广东省韶关市2024届高三综合测试（二）数学试卷(含答案)

广东省韶关市2024届高三综合测试（二）数学试卷

学校：___________姓名：班级：___________考号：

一'选择题

1.若集合4=31<%«6},8='」一<。|,贝U&A）B=（）

A.{x|x<l§R6<x<7}B.{小W1或6<x<7}

C.{小<1或6Wx<7}D.1x|x<lSK6<x<7}

2.设。，B,y是三个互不重合的平面，m,〃是两条互不重合的直线，则下列说

法正确的是（）

A.若mlIa,mHP,则M/尸B.若mHa,nila,则就/〃

C.若mA./3,则M/尸D.若a_L/,/31y,则a〃尸

3.已知一组数据：12,16,22,24,25,31,33,35,45,若去掉12和45,将剩下

的数据与原数据相比，贝!］（）

A.极差不变B.平均数不变C.方差不变D.上四分位数不变

4.过点P（-2,3）作斜率为-2的直线，若光线沿该直线传播经x轴反射后与圆

C:（x—3）2+（丁一2）2=产&>0）相切，则厂=（）

A.V2B.V3C.2D.75

5.在工程中估算平整一块矩形场地的工程量W（单位：平方米）的计算公式是W=（长

M）（宽M），在不测量长和宽的情况下，若只知道这块矩形场地的面积是10000平方

米，每平方米收费1元，请估算平整完这块场地所需的最少费用（单位：元）是（）

A.10000B.10480C.10816D.1O818

6.在△ABC中，tanA=1,tan3=?.若△ABC的最长边的长为何.则最短边的长为

45

（）

A.V2B.V3C.2D.>/5

22

7.已知双曲线C:=-二=1（。〉0,。>0）的左焦点为E过点R的直线

ab

/:3%+4y+m=0与y轴交于点3,与双曲线C交于点A（A在y轴右侧）.若3是线段Ab

的中点，则双曲线C的渐近线方程为（）

A.y=~~^~XB.y=±：xC.y=±6xD.y=±2x

»、，r、\a.a>b、\b.a>b一十“打»立心…

8.TE义max]〃,Z?}=《，min{(〃,b}=《，对于任息实数尤>0,y>0,则

\b.a<b[a.a<b

-(、、

min|max|2x,3y,--+—的值是()

[4x29y2J

A.次B.A/2C.百D.班

二、多项选择题

9.已知复数z，Z2,则下列命题正确的是()

A.若㈤=国,则z=±Z2

B.若4=Z2,则上丘闫才

C.若ZI是非零复数,且Z：=Z]Z2，则Z]=Z2

D.若马是非零复数，则

zi

10.设函数/(%)=2$1112%—35111忖+1,贝4()

A./⑴是偶函数B./在[―2兀,2可上有6个零点

C./(x)的是小值为-gD"(x)在-,0上单调递减

11.已知定义在R上的函数〃x),g(x)的导函数分别为r(%),g'(x),且

〃x)=/(4—x),/(1+x)—g(x)=4，r(x)+g〈l+x)=0，贝1J()

A.g(x)关于直线x=l对称B.g<3)=l

C.f(x)的周期为4D./，(«)-g，W=0(/ieZ)

三、填空题

12.二项式(2-x)"的展开式中，/项的系数是常数项的2.5倍，则〃=.

13.在三棱锥尸-ABC中，侧面所在平面与平面ABC的夹角均为四，若

AB=2,CA+CB=4,且△ABC是直角三角形，则三棱锥P-ABC的体积为—

四、双空题

14.已知平面向量a,b,c均为单位向量，且|。+6=1,则向量a与b的夹角为

(a+Z?).仅-c)的最小值为.

五、解答题

15.已知函数〃%)=依+—+21nx在点处的切线平行于无轴.

x

⑴求实数。；

⑵求“X)的单调区间和极值.

16.小明参加社区组织的射击比赛活动，已知小明射击一次、击中区域甲的概率是

击中区域乙的概率是工，击中区域丙的概率是:，区域甲，乙、丙均没有重复的

348

部分.这次射击比赛获奖规则是：若击中区域甲则获一等奖；若击中区域乙则有一半的

机会获得二等奖，有一半的机会获得三等奖；若击中区域丙则获得三等奖；若击中上

述三个区域以外的区域则不获奖.获得一等奖和二等奖的选手被评为“优秀射击手”称号.

