湖南省衡阳市衡阳县五中2025届高一数学第二学期期末统考试题含解析

湖南省衡阳市衡阳县五中2025届高一数学第二学期期末统考试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知为等比数列，是它的前项和．若，且与的等差中项为，则（）A．31 B．32 C． D．2．等比数列的前n项和为，若，则等于()A．－3 B．5 C．33 D．－313．圆和圆的公切线条数为（）A．1 B．2 C．3 D．44．在中，角所对的边分别为，已知，则最大角的余弦值是()A． B． C． D．5．已知函数的部分图象如图所示，则（）A． B．C． D．6．以分别表示等差数列的前项和，若，则的值为A．7 B． C． D．7．已知为的三个内角的对边，，的面积为2，则的最小值为().A． B． C． D．8．若将函数的图象向左平移个最小周期后，所得图象对应的函数为（）A． B．C． D．9．若在是减函数，则的最大值是A． B． C． D．10．已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则的最大值为（）A．7 B．6 C．5 D．4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．如图，在正方体中，点P是上底面（含边界）内一动点，则三棱锥的主视图与俯视图的面积之比的最小值为______.12．已知数列满足：，，则_____.13．若直线与直线互相平行，那么a的值等于_____．14．已知函数，若，则的取值围为_________.15．在等比数列中，已知，则=________________.16．中，，则A的取值范围为______．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知，，，求：的值.18．记数列的前项和为，已知点在函数的图像上.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和.19．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（1）求A；（2）若A为锐角，，的面积为，求的周长．20．在等差数列{an}中，a1=1，公差d≠0，且a1，a2，a5是等比数列{bn}的前三项．(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)设cn=an·bn，求数列{cn}的前n项和Sn．21．已知（且）是R上的奇函数，且.（1）求的解析式；（2）若关于x的方程在区间内只有一个解，求m的取值集合；（3）设，记，是否存在正整数n，使不得式对一切均成立？若存在，求出所有n的值，若不存在，说明理由.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解析】

根据与的等差中项为，可得到一个等式，和，组成一个方程组，结合等比数列的性质，这个方程组转化为关于和公比的方程组，解这个方程组，求出和公比的值，再利用等比数列前项和公式，求出的值.【详解】因为与的等差中项为，所以，因此有，故本题选A.【点睛】本题考查了等差中项的性质，等比数列的通项公式以及前项和公式，2、C【解析】

由等比数列的求和公式结合条件求出公比，再利用等比数列求和公式可求出.【详解】设等比数列的公比为（公比显然不为1），则，得，因此，，故选C.【点睛】本题考查等比数列基本量计算，利用等比数列求和公式求出其公比，是解本题的关键，一般在求解等比数列问题时，有如下两种方法：（1）基本量法：利用首项和公比列方程组解出这两个基本量，然后利用等比数列的通项公式或求和公式来进行计算；（2）性质法：利用等比数列下标有关的性质进行转化，能起到简化计算的作用．3、B【解析】

判断两圆的位置关系，根据两圆的位置关系判断两圆公切线的条数.【详解】圆的标准方程为，圆心坐标为，半径长为.圆的标准方程为，圆心坐标为，半径长为.圆心距为，由于，即，所以，两圆相交，公切线的条数为，故选B.【点睛】本题考查两圆公切线的条数，本质上就是判断两圆的位置关系，公切线条数与两圆位置的关系如下：①两圆相离条公切线；②两圆外切条公切线；③两圆相交条公切线；④两圆内切条公切线；⑤两圆内含没有公切线.4、B【解析】

由边之间的比例关系，设出三边长，利用余弦定理可求.【详解】因为，所以c边所对角最大，设，由余弦定理得，故选B.【点睛】本题考查余弦定理，计算求解能力，属于基本题.5、D【解析】

由函数的最值求出A,由周期求出,由五点法作图求出的值,从而得出结论.【详解】根据函数的图象求出函数的周期,然后可以求出,通过函数经过的最大值点求出值,即可得到函数的解析式.由函数的图象可知:,

.

当,函数取得最大值1,所以,

，

故选D.6、B【解析】

根据等差数列前n项和的性质，当n为奇数时，，即可把转化为求解.【详解】因为数列是等差数列，所以，故,选B.【点睛】本题主要考查了等差数列前n项和的性质，属于中档题.7、D【解析】

运用三角形面积公式和余弦定理，结合三角函数的辅助角公式和正弦型函数的值域最后可求出的最小值.【详解】因为，所以，即，令，可得，于是有，因此，即，所以的最小值为，故本题选D.【点睛】本题考查了余弦定理、三角形面积公式，考查了辅助角公式，考查了数学运算能力.8、B【解析】

