2022-2023学年北京市高三年级下册4月月考数学试卷含详解

2022-2023学年北京清华附中高三4月月考

数学

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的

一项.

1.已知集合加={刘》一1>°},集合N={X|X-220},则()

A.M=NB.N匚M

C.McN=0D.MeN=R

已知复数丑==则

2.2+i,x,yeR,x+y=()

1+i

A2B.3C.4D.5

3.下列函数值域为R的函数为（）

A.y=4xB.y=tanx

C.y=rD.y=-

X

4.已知数列｛七｝为等差数列，若。3+。4=12，。4一。2=4,则%=（）

A.15B.16C.17D.18

已知平面向量°=（2,-1）,b=[-A,x）,若8与（a+可共线，则实数%=（）

5.

A.-8B.8C.-2D.2

6.已知抛物线C：V=4x的焦点为口，点尸为。上一动点，线段尸尸的垂直平分线与x=—1交于点Q,则

()

A.\QF\>\PF\B.\QF\<\PF\

TT

C.ZPQF>D.△PQ/可以钝角三角形

7.声强级，是指声强x（单位：W/m2）和定值a（单位：W/m2）比值的常用对数值再乘以10,即声强级

Y

d（x）=101g—（单位：dB）.已知人与人交谈时的声强级约为45dB,一种火箭发射时的声强和人与人交谈时的

a

声强的比值约为10%那么这种火箭发射的声强级约为（）

A.135dBB.140dBC.145dBD.150dB

8.如图，在正方体ABC。-451GA中，b为线段5G的中点，石为线段AG上的动点，下列四个结论中，正

确的是（

AEF平面ABCR

B.存在点E,使即1平面B51GC

C.存在点E，使ER〃AC

D.DB11EF

9.己知数列｛4｝为无穷项等比数列，S”为其前〃项和，“耳>0,且$2>0”是“V”eN*,总有5〃〉0”的

()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C,充分必要条件D.既不必要又不充分条件

10.在平面直角坐标系中，。为原点，已知4(1,0),8(—1,0),设动点C满足/AC32、，动点尸满足

PALPC,贝最大值为()

A.1B.8+]C.J2D.2

2

二、填空题共5道小题，每小题5分，共25分.

11.双曲线色匕=1的离心率为2,则.

3m

12.在一ABC中，AC=2,NC=90°,N3=30。，贝”CA+CB卜；CAAB=.

13.已知(x+a)5的展开式为°5炉+04/+。3必+〃2必+B%+00,若P3-P4=15,则。=.

14.己知/(%)=8512%+1)在[0,何上的最大值为3，则实数比的最大值为.

|ln%|,^>0

15.已知函数/={1,有下列四个结论：①设函数7(%)的极大值点和极小值点分别为X1和

XH-----1~〃,尤<0

巧，则4-%=2；②若。=0,函数”力的极大值和极小值分别为M和冽，则M-〃z=2；③存在实数。，对

任意的实数b,函数y=/(%)-b都恰有两个零点；④若方程/(%)=/?有4个实根，从小到大记为和9,七,期,

则石々=X3X4.全部正确命题的序号为.

三、解答题共6道小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

16.己知名仇c分别为.ABC内角A,5c的对边，3b2=7ac,sinA=3sinC.

(1)求5的大小；

(2)若一ABC的面积为36，点。在边上，满足50=20。，求A。的长.

17.如图，在三棱柱ABC-A4cl中，底面为等腰直角三角形，侧面441cle_L底面ABC,。为AC中

(1)求证：BD±\D.

(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角A-CR-3的余弦值.

条件①：AC,LBXC-条件②：A\=BXC.

18.某技术职能部门在东区、西区开展了技能测试，其中东区、西区的各年龄段参加测试的人数、技能成绩的优秀比

例如下：

东区西区

年龄段

参加测试人数优秀比例参加测试人数优秀比例

[20,25)6040%10048%

[25,30)7552%10061%

[30,35)9560%6065%

[35,40]12075%4080%

(1)该技术职能部门从年龄段在［20,25)的参加测试人员中随机选择1人，求此人技能优秀的概率;

(2)在年龄段在［35,40］的参加测情人员中，从东区、西区各随机抽取1人，技能优秀人数记为X,求X的分布

列和数学期望石(X)；

(3)该技术职能部门从东区、西区参加测试的人员中各随机抽取10人，记几U分别为东区、西区所选出10人中

的技能优秀人数，试比较数学期望£(X),E(X)的大小(直接写出结果即可).

v

e

19.己知函数/(x)=7——.