(1)求小明射击1次获得“优秀射击手”称号的概率；

(2)小明在比赛中射击4次，每次射击的结果相互独立，设获三等奖的次数为X,求X

分布列和数学期望.

17.如图，圆柱内有一个直三棱柱A3C-A用G，三棱柱的底面三角形内接于圆

柱底面，已知圆柱OQ的轴截面是边长为6的正方形，A3=AC=而，点P在线段

oox上运动.

A

4

(1)证明：

(2)当尸4=P3时，求5c与平面4PB所成角的正弦值.

18.记R上的可导函数/⑴的导函数为/''(%),满足%。4(叱川)的数列

f\Xn)

｛当｝称为函数“X)的“牛顿数列”.已知数列上｝为函数"x)=d—X的牛顿数列，且数

列［an］满足q=2,=In］,%„>1.

⑴求出；

(2)证明数列｛%｝是等比数列并求知;

(3)设数列｛an｝的前n项和为Sn,若不等式(-1)"-⑸-14<S；对任意的“eN*恒成立，

求/的取值范围.

22］

19.已知椭圆C:j+2=1(。〉6〉0)的离心率为上，长轴长为4,A,3是其左、右顶

a2b22

点，R是其右焦点.

⑴求椭圆C的标准方程；

(2)设？(/,%)(%>0)是椭圆C上一点，4EB的角平分线与直线AP交于点T.

①求点T的轨迹方程；

Q

②若面积为］,求为.

参考答案

1.答案：B

解析：A=1x|l<x<61?则条A=[x\x<1或x>6},

又B=<x—-—<0>={小<7},

x7

则(\A)3={x|xWl或尤>6}{尤|尤<7}={尤或6<为<7}.

故选：B.

2.答案：C

解析：对于选项A：若m//0,ml1/3,则tz与尸平行或相交，故选项A不正确；

对于选项B：若mHa,nila,则机与〃可平行、异面、或相交；故选项B不正确；

对于选项C：若加J_tz,mL/3,则U//尸,由垂直于同一条直线的两个平面平行，知故

选项C正确；

对于选项D：若a_L/,B工丫,则。与万平行或相交，故选项D不正确；

故选：C.

3.答案：D

解析：在这组数据：12,16,22,24,25,31,33,35,45中去掉12和45后，得到

16,22,24,25,31,33,35,

显然极差由45-12=33变成了35-16=19,故A项错误；

原平均数为x=-(12+16+22+24+25+31+33+35+45)=—黄=27,

现平均数为x'=-(16+22+24+25+31+33+35)=强w27,故B项错误；

77

原方差为『=1[122+162+222+242+252+312+332+352+452-9x272]=.^,

现方差为?2=-[162+222+242+252+312+332+352-7x(―)2]=,

7749

显然方差不同，故C项错误；

对于D项，由9义工=2.25,知原数据的上四分位数是第三个数据22,

4

又由7义工=1.75,知现数据的上四分位数是第二个数据22,即D项正确.

4

故选：D.

4.答案：D

解析：如图，设经过点P的直线交x轴于点A,反射直线与圆。相切于点3,

直线PA:y-3=-2(x+2),即y=-2x-1,

令y=0,解得x=—5,即4(—5,。)，

XkPA+kBA=0,所以4BA=2,

所以直线痴：y—0=2(x+g),BP2x-y+l=Q,

|6-2+1|

则点C(3,2)到直线直线BA:2尤-y+1=0的距离为d=

即r=A

故选：D.

5.答案：C

解析：设矩形场地的长为x米，则宽为3则米,

X

/^10000八)40000c[~~40000

TWJ7=(x+4)(--------1-4)=4xd-----------1-10016>2、4x--------+10016=10816,

xxVx

当且仅当4x=竺盟，即工=100时，等号成立.

X

所以平整这块场地所需的最少费用为1x10816=10816元.

故选：C.

