浙教版七年级数学下册专题07二元一次方程组的应用(年龄,分配,古代,行程,工程,和差倍分)压轴题六种模型全攻略(原卷版+解析)

专题07二元一次方程组的应用(年龄,分配,古代,行程,工程,和差倍分)压轴题六种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一二元一次方程组的应用——年龄问题】 1【考点二二元一次方程组的应用——分配问题】 3【考点三二元一次方程组的应用——古代问题】 6【考点四二元一次方程组的应用——行程问题】 8【考点五二元一次方程组的应用——工程问题】 10【考点六二元一次方程组的应用——和差倍分问题】 13【过关检测】 14【典型例题】【考点一二元一次方程组的应用——年龄问题】例题：（2022·江苏·七年级）今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学40周年校庆日，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40．已知小明今年13岁，妹妹今年4岁．(1)求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答）(2)假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中华业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？【变式训练】1．（2022·甘肃酒泉·八年级期末）5年前母亲的年龄是女儿年龄的15倍，15年后，母亲的年龄比女儿年龄的2倍多6岁．那么现在这对母女的年龄分别是多少？2．（2020·重庆市松树桥中学校七年级阶段练习）7月4日，2020长白山地下森林徒步活动鸣枪开始，一名34岁的男子带着他的两个孩子一同参加了比赛．下面是两个孩子与记者的部分对话：妹妹：我和哥哥的年龄和是16岁．哥哥：两年后，妹妹年龄的3倍与我的年龄相加恰好等于爸爸的年龄．根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出现在哥哥和妹妹的年龄各是多少岁？【考点二二元一次方程组的应用——分配问题】例题：（2022·重庆市万盛经济技术开发区溱州中学七年级期中）某运输公司有A、B两种货车，3辆A货车与2辆B货车一次可以运货90吨，5辆A货车与4辆B货车一次可以运货160吨．(1)请问1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货多少吨？(2)目前有190吨货物需要运输，该运输公司计划安排A、B两种货车将全部货物一次运完（A、B两种货车均满载），其中每辆A货车一次运货花费500元，每辆B货车一次运货花费400元，请你列出所有的运输方案，并指出哪种运输方案费用最少，最少费用为多少元．【变式训练】1．（2022·福建·晋江市阳溪中学七年级阶段练习）某校组织学生到县体育场参加中考体育考试，原计划租用45座的客车若干辆，但是有15人没有座位，若租用60座的客车，则可以少租一辆车，还多出15个座位，问：参加体育考试的学生有多少人？原计划租45座的客车多少辆？2．（2022·福建泉州·七年级期末）某学校现有若干间学生宿舍，准备安排给若干名学生住宿．原计划每间住8人，则有10间宿舍无人居住．由于疫情防控需要，每间宿舍只能住5人，则有10人无法入住．问该校现有多少间学生宿舍？有多少名学生？3．（2022·河南·郑州中原一中实验学校八年级期末）一方有难，八方支援．郑州暴雨牵动数万人的心，众多企业也伸出援助之手．某公司购买了一批救灾物资并安排两种货车运往郑州．调查得知，2辆小货车与3辆大货车一次可以满载运输1800件；3辆小货车与4辆大货车一次可以满载运输2500件．(1)求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别满载运输多少件物资？(2)现有3100件物资需要再次运往郑州，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，问有哪几种租车方案?(3)在（2）的条件下，若1辆小货车需租金400元/次，1辆大货车需租金500元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少的租车费用．【考点三二元一次方程组的应用——古代问题】例题：（2022·河南·南阳市第四完全学校七年级期中）我国古代数学名著《孙子算经》中有一道题，原文是“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长x尺，绳长y尺，可列方程组为（

）A． B． C． D．【变式训练】1．（2022·湖北·武汉外国语学校美加分校七年级阶段练习）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木还剩余1尺，问长木多少尺？如果设长木长尺、绳长尺，则可以列方程组是（

）A． B． C． D．2．（2022·河南·漯河市实验中学七年级期末）在《九章算术》方程篇中有这样一个问题：甲乙二人各有一定数目的钱．甲若获得乙钱的二分之一，则钱数为50；乙若获得甲钱的三分之二，则钱数也是50；问甲乙原来各有多少钱？设甲、乙原来钱数分别是x、y，可列方程组________________3．（2022·新疆·克拉玛依市第九中学七年级期末）我国古代数学著作孙子算经中有“鸡兔同笼”问题，“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”若设鸡有只，兔有只，则列出的方程组为______（列出方程组即可，不求解）．【考点四二元一次方程组的应用——行程问题】例题：（2022·黑龙江齐齐哈尔·七年级期末）甲乙二人分别从相距千米的A，两地出发，相向而行．如果甲比乙早出发半小时，那么在乙出发后小时，他们相遇；如果他们同时出发，那么小时后两人还相距千米，求甲乙二人每小时各走多少千米？【变式训练】1．（2022·广东·广州市番禺执信中学七年级期末）列方程组解应用题：(1)有48支队520名运动员参加篮球、排球比赛，其中每支篮球队有10人，每支排球队12人，每名运动员只能参加一项比赛，篮球、排球队各有多少支参赛？