2024年湖北省大冶市五月中考模拟数学试题（解析版）

长冶市2024年九年级五月调研考试

数学试卷

（本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟）

★祝考试顺利★

注意事

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘

贴在答题卡上指定位置.

2.选择题的作答:每小题选出答案后，用28铅笔把答题卡上对应题目的答案格号涂黑.写在试

卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内,写在试卷、草稿纸和答

题卡上的非答题区域均无效.

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题（每题3分，共30分）

1.若足球质量与标准质量相比，超出部分记作正数，不足部分记作负数，则在下面4个足球中，质量最接

近标准的是（）

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了绝对值和正数和负数的应用，主要考查学生的理解能力.题目具有一定的代表性，难

度也不大.

求出每个数的绝对值，根据绝对值的大小找出绝对值最小的数即可.

【详解】解：,0.9|=0.9,卜3.5|=3.5卜0.5|=0.5,,2.5|=2.5,

•・,0.5<0.9<2,5<3.5,

从轻重的角度看，最接近标准的是-0.5,

故选：C.

2.剪玳艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗

产代表作名录.鱼与“余”同音，寓意生活富裕、年年有余，是剪纸艺术中很受喜爱的主题.以下关于鱼

的剪纸中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）

D.

密

【答案】D

【解析】

【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别.根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如

果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称

图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图

形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可.

【详解】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故A选项不合题意；

B、是中心对称图形，不是轴对称图形，故B选项不合题意；

C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故C选项不合题意；

D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故D选项符合题意；

故选：D.

3.下列运算正确的是()

A.V5+V6=VnB.a1^a3=a4

C.(-3a)2=6a2D.(a-1)2=a2-1

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查二次根式的运算，整式的运算，根据二次根式的加法法则.同底数基的除法，积的乘方,

完全平方公式，逐一进行判断即可.

【详解】解：A、遥，指不是同类二次根式，不能合并，故选项错误；

B、a4-a3=a4»故选项正确；

C、(一3。)2=9/,故选项错误：

22

D、(tf-l)=a-2a+l,故选项错误：

故选B.

4.一个几何体如图水平放置，它的俯视图是（）

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了三视图的知识.找到从上面看所得到的图形即可，注意看见的棱用实线表示，看不见

的棱用虚线表示.

【详解】解：从上面看，是一个正方形，正方形内部有两条纵向的虚线.

D选项符合题意.

故选：D.

5.下列说法正确的是（）

A.要了解我市学生的“双减”情况应选用普查方式

B.若甲、乙两组数平均数相同，5/=0,1,S/=0.08,则乙组数据较稳定

C.天气预报说：某地明天降水的概率是50%,那就是说明天有半天都在降雨

D.从某校1000名男生中随机抽取2名进行引体向上测试，其中有一名成绩不及格，说明该校50%的男生

引体向上成绩不及格

【答案】B

【解析】

【分析】根据概率的意义，方差，随机事件，概率公式，全面调查与抽样调直，逐一判断即可解答.

【详解】解：A.要了解襄阳市学生的“双减”情况应选用抽样调查方式，故此选项不符合题意；

B.若甲、乙两组数平均数相同，S.p2=0.1,S乙2=0.08,则乙组数据较稳定，故此选项符合题意；

C.天气预报说：某地明天降水的概率是50%,那就是说明天降雨的可能性为50%,故此选项不符合题

尽；

D.从某校1000名男生中随机抽取2名进行引体向上测试，其中有一名成绩不及格，说明该校50%的男

生引体向上成绩不及格，这种说法是不正确的，因为取的男生数量太少，不能说明什么问题，故此选项不

符合题意.

故选：B.

【点睛】本题考查概率的意义，方差，随机事件，概率公式，全面调查与抽样调查，熟练掌握这些数学知

识是解题的关键.

6.若正多边形的内角和是1080°,则该E多边形的一个外角为（）

A.45°B.60°C.72°D.90°

【答案】A

【解析】

【分析】首先设这个正多边形的边数为n,根据多边形的内角和公式可得180（n-2）=1080,继而可求得答

案.