6.答案：A

13

tanA+tanB-+-

解析:因为tanC=-tan(A+B)=-1<0>

1-tanAtanBAA=-

1----X—

45

XtanA>0,tanB>0,故A刀为锐角，C为钝角，故。=历,

因为y=tanx在上单调递增，tanA<tanB,故A<5,所以avb,

又tanA=,sin2A+cos2A=1,解得sinA=—^,同理可得sinC=^^,

cosA4<172

由正弦定理得-^=」一,即:=可，解得a=VL

sinAsinC]。2

^7T

故选：A.

7.答案：C

解析：设双曲线右焦点为F2,连接A".

又△AFg中，FO=OF[,FB=BA,则A用〃059|=2|0明,

由直线/:3x+4y+m=0可得/[一£,o],吕],—q],则A]蓝,—羡

尤2v2(h2\

又由双曲线C:——--1(〃>0,/?>0)可得Ac,-----,

abI〃/

则°='，则有^=至，即廿=3的

3a2a22

又W=八廿,贝ij有4/—9"—9片"=0,

整理得f-T-3412T+3=0,解之得2=6

\a)\a)a

22_

则双曲线C:t-当=l(a〉0,b>0)的渐近线方程为y=±A.

ab

故选：c.

8.答案：A

解析：设max{2%,3y,——-\.....-}=M,贝!jM22x,M>3y,MN——H......-,

4x29y4x29y

得3M>2x+-^--+3y+-^--=2x+---+3y+1

4x2-9y2(2x)2J而

i,7x-2

设/(x)=x+=(x>0),则/'(x)=l——7-=——7—,

XXX

令尸(%)<0=>0<%<次，f\x)>0x>V2,

所以函数在(0,次)上单调递减，在(Q,+8)上单调递增,

故〃无濡=/既)=次+/=斗，即

(、2)2323

33

得/(2%)之下"(3y)之丁,

VV

所以3M>2x++3y+2=f(2x)+/(3y)2三十三=餐，

(2x)(3y)-2j2f2I

得M2乌=汇,即min{max{2x,3y,^y+^y}}=次.

故选：A.

9.答案：BC

解析：对于A项，若z=l+i,z2=V2i,显然满足|zj=国，但Z]=±Z2，故A项错

误；

1

对于B项，设4=a+历(a,beR),则Z2=a-历，ztz2=(<?+bi)(a-bi)-a~+b,故

2221

IZjZ21=a+Z>nUIZj|=a+b~,故B项正确;

2

对于C项，由Z；=Z[Z2可得：Z1-Z1Z2=z1(zl-z2)=0,因Z]是非零复数，故

Z；-z2=0,即Z]=Z2，故C项正确;

对于D项，当Z]=i时，Z]是非零复数，但Zi+L=i+1=i-i=0,故D项错误.

4I

故选：BC.

10.答案：ABC

解析：选项A：函数/(x)定义域为R,

由/(-%)=2sin2(-x)-3sin|-x|+l=2sin2x-3sin|x|+l=/(x),

可得/(x)是偶函数.判断正确;

选项B：当工之0时，/(x)=2sin2x-3sinx+l,

由2sin2%-3sinx+l=0,可得sin%=L,或sinx=l,

2

贝!J当x£[0,2TI]时，x=二或x=二或x=空，

又是偶函数，则当2兀,0］时，％=一《或%=—］或％=一看,

则/（“在［-2私2可上有6个零点.判断正确；

1

选项C：当龙20时,/(x)=2sin2x-3sinx+l=2

8

则当sinx=；时〃x）取得最小值

又“X）是偶函数，则“X）的最小值为-L判断正确;

8

/(O)=2sin2O-3sin|O|+l=l

则/</(0),则””在上不单调递减.判断错误.

故选：ABC.