首先判断函数的周期，再利用“左加右减自变量，上加下减常数项”解题．【详解】函数的最小正周期为,函数的图象向左平移个最小正周期即平移个单位后，所得图象对应的函数为,即.故选：B.【点睛】本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，根据“左加右减”进行平移变换即可，对横坐标进行平移变换注意系数ω即可，属于基础题.9、A【解析】

分析：先确定三角函数单调减区间，再根据集合包含关系确定的最大值.详解：因为，所以由得因此，从而的最大值为，选A.点睛：函数的性质：(1).(2)周期(3)由求对称轴，(4)由求增区间；由求减区间.10、B【解析】由题意知，点P在以原点（0，0）为圆心，以m为半径的圆上，又因为点P在已知圆上，所以只要两圆有交点即可，所以，故选B.考点：本小题主要考查两圆的位置关系，考查数形结合思想，考查分析问题与解决问题的能力.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

设正方体的棱长为，求出三棱锥的主视图面积为定值，当与重合时，三棱锥的俯视图面积最大，此时主视图与俯视图面积比值最小.【详解】设正方体的棱长为，则三棱锥的主视图是底面边为，高为的三角形，其面积为，当与重合时，三棱锥的俯视图为正方形，其面积最大，最大值为，所以，三棱锥的主视图与俯视图面积比的最小值为.故答案为：.【点睛】本题考查了空间几何体的三视图面积计算应用问题，属于基础题.12、【解析】

从开始，直接代入公式计算，可得的值.【详解】解：由题意得：，，，，故答案为：.【点睛】本题主要考查数列的递推公式及数列的性质，相对简单.13、；【解析】由题意得，验证满足条件，所以14、【解析】

由函数，根据，得到，再由，得到，结合余弦函数的性质，即可求解.【详解】由题意，函数，又由，即，即，因为，则，所以或，即或，所以实数的取值围为.故答案为：.【点睛】本题主要考查了余弦的倍角公式，以及三角不等式的求解，其中解答中熟练应用余弦函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.15、【解析】16、【解析】

由正弦定理将sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC变为，然后用余弦定理推论可求，进而根据余弦函数的图像性质可求得角A的取值范围．【详解】因为sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC，所以，即．所以，因为，所以．【点睛】在三角形中，已知边和角或边、角关系，求角或边时，注意正弦、余弦定理的运用．条件只有角的正弦时，可用正弦定理的推论，将角化为边．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、【解析】

求出和的取值范围，利用同角三角函数的基本关系求出和的值，然后利用两角差的余弦公式可求出的值.【详解】，则，且，，，，，，，因此，.故答案为：.【点睛】本题考查利用两角差的余弦公式求值，解题的关键就是利用已知角来表示所求角，考查计算能力，属于中等题.18、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】

(1)本题首先可根据点在函数的图像上得出，然后根据与的关系即可求得数列的通项公式；(2)首先可根据数列的通项公式得出，然后根据裂项相消法求和即可得出结果。【详解】(1)由题意知.当时，；当时，，适合上式.所以.(2).则。【点睛】本题考查根据数列的前项和为求数列的通项公式，考查裂项相消法求和，与满足以及，考查计算能力，是中档题。19、（1）或；（2）.【解析】

(1)由正弦定理将边化为对应角的正弦值，即可求出结果；(2)由余弦定理和三角形的面积公式联立，即可求出结果.【详解】（I）由正弦定理得，，即又，或．（II），由余弦定理得，即，而的面积为．的周长为5+．【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，属于基础题型.20、（1）bn=3n－1；（2）Sn=(n－1)·3n+1【解析】

(1)由a1，a2，a5是等比数列{bn}的前三项得，a22=a1·a5⇒(a1+d)2=a1·(a1+4d)··⇒a12+2a1d+d2=a12+4a1d⇒d2=2a1d，又d≠0，所以d=2a1=2，从而an=a1+(n－1)d=2n－1，则b1=a1=1，b2=a2=3，则等比数列{bn}的公比q=3，从而bn=3n－1(2)由(1)得，cn=an·bn=(2n－1)·3n－1，则Sn=1·1+3·3+5·32+7·33+…+(2n－1)·3n－1①3Sn=1·3+3·32+5·33+…+(2n－3)·3n－1+(2n－1)·3n②①－②得，－2Sn=1·1+2·3+2·32+2·33+…+2·3n－1－(2n－1)·3n=1+2×－(2n－1)·3n=－2(n－1)·3n－2··则Sn=(n－1)·3n+1．21、（1）；（2）m的取值集合或}（3）存在，【解析】

（1）利用奇函数的性质得到关于实数k的方程，解方程即可，注意验证所得的结果；（2）结合函数的单调性和函数的奇偶性脱去f的符号即可；（3）可得，即可得：即可.【