甘肃永昌2024年中考考前最后一卷数学试卷含解析

甘肃永昌五中学2024年中考考前最后一卷数学试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处”o

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1.在实数0,一兀，布,一4中，最小的数是（）

A.0B.—nC.-^3D.-4

2.如图，矩形AEHC是由三个全等矩形拼成的，AH与BE,BF,DF,DG,CG分别交于点P,Q,K,M,N,

设V8PQ,ADKM,的面积依次为S],$2，名，若H+S3=20,则S?的值为（）

A.6B.8C.10D.12

3.在平面直角坐标系中，正方形AiBiCiDi、D1E1E2B2、A2B2C2D2,D2E3E4B3…按如图所示的方式放置，其中点Bi

在y轴上，点©161、£23263、£4y3...在*轴上，已知正方形人小《21的边长为1,/81（：10=60。,81（：1〃82©2〃83©3...,

则正方形A2OI7B2017c2017D2017的边长是（）

A.（力2016B.（32017C.一）2016D.一）2017

4.关于X的方程x2+（k2-4）x+k+l=0的两个根互为相反数，则k值是（）

A.-1B.±2C.2D.-2

5.有15位同学参加歌咏比赛，所得的分数互不相同，取得分前8位同学进入决赛.某同学知道自己的分数后，要判

断自己能否进入决赛，他只需知道这15位同学的（）

A.平均数B.中位数C.众数D.方差

6.下列说法中，错误的是（）

A.两个全等三角形一定是相似形B.两个等腰三角形一定相似

C.两个等边三角形一定相似D.两个等腰直角三角形一定相似

7.计算也-a的值为（）

A.—2指B.-4C.-2A/3D.-2

8.今年我市计划扩大城区绿地面积，现有一块长方形绿地，它的短边长为60m,若将短边增长到长边相等（长边不变）,

使扩大后的棣地的形状是正方形，则扩大后的绿地面积比原来增加1600设扩大后的正方形绿地边长为xm,下面

所列方程正确的是（）

A.x（x-60）=1600

B.x（x+60）=1600

C.60（x+60）=1600

D.60（x-60）=1600

9.如图，下列四个图形是由已知的四个立体图形展开得到的，则对应的标号是（）

①圆柱②正方体③三棱柱④四棱锥

A.①②③④B.②①③④C.③②①④D.④②①③

10.一次函数--满足门.］，且随的增大而减小，则此函数的图象不经过（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11.如图，正方形ABCD中，AB=6,点E在边CD上，且CD=1DE.将△ADE沿AE对折至△AFE,延长EF交边

BC于点G,连接AG、CF.下列结论：©AABG^AAFG；②BG=GC；③AG〃CF；@SAFGC=1.其中正确结论的

是.

12.如图，无人机在空中C处测得地面A、B两点的俯角分别为60。、45°,如果无人机距地面高度CD为100b米,

点A、D、B在同一水平直线上，则A、B两点间的距离是米.（结果保留根号）

13.在2018年帮助居民累计节约用水305000吨，将数字305000用科学记数法表示为.

14.如图，已知反比例函数丫=乙比为常数，原0）的图象经过点A,过A点作ABJ_x轴，垂足为B,若△AOB的面积

15.分解因式：2d-4层+2=.

16.如图，直线丫=区+匕经过42,1）、8（-1,-2）两点，则不等式;犬>依+6>_2的解集为.

三、解答题（共7小题，满分69分）

18.（10分）已知：四边形ABCD是平行四边形，点O是对角线AC、BD的交点，EF过点O且与AB、CD分别相

交于点E、F,连接EC、AF.

（1）求证：DF=EB；（2）AF与图中哪条线段平行？请指出，并说明理由.

DC

19.(5分)已知一个二次函数的图象经过A(0,-3),B(1,0),C(m,2m+3),D(-1,-2)四点，求这个函

数解析式以及点C的坐标.

k

20.(8分)如图，在平面直角坐标系中，直线y=-X+根与X轴交于点4(4,0),与y轴交于点3,与函数y=—(x>0)

x

的图象的一个交点为C(3,〃).

⑴求九,女的值；

(2)将线段A6向右平移得到对应线段当点8'落在函数y=A(x>0)的图象上时，求线段A5扫过的面积.