7x-a

(1)已知曲线y=/(%)在(L/(1))处的切线与x轴平行.

①求实数。的值；

②求函数“X)的单调区间；

(2)若/(%)在(0,1)上单调递减，求实数a的取值范围.

22

20.已知椭圆C:=+与=l(a〉6〉0)过点4(—2,—1),长轴长为4板.

a~b~

(1)求椭圆。的方程；

(2)直线/：y=Ax+m与椭圆交于点直线40,3分别交直线1=-4于点。,。，。为坐标原点.若

\OP\=\OQ\，求证：直线/经过定点.

21.若无穷数列｛4｝的各项均为整数.且对于Vi,jeN*,i<j,都存在k>j,使得ak=a,-%,则称

数列｛4｝满足性质P.

(1)判断下列数列是否满足性质尸，并说明理由.

①4=n,n=l,2,3,…；

@bn=n+2,〃=1,2,3,....

(2)若数列｛4｝满足性质产，且4=1,求证：集合｛"刈%=3｝为无限集；

(3)若周期数列｛4｝满足性质P,求数列｛4｝的通项公式.

2022-2023学年北京清华附中高三4月月考

数学

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的

一项.

1.已知集合M=3xT>°},集合N={x|x-220},则（）

A.M=NB.N^M

C.McN=0D.MeN=R

【答案】B

【分析】先化简集合利用集合间的关系和交集，并集的概念求解即可.

【详解】由题意可得M={x|x>l},N={x\x>2],

所以N。/,MN={x\\<x<2},MVJN=M,

即ACD错误，B正确.

故选：B

2.已知复数让”=2+i,x,yeR,则x+y=（）

1+i-

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】对复数a==2+i,x,yeR去分母，将化简得到x+yi=l+3i,对应系数相等即可得到羽V的值，进而

1+1

求得x+y的值.

【详解】^^=2+i

1+i

x+yi=（2+i）-（1+i）=l+3i

..x—1,—3

则x+y=1+3=4

故选：C.

3.下列函数值域为R的函数为（）

K.y=4xB.y=tanx

C.y^2xD.y=-

X

【答案】B

【分析】分别求出每个选项的值域即可求解.

【详解】〉=«的值域为［0,+“），A错误；

y=tanx的值域为R,B正确；

y=2”的值域为（0,+“），C错误；

丫=：的值域为（—8,0）17（0,转），D错误；

故选：B

4.已知数列｛6J为等差数列，若。3+。4=12,〃4一12=4,则。9=（）

A.15B.16C.17D.18

【答案】C

【分析】利用等差数列的通项公式求解即可.

【详解】因为数列｛4｝为等差数列，设公差为d,

%+&=2al+5d=12a=l

所以《解得1

—a?—2d--4d=2

所以。9=q+8d=17,

故选：C

I*r

5.已知平面向量£=（2,-1）,b=（T,x）,若6与（a+b）共线，则实数％=（）

A.-8B.8C.-2D.2

【答案】D

【分析】利用向量加法和共线的坐标表示求解即可.

【详解】由题意可得。+匕=（-2,—1+x）,

rr

因为l与（a+b）共线,

-4=2(-2)4=2

所以匕=彳（。+匕）,解得〈

x=2(-l+x)x=2

故选：D

6.已知抛物线C:V=4x的焦点为尸，点P为C上一动点，线段PF的垂直平分线与x=—1交于点Q,则

()

A.\QF\>\PF\B.\QF\<\PF\

71

C.ZPQF>-D.△PQb可以为钝角三角形

【答案】A

【分析】利用抛物线的定义判断AB,利用三角形”大边对大角”判断CD.