(2)小方、小程两人相距6km，两人同时出发相向而行，1h相遇；同时出发同向而行，小方3h可追上小程．两人的平均速度各是多少？2．（2022·江苏·无锡市查桥中学七年级阶段练习）甲、乙二人在一个大型环形场地上从A点同时同向匀速跑步，甲的速度是乙的2.5倍，当4分钟时两人首次相遇，此时乙还需要跑300米才跑完第一圈，求甲、乙二人的速度及环形场地的周长．3．（2022·安徽·肥西县严店初级中学七年级阶段练习）小北同学早晨骑车去上学，半小时可到达学校，妈妈发现他的数学书丢在家中，在小北出发小时后乘上出租车去学校送书，出租车每小时的速度比小北骑车的速度快20千米，由于市政建设，出租车到校行驶的路程比小北骑车行驶的路程多1千米，恰好与小北同时到达学校．求小北需要骑行多少千米到学校？【考点五二元一次方程组的应用——工程问题】例题：（2022·吉林·大安市乐胜乡中学校七年级阶段练习）一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元．(1)甲、乙两组工作一天，商店应各付多少元；(2)已知甲单独完成需12天，乙单独完成需24天，单独请哪个组，商店所需费用少？(3)若装修完后，商店每天可盈利200元，现有如下三种方式装修：①甲单独做；②乙单独做；③甲乙合做，你认为如何安排施工更有利于商店？（可用（1）、（2）问的条件及结论）【变式训练】1．（2022·福建·厦门市莲花中学七年级期中）杭州某公司准备安装完成5700辆如图所示款共享单车投入市场．由于抽调不出足够熟练工人，公司准备招聘一批新工人．生产开始后发现：1名熟练工人和2名新工人每天共安装28辆共享单车；2名熟练工人每天装的共享单车数与3名新工人每天安装的共享单车数一样多．(1)求每名熟练工人和新工人每天分别可以安装多少辆共享单车？(2)若公司原有熟练工m人，现招聘n名新工人，使得最后能刚好一个月（30天）完成安装任务，已知工人们安装的共享单车中不能正常投入运营的占5%，求m的值．2．（2022·湖南·通道侗族自治县教育科学研究室七年级期末）通道县政府为把双江镇建设成国家级文明县城,现有一段长为180m的街道需要整治，甲、乙两个工程队先后接力完成：甲工程队每天整治12m,乙工程队每天整治8m,共用时20天.问甲、乙两工程队分别整治了多少米？【考点六二元一次方程组的应用——和差倍分问题】例题：（2022·江苏·赣榆汇文双语学校七年级阶段练习）一玻璃厂熔炼玻璃液，其原料由石英砂和长石粉混合而成，要求原料中含二氧化硅70%．经过化验，石英砂中含二氧化硅95%，长石粉中含二氧化硅63%．要配制3.2t原料，需石英砂，长石粉各多少？【变式训练】1．（2022·陕西·西工大附中分校八年级期末）用二元一次方程组解应用题：一家超市中，杏的售价为10元/kg，桃的售价为8元/kg，小菲在这家超市买了杏和桃共7kg，共花费61元．求小菲这次买的杏、桃各多少千克？2．（2022·新疆吐鲁番·七年级阶段练习）2021年7月21日，中共中央办公厅、国务院办公厅印发《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》．某学校积极响应“双减”政策，为了丰富学生校园生活，经研究决定准备购买一批体育健身器材．已知购买2个篮球和3个排球共花费440元，购买4个篮球和1个排球共花费480元．求篮球和排球的单价．【过关检测】一、选择题1．（2022秋·全国·八年级专题练习）某车间有90名工人，每人每天平均能生产螺栓15个或螺帽24个，要使一个螺栓配套两个螺帽，应该如何分配工人才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套？若设生产螺栓x人，生产螺帽y人，则列方程组得（

）A． B． C． D．2．（2022秋·广东广州·八年级统考期末）中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共价三十八两，问马、牛各价几何？”设马每匹两，牛每头两，根据题意可列方程组为（

）A． B．C． D．3．（2022秋·广西河池·八年级统考期中）从甲地到乙地有一段上坡路与一段下坡路．如果上坡平均每小时走，下坡平均每小时走，那么从甲地走到乙地需要分钟，从乙地走到甲地需要分钟．若设从甲地到乙地上坡路程为，下坡路程为，则所列方程组正确的是（）A． B．C． D．4．（2022秋·全国·八年级专题练习）台大收割机和台小收割机同时工作h共收割水稻，台大收割机和台小收割机同时工作h共收割水稻，设台大收割机和台小收割机每小时收割水稻分别是公顷、公顷，则下列列式正确的是（

）A． B．C． D．二、填空题5．（2022秋·全国·八年级专题练习）今年甲和乙的年龄和为24，6年后，甲的年龄就是乙的年龄的2倍，则甲今年的年龄是_____岁．6．（2021春·江苏扬州·七年级统考期末）某班同学参加运土劳动，女同学抬土，每两人抬一筐；男同学挑土，每一人挑两筐．已知全班共用箩筐56只，扁担36根．设男生人，女生人，则可得方程组______．7．（2022秋·全国·八年级专题练习）《九章算术》卷八方程【七】中记载：“今有牛五、羊二，值金十两．牛二、羊五，值金八两．牛、羊各值金几何？”题目大意是：5头牛、2只羊共值金10两，2头牛、5只羊共值金8两，每头牛、每只羊各值金多少两？若设一头牛值金x两，一只羊值金y两，则可列方程组为___．8．（2022春·四川德阳·七年级四川省德阳市第二中学校校考阶段练习）甲、乙二人都以不变的速度在环形跑道上跑步，如果同时同地出发，相向而行，每隔分钟相遇一次；如果同向而行，每隔分钟相遇一次．已知甲比乙跑得快，则甲每分钟跑______圈．三、解答题9．（2022秋·辽宁·八年级校考期末）（列二元一次方程组求解）《孙子算经》中有一道题，原文是“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺．10．（2022秋·陕西渭南·八年级统考期末）为了参加国际铁人三项（游泳、自行车、长跑）系列赛业余组的比赛，李明针对自行车和长跑项目进行了专项训练．