11.答案：ACD

解析:由/(x)=/(4-x),得/(1+x)=/(3-％)①，

/(1+x)-g(x)=4②，得/(3-幻-g(2-幻=4③，

由①②③，得g(x)=g(2-%),所以函数g(x)图象关于直线x=l对称，故A正确;

由g(x)=g(2—x),得g'(x)=—g'(2—x),令x=l,得/⑴=0；

由/(1+x)—g(x)=4,得r(l+x)—g'(x)=O,

令x=l，得八2)=g'⑴=0,

/'(2+x)-gQ+x)=O④，

又八x)+g'Q+x)=O⑤，令％=2,得八2)=g<3)=0,故B错误；

④⑤两式相加，得八2+无)+八无)=0,得r(4+x)+r(2+x)=o,

所以r（x）=r（4+x）,即函数r（x）的周期为4,故c正确;

由/'（2+x）+r（x）=0,令％=2,得八4）+八2）=0,所以八4）=0,

所以/‘⑴g"）=r⑵/⑵=r（3）g‘（3）=r（4皿（4）==尸⑺g<〃）=o（«ez）,故D正

确.

故选：ACD.

12.答案：5

nr

解析：二项式（2-的展开式通项为C；2-\-iyX,

则/项的系数是c：2"\常数项是c：2〃，

由题意得C：2»2=9亡2",即必心.2-2=--2\

222

整理得“2-〃-20=0,解之得〃=5或“=-4（舍）

故答案为：5.

13.答案：工或或3或2

4242

解析：如图，过P作尸面ABC于。，过。作3c尸，AB,

因为面ABC,ACu面ABC,所以POLAC,又OE[PO=O,OE,POu面

POE,

所以AC上面POE,又PEu面POE,所以ACLPE,故NPEO为二面角的平面角，

由题知，ZOEP=-,同理可得NPFO=巴，NPDO=P,

444

当。在三角形ABC内部时，由OE=O尸=OD,即。为三角形的内心，

设％ABC=/，则”;（AB+3C+AC>°r>=3OD，得到00=（，所以°P=°D=：，

三棱锥尸―ABC的体积为丫=工5。皿0尸=」产；

3riD<_.9

又因为CA+CB=4>AB=2,所以点C在以A,3为焦点的椭圆上，

如图，以所在直线为x轴，A3的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，则

A(-1,O),5(1,0),

22

由题知，椭圆中的c=l,a=2/=6，所以椭圆的标准方程为三+乙=1,

43

设C(x,y),因为△ABC是直角三角形，

当从=巴时,易知尸―1,此时|AC|=3,所以/=3人即|4。|=3,得至11=!/=工,

2294-

当5=巴时，易知％=1,此时|AC|=3,所以C=3AB|.忸q=3,得至|丫=」产=!，

222294,

又因为5=6,°=1,故以。为圆心，1为半径的圆与椭圆没有交点，即CwE,

2

综上所述，v=-

4；

同理，当。在三角形ABC外部时，由OE=O尸=OD,即。为三角形的旁心，

132t

设％ABc=f，则"^(AB+BC—AC>OD=？OD，得到OD=1，

7/191

所以OP=OD=—,三棱锥尸—ABC的体积为丫=—S△皿cOP=—/=一；

3392

或/=gGBC+AC—AB)0D=0D,得到OD=f,

113

所以OP=OD=t,三棱锥尸—河。的体积为丫=一54钻0。/>=一/=—；

334

^?=-(AC+AB-BC)-OD=-OD,得到。。=2人

22

173

所以OP=OD=2f,三棱锥尸一ABC的体积为丫=—SAMCOP=—『=三.

332

4242

0Jr1

14.答案：—/1200；--/-0.5

32

解析：由题意知，忖=,卜卜|=1,

由,+[=a+2a-b+b=1,^a-b=~—,

所以cos'/耶|

所以卜力)=§,即a与匕的夹角为弓;

-21一卜+囚卜|

(a+b)•(b-c)=a•b+b-(a+b)-c=—cos(a+b,c)=g-cos(a+b,c),

又cos(a+b,c)G[-1,1],所以g-cos(a+〃,c)Z-g,

当且仅当Q+b与。同向时，等号成立.

所以(〃+〃)・(/?-C)的最小值为-L

2

故答案为：—;

32

15.答案：⑴1

(2)答案见解析

一33?

解析：⑴由〃X)=OXHb21nx可得：/"(x)=a——,

由题意，/'(1)=〃一1=0,解得a=l；

(2)由⑴得/(x)=x+^+2hu,(x>0),则

X

(x+3)(x—1)

小)

当0<x<l时，r(x)<0,则。(x)在(0,1)上是减函数;

当x>l时，/(%)>0,/(%)在(1,+co)上是增函数.