【详解】设这个正多边形的边数为n,

•・•一个正多边形的内角和为1080°,

.*.180（n-2）=1080,

解得:n=8,

・•・这个正多边形的每一个外角是：360^8=45°.

故选：A..

【点睛】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识.此题难度不大，注意掌握方程思想的应用，注意熟

记公式是关键.

7.我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道算题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，

小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小

和尚3人分1个，正好分完，试问大、小和尚各多少人？设小和尚有x人，依题意列方程得（）

A.y+3（100-x）=100B.3x+10^-X=100C.y-3（100-x）=100D.3x-^y^=100

【答案】A

【解析】

【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系,

列出方程.设小和尚有x人，则大和尚有（100-x）人，根据题意可得，小和尚每人分;个馒头，大和尚1

人分3个，列出方程即可.

【详解】解：设小和尚有x人，则大和尚有（100—x）人，

依题意列方程得g+3（100-x）=100，

故选：A.

8.如图，AB,CO是。。的直径，E是前的中点，DE1AB.NCOE的度数是（）

A.20°B.30°C.45°D.60°

【答案】B

【解析】

【分析】本题主要考查了圆周角定理，三线合一定理，弧与圆心角之间的关系，先由三线合一定理得到

NBOE=NBOD,再证明NCOE=N5OE得到NCOE=N5OE=N5。。=60。，则由圆周角定理可

得NZ）=1NCOE=30。.

2

【详解】解：.。七二。。，DE1AB,

・•・ABOE=ZBOD,

•・•£是死的中点，

:•前=前，

・•・Z.COE=4BOE,

・•・ZCOE=/BOE=ABOD=60°,

・•・ZD=-ZCOF=30°,

2

故选：B.

9.设阳，〃分别为一元二次方程一十2%一2024=0的两个实数根，贝b〃2+3m+〃=（）

A.2020B.2022C.2024D.2026

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根和系数的关系，代数式求值，由一元二次方

程根的定义可得加2+2加-2024=0,进而得加2+2阳=2024，由一元二次方程根和系数的关系可得

加+〃=一2,再把〃/+3〃7+〃转化为病+2加+（加+〃），代入前面所得式子的值计算即可求解，掌握一

元二次方程根的定义及根和系数的关系是解题的关键.

【详解】解：・・・用，〃分别为一元二次方程r+2x—2024=0的两个实数根,

m2+2加一2024=0»〃？+〃=-2，

m2+2m=2024，

m24-3/w+n=/w2+2m+（，〃+〃）=2024-2=2022,

故选：B.

10.已知抛物线>=。/+云+。（q,4。是常数，。工0）经过点（一g,。），其对称轴是直线x=l,当

工=一1时，与其对应的函数值y>1.有下列结论：

①4加V0:

②若点（一?,乂），（\乃），（0,乃）均在函数图象上，则乂>为>必：

③若方程〃（2%+1）（2%一5）+2=0的两根为入1，*2且王则一:<,；

22

4

®a>—.

7

其中，正确结论的个数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【解析】

【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程等知识，熟练运用二次函数的

图象与性质足解题关键.

由该二次函数的图象的对称轴为x=l,可得6=-2〃，再结合图象确定。〉0,。<0,易得b=-2a<0,

即可判断结论①；由图象可知，抛物线开口向上，离对称轴水平距离越大，y值越大，据此即可判定结论

②；由抛物线的对称性可知抛物线与x轴的另一交点为（-,0）,可得抛物线解析式为

一1，作N=-L，由图象可知一1<X[<羽<』，即可判

2222

定结论③.由题意得。一6+c>l,-a--b+c=0,将6=-2。代入即可判断结论④

42

【详解】解：根据题意：画出大致图象如下:

由图象可知，〃〉0,。＜0,

•・•对称轴是直线x=l,

b=—2a,

:・b=-2a<0,

Aabc>0,故结论①错误;

・・•点（-3,%），（3,%），（0,%）均在函数图象上，卜

・・・必＞必＞必，故结论②错误;

由抛物线的对称性可知，抛物线与x轴的另一交点为（g,0）,

（1V5、

，抛物线解析式为y=aX+-x--,

\乙）\z7

则有a（2x+1）（2x-5）+2=0,

如图作y二一：，由图像可知一（〈Xi＜"|，故结论③正确.