在某次训练中，李明骑自行车的平均速度为每分钟600米，跑步的平均速度为每分钟200米，自行车路段和长跑路段共长5千米，共用时15分钟，求自行车路段和长跑路段的长度．11．（2022秋·全国·八年级专题练习）一名34岁的男子带着他的两个孩子一同进行晨跑，下面是两个孩子与记者的对话：根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出哥哥和妹妹的年龄．12．（2022秋·安徽·七年级统考期末）某蔬菜基地第一次向甲地运输124吨蔬菜，恰好装满5辆大货车和2辆小货车；第二次向甲地运输180吨蔬菜，恰好装满6辆大货车和5辆小货车．(1)装满2辆大货车和3辆小货车能运输多少吨蔬菜？(2)第三次安排大、小货车共12辆向甲地运输208吨蔬菜，若要使得每辆车都装满，则大货车和小货车分别需要多少辆？13．（2022·江苏·七年级假期作业）草场收割队每小时需要割草54亩，现决定向某大型机械租赁公司租用甲、乙两种型弓的割草机来完成这项工作（两种都要租），已知该公司一台甲型割草机与一台乙型割草机每小时共割草14亩，5台甲型收割机与3台乙型收割机恰好能完成每小时的收割量．(1)求每台甲型收割机与每台乙型收割机每小时各割草多少亩？(2)该收割队恰好完成每小时的割草量，请设计该收割队的租用方案．14．（2022春·安徽黄山·七年级统考期末）亚洲文明对话大会召开期间，大批的大学生志愿者参与服务工作．某大学计划组织本校只调配22座新能源客车，则用车数量将增加4辆，并空出2个座位．(1)计划调配36座新能源客车多少辆？该大学共有多少名志愿者？(2)若同时调配36座和22座两种车型，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？15．（2022春·湖南永州·七年级统考期末）某中学拟组织七年级师生去张家界森林公园春游．下面是李老师和小芳、小明同学有关租车问题的对话：李老师：“客运公司有45座和33座两种型号的客车可供租用，45座客车每辆每天的租金比33座的贵200元．”小芳：“我们学校八年级师生昨天在这个客运公司租了4辆45座和2辆33座的客车到张家界森林公园春游，一天的租金共计4400元．”小明：“我们七年级师生共336人．”根据以上对话，解答下列问题：(1)客运公司45座和33座的客车每辆每天的租金分别是多少元？(2)七年级师生到该公司租车一天，如何才能保证每辆车恰好坐满又能使租金合算？专题07二元一次方程组的应用(年龄,分配,古代,行程,工程,和差倍分)压轴题六种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一二元一次方程组的应用——年龄问题】 1【考点二二元一次方程组的应用——分配问题】 3【考点三二元一次方程组的应用——古代问题】 6【考点四二元一次方程组的应用——行程问题】 8【考点五二元一次方程组的应用——工程问题】 10【考点六二元一次方程组的应用——和差倍分问题】 13【过关检测】 14【典型例题】【考点一二元一次方程组的应用——年龄问题】例题：（2022·江苏·七年级）今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学40周年校庆日，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40．已知小明今年13岁，妹妹今年4岁．(1)求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答）(2)假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中华业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？【答案】(1)爸爸36岁，爷爷76岁(2)爸爸是2001年华业，爷爷是1961年毕业的云附学子【分析】（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁，根据“爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40”列出二元一次方程组求解即可．（2）用现在年份减去年龄加15即可得到答案．(1)设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁．．解得：答：今年小明的爸爸36岁，爷爷76岁；(2)（年）（年）小明的爸爸是2001年华业，爷爷是1961年毕业的云附学子．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，正确找出等量关系是解答本题的关键．【变式训练】1．（2022·甘肃酒泉·八年级期末）5年前母亲的年龄是女儿年龄的15倍，15年后，母亲的年龄比女儿年龄的2倍多6岁．那么现在这对母女的年龄分别是多少？【答案】母亲现在年龄35岁，女儿现在7岁【分析】设母亲现在年龄x岁，女儿现在y岁，然后根据5年前母亲的年龄是女儿年龄的15倍，15年后，母亲的年龄比女儿年龄的2倍多6岁，列出方程组求解即可．【详解】解：设母亲现在年龄x岁，女儿现在y岁，则解得答：母亲现在年龄35岁，女儿现在7岁．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键在于正确理解题意列出方程求解．2．（2020·重庆市松树桥中学校七年级阶段练习）7月4日，2020长白山地下森林徒步活动鸣枪开始，一名34岁的男子带着他的两个孩子一同参加了比赛．下面是两个孩子与记者的部分对话：妹妹：我和哥哥的年龄和是16岁．哥哥：两年后，妹妹年龄的3倍与我的年龄相加恰好等于爸爸的年龄．根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出现在哥哥和妹妹的年龄各是多少岁？【答案】现在哥哥10岁，妹妹6岁．【分析】设现在哥哥x岁，妹妹y岁，根据两孩子的对话，可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论．【详解】解：设现在哥哥x岁，妹妹y岁，根据题意得

解得