故x=l时，函数/(x)有极小值为了⑴=4,无极大值.

故函数“X)的单调递增区间为递减区间为(0,1),函数有极小值为了⑴=4,

无极大值.

16.答案：⑴U

（2）分布列见解析；E（X）=1

解析：（1）记“射击一次获得，优秀射击手，称号”为事件A;射击一次获得一等奖为事件

B；

射击一次获得一等奖为事件C,所以有A=所以P（3）=g,

P（C）=ZX|=r所以P（A）=P（3C）=P（5）+P（C）=M=3

（2）获得三等奖的次数为X,X的可能取值为0,1,2,3,4；

记“获得三等奖”为事件D所以「⑷十％畀，

所以P（x=。）=C目图,喘（X=>,

P（X=2）Y钳沪装唱,P（X=3）=啸冏嗤4

P（X=4）=C（m=短,所以

X01234

81272731

P

2566412864256

显然X〜E（X）=4X1=1

17.答案：（1）证明见解析

⑵¥

解析：（1）连接AO并延长，交BC于M,交圆柱侧面于N,

\OX±B.C,,OO]为圆柱的高，

.•.Aa、4G、oq两两垂直，以。।为原点，过点。1做四。1平行线为x轴，以4。1为丁

轴，以O0为z轴，建立如图所示空间直角坐标系。-孙z,

00]=惧=AN=6,AB=AC=730,

在△ABC中，由射影定理得AC?=4w-AN=30nAM=5,

OM=AM-AO=2,

22

从而CM=BM=/而)|-5=5

a(0,-3,0),B(6,2,6),C(-A/5,2,6),BC=12后0,0b

设P(0,CU),AP=(0,3,4),

BCLPA,.

⑵由⑴可得，BP=(-75,-2,2-6),

|=\BP\,79+2+^5+4+(2-6)2,得4=3,即点P是线段OQ的中点,

.•.AP=(O,3,3),BP=(-75,-2,3)»

设平面A/B的一个法向量为为=(x,y,z),

3y+32=0

则「，取y=1,得几=,L一19

—A/5—2y—3z=015J

设5C的一个方向向量为帆=(1,0,0),于是得:

好

g

(cosn,m|二—,

211

+12+1

设5c与平面APB所成角为6,贝Ijsin。=|cos",〃4,

所以8C与平面APB所成角的正弦值为手.

18.答案：(1)4

(2)证明见解析，区,=2"

25

(3)-9<r<y

解析：(1)因为/(%)=%2一％,则r(x)=2x-l,从而有

n

M"f'M-2%-「年F

上一，则2=ln/

由q=2,cin—In

24

贝U/=e2,解得药=£则有％=jq_e

,所以

国一1e—12xj—1e4-l

a=In—=21n-^=4；

2玉一1

片

(、2

⑵由2卷2%-1%

X“+1-1x；1X"-2x“+l

小

、2

所以an+i=InX,,+1=In=21113=24(%>1),

七一1

故空=2(非零常数)，且囚=2/0,所以数列｛4｝是以2为首项,2为公比的等比数

列,

所以a“=2x2"T=2"；

21—2"

⑶由等比数列的前n项和公式得：S,,='=23-2，

因为不等式(-1)”・应1-14<5“2对任意的〃6四恒成立，又S“〉0且S"单调递增，

所以上对任意的“eN*恒成立，令g(x)=x+吧，XG(0,-H»),

S"x

则g'(x)=l-4—r~>当可时，g，(x)<0,g(尤)是减函数，

XX

当xe(J14,+oo)时，gr(x)>0,g(x)是增函数,

X2=S1<V14<S2=6,且g(2)=9,g(6)=y,g⑹<g(2),则

g(x)11m=8(6)=m，

当〃为偶数时，原式化简为此5'+将，所以当〃=2时，注生；

S.3

当〃为奇数时，原式化简为T<S"+旦，所以当”=1时，-t<9,所以后-9；

5.

75

综上可知，-9W2.

3

22

19.答案：⑴上+匕=1

43

(2)①x=4(y>0)

②/=1