,・•当工=一1时，与其对应的函数值7＞1,抛物线歹=af+bx+c（a,b,。是常数，。工0）经过点

a-b+c>\,—a—b+c=0

42

*.*b=—2a,

，3a+c>1,—a+c=O

4

：.3a—a>1,

4

故选：B.

二、填空题（每题3分，共15分）

11.写出一个小于-3的无理数.

【答案】一"（答案不唯一）

【解析】

【分析】根据实数的大小比较和无理数的定义写出即可.

【详解】解：・・5>3,

・・・-兀<-3,

・•・・兀是小于-3的无理数

故答案为：-花（答案不唯一）.

【点睛】本题考杳了无理数的定义和实数的大小比较，能熟记无理数的定义的内容是解此题的关键.

12.计算:

x-1x-1

【答案】,什1

【解析】

x2-l(x-Fl)(x-l)

【详解】解:

x-1x-1X-1

13.“宫商角微羽”是中国古乐的五个基本音阶，现有一款“一起听古音”的音乐玩具，音乐小球从A处

沿轨道进入小洞就可以发出相应的声音，且小球进入每个小洞的可能性大小相同，现有两个音乐小球从A

处先后进入小洞，发出“宫”音，再发出“角”音的概率是.

【答案】二

【解析】

【分析】本题考查树状图法求概率.画树状图，共有25种等可能的结果，其中发出“宫”音，再发出

“角”音的结果有1种，再由概率公式求解即可.树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适

合两步或两步以上完成的事件；解题的关键是掌握：概率=所求情况数与总情况数之比.

【详解】解：把宫商角徵羽五个基本音阶分别记为1,2,3,5,6,

画树状图如下：

开始

12356

1235612356123561235612356

共有25种等可能的结果，其中先发出“宫”音，再发出“角”音的结果有1种，

・•・发出“宫”音，再发出“角”音的概率是表.

故答案为：——.

25

14.如图，在矩形中，彳8=8,BC=6,以8为圆心，适当的长为半径画弧，交BD,BC于M,N

两点；再分别以M,N为圆心，大于gMN的长为半径画弧，两弧交于点尸，作射线3P,交CD于点F,

则DF的长为.

【答案】5

【解析】

【分析】本题考查了角平分线的作法和性质，矩形的性质，勾股定理等知识.过尸作/GJ_8O于G,由

角平分线的性质求得G/二尸。=8-。再由RtA5CF^RtA5GF(HL)求得DG=BD—BG=4,

从而在RtADGF中，由勾股定理列方程求出DF的长即可解答.

【详解】解：由作图步骤可得：4尸是NOBC的角平分线，

如图，过尸作尸G1&)于G,

AD

由矩形性质可得：ZJ=ZC=90°,AB=CD=8,

,BD=y/BC2+CD2=10>

由角平分线的性质可得：GF=FC=CD-DF=8-DF,

又•：BF=BF,

...RtA5CF^RtA5GF(HL)

BG=BC=6,

・•・DG=BD-BG=\0-6=4,

在RtZXOGF中，DG2+FG2=DF2f

・•・42+(8-Z)F)2=Z)F2

:・DF=5,

故答案为5.

15.如图，在矩形48CO中，4B=4,BC=6,点E是边3c的中点，将a/BE沿力上翻折得△力心,

点尸落在四边形力EC。内，点尸是线段/E上的动点，过点尸作尸0_L4F,垂足为。，连接P/，则

PQ+PF的最小值为

【答案】—

25

【解析】

【分析】过点4作/于点0,交AE于P',过F作MNJ.BC于N,交AD于M,连接8尸,

力A/MFAF4

利用矩形的性质和折叠性质，结合相似三角形的判定证明得到:「二不二二二二二彳,

FNENEF3

3/w+4〃=4

设FN=3m,EN=3n,可得已.求解可得力M=4/n=—,由尸。+/>/=尸。+尸8可知,

3+3〃=4m

当B,P,。共线时，PQ+PB最小,即PQ+PF最小，此时。与。'重合，P与P重合，尸。+P尸最小

96

值为BQ'的长度，证明ABAO^AJFM(AAS)得到BQr=AM=—即可求解.