答：现在哥哥10岁，妹妹6岁．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，关键是利用题目信息，将实际问题转化为数学方程解决．【考点二二元一次方程组的应用——分配问题】例题：（2022·重庆市万盛经济技术开发区溱州中学七年级期中）某运输公司有A、B两种货车，3辆A货车与2辆B货车一次可以运货90吨，5辆A货车与4辆B货车一次可以运货160吨．(1)请问1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货多少吨？(2)目前有190吨货物需要运输，该运输公司计划安排A、B两种货车将全部货物一次运完（A、B两种货车均满载），其中每辆A货车一次运货花费500元，每辆B货车一次运货花费400元，请你列出所有的运输方案，并指出哪种运输方案费用最少，最少费用为多少元．【答案】(1)1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货20吨和15吨(2)共有3种运输方案，方案1：安排A货车8辆，B货车2辆；方案2：安排A货车5辆，B货车6辆；方案3：安排A货车2辆，B货车10辆；安排A货车8辆，B货车2辆费用最少，最少费用为4800元【分析】（1）设1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货x吨和y吨，根据3辆A货车与2辆B货车一次可以运货90吨，5辆A货车与4辆B货车一次可以运货160吨，列出方程求解即可；（2）设安排A货车辆，B货车辆，根据目前有190吨货物需要运输，列出方程求解即可．（1）设1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货x吨和y吨．根据题意得解得．答：1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货20吨和15吨．（2）设安排A货车辆，B货车辆，依题意，得，即，又因为均为正整数，所以或或，所以共有3种运输方案，方案1：安排A货车8辆，B货车2辆；方案2：安排A货车5辆，B货车6辆；方案3：安排A货车2辆，B货车10辆．方案1所需费用：500×8+400×2=4800（元）；方案2所需费用：500×5+400×6=4900（元）；方案3所需费用：500×2+400×10=5000（元）；因为4800<4900<5000，所以安排A货车8辆，B货车2辆费用最少，最少费用为4800元．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，解题的关键在于能够根据题意列出方程求解．【变式训练】1．（2022·福建·晋江市阳溪中学七年级阶段练习）某校组织学生到县体育场参加中考体育考试，原计划租用45座的客车若干辆，但是有15人没有座位，若租用60座的客车，则可以少租一辆车，还多出15个座位，问：参加体育考试的学生有多少人？原计划租45座的客车多少辆？【答案】参加体育考试的学生有285人，原计划租45座的客车6辆【分析】根据题意列出方程组进行解题即可．【详解】解：设参加体育考试的学生有x人，原计划租45座的客车y辆，由题意得：解得：∴参加体育考试的学生有285人，原计划租45座的客车6辆【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用：利用学生总人数不变正确的列出方程组是解题的关键．2．（2022·福建泉州·七年级期末）某学校现有若干间学生宿舍，准备安排给若干名学生住宿．原计划每间住8人，则有10间宿舍无人居住．由于疫情防控需要，每间宿舍只能住5人，则有10人无法入住．问该校现有多少间学生宿舍？有多少名学生？【答案】有30间学生宿舍，有160名学生【分析】设该校现有x间学生宿舍，共安排y名学生住宿，根据“原计划每间住8人，则有10间宿舍无人居住．由于疫情防控需要，每间宿舍只能住5人，则有10人无法入住”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．【详解】解：设该校现有x间学生宿舍，共安排y名学生住宿，依题意，得：，解得：．答：该校现有30间学生宿舍，有160名学生．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．3．（2022·河南·郑州中原一中实验学校八年级期末）一方有难，八方支援．郑州暴雨牵动数万人的心，众多企业也伸出援助之手．某公司购买了一批救灾物资并安排两种货车运往郑州．调查得知，2辆小货车与3辆大货车一次可以满载运输1800件；3辆小货车与4辆大货车一次可以满载运输2500件．(1)求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别满载运输多少件物资？(2)现有3100件物资需要再次运往郑州，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，问有哪几种租车方案?(3)在（2）的条件下，若1辆小货车需租金400元/次，1辆大货车需租金500元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少的租车费用．【答案】(1)1辆小货车一次满载运输300件物资，1辆大货车一次满载运输400件物资(2)共有3种租车方案，方案1：租用9辆小货车，1辆大货车；方案2：租用5辆小货车，4辆大货车；方案3：租用1辆小货车，7辆大货车(3)租用1辆小货车，7辆大货车，最少租车费为3900元【分析】（1）设1辆小货车一次满载运输x件物资，1辆大货车一次满载运输y件物资，然后根据题意列二元一次方程组求解即可；（2）根据题意可得300a+400b=3100，再用b表示出a，然后根据a、b均为整数进行列举即可解答；（3）将小货车和大货车每次的租金代入300a+400b里计算，然后比较即可．（1）解：设1辆小货车一次满载运输x件物资，1辆大货车一次满载运输y件物资，依题意得：解得：

