）根据正弦定理，由，因为，所以，于是由，因为，所以；（2）因为c是a，b的等比中项，所以，因为的周长为6，所以，由余弦定理可知：，或舍去，所以外接圆的半径为.26．（2023春·河北石家庄·高三校联考开学考试）已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且，(1)求角A的大小：(2)若，求△ABC的面积．【解析】（1）根据题意，得由正弦定理可得，即得，又，所以，所以，所以.（2）由，得，又，由余弦定理可得解得，，所以.27．（2023春·广东广州·高三统考阶段练习）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知A、B、C成等差数列，且．(1)求；(2)若角B的角平分线交AC于点D，，求△ABC的面积．【解析】（1）由A、B、C成等差数列且，则，所以，故，且，所以，则，故，则.（2）由（1）知：，则，而，故到距离，所以，而，即，所以.，即，得，所以.28．（2023秋·江苏南京·高三南京师范大学附属中学江宁分校校联考期末）已知a,b,c分别是三个内角A,B,C的对边,面积为S,且．(1)求A;(2)若a＝2,且角A的角平分线交BC于点D,AD＝,求b．【解析】（1）解:由题知,则有:①,在中,由余弦定理可得:,代入①式可得:,即,由辅助角公式可得:,所以或,即或,因为,所以;（2）由(1)知,因为平分,所以,且有,即:,将边和角代入可得:,化简可得:,在中,由余弦定理可得:,即,即,解得:(舍)或,即,解得.29．（2023春·湖北鄂州·高三校考阶段练习）已知的内角的对边分别为，且向量与向量共线.(1)求；(2)若的面积为，求的值.【解析】（1）向量与向量共线，有，由正弦定理得，∴，由，sinB>0，∴，，又，∴.（2）由（1）知，∴，，，得，由余弦定理：，∴，解得.30．（2023秋·广西钦州·高三校考阶段练习）中，角对应的边分别是，已知．(1)求角的大小；(2)若的面积，，求的值．【解析】（1）由，得：，即，即，解得或（舍去）因为，所以．（2）由，得，又，解得，由余弦定理：，故，又由正弦定理：，所以，，所以.31．（2023·全国·高三对口高考）设的内角A、B、C所对边的长分别是a、b、c，且，，．(1)求a的值；(2)求的值．【解析】（1）由，得，由正弦定理得，又，则，解得，即.（2），由，则，则，，．32．（2023·全国·高三专题练习）记的面积为S，其内角的对边分别为，，，已知，．(1)求；(2)求面积的最大值．【解析】（1）∵，则，∴，又∵，∴.（2）∵，即，∴，又∵，当且仅当时等号成立，∴，则面积，故面积的最大值.33．（2023秋·辽宁·高三校联考期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求角B的大小；(2)如图，若D是外接圆的劣弧AC上一点，且．求AD．【解析】（1）由边化角可得，即，即，所以，因为，所以，所以，,所以.（2）在中，由余弦定理得，所以，由圆的内接四边形的性质可知,在中，由余弦定理得，所以即，解得或（舍）.34．（2023·全国·模拟预测）已知的内角的对边分别为，且.(1)求角的大小；(2)若边上的高为，求.【解析】（1）由题意可得，根据正弦定理可得，所以，又根据余弦定理可得，因为，所以.（2）因为，即，由正弦定理可得，所以.35．（2023秋·河南三门峡·高三统考期末）的内角的对边分别为，设.(1)求A；(2)若，且成等差数列，求的面积.【解析】（1）由题意，，由正弦定理得：∴，即，∴，在中，，∴；（2）∵，且成等差数列，，由正弦定理得：，又由（1）知，∴，∴的面积；综上，，的面积为.36．（2023秋·江苏泰州·高三统考期末）记的内角A，，的对边分别为，，，已知(1)求证：；(2)若，求的值.【解析】（1）∵，∴；（2）由，∴．37．（2023·北京·高三统考阶段练习）记中角所对的边分别为，已知，.(1)求；(2)若的周长为，求的面积.【解析】（1）因为，由正弦定理得，又因为，所以，在中，，所以，所以则，而，所以.（2）由（1）所以由，又，所以.因为在中，，所以有，，所以，又，所以，所以，由题，其中为外接圆的半径，所以，所以，故的面积.38．（2023秋·浙江·高三浙江省永康市第一中学校联考期末）如图，在中，点在边上，(1)证明：；(2)若，，求.【解析】（1）在中，由正弦定理知：，即又，可得，在中，所以，所以.（2）不妨设，则在中，由余弦定理知；在中同理可知：在中，即有解得.39．（2023·全国·高三专题练习）如图，在平面四边形ABCD中，对角线平分的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知.(1)求B；(2)若，且________，求线段的长.从下面①②中任选一个，补充在上面的空格中进行求解.①△ABC的面积；②.【解析】（1）因为，所以，所以，所以，因为，所以，所以，所以.（2）选①，因为的面积，所以，即，，由余弦定理得所以，所以，因为平分，所以，所以，选②，因为，在中，由余弦定理：，即，所以，因为，所以，因为平分，所以，因为，，由正弦定理得，，所以，又，所以，所以是直角三角形，且，所以.40．（2023·高一课时练习）为了测量对岸之间距离，在此岸边选取了相距1千米的两点，并测得．求之间的距离．【