25

【详解】解：过点8作80'，力/于点。'，交AE于P',过F作MNJ.BC于N,交AD于M,连接

：.BE=-BC=3,

2

•・•四边形43co是矩形，

工ZJ5E=90°,

•・•"BE沿AE翻折得4AFE,

:・NAFE=/4BE=9。。,EF=BE=3,PB=PF,AF=AB=4,

・•.NFAM=90°-ZAFM=4EFN,

•：DAMF=DFNE=90°,

:."FMs〉FEN,

.AM_MF_AF_4

t*~FN~~EN~~EF~3,

44

:•AM=—FN,MF=—EN,

33

设FN=3m,EN=3〃，则AM=4m,MF-4〃，

•:MN=AB=4,AM=BN,

3/«+4/i=4

:Q<9

3+3〃=4m

2-4

解得275

-

25

AM==—,

25

•・•PQ+PF=PQ+PB,

,当8,P,。共线时，PQ+PB最小,即P。十尸尸最小，此时。与0重合，尸与P'重合，PQ+PF最

小值为3。'的长度，

VABAQ=90°-/LMAF=AAFM,NBQ'A=/FMA=90。,AB=AF=4,

:.ABA。'里IFM（AAS）,

96

.・・BQr=AM=—,

25

96

・•・PQ+PF最小值为BQ的长度—,

故答案为：—.

25

【点睛】本题考查矩形中的翻折问题，涉及相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解二元

一次方程组、最短路径等知识，解题的关键是掌握翻折的性质，作出辅助线，构造相似三角形.

三、解答题（本大题共9小题，共75分）

16.计算："一（4一3）°—10sin300+（《）；

【答案】0

【解析】

【分析】先化简二次根式，计算零指数累，负整数指数哥和特殊角三角函数值，然后计算加减法即可.

【详解】解：原式=2-1-10X/+4

=2-1-5+4

=0.

【点睛】本题主要考查了化简二次根式，计算零指数昂，负整数指数塞和特殊角三角函数值，熟知相关计

算法则是解题的关键.

17.已知如图，40是△43。的角平分级，过点。分别作4c和的平行线交力3于点E,交4C于点

F.

A

（1）求证：四边形4EO尸是菱形；

（2）若/£=5,40=8,试求四边形乂EOF的面积.

【答案】（1）见解析（2）24

【解析】

【分析】（1）由已知易得四边形力EOb是平行四边形，由角平分线和平行线的定义可得/石4。=4FCA、

进而证明Z尸=。尸，则四边形力EO尸是菱形；

（2）因为菱形的对角线互相垂直平分，可得04=4,根据勾股定理得OE=3,则EF=6,最后根据菱形

的面积即可求出答案.

【小问1详解】

证明：・・・4。是的角平分线，

:,乙20=4FN）,

VDE//AC,DF〃AB,

・•・四逅形4皮不是平行四边形，N6Q=/4F,

:.乙FAD=AFD\

・•・AF=DF,

・•・四边形4应不是菱形；

【小问2详解】

解：如图所示，连接所,与4D交于点0,

•・•四边形4CD尸是菱形，

・•・AD、EF互相垂直且平分，

：.OA=-AD=4fEF=20E

2

根据勾股定理得0E=ylAE2-OA2=3，

:・EF=6,

，四边形的面积.

22

A

【点睛】本题主要考查了菱形的性质和判定，等腰二角形的性质与判定，勾股定理,

熟知菱形对角线垂直平分是解题的关键.

18.如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB,可分别绕点力，B转动，测量知3C=8cm,

JB=16cm.当"，BC转动至|JNME=6O。，N48C=50。时，求点C到.4E的距离.（结果保留小数点

后一位，参考数据：sin70°«0.94,6y1.73）

【答案】6.3cm

【解析】

【分析】如图，作COL4E于点O,作BGL4E于点G,作CRLBG于点F,则四边形CQG/是矩形，即

CD=FG,然后分别解直角△45G和直角△Bb求出8G和8斤的长，最后根据线段的和差即可解答.

