内蒙古太仆寺旗宝昌第一中学2025届高一下数学期末统考试题含解析

内蒙古太仆寺旗宝昌第一中学2025届高一下数学期末统考试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知四面体中，，分别是，的中点，若，，与所成角的度数为30°，则与所成角的度数为（）A．90° B．45° C．60° D．30°2．已知全集，则集合A． B． C． D．3．若三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，，，且三棱锥的体积为，则球的体积为()A． B． C． D．4．执行下图所示的程序框图，若输出的，则输入的x为（）A．0 B．1 C．0或1 D．0或e5．袋中有个大小相同的小球，其中个白球，个红球，个黑球，现在从中任意取一个，则取出的球恰好是红色或者黑色小球的概率为（）A． B． C． D．6．已知,当取得最小值时（）A． B． C． D．7．若是等比数列，下列结论中不正确的是（）A．一定是等比数列； B．一定是等比数列；C．一定是等比数列； D．一定是等比数列8．已知a,b,,且,,则()A． B． C． D．9．已知a>0,b>0,a,b的等比中项为2，则a+1A．3 B．4 C．5 D．4210．已知，且，则下列不等式正确的是（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知数列是等差数列，若，，则公差________.12．我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中独立提出了一种求三角形面积的方法——“三斜求积术”，即的，其中分别为内角的对边.若，且则的面积的最大值为____．13．方程在区间的解为_______.14．等差数列前9项的和等于前4项的和.若，则.15．已知内接于抛物线，其中O为原点，若此内接三角形的垂心恰为抛物线的焦点，则的外接圆方程为_____.16．已知函数，若对任意都有（）成立，则的最小值为__________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．某地区2012年至2018年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如下表：年份2012201320142015201620172018年份代号1234567人均纯收入2.93.33.64.44.85.25.9（1）已知y与x线性相关，求y关于x的线性回归方程；（2）利用（1）中的线性回归方程，预测该地区2020年农村居民家庭人均纯收入.（附：线性回归方程中，，，其中为样本平均数）18．已知数列满足.（1）若，证明：数列是等比数列，求的通项公式；（2）求的前项和．19．已知圆经过点.（1）若直线与圆相切，求的值；（2）若圆与圆无公共点，求的取值范围.20．已知圆过点.（1）点，直线经过点A且平行于直线，求直线的方程；（2）若圆心的纵坐标为2,求圆的方程.21．如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求二面角A-MA1-N的正弦值．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解析】

取的中点,利用三角形中位线定理,可以得到,与所成角为，运用三角形中位线定理和正弦定理，可以求出的大小，也就能求出与所成角的度数.【详解】取的中点连接，如下图所示：因为，分别是，的中点，所以有，因为与所成角的度数为30°，所以，与所成角的大小等于的度数.在中，，故本题选A.【点睛】本题考查了异面直线所成角的求法，考查了正弦定理，取中点利用三角形中位线定理是解题的关键.2、C【解析】

直接利用集合补集的定义求解即可.【详解】因为全集，所以0，2属于全集且不属于集合A,所以集合，故选：C.【点睛】本题主要考查集合补集的定义，属于基础题.3、A【解析】

由的体积计算得高，已知将三棱锥的外接球，转化为长2，宽2，高的长方体的外接球，求出半径，可得答案．【详解】∵，，故三棱锥的底面面积为，由平面，得，又三棱锥的体积为，得，所以三棱锥的外接球，相当于长2，宽2，高的长方体的外接球，故球半径，得，故外接球的体积.故选：A．【点睛】本题考查了三棱锥外接球的体积，三棱锥体积公式的应用，根据已知计算出球的半径是解答的关键，属于中档题．4、C【解析】

根据程序框图,分两种情况讨论,即可求得对应的的值.【详解】当输出结果为时.当,则,解得当,则,解得综上可知,输入的或故选:C【点睛】本题考查了程序框图的简单应用,指数方程与对数方程的解法,属于基础题.5、D【解析】

利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率.【详解】从袋中个球中任取一个球，取出的球恰好是一个红色或黑色小球的基本事件数为，因此，取出的球恰好是红色或者黑色小球的概率为，故选D.【点睛】本题考查古典概型概率的计算，解题时要确定出全部基本事件数和所求事件所包含的基本事件数，并利用古典概型的概率公式进行计算，考查计算能力，属于基础题.6、D【解析】

可用导函数解决最小值问题，即可得到答案.【详解】根据题意，令，则，而当时，，当时，，则在处取得极小值，故选D.【点睛】本题主要考查函数的最值问题，意在考查学生利用导数工具解决实际问题的能力，难度中等.7、C【解析】

判断等比数列,可根据为常数来判断.【详解】设等比数列的公比为,则对A：为常数,故一定是等比数列；对B：为常数,故一定是等比数列；对C：当时,,此时为每项均为0的常数列；对D：为常数,故一定是等比数列.故选：C.【点睛】本题主要考查等比数列的判定,若数列的后项除以前一项为常数,则该数列为等比数列.本题选项C容易忽略时这种情况.8、A【解析】

利用不等式的基本性质以及特殊值法，即可得到本题答案.【详解】由不等式的基本性质有，，故A正确，B不正确；当时，，但，故C、D不正确.故选：A【点睛】本题主要考查不等式的基本性质，属基础题.9、C【解析】

由等比中项得：ab=4，目标式子变形为54【详解】∵a+1等号成立当且仅当a=b=2，∴原式的最小值为5.【点睛】利用基本不等式求最小值时，注意验证等号成立的条件.10、B【解析】