答：1辆小货车一次满载运输300件物资，1辆大货车一次满载运输400件物资．（2）接：设租用小货车a辆，大货车b辆，依题意得：300a+400b=3100，∴．又∵a，b均为非负整数，∴或或，∴共有3种租车方案，方案1：租用9辆小货车，1辆大货车；方案2：租用5辆小货车，4辆大货车；方案3：租用1辆小货车，7辆大货车．（3）解：方案1所需租车费为400×9+500×1=4100（元）；方案2所需租车费为400×5+500×4=4000（元）；方案3所需租车费为400×1+500×7=3900（元）．∴费用最少的租车方案为：租用1辆小货车，7辆大货车，最少租车费为3900元．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用以及代数式求值等知识点，认真审题、明确题意、弄清量与量之间的关系是解答本题的关键．【考点三二元一次方程组的应用——古代问题】例题：（2022·河南·南阳市第四完全学校七年级期中）我国古代数学名著《孙子算经》中有一道题，原文是“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长x尺，绳长y尺，可列方程组为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意可直接进行求解．【详解】解：由题意可列方程组为；故选A．【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，熟练掌握二元一次方程组的应用是解题的关键．【变式训练】1．（2022·湖北·武汉外国语学校美加分校七年级阶段练习）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木还剩余1尺，问长木多少尺？如果设长木长尺、绳长尺，则可以列方程组是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设长木长尺、绳长尺，根据“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木还剩余1尺，”列出方程组，即可求解．【详解】解：设长木长尺、绳长尺，根据题意得：．故选：D【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．2．（2022·河南·漯河市实验中学七年级期末）在《九章算术》方程篇中有这样一个问题：甲乙二人各有一定数目的钱．甲若获得乙钱的二分之一，则钱数为50；乙若获得甲钱的三分之二，则钱数也是50；问甲乙原来各有多少钱？设甲、乙原来钱数分别是x、y，可列方程组________________【答案】【分析】根据甲、乙两人钱数的数量关系，分别列出两个二元一次方程，组成方程组即可．【详解】解：∵甲若获得乙钱的二分之一，钱数为50∴∵乙若获得甲钱的三分之二，钱数也为50∴根据题意可列方程组为：故答案为：【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握用数学语言表达实际应用中的数量关系是解决此题的关键．3．（2022·新疆·克拉玛依市第九中学七年级期末）我国古代数学著作孙子算经中有“鸡兔同笼”问题，“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”若设鸡有只，兔有只，则列出的方程组为______（列出方程组即可，不求解）．【答案】【分析】一只鸡有一个头和二条腿，一只兔有一个头和四条腿，根据上有三十五头，下有九十四足，即可列出方程组．【详解】解：由题意，可列出的方程组为，故答案为：．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是仔细审题，正确找出等量关系，难度一般．【考点四二元一次方程组的应用——行程问题】例题：（2022·黑龙江齐齐哈尔·七年级期末）甲乙二人分别从相距千米的A，两地出发，相向而行．如果甲比乙早出发半小时，那么在乙出发后小时，他们相遇；如果他们同时出发，那么小时后两人还相距千米，求甲乙二人每小时各走多少千米？【答案】甲每小时走千米，乙每小时走千米【分析】设甲每小时走千米，乙每小时走千米，根据题意列出方程组解答即可．【详解】解：设甲每小时走千米，乙每小时走千米，根据题意，得．整理，得．解得．答：甲每小时走千米，乙每小时走千米．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解决本题的关键是根据题意找到等量关系．【变式训练】1．（2022·广东·广州市番禺执信中学七年级期末）列方程组解应用题：(1)有48支队520名运动员参加篮球、排球比赛，其中每支篮球队有10人，每支排球队12人，每名运动员只能参加一项比赛，篮球、排球队各有多少支参赛？(2)小方、小程两人相距6km，两人同时出发相向而行，1h相遇；同时出发同向而行，小方3h可追上小程．两人的平均速度各是多少？【答案】(1)篮球有28支队参赛，排球有20支队参赛；(2)小方的平均速度是4km/h，小程的平均速度是2km/h．【分析】（1）设篮球、排球队各有x支、y支参赛，根据有48支队520名运动员参加篮球、排球比赛，其中每支篮球队有10人，每支排球队12人，每名运动员只能参加一项比赛列出方程组求解即可；（2）设小方、小程的平均速度各是mkm/h，nkm/h，根据小方、小程两人相距6km，两人同时出发相向而行，1h相遇；同时出发同向而行，小方3h可追上小程列出方程组求解即可．（1）解：设篮球、排球队各有x支、y支参赛，由题意得：解得，答：篮球有28支队参赛，排球有20支队参赛；（2）解：设小方、小程的平均速度各是mkm/h，nkm/h，由题意得：，解得，答：小方的平均速度是4km/h，小程的平均速度是2km/h．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意列出对应的方程组是解题的关键．2．（2022·江苏·无锡市查桥中学七年级阶段练习）甲、乙二人在一个大型环形场地上从A点同时同向匀速跑步，甲的速度是乙的2.5倍，当4分钟时两人首次相遇，此时乙还需要跑300米才跑完第一圈，求甲、乙二人的速度及环形场地的周长．【答案】甲的速度为375米/分，乙的速度为150米/分，环形场地的周长为900米．