【详解】解：如图，作CDL4E于点，作8GL4E于点G,作C凡L8G于点尸，则四边形COG尸是矩形,

\CD-FG,

在直角"8G中，^5=16cm,NB4E=60。,

•••BG=48s加60。=16x—=85/3(c。)，zJ8G=30°,

2

•・Z8C=50。，

；zCBF=20°,

:，BCF=70。,

在直角△BC尸中，8c=8cm,N8C产=70。,

BF=BC・sin70。a8x0.94=7.52(CM),

•••CZ>FG=8G—7.52力6.3（刖），

即点。到片石的距离为6.3cm.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确添加辅助线构建直角三角形、灵活运用解直角三角形解决

实际问题成为解答本题的关键.

19.为增强同学们的科学防疫意识，学校开展了以“科学防疫，健康快乐”为主题的安全知识竞赛，从全校学

生中随机抽取了男、女同学各40名，并将数据进行整理分析・，得到如下信息：信息一：女生成绩扇形统计

图和男生成绩频数分布直方图如图：

（数据分组为4组：x<70,8组：70«xv0,C组：80<x<90,。组：90<x<100）

信息二：女生C组中全部15名学生的成绩为：86,87,81,83,88,84,85,87,86,89,82,88,89,

85,89；

信息三：男、女生两组数据的相关统计数据如表：（单位：分）

平均中位众满分

数数数率

女

90bC25%

生

男

90889815%

生.

女生或绩如形统计图多人成绩就ft分布ah用

请根据上述信息解决问题:

（1）扇形统计图中彳组学生有—人,扇形统计图中C的圆心角为,表格中的中位数6=,

众数c=；

（2）若成绩在90分（包含90分）以上为优秀，请估计该校1600名学生此次知识竞赛中优秀的人数.

（3）试分析男生与女生成绩的优劣，说明理由.（说出一条即可）.

【答案】（1）1,135°,88,100

（2）580（3）女生成绩优于男生成绩-

【解析】

【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图的综合、中位数、众数、汨样本估计整体等知识点，从

扇形统计图与条形统计图中获取信息成为解题的关键.

（1）先利用抽取的总人数乘以组所占百分比，求出8、C、。组的人数，再利用抽取的总人数减去8、C、D

组的人数即可得4组人数，然后根据中位数和众数的定义即解答：

（2）利用1600乘以男、女生成绩在90分（包含90分）以上的人数所占百分比即可解答；

（3）根据众数进行分析即可.

【小问1详解】

解：抽样调查中40名女生的成绩在3组的有40x20%=8（人），

在O组的有40x40%=16（人），

因为C组的有15人，

所以1组的有40-8-16-15=1（人），

扇形统计图中C的圆心角为360x"=135°,

40

将这40名女生成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数都是88分，因此口位数是88分，即6=88；

这40名女生成绩出现次数最多的是满分100,共出现40x25%=10人次，因此众数是100,即c=100.

故答案为：1,135°,88,100.

【小问2详解】

解：1600x16+13=580（人）.

40+40

答：估计该校1600名学生此次知识竞赛中优秀的人数为580人.

【小问3详解】

解：女生的众数为100,男生成绩的众数为98,所以女生成绩优于男生成绩.

20.如图，在平面直角坐标系X。中，一次函数>=左/+6的图象与反比例函数y=幺的图象交于4、B

x

两点,且4(2,m+1),5(-4,2冽-8).

（1）求反比例函数与一次函数的表达式；

（2）设M是x轴上一点，当NCMO=!NDCO时，求点M的横坐标.

O

【答案】（1）y=-：y=x+2

X

⑵±（2+2&）

【解析】

【分析】本题主要考查了待定系数法求反比例函数、一次函数的解析式和反比例函数与一次函数的交点问

题，等腰三角形的性质与判定.此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应月.

（1）先求出〃，的值，再用待定系数法求得到反比例函数的表达式和一次函数表达式；

（2）先求出。（0,2）,。（一2,0）,可得OC=2,OD=2,OC=OD,即得NOCO=NOQC=45。，从

而得出NCMO=L/OCO=LX45O=22.5。，再分当点M在x轴负半轴上及点/在x轴正半轴上时，分

22

类讨论求解即可.