21.(10分)一辆汽车，新车购买价30万元，第一年使用后折旧20%,以后该车的年折旧率有所变化，但它在第二、

三年的年折旧率相同.已知在第三年年末，这辆车折旧后价值为17.34万元，求这辆车第二、三年的年折旧率.

22.(10分)已知：如图，在△ABC中，AB=BC,ZABC=90°,点D、E分别是边AB、BC的中点，点F、G是边

AC的三等分点，DF、EG的延长线相交于点H,连接HA、HC.

⑴求证：四边形FBGH是菱形；

⑵求证：四边形ABCH是正方形.

23.(12分)如图，在平行四边形ABCD中，BD为对角线，AE±BD,CF±BD,垂足分别为E、F,连接AF、CE,

求证：AF=CE.

24.（14分）如图1,二次函数丫=。了2-2ax-3a（a<0）的图象与x轴交于A、5两点（点A在点5的右侧），与y

轴的正半轴交于点G顶点为D

（1）求顶点。的坐标（用含"的代数式表示）；

（2）若以AO为直径的圆经过点C.

①求抛物线的函数关系式；

②如图2,点E是y轴负半轴上一点，连接5E,将△O5E绕平面内某一点旋转180。，得到APMN（点尸、M、N分

别和点0、B、E对应），并且点M、N都在抛物线上，作M尸，x轴于点F,若线段M尸：BF=1：2,求点V、N的

坐标；

③点。在抛物线的对称轴上，以。为圆心的圆过4、3两点，并且和直线相切，如图3,求点。的坐标.

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、D

【解析】

根据正数都大于0,负数都小于0,两个负数绝对值大的反而小即可求解.

【详解】

•.•正数大于0和一切负数，

...只需比较”和-1的大小，

V|-7r|<|-l|,

二最小的数是-1.

故选D.

【点睛】

此题主要考查了实数的大小的比较，注意两个无理数的比较方法：统一根据二次根式的性质，把根号外的移到根号内,

只需比较被开方数的大小.

2、B

【解析】

由条件可以得出ABPQsaDKMs/XCNH,可以求出ABPQ与4DKM的相似比为;，△BPQ与4CNH相似比为:，

由相似三角形的性质，就可以求出，，从而可以求出邑.

【详解】

•.•矩形AEHC是由三个全等矩形拼成的，

/.AB=BD=CD,AE〃BF〃DG〃CH,

:.ZBQP=ZDMK=ZCHN,

/.△ABQ^AADM,△ABQ^AACH,

.ABBQ_1ABBQ_1

"AD~DM~1'AC~CH~3)

VEF=FG=BD=CD,AC〃EH,

二四边形BEFD、四边形DFGC是平行四边形，

；.BE〃DF〃CG,

ZBPQ=ZDKM=ZCNH,

又；NBQP=/DMK=NCHN,

/.ABPQ^ADKM,△BPQ^ACNH,

S2DAf⑴4*S3CH⑴9)

即S2=4S”S3=9St,

H+S3=20,

S]+9sl=20,BP10^=20,

解得：d=2,

S2=4S]=4x2=8,

故选：B.

【点睛】

本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，三角形的面积公式，得出S2=4SI,S3=9SI

是解题关键.

3^C

【解析】

利用正方形的性质结合锐角三角函数关系得出正方形的边长，进而得出变化规律即可得出答案.

解：如图所示：•.•正方形A1B1QD1的边长为1,ZBlCiO=60°,B1C/B2c2〃B3c3…

**•DJEI=B2E2，DZE3=B3E4，ND1C]EI=NC2B2E2=NC3B3E4=30°,

，DiEi=CiDisin30°=1，则B2c2=-^^-=^=(")L

2cos30033

同理可得：B3c3=5=(近)2,

33_

故正方形AnBngDn的边长是：(^)nl.

3_

则正方形A2017B20I7C2017D2017的边长是：之.

3

故选C.

“点睛”此题主要考查了正方形的性质以及锐角三角函数关系，得出正方形的边长变化规律是解题关键.

4、D

【解析】

根据一元二次方程根与系数的关系列出方程求解即可.