【分析】设乙的速度为x米/分，则甲的速度为2.5x米/分，环形场地的周长为y米，根据环形问题的数量关系，同时、同地、同向而行首次相遇快者走的路程－慢者走的路程＝环形周长建立方程组求出其解即可．【详解】解：设乙的速度为x米/分，则甲的速度为2.5x米/分，环形场地的周长为y米，由题意，得：，解得：，∴甲的速度为：2.5×150＝375米/分；答：甲的速度为375米/分，乙的速度为150米/分，环形场地的周长为900米．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答时运用环形问题的数量关系建立方程是关键．3．（2022·安徽·肥西县严店初级中学七年级阶段练习）小北同学早晨骑车去上学，半小时可到达学校，妈妈发现他的数学书丢在家中，在小北出发小时后乘上出租车去学校送书，出租车每小时的速度比小北骑车的速度快20千米，由于市政建设，出租车到校行驶的路程比小北骑车行驶的路程多1千米，恰好与小北同时到达学校．求小北需要骑行多少千米到学校？【答案】5千米【分析】设小北每小时骑行x千米，骑行y千米到达学校，利用小北同学早晨骑车去上学，半小时可到达学校和出租车到校行驶的路程比小北骑车行驶的路程多1千米，恰好与小北同时到达学校列出方程组即可求解．【详解】解：设小北每小时骑行x千米，骑行y千米到达学校，由题意可得，解得，答：小北需要骑行5千米到达学校．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意，找出题目的等量关系是解题的关键．【考点五二元一次方程组的应用——工程问题】例题：（2022·吉林·大安市乐胜乡中学校七年级阶段练习）一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元．(1)甲、乙两组工作一天，商店应各付多少元；(2)已知甲单独完成需12天，乙单独完成需24天，单独请哪个组，商店所需费用少？(3)若装修完后，商店每天可盈利200元，现有如下三种方式装修：①甲单独做；②乙单独做；③甲乙合做，你认为如何安排施工更有利于商店？（可用（1）、（2）问的条件及结论）【答案】(1)甲组工作一天，商店应付300元，乙组工作一天，商店应付140元(2)单独请乙组，商店所需费用少(3)安排甲乙合作施工更有利于商店【分析】（1）根据题意建立方程组并求解；（2）将单独请甲乙组的费用计算出来，再进行比较，得出答案；（3）将三种方案损失费用计算出来进行比较，得出答案．（1）设甲组工作一天，商店应付x元，乙组工作一天，商店应付y元，依题意得：，解得：．答：甲组工作一天，商店应付300元，乙组工作一天，商店应付140元．（2）300×12＝3600（元），140×24＝3360（元）．∵3600＞3360，∴单独请乙组，商店所需费用少．（3）选择①：（300+200）×12＝6000（元）；选择②：（140+200）×24＝8160（元）；选择③：（300+140+200）×8＝5120（元）．∵5120＜6000＜8160，∴安排甲乙合作施工更有利于商店．【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际运用，熟练掌握方程组的实际运用是本题解题关键．【变式训练】1．（2022·福建·厦门市莲花中学七年级期中）杭州某公司准备安装完成5700辆如图所示款共享单车投入市场．由于抽调不出足够熟练工人，公司准备招聘一批新工人．生产开始后发现：1名熟练工人和2名新工人每天共安装28辆共享单车；2名熟练工人每天装的共享单车数与3名新工人每天安装的共享单车数一样多．(1)求每名熟练工人和新工人每天分别可以安装多少辆共享单车？(2)若公司原有熟练工m人，现招聘n名新工人，使得最后能刚好一个月（30天）完成安装任务，已知工人们安装的共享单车中不能正常投入运营的占5%，求m的值．【答案】(1)每名熟练工人每天可以安装12辆共享单车，每名新工人每天可以安装8辆共享单车．(2)m的值为12．【分析】（1）设每名熟练工人每天可以安装x辆共享单车，每名新工人每天可以安装y辆共享单车，根据“1名熟练工人和2名新工人每天共安装28辆共享单车；2名熟练工人每天安装的共享单车数与3名新工人每天安装的共享单车数一样多”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设抽调m名熟练工人，由工作总量=工作效率×工作时间，即可得出关于n，m的二元一次方程，再根据n，m均为正整数且，即可求出m的值．（1）解：设每名熟练工人每天可以安装x辆共享单车，每名新工人每天可以安装y辆共享单车，根据题意得：解得：．答：每名熟练工人每天可以安装12辆共享单车，每名新工人每天可以安装8辆共享单车．（2）（2）根据题意得：30×（8n+12m）×（1-5%）=5700，整理得：，∵n，m均为正整数，且，∴（舍），（舍），，∴m的值为12．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．2．（2022·湖南·通道侗族自治县教育科学研究室七年级期末）通道县政府为把双江镇建设成国家级文明县城,现有一段长为180m的街道需要整治，甲、乙两个工程队先后接力完成：甲工程队每天整治12m,乙工程队每天整治8m,共用时20天.问甲、乙两工程队分别整治了多少米？【答案】【分析】设甲、乙两工程队分别整治了米和米，根据总共整治180米，与甲工程队每天整治12m,乙工程队每天整治8m,共用时20天，列出关于和的二元一次方程，解出即可．【详解】解：设甲、乙两工程队分别整治了米和米，根据题意列方程得，解得，答：甲工程队整治了60米，乙工程队整治了120米．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键．【考点六二元一次方程组的应用——和差倍分问题】例题：（2022·江苏·赣榆汇文双语学校七年级阶段练习）一玻璃厂熔炼玻璃液，其原料由石英砂和长石粉混合而成，要求原料中含二氧化硅70%．经过化验，石英砂中含二氧化硅95%，长石粉中含二氧化硅63%．要配制3.2t原料，需石英砂，长石粉各多少？【答案】需石英砂，长石粉【分析】设需石英砂xt，长石粉yt，根据题意，联立方程组，解出即可得出结论．