【小问1详解】

•.•点乂（2,m+1）在反比例函数y=4的图象上

x

2（m+D=&

•.•点8（-4,2〃「8）在反比例函数y=§的图象上

-4|2/n-8）=^2

/.2（m+l）=-4（2w-8）

tn=3

4(2,4),8(-4,-2)

点3(-4,-2)代入到反比例j=4,得与=8,

x

8

y--,

x

将/(2,4),3(-4,一2)的坐标代入直线＞=%山+6得,

2k.+b=4冗=\

—解得

b=2‘

则直线＞=工+2；

【小问2详解】

如图1,

一次函数y=x+2中，令彳=0,解得y=2,令y=0,解得工二一2,

/.C（0,2）,D（-2,0）,

OC=2f00=2,

OC-OD，

・•・ZOCD=Z0DC=45°,

:・CD=COC=2C，

•・•NCMO'NDCO,

2

・•・NCMO=-4DCO=1x45°=22.5°,

22

如图，当点”在x轴负半轴上时，NDCM=NCDO-NCMO=22.5。ZCA/O,

・•・DM=CD=2近，

：・0M=OD+DM=2+2近,

・••点M的横坐标为-（2+2五）；

当点〃在x轴正半轴上时，ZCMV=22.5°=ZCMO,

,:OClx轴，

，O"=OM=2+2。

点M的横坐标为（2+2J5）；

即点M的横坐标为±（2+2吟,

故答案为±（2+20）.

21.如图，zUBC内接于OO,AB=AC,AD//BC,并交50的延长线于点。，分别与4c和

。。相交于点E和F.

（1）求证：力。是的OO的切线；

⑵若BC=BE=8,求阴影部分的面积.

【答案】（1）见解析；

（2）16—4〃

【解析】

【分析】（1）连接4。并延长交8C于点H,由48=/C可得4〃_L8C,由力。〃8c可得，进一步得

出力力。，即可证明问题；

（2）由等腰三角形的性质，直角三角形的性质推出4乙%。=90。，求出/84C的度数；再证得

△OBH、△力。。是等腰直角三角形，求出06长，即可求出扇形O4E的面积，△/。。的面积，从而得

到阴影的面积.

【小问1详解】

证明：如图，连接4。并延长交8C于点〃，

D

•：AB=ACt

•・JfB=)fC,

•・・。力是半径，

・•・AHIBC,

VAD//BC,

:.AH1AD

V力o是oo的半径

:,力。是。o的切线.

【小问2详解】

VBC=BE,

:.ZBCE=ZBEC,

VAB=AC,

・•・/BCE=/ABC,

・•・40BH=ABAC=2ZBAO,

•：OA=OB,

・•・AOBA=ZOAB,

:・NABH=3ZBAO,

'：ZABH+^BAO=90°,

・・・4/840=90。，

・・・4/0=22.5。，

・•・/BAC=2/BAO=45。；

VAHIBC,AB=AC,

・•・BH=LBC=4,

2

•・•440=22.5。，

・•・NOB”=2x22.5。=45。，

:.△B。”是等腰直角三角形，

，05=岳"=4&，

•人OD=/BOH=45。,

・•・△力。。是等腰直角三角形，

***AD=AO=4-^2，

・・•5期/.=45万次产）2=4肛Sqo=T"O/O=；x40x40=16：

30U/乙

二.与=

SAO/1D—S^OAF=16—44.

【点睛】本题考查切线的性质，等腰三角形、直角三角形的性质，扇形面积的计算，三角形面积的计算，

关键是由等腰三角形，直角三角形的性质求出NB/。的度数.

22.为助推乡村经济发展，解决茶农卖茶难问题，某地政府在新茶上市30天内，帮助“幸福村”茶农合作

社集中销售茶叶，设第x天（x为整数）的售价为N（元/斤），日销售额为w（元）.据销售记录知：

①第1天销量为42斤，以后每天比前一天多卖2斤；

②前10天的价格一直为500元/斤，后20天价格每天比前一天跌10元，

（1）当114x（30时，写出V与％的关系式；

（2）当x为何值时日销售额w最大，最大为多少？

（3）若口销售额不低于31680元时可以袤得较大利润，当天合作社将向希望小学捐款加元，用于捐资助

学，若“幸福村”茶农合作社计划帮助希望小学购买10800元的图书，求〃z的最小整数值.