【详解】因为抛物线C：V=4x,所以b（1,0）,准线为x=—1,

过P点向准线作垂线交准线于点M,

所以由抛物线的定义可得归同=归加|,

因为线段PF的垂直平分线与x=—1交于点Q,所以|。同=,

又因为|QP3？闿，所以|。尸以尸同，当且仅当轴时等号成立，所以A正确，B错误；

在LPQF中由|Q司21尸司可得ZQPF=兀—>ZPQF,解得ZPQF<^,C错误；

7T

因为/。尸尸+/。尸尸<兀，所以NQPF=NQFP<—,△PQb不可以是钝角三角形，D错误；

2

故选：A

7.声强级，是指声强x（单位：W/m2）和定值a（单位：W/m2）比值的常用对数值再乘以10,即声强级

</（%）=101g-（单位：dB）.已知人与人交谈时的声强级约为45dB,一种火箭发射时的声强和人与人交谈时的

a

声强的比值约为104那么这种火箭发射的声强级约为（）

A.135dBB.140dBC.145dBD.150dB

【答案】A

【分析】根据人与人交谈时的声强级约为45dB可得101g区=45,这种火箭发射的声强约IO。。，代入题目中公

a

式结合对数运算处理.

【详解】设人与人交谈时的声强约为%W/m2,则10坨血=45

a

火箭发射时的声强约为1000w/m2,贝116/（10晨0）=103竺E=1019+lgE]=i35

故选：A.

8.如图，在正方体A5C。-451GA中，厂为线段3G的中点，E为线段AG上的动点，下列四个结论中，正

确的是（）

A.EF平面\BCDX

B.存在点E,使EF工平面351GC

C.存在点E,使EF〃AC

D.DB11EF

【答案】D

【分析】当E与A重合时，EF平面4BCR=A，即可判断A；设正方体的棱长为1,以点。为坐标原点，以

DA,DC,。，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设GE=2C]A（OWX41），可得EF坐标，由

=—可知E尸与5片不垂直，即可判断B；若ER〃AC，则跖=左4。，列方程组求解可判断

C；由•跖=0可判断D.

【详解】当E与4重合时，又尸星平面A2CQ,则所‘平面故A错误；

设正方体的棱长为1,以点。为坐标原点，以ZM,DC,所在直线分别为苍％z轴建立空间直角坐标系，

则0（0,0,0）,B（1,1,O）,C（O,1,0）,A（1,0,1）,4（1,1,1）,q（O,i,I）,m

设GE=XGA（ow；iwi）,又GA=（L—1,0），，GE=（4—40），

DC.=(0,1,1),则DE=DG+C；E=(41—41),41)"=

2

•••84=(0,0,1),麻・8耳=—；/0,E/与8及不垂直，而平面53]GC，则斯与平面不垂

直，故B错误；

1。,

---A=-k

2

4C=(-1,1,-1),若ER〃AC,则EF=kAC,贝卜4=左,此方程无解，故不存在点E，使

——=~k

[2

EF//\C,故C错误；

DB1=(1,1,1),ER=[万―2",—万)，DB}-EF=—1—2+2——1=0,DBXJ_EF,故D正确.

22

故选：D.

9.已知数列｛4,｝为无穷项等比数列，s,为其前〃项的和，“岳>0,且$2>0”是“V〃wN*,总有5">0”的

)

A充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不必要又不充分条件

【答案】C

【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.

【详解】若S]>0,且邑>0,

则<2]>0,«1+%q>0,q/0,

所以4>-1,由s="i(j),

当一l<q<0或0<q<l时，l-q>0,\-qn>0,

所以S〃>0；

当q=1时，wN*,总有S">0;

当4>1时，1—q<0,1—q"<0,即S“〉0.

综上，">0恒成立，故充分性成立；

若“\/〃wN*,总有5“>0”，则百>0且$2〉0,

故必要性成立.

故选：c

10.在平面直角坐标系中，。为原点，已知4(1,0),8(-1,0),设动点C满足/AC32、，动点p满足

PALPC,则|OP\的最大值为()

A.1B.百+1C.J2D.2

2

【答案】C

【分析】根据题意可得点。在圆/+丁2=1内部和圆周上，点尸的轨迹是以AC的直径的圆，延长AC交圆

必+,2=1于点设AC的中点为AZ)的中点为N,贝U|M4|=|网易得|AM|w|4V|,再结

合平面图形的性质和基本不等式即可得出答案.