【详解】

设方程的两根分别为XI,XI,

•••一+(k!-4)x+k-l=O的两实数根互为相反数，

Axi+xi,=-(kx-4)=0,解得k=±l,

当k=L方程变为：x41=0,△=-4<0,方程没有实数根，所以k=l舍去；

当k=-L方程变为：x"3=0,A=ll>0,方程有两个不相等的实数根；

k=-l.

故选D.

【点睛】

hc

本题考查的是根与系数的关系.Xi,Xi是一元二次方程axi+bx+c=O(a/0)的两根时，xi+xi=----,xixi=—,反过来

aa

也成立.

5、B

【解析】

由中位数的概念，即最中间一个或两个数据的平均数；可知15人成绩的

中位数是第8名的成绩.根据题意可得：参赛选手要想知道自己是否能进入前8

名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可.

【详解】

解：由于15个人中，第8名的成绩是中位数，故小方同学知道了自己的

分数后，想知道自己能否进入决赛，还需知道这十五位同学的分数的中位数.

故选B.

【点睛】

此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数的意义.反

映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数等，各有局限性，因此要对统

计量进行合理的选择和恰当的运用.

6、B

【解析】

根据相似图形的定义，结合选项中提到的图形，对选项一一分析，选出正确答案.

【详解】

解：A、两个全等的三角形一定相似，正确；

B、两个等腰三角形一定相似，错误，等腰三角形的形状不一定相同；

C、两个等边三角形一定相似；正确，等边三角形形状相同，只是大小不同；

D、两个等腰直角三角形一定相似，正确，等腰直角三角形形状相同，只是大小不同.

故选B.

【点睛】

本题考查的是相似形的定义，联系图形，即图形的形状相同，但大小不一定相同的变换是相似变换.特别注意，本题

是选择错误的，一定要看清楚题.

7、C

【解析】

根据二次根式的运算法则即可求出答案.

【详解】

原式=班-36=-26，

故选C.

【点睛】

本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型.

8、A

【解析】

试题分析：根据题意可得扩建的部分相当于一个长方形，这个长方形的长和宽分别为x米和(x-60)米，根据长方形

的面积计算法则列出方程.

考点：一元二次方程的应用.

9、B

【解析】

根据常见几何体的展开图即可得.

【详解】

由展开图可知第一个图形是②正方体的展开图，

第2个图形是①圆柱体的展开图，

第3个图形是③三棱柱的展开图，

第4个图形是④四棱锥的展开图，

故选B

【点睛】

本题考查的是几何体，熟练掌握几何体的展开面是解题的关键.

10、A

【解析】

试题分析：根据y随X的增大而减小得：k<0,又kb>0,则b<0,故此函数的图象经过第二、三、四象限，即不经

过第一象限.

故选A.

考点：一次函数图象与系数的关系.

二、填空题(共7小题，每小题3分，满分21分)

11、①②③

【解析】

根据翻折变换的性质和正方形的性质可证RtAABG义RtAAFG；在直角△ECG中，根据勾股定理可证BG=GC；通

过证明NAGB=NAGF=NGFC=NGCF,由平行线的判定可得AG〃CF；由于SAFGC=SAGCE&FEC,求得面积比较即

可.

【详解】

①正确.

理由：

VAB=AD=AF,AG=AG,ZB=ZAFG=90°,

ARtAABG^RtAAFG(HL)；

②正确.

理由:

EF=DE=-CD=2,设BG=FG=x,贝!JCG=6-x.

3

在直角△ECG中，根据勾股定理，得(6-x)2+42=(x+2)2,

解得x=L

.•.BG=1=6-1=GC；

③正确.

理由：

VCG=BG,BG=GF,

.♦.△FGC是等腰三角形，ZGFC=ZGCF.

XVRtAABG^RtAAFG；

:.ZAGB=ZAGF,ZAGB+ZAGF=2ZAGB=180°-ZFGC=ZGFC+ZGCF=2ZGFC=2ZGCF,

:.ZAGB=ZAGF=ZGFC=ZGCF,

；.AG〃CF；

④错误.

理由：

11

・SAGCE=—GOCE=-xlx4=6

22

VGF=1,EF=2,AGFC和AFCE等高,

***SAGFC:SAFCE=1:2,

.318

..SAGFC=—x6=—^1.

故④不正确.

,正确的个数有1个:①②③.

故答案为①②③

【点睛】

本题综合性较强，考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，三

角形的面积计算，有一定的难度.