【答案】（1）=-10x4-600（11<%<30）

（2）当x为第20天时日销售额卬最大，最大为32000元

（3）1200元

【解析】

【分析】（1）根据前10天的价格一直为500元/斤，后20天价格每天比前一天跌10元，可求出当

114了430时，y与％的关系：

（2）根据日销售额=售价X日销售量，分类讨论在％的取值范围内w的最大，直即可得到结论：

（3）根据日销售额=售价x日销售量，分类讨论在K的取值范围内w的最大，直，再和31680作比较，从

而确定能获得较大利润的天数，即可求解.

【小问I详解】

解：；前10天的价格一直为500元/斤，后20天价格每天比前一天跌10元，

，当11Vx430时，y=500-10（x-10）=-10x+600,

・••当114x430时，写出V与x的关系式为：y=-10x+600（ll<x<30）：

【小问2详解】

由题意得，销售量为：42+2（x-l）=2x+40,

当IWXWIO时，

w=500（2x4-40）=1OOOx+20000,

V1000>0,

・••当x=10时，w取最大值为：1000x10+20000=30000,

当10Vx«30时，

w=j（2x+40）=（-10x+600）（2x+40）=-20（x-20）2+32000,

*/-20<0,

・••当x=20时，w取最大值为32000,

综上所述，当x=20时，w取最大值为32000,

答：当》为第20天时日销售额w最大，最大为32000元；

【小问3详解】

当14x410时,

w=500（2x+40）=1000x+20000,

当x=10时，卬取最大值为：1000x10-20000=30000,

V31680>30000,

.M<x<10时不可能获得较大利润.

当10<%«30时，w=（-1Ox+600）（2A+40）=-20（x-20）2+32000,

当x=20时，w取最大值为32000,得：31680<32000,

当一20（x-20）2+32000=31680时，

解得：工=16或X=24,

・••当WN31680时，16KX024,

・•・获得较大利润天数为9天，

・•・9w>10800,

解得：w>1200,

•・•加为整数，

，加的最小值为1200元.

【点睛】本题考查列函数关系式，一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，二次函数实际中的应

用和一元一次不等式的实际.找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程或函数关系式是解题的关

键.最后要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解.

23.在菱形4BCQ中，=点。是射线50上一动点，以彳尸为一边向右侧作等腰V4PE,使

AP=PE,/APE=/ABC=a,点七的位置随着点尸的位置变化而变化.

图1图2图3

(1)如图1,若a=60。，当点E在菱形48CQ内时，连接CE,求证：BP=CE

(2)若a=120。，当点尸在线段6。的延长线上时，

①如图2,探究8P与CE的数量关系：

②如图3,连接5E,若48=3,。尸=2,求线段8E的长.

【答案】(1)证明见解析

(2)①CE=6BP;②2⑨

【解析】

【分析】(1)如图，连接/C,根据SAS证△切即可得出8P=CE；

(2)①如图，连接力C,先证明得由相似比即可得出结论；②连接4C,CE,由

干分8C,△BAPsfAE,得出CE18C,再由勾股定理即可得出答案.

【小问1详解】

如图，连接4C,

•・•菱形48CQ中，AABC=60°,

:・AB=BC=CD=AD,ZADC=ZABC=6Q0,

・•・“BCsACD是等边三角形,

AAB=AC,AC=CD,ZBAC=ZACD=60°,

•・・V/1PE是等腰三角形，ZAPE=NABC=60。,

・・・V4PE是等边三角形，

AAP=AEtNP/E=60。，

:.ZBAP+/PAC=NPAC+NEAC,

即/BAP=/CAE,

在尸与VC4E中，

AB=AC

<NBAP=NCAE,

AP=AE

・••△"々△C4£'(SAS),

:・BP=CE；

【小问2详解】

解：①CE=6BP，理由如下：

如图，连接4c交6。于点O,

•・•菱形NBCQ中，AB=BC,Z^BC=120°,

・•・/胡。=30。，AC上BD,AO=-AC,

2

-AO=cos300xAB=®4B，

2

：AC=2AO=&B.