【详解】因为4(1,0),8(—1,0),设动点C满足/AC32、，

所以点。在圆d+/=1内部和圆周上，

因为动点尸满足24,PC,

所以点P的轨迹是以AC的直径的圆，

如图，延长AC交圆/+/=1于点。，设AC的中点为M,AD的中点为N,

^\\M^=\MF\,ONLAD,

若点C在圆上时，”,N两点重合，C,£>两点重合，

若点C在圆内时，贝U|AM|<|4V],

所以闫AN|,当且仅当点C在圆上时，取等号，

^]\OP\<\OM\+\MP\^\OM\+\AM\,当且仅当QMP三点共线时，取等号，

因为QM+|AM|W|QV|+|ACV|+|AM|=|QV|+|ATV|,当且仅当此N重合时，取等号，

因为ONJ_AD,所以|。甘+|期「=|。刈2=1,

所以|ON|+|®v|w,2(|0甘+|AN「)=也,

当且仅当|ON|=|AN|=半时，取等号，此时ODLQ4,

所以|OP|wJ5,当且仅当。三点共线且点C在圆好+;/=1与y轴的交点处时，取等号，

所以的最大值为血.

【点睛】本题考查了圆的轨迹问题及动圆上的点到定点的距离的最值问题，考查了转化思想，难度较大.

二、填空题共5道小题，每小题5分，共25分.

22

11.双曲线r上=1的离心率为2,则加=.

3m

【答案】9

【分析】根据双曲线的离心率公式计算即可.

22

【详解】因为双曲线^--上=1的离心率为2,

3m

所以Jl+g=2,解得m=9.

故答案为：9.

12.在一ABC中，AC=2,NC=90°,N3=30°,贝=；CAAB=.

【答案】①.4②.-4

【分析】根据题意求出A5BC,再根据|CA+=J(CA+CB『即可求出|C4+C@,根据数量积的定义即可求

得C4-AB.

【详解】在中，4。=2,/。=9。。,/3=30。，

则ZA=60°,AB=4,BC=20,

贝”CA+CB|=^(CA+CB)2=y]cA+CB+2CACB=J4+12=4，

CAAB=-ACAB=-2x4x-=-4.

2

故答案为：4；-4.

13.已知(x+a)5的展开式为夕5兀5+04—++°2必+P]X+外,若P3-=15,则4=.

【答案】士3或-1

2

【分析】利用二项式定理求解即可.

【详解】(尤+。)5展开式的通项公式为(+I=C#5T",r=0,1,2,3,4,5,

令丁=2,则(=—10〃2%3,即P3=10a2,

l4l4

令r=1,则与=C5xa=5ax,即=5〃，

3

由题意可得10/—5〃=i5，即2/一"一3=0，解得〃=一或。=—1,

2

,3

故答案为：大或-1

2

14.己知/(x)=cos12x+|■]在[0,何上的最大值为3，则实数加的最大值为.

2冗9

【答案】—##-K

33

【分析】由得+p2m+1,再根据余弦函数的性质列出不等式，即可得解.

【详解】由xw[0,m得2x+]ey,2m+-|,

因为/(x)=cos[2x+在[0,加I上的最大值为g,

所以三<2m+4<2,解得o(机<0,

3333

所以实数加的最大值为幺.

3

故答案为：—--

3

|ln^l,x>0

15.已知函数y(x)=<1,有下列四个结论：①设函数/(%)的极大值点和极小值点分别为为和

XH---0

X

巧，则马-%=2；②若。=0,函数八％)的极大值和极小值分别为M和加，则〃z=2；③存在实数。，对

任意的实数6,函数y=/(x)-b都恰有两个零点；④若方程/("=6有4个实根，从小到大记为为々/3，》4,

则占々=%3%4.全部正确命题的序号为.

【答案】①③④

【分析】作出函数/(%)的图象，利用极值点的定义判断①②，利用函数y=/(x)和y=b的交点个数判断③，利

用占,当是方程x+」+a=人的解，%3，％4是方程|lnx|=/?的解判断④.