12、100(1+73)

【解析】

分析：如图，利用平行线的性质得NA=60。，ZB=45°,在RSACD中利用正切定义可计算出AD=100,在RtABCD

中利用等腰直角三角形的性质得BD=CD=100G,然后计算AD+BD即可.

详解：如图，

•••无人机在空中C处测得地面A、B两点的俯角分别为60。、45°,

.\ZA=60°,NB=45。，

一一CD

在RtAACD中，,:tanA=——，

AD

.…100"

..AD=----------=100,

tan60°

在RtABCD中，BD=CD=100V3，

/.AB=AD+BD=100+10073=100(1+73).

答：A、B两点间的距离为100(1+73)米.

故答案为100(1+逝).

点睛：本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关

联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形.

13、3.05x10s

【解析】

科学记数法的表示形式为axion的形式，其中lW|a|<10,n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动

了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数.

【详解】

3050W)=3.05X

故答案为：KGx"

【点睛】

本题考查的知识点是科学记数法一表示较大的数，解题关键是熟记科学计数法的表示方法.

14、-1

【解析】

试题解析:设点A的坐标为(m,n),因为点A在y=—的图象上，所以，有mn=k,AABO的面积为：，：：1=1,二|'.卜1,

X.

-=1,/.k=±l,由函数图象位于第二、四象限知k<0,.

考点：反比例外函数k的几何意义.

15、1(a+1)1(a-1)1.

【解析】

原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可.

【详解】

解：原式=1(a4-l^+l)=1(a1-1)1=1(a+1)1(a-1)l,

故答案为：1(a+1)1(a-1)1

【点睛】

本题主要考查提取公因式与公式法的综合运用，关键要掌握提取公因式之后，根据多项式的项数来选择方法继续因式

分解，如果多项式是两项，则考虑用平方差公式；如果是三项，则考虑用完全平方公式.

16、-1<X<2

【解析】

-y=gx经过点a,

不等式一x>kx+b>-2的解集为-1<x<2.

2

17、y

【解析】

根据塞的乘方和同底数嘉相除的法则即可解答.

【详解】

(,3)2+,5二,6+,5二,

【点睛】

本题考查了塞的乘方和同底数幕相除，熟练掌握：幕的乘方，底数不变，指数相乘的法则及同底数幕相除，底数不变,

指数相减是关键.

三、解答题(共7小题，满分69分)

18、(1)见解析；(2)AF〃CE,见解析.

【解析】

(1)直接利用全等三角三角形判定与性质进而得出AFOCgAEOA(ASA),进而得出答案;

(2)利用平行四边形的判定与性质进而得出答案.

【详解】

(1)证明：•.•四边形ABCD是平行四边形，点O是对角线AC、BD的交点，

/.AO=CO,DC〃AB,DC=AB,

/.ZFCA=ZCAB,

在小FOC和4EOA中

ZFCO=ZEAO

<CO=AO,

ZCOF=ZAOE

/.△FOC^AEOA(ASA),

/.FC=AE,

/.DC-FC=AB-AE,

即DF=EB；

(2)AF〃CE,

理由：VFC=AE,FC/7AE,

**.四边形AECF是平行四边形，

，AF〃CE.

【点睛】

此题主要考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，正确得出△FOCg^EOA(ASA)是解题关

键.

3

19、y=2x2+x-3,C点坐标为(-弓，0)或(2,7)

【解析】

设抛物线的解析式为y=ax?+bx+c,把A(0,-3),B(1,0),D(-1,-2)代入可求出解析式，进而求出点C的

坐标即可.

【详解】

设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,

c=-3

把A(0,-3),B(1,0),D(-1,-2)代入得|a+Z?+c=0,

a-b+c=-2

a=2

解得b=1,

c=-3

二抛物线的解析式为y=2x2+x-3,

3

把C(m,2m+3)代入得2m?+m-3=2m+3,解得mi=-----,m2=2,

2

_3

点坐标为(---，0)或(2,7).

2

【点睛】

本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选

择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解.

20、(1)m=4,n=l,k=3.(2)3.