【详解】解：设需石英砂xt，长石粉yt，根据题意，可得：，解得：，答：需石英砂，长石粉．【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解本题的关键在正确找出等量关系．【变式训练】1．（2022·陕西·西工大附中分校八年级期末）用二元一次方程组解应用题：一家超市中，杏的售价为10元/kg，桃的售价为8元/kg，小菲在这家超市买了杏和桃共7kg，共花费61元．求小菲这次买的杏、桃各多少千克？【答案】小菲这次买杏2.5千克，桃4.5千克．【分析】设小菲这次买杏x千克，桃y千克，利用总价＝单价×数量，结合“小菲在这家超市买了杏和桃共7kg，共花费61元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．【详解】解：设小菲这次买杏x千克，桃y千克，依题意得：，解得：．答：小菲这次买杏2.5千克，桃4.5千克．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．2．（2022·新疆吐鲁番·七年级阶段练习）2021年7月21日，中共中央办公厅、国务院办公厅印发《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》．某学校积极响应“双减”政策，为了丰富学生校园生活，经研究决定准备购买一批体育健身器材．已知购买2个篮球和3个排球共花费440元，购买4个篮球和1个排球共花费480元．求篮球和排球的单价．【答案】篮球的单价是100元，排球的单价是80元．【分析】设篮球的单价是x元，排球的单价是y元，根据“购买2个篮球和3个排球共花费440元，购买4个篮球和1个排球共花费480元”列二元一次方程组，求解即可；【详解】解：设篮球的单价是x元，排球的单价是y元，根据题意，得，解得，∴篮球的单价是100元，排球的单价是80元．【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，理清题中的等量关系，根据题意列方程组是解题的关键．【过关检测】一、选择题1．（2022秋·全国·八年级专题练习）某车间有90名工人，每人每天平均能生产螺栓15个或螺帽24个，要使一个螺栓配套两个螺帽，应该如何分配工人才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套？若设生产螺栓x人，生产螺帽y人，则列方程组得（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据“该车间共有90名工人，且生产螺帽的总数是生产螺栓总数的2倍”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【详解】解：∵该车间共有90名工人，∴x+y=90；∵每人每天平均能生产螺栓15个或螺帽24个，且一个螺栓配套两个螺帽，∴2×15x=24y，即30x=24y．根据题意可列方程组：故选：C．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．2．（2022秋·广东广州·八年级统考期末）中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共价三十八两，问马、牛各价几何？”设马每匹两，牛每头两，根据题意可列方程组为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】设马每匹两，牛每头两，根据“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共价三十八两”列出方程组，即可求解．【详解】解：设马每匹两，牛每头两，根据题意得：．故选：C【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．3．（2022秋·广西河池·八年级统考期中）从甲地到乙地有一段上坡路与一段下坡路．如果上坡平均每小时走，下坡平均每小时走，那么从甲地走到乙地需要分钟，从乙地走到甲地需要分钟．若设从甲地到乙地上坡路程为，下坡路程为，则所列方程组正确的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】设从甲地到乙地上坡路程为，下坡路程为，根据时间=路程÷速度分别列出x和y的二元一次方程组即可．【详解】解：设从甲地到乙地上坡路程为，下坡路程为，根据题意得，，故选：C．【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是理解题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组．4．（2022秋·全国·八年级专题练习）台大收割机和台小收割机同时工作h共收割水稻，台大收割机和台小收割机同时工作h共收割水稻，设台大收割机和台小收割机每小时收割水稻分别是公顷、公顷，则下列列式正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】首先设台大收割机和台小收割机每小时收割水稻分别是公顷、公顷，再根据“台大收割机和台小收割机同时工作h共收割水稻”，得到；再根据“台大收割机和台小收割机同时工作h共收割水稻”，得到．联立方程组，即可得到正确的选项．【详解】台大收割机和台小收割机每小时收割水稻分别是公顷、公顷，根据题意得：．故选：D．【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用问题，解本题的关键在理解题意，并列出二元一次方程组．二、填空题5．（2022秋·全国·八年级专题练习）今年甲和乙的年龄和为24，6年后，甲的年龄就是乙的年龄的2倍，则甲今年的年龄是_____岁．【答案】18【分析】设甲今年的年龄是x岁，乙今年的年龄是y岁，根据“今年甲和乙的年龄和为24，6年后，甲的年龄就是乙的年龄的2倍”，即可得出关于x,y的二元一次方程组，解之即可得出结论．【详解】解：设甲今年的年龄是x岁，乙今年的年龄是y岁，依题意，得：，解得：．故答案为：18．