【详解】根据题意作了(%)图象如图所示,

根据极值点的定义及对数函数和对勾函数的图象和性质可得，

当x=l时，"％)取得极小值"1)=0；当x=—1时“X)取得极大值/(—1)=一2+a,

所以%—西=2,当。=0时，M-m=-2,故①正确，②错误；

函数y=/(x)—6都恰有两个零点，即函数y=/(%)和y=b的图象有两个交点，

若方程/(x)=Z?有4个实根，从小到大记为石,乙,马,乙，

则％［，尤2是方程XH-----a=b,即+(a—Z?)x+1=0的解，由韦达定理得西4=1，

X

了3，匕是方程=/?的解，所以|111七|=|lnx/，即一111X3=111X4,所以Inx,+111%=0，解得

砧=1，

所以%逮2=退%4，④正确；

故答案为：①③④

三、解答题共6道小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

16.已知a,dc分别为_ABC内角A,5c的对边，3Z?2=7«c,sinA=3sinC.

(1)求8的大小；

(2)若ABC的面积为36，点D在边BC上,满足30=20。，求AD的长.

【答案】（1）I

⑵2出

【分析】（1）由3〃=7ac,sinA=3sinC,禾U用正弦定理得到a=3c,6=,再利用余弦定理求解；

（2）由5£>=2OC,得到80=2°,。。=。，再根据ABC的面积为36，求得c,然后利用余弦定理求解.

【小问1详解】

解:因为%2=7ac,sinA=3sinC,

所以a=3c,b=Jjc，

〃242_右21

由余弦定理的2cosB=--------------=—，

2ac2

因为Be（0,7i）

71

所以B=——,

3

【小问2详解】

因为=2OC,

所以BD=2c,DC=c,

由题意得SABC=gc，3c,sin60=3A/3,

所以°2=4，

由余弦定理A£>2=（2C）2+C2-2X2CXCXCOS60=3c2=12,

所以4£>=26.

17.如图，在三棱柱ABC-A与G中，底面，RC为等腰直角三角形，侧面44。。，底面"CO为AC中

点，AB=BC=42,AAl=75.

（1）求证：BD1A（D；

(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角A-eq-3的余弦值.

条件①：AC,条件②：M=BXC.

【答案】(1)证明见解析

⑵-

3

【分析】(1)根据面面垂直的性质可得50工平面A&GC，再根据线面垂直的性质即可得证；

(2)选①，取AC的中点E，连接4E,CE,证明再以点。为原点，建立空间直角坐标系，利用向

量法求解即可.

选②，取AG的中点E，连接3jE,CE,DE,利用勾股定理证明A。，4。，再以点。为原点，建立空间直角坐

标系，利用向量法求解即可.

【小问1详解】

因为45=8。，。为AC中点，

所以BDJLAC,

又因为面AA]GC，面ABC，面A&GC面A3C=AC,NDu面ABC,

所以50工平面A&C。，

又4。＜=平面A41clC,所以3。，4。；

【小问2详解】

选①，取AG的中点E,连接用E,CE,

则4E//DC且4E=DC,

所以四边形ADCE为平行四边形，所以AD//CE,

因为4用=用£,E为4G的中点，

所以AG，用E,

又】

AULB[C,B]CcB]E=Bi，BXC,BEu平面CB{E,

所以4G，平面CB|E,

又AC//AC],所以ACJ_平面CB|E,

又CEu平面C4E,所以47，

因为AD//CE,所以AC，4。，

如图，以点。为原点，建立空间直角坐标系，

由"=3。=血,用=石，得AC=2，AO=2,

则。(0,0,0),3(0』,o),c(—L0,0),G(—2,0,2),

则C3=(l,l,0),CG=(-1,0,2),

因为5£＞工平面A&GC，

所以。3=(0,1,0)即为平面441cle的一条法向量，

设平面BCG法向量为〃=(x,y,z),

nCB=x+y=0

则有《,可取〃=（2,—2,1）,

n-CCx=-x+2z=0

由图可知，二面角A—CG—5为锐二面角,

2

所以二面角A-CQ-B的余弦值为I.

y/

选②，取的中点石，连接B】E,CE,DE,

则AE//。。且4E=DC,

所以四边形A.DCE为平行四边形，所以4。//CE且AQ=CE,

因为GEIIDC且GE=DC,

所以四边形A,DCE为平行四边形，所以BD//B]E且BD=B]E,

又因为所以与E,

又A4,=4C=石，BD=BW=1,

所以CE=2,则AD=CE=2,

在△ADA