通过反例可排除；根据的单调性可知正确.【详解】当，时，，，则错误；当，时，，则错误；由单调递增可知，当时，，则正确本题正确选项：【点睛】本题考查不等关系的判断，解决此类问题常采用排除法，属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、1【解析】

利用等差数列的通项公式即可得出．【详解】设等差数列公差为，∵，，∴，解得＝1．故答案为：1．【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了计算能力，属于基础题．12、【解析】

由已知利用正弦定理可求，代入“三斜求积”公式即可求得答案．【详解】因为，所以整理可得，由正弦定理得因为，所以所以当时，的面积的最大值为【点睛】本题用到的知识点有同角三角函数的基本关系式，两角和的正弦公式，正弦定理等，考查学生分析问题的能力和计算整理能力．13、或【解析】

由题意求得，利用反三角函数求出方程在区间的解．【详解】解：，得，，或，；方程在区间的解为：或．故答案为：或．【点睛】本题考查了三角函数方程的解法与应用问题，是基础题．14、10【解析】

根据等差数列的前n项和公式可得，结合等差数列的性质即可求得k的值．【详解】因为，且所以由等差数列性质可知因为所以则根据等差数列性质可知可得【点睛】本题考查了等差数列的前n项和公式，等差数列性质的应用，属于基础题．15、【解析】

由抛物线的对称性知A、B关于x轴对称，设出它们的坐标，利用三角形的垂心的性质，结合斜率之积等于﹣1即可求得直线MN的方程，即可求出点C的坐标，问题得以解决．【详解】∵抛物线关于x轴对称，内接三角形的垂心恰为抛物线的焦点，三边上的高过焦点，∴另两个顶点A，B关于x轴对称，即△ABO是等腰三角形，作AO的中垂线MN，交x轴与C点，而Ox是AB的中垂线，故C点即为△ABO的外接圆的圆心，OC是外接圆的半径，设A（x1，2），B（x1，﹣2），连接BF，则BF⊥AO，∵kBF，kAO，∴kBF•kAO＝•1，整理，得x1（x1﹣5）＝1，则x1＝5，（x1＝1不合题意，舍去），∵AO的中点为（，），且MN∥BF，∴直线MN的方程为y（x），当x1＝5代入得2x+4y﹣91，∵C是MN与x轴的交点，∴C（，1），而△ABO的外接圆的半径OC，于是得到三角形外接圆方程为（x）2+y2＝（）2，△OAB的外接圆方程为：x2﹣9x+y2＝1，故答案为x2﹣9x+y2＝1．【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查了两直线垂直与斜率的关系，是中档题16、【解析】

根据和的取值特点，判断出两个值都是最值，然后根据图象去确定最小值.【详解】因为对任意成立，所以取最小值，取最大值；取最小值时，与必为同一周期内的最小值和最大值的对应的，则，且，故.【点睛】任何一个函数，若有对任何定义域成立，此时必有：，.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）6.8千元．【解析】

（1）由表中数据计算、，求出回归系数，得出关于的线性回归方程；（2）利用线性回归方程计算2020年对应时的值，即可得出结论．【详解】（1）由表中数据，计算，，，，，，关于的线性回归方程为：；（2）利用线性回归方程，计算时，（千元），预测该地区2020年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．【点睛】本题考查线性回归方程的求法与应用问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查数据处理．18、（1）证明见解析，；（2）.【解析】

（1）由条件可得，即，运用等比数列的定义，即可得到结论；运用等比数列的通项公式可得所求通项。（2）数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，可得所求的和。【详解】解：（1）证明：由，得，又，，又，所以是首相为1，公比为2的等比数列；，。（2）前项和，，两式相减可得：化简可得【点睛】本题考查利用辅助数列求通项公式，以及错位相减求和，考查学生的计算能力，是一道基础题。19、(1)或.(2)【解析】试题分析：由题意可得圆的方程为．（1）由圆心到直线的距离等于半径可得，解得或，即为所求．（2）由圆与圆无公共点可得两圆内含或外离，根据圆心距和两半径的关系得到不等式即可得到所求范围．试题解析：将点的坐标代入，可得，所以圆的方程为，即，故圆心为，半径.（1）因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于圆的半径，即，整理得，解得或.（2）圆的圆心为，则,由题意可得圆与圆内含或外离，所以或，解得或.所以的取值范围为.20、（1）；（2）.【解析】

（1）求出直线的斜率，由直线与直线平行，可知这两条直线的斜率相等，再利用点斜式可得出直线的方程；（2）由题意得出点在线段的中垂线上，可求出点的坐标，再利用两点间的距离公式求出圆的半径，于此可写出圆的标准方程．【详解】（1）直线过点，斜率为，所以直线的方程为，即；（2）由圆的对称性可知，必在线段的中垂线上，圆心的横坐标为：，即圆心为：，圆的半径：，圆的标准方程为：.【点睛】本题考查直线的方程，考查圆的方程的求解，在求解直线与圆的方程中，充分分析直线与圆的几何要素，能起到简化计算的作用，考查计算能力，属于中等题．21、（1）见解析；（2）.【解析】

（1）利用三角形中位线和可证得，证得四边形为平行四边形，进而证得，根据线面平行判定定理可证得结论；（2）以菱形对角线交点为原点可建立空间直角坐标系，通过取中点，可证得平面，得到平面的法向量；再通过向量法求得平面的法向量，利用向量夹角公式求得两个法向量夹角的余弦值，进而可求得所求二面角的正弦值.【详解】（1）连接，，分别为，中点为的中位线且又为中点，