【解析】

(1)把点4(4,0),分别代入直线y=-X+机中即可求出m=4,再把C(3,〃)代入直线丁=-x+根即可求出n=l.

k

把C(3,l)代入函数y=-(x>0)求出k即可；

x

(2)由(1)可求出点B的坐标为(0,4),点B，是由点B向右平移得到，故点B，的纵坐标为4,把它代入反比例函

数解析式即可求出它的横坐标，根据平移的知识可知四边形AA，B，B是平行四边形，再根据平行四边形的面积计算公

式计算即可.

【详解】

解：(1)把点4(4,0),分别代入直线y=-X+机中得：

-4+m=0,

m=4,

二直线解析式为y=-兀+4.

把C(3,〃)代入y=-x+4得：

n=-3+4=l.

...点C的坐标为(3,1)

k

把(3,1)代入函数丫=勺(尤>0)得：

解得：k=3.

m=4,n=l,k=3.

(2)如图，设点B的坐标为(0,y)贝！Jy=-0+4=4

，点B的坐标是(0,4)

3

当y=4时，一=4

X

3

解得，%=-

4

3

.•.点B'(一,4)

4

；星再，是由A,B向右平移得到，

.••四边形AABB是平行四边形，

3

故四边形AABB的面积=-X4=3.

4

【点睛】

本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题及函数的平移，利用数形结合思想作出图形是解题的关键.

21、这辆车第二、三年的年折旧率为15%.

【解析】

设这辆车第二、三年的年折旧率为x,则第二年这就后的价格为30(1-20%)(1-x)元，第三年折旧后的而价格为30

(1-20%)(1-x)2元，与第三年折旧后的价格为17.34万元建立方程求出其解即可.

【详解】

设这辆车第二、三年的年折旧率为》,依题意，得

30(1-20%)(1-%)2=17.34

整理得—=0.7225,

解得％=1.85,x2=0.15.

因为折旧率不可能大于1,所以%=L85不合题意，舍去.

所以x=0.15=15%

答：这辆车第二、三年的年折旧率为15%.

【点睛】

本题是一道折旧率问题，考查了列一元二次方程解实际问题的运用，解答本题时设出折旧率，表示出第三年的折旧后

价格并运用价格为11.56万元建立方程是关键.

22、(1)见解析(2)见解析

【解析】

(1)由三角形中位线知识可得DF〃BG,GH/7BF,根据菱形的判定的判定可得四边形FBGH是菱形；

(2)连结BH,交AC于点O,利用平行四边形的对角线互相平分可得OB=OH,OF=OG,又AF=CG,所以OA=OC.再

根据对角线互相垂直平分的平行四边形得证四边形ABCH是菱形，再根据一组邻边相等的菱形即可求解.

【详解】

(1)•••点F、G是边AC的三等分点，

/.AF=FG=GC.

又•••点D是边AB的中点，

，DH〃BG.

同理：EH〃BF.

二四边形FBGH是平行四边形，

连结BH,交AC于点O,

/.OF=OG,

/.AO=CO,

VAB=BC,

ABHIFG,

二四边形FBGH是菱形；

(2)•..四边形FBGH是平行四边形，

；.BO=HO,FO=GO.

XVAF=FG=GC,

.,.AF+FO=GC+GO,即：AO=CO.

二四边形ABCH是平行四边形.

VAC±BH,AB=BC,

四边形ABCH是正方形.

【点睛】

本题考查正方形的判定，菱形的判定和性质，三角形的中位线，熟练掌握正方形的判定和性质是解题的关键.

23、见解析

【解析】

ABE^ACDF,得AE=CF,即可证得△AEF之△CFE,即可得证.

【详解】

在平行四边形ABCD中，AB〃CD,AB=CD

ZABE=ZCDF,

又AEJ_BD,CF1BD

AABE^ACDF(AAS),

.\AE=CF

又NAEF=NCFE,EF=FE,

/.△AEF^ACFE(SAS)

.\AF=CE.

【点睛】

此题主要考查平行四边形的性质与全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知平行四边形的性质定理.

24、(1)(1,-4a)；(2)@y=-x2+2x+3；@M(-,-),N—)；③点Q的坐标为(1,-4+2遥)或(1,

2424"

-4-2^/6).

【解析】

分析：(1)将二次函数的解析式进行配方即可得到顶点D的坐标.

(2)①以AD为直径的圆经过点C,即点C在以AD为直径的圆的圆周上，依据圆周角定理不难得出AACD是个直

角三角形，且NACD=90