•：V/PE是等腰三角形，AP=PE,ZAPE=\20°,

：.ZPAE=30°,

：AE=6AP.

ABAP1

,NB4C=NPAE=30。,—=—=-?=,

ACAEV3

:.ZBAC+NPAC=ZPAE+/PAC.

即NBAP=/CAE,

・••/\BAPsACAE.

BP__±_

工五=忑'

工CE=>5BP；

②连接HC,CE,

图3

・.•菱形/BCZ）中30平分/Z3C,LBAPsACAE,

・•・ZACE=ZABP=-/ABC=60°.

2

•・•菱形ABCD中CA平分/BAD,

・•・NCAD=L/BAD=30。,

2

ZBCE=90°,

：.CE1BC；

•・•四边形/8C£>是菱形，AB=BC=3,

•••△ABD为等边三角形,

•••AB=BD=3,

•••DP=2,

：.BP=DB+DP=“2=5,

由①知

:・CE=>5BP,

・・・普诋

・・・8E="5扃+3?=2历.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质、菱形

的性质，解直角三角形等知识，熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键.

24.如图，抛物线产一一+队十°,过点力(-1,0),8(3,0),与y轴交于点GP为x轴上方抛物线上的

(1)求抛物线的解析式.

(2)如图(1)若直线OP把△COB的面积分成1：2的两部分，求用的值.

PM

(3)如图(2)若直线&与直线8c相交于点M,且1=——.

AM

①试求d关于m的函数解析式.

②请根据d的不同取值，探究尸点的个数.

【答案】⑴y=-f+2x+3

,c、/r-p-3+-57

(2)〃?=J3或〃?=-------

4

123

44(0<w<3

9

(3)①d=,0(〃?=0),②(i)当0<d<时，对d的每个取值，点尸有3个;

716T

1,3(-1<m<0)

—m—m

44

99

(ii)当d=N时，符合条件的点P有2个；(适)当Vd<1且d=0时，对d的每个取值，点P有

167167

1个.(iv)当d<0或dNl时，不存在点尸.

【解析】

【分析】本题主要考查二次函数图象与性质，运用待定系数法求函数关系式，相似三角形的判定与性质.由

分段函数画出函数图象，结合图象得出点尸个数是解题关键.

(1)根据待定系数法即可求二次函数的解析式；

(2)根据直线。尸把△C08的面积分成1：2的两部分，可得0C:03=1:2或00:03=2:1,由此求

出点。坐标，进一步求出直线。尸解析式，再联立解析式求出交点坐标即可，

(3)①先根据待定系数法求出直线8C的解析式为>=一工+3,再分当-IVMVO时，点尸在点。的左侧,

当0<〃?<3时，点尸在点0的右侧两种情况讨论；②画出函数图象，分析图象即可得出结论.

①过点P作尸N〃y轴，交/C于点N,过点力作/。〃丁轴，交BC于点D则APMNs"DM,得

PMPN

d=—=—,求出点O坐标以及直线8c的解析式，再分当点尸在第•象限时和当点P在y轴、当

AMAD

点尸在第二象限时，三种情况求出d即可；②画出d与m的图象，讨论求解即可.

【小问1详解】

解：抛物线y=r2+版+C与X轴交于点2(-1,0),8(3,0),

­二0

-9+3%+<?=0

b=2

解得：」

，抛物线y=-%2+bx+c的解析式为y=+2x+3,

【小问2详解】

若直线。尸把△COB的面积分成1：2的两部分，

当SAG2C：SgB=1：2时，则QC:QB=1:2,即：,

oC3

过点。作。“〃丁轴，交X轴于点”，

:.△QHBSKOB,

.BQ_QHBH

^~BC='OC~~OB"

当x=0时，歹=3,

故点C(0,3),0C=3,

•••8(3,0),OB=3

,QHBH2

••一=_=，

333

：.BH=2,QH=2,

・•・3,2),

・•・直线OP解析式为，=