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．6．（2021春·江苏扬州·七年级统考期末）某班同学参加运土劳动，女同学抬土，每两人抬一筐；男同学挑土，每一人挑两筐．已知全班共用箩筐56只，扁担36根．设男生人，女生人，则可得方程组______．【答案】【分析】根据等量关系：①全班共用箩筐56只；②全班共用扁担36根，列方程组求解．【详解】解：设男生，女生各有x人、y人．根据题意，得故答案为：【点睛】此题中关键要正确理解：每个男生需要1条扁担和2个箩筐，每2个女生需要1条扁担和1个箩筐．7．（2022秋·全国·八年级专题练习）《九章算术》卷八方程【七】中记载：“今有牛五、羊二，值金十两．牛二、羊五，值金八两．牛、羊各值金几何？”题目大意是：5头牛、2只羊共值金10两，2头牛、5只羊共值金8两，每头牛、每只羊各值金多少两？若设一头牛值金x两，一只羊值金y两，则可列方程组为___．【答案】【分析】根据“5头牛、2只羊共值金10两．2头牛、5只羊共值金8两”，得到2个等量关系，即可列出方程组．【详解】解：设1只羊值金两，1头牛值金两，由题意可得，，故答案为：．【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是明确题意，找到等量关系，列出相应的方程组．8．（2022春·四川德阳·七年级四川省德阳市第二中学校校考阶段练习）甲、乙二人都以不变的速度在环形跑道上跑步，如果同时同地出发，相向而行，每隔分钟相遇一次；如果同向而行，每隔分钟相遇一次．已知甲比乙跑得快，则甲每分钟跑______圈．【答案】【分析】设甲每分钟跑x圈，乙每分钟跑y圈，根据“如果同时同地出发，相向而行，每隔3分钟相遇一次；如果同向而行，每隔7分钟相遇一次”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．【详解】解：设甲每分钟跑x圈，乙每分钟跑y圈，依题意得：，解得：，故答案为：．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．三、解答题9．（2022秋·辽宁·八年级校考期末）（列二元一次方程组求解）《孙子算经》中有一道题，原文是“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺．【答案】6.5尺【分析】本题的等量关系是：绳长-木长；木长绳长，据此可列方程组求解．【详解】解：设绳长x尺，长木为y尺，依题意得：，解得，答：长木长6.5尺．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，古代问题中经常有二元一次方程组问题，关键是弄清题意，找准等量关系，列对方程组，求准解．10．（2022秋·陕西渭南·八年级统考期末）为了参加国际铁人三项（游泳、自行车、长跑）系列赛业余组的比赛，李明针对自行车和长跑项目进行了专项训练．在某次训练中，李明骑自行车的平均速度为每分钟600米，跑步的平均速度为每分钟200米，自行车路段和长跑路段共长5千米，共用时15分钟，求自行车路段和长跑路段的长度．【答案】自行车路段的长度为3千米，长跑路段的长度为2千米【分析】设自行车路段的长度为米，长跑路段的长度为米，根据“李明骑自行车的平均速度为每分钟600米，跑步的平均速度为每分钟200米，自行车路段和长跑路段共长5千米，共用时15分钟，”列出方程组，即可求解．【详解】解：设自行车路段的长度为米，长跑路段的长度为米，根据题意得：，解得：．答：自行车路段的长度为3千米，长跑路段的长度为2千米．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．11．（2022秋·全国·八年级专题练习）一名34岁的男子带着他的两个孩子一同进行晨跑，下面是两个孩子与记者的对话：根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出哥哥和妹妹的年龄．【答案】妹妹的年龄是6岁，哥哥的年龄是10岁．【分析】设妹妹的年龄是x岁，哥哥的年龄是y岁，根据“今年妹妹和哥哥的年龄和是16岁，两年后，妹妹年龄的3倍和哥哥的年龄相加等于爸爸的年龄”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．【详解】解：设妹妹的年龄是x岁，哥哥的年龄是y岁，依题意，得：，解得：．答：妹妹的年龄是6岁，哥哥的年龄是10岁．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．12．（2022秋·安徽·七年级统考期末）某蔬菜基地第一次向甲地运输124吨蔬菜，恰好装满5辆大货车和2辆小货车；第二次向甲地运输180吨蔬菜，恰好装满6辆大货车和5辆小货车．(1)装满2辆大货车和3辆小货车能运输多少吨蔬菜？(2)第三次安排大、小货车共12辆向甲地运输208吨蔬菜，若要使得每辆车都装满，则大货车和小货车分别需要多少辆？【答案】(1)76吨(2)大货车8辆和小货车4辆【分析】（1）设1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货x吨、y吨，根据“5辆大货车与2辆小货车一次可以运货124吨，6辆大货车与5辆小货车一次可以运货180吨”列方程组求解可得；（2）设安排m辆大货车，则小货车需要（12﹣m）辆，根据两种货车运送的蔬菜总质量208吨列方程求解可得．【详解】（1）解：设1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货x吨、y吨，根据题意，得：，解得：，∴答：装满2辆大货车和3辆小货车能运输76吨蔬菜．（2）设安排m辆大货车，则小货车需要辆，根据题意，得：，解得：，所以则大货车8辆和小货车4辆．答：需要大货车8辆和小货车4辆．【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和一元一次方程求解．13．（2022·江苏·七年级假期作业）草场收割队每小时需要割草54亩，现决定向某大型机械租赁公司租用甲、乙两种型弓的割草机来完成这项工作（两种都要租），已知该公司一台甲型割草机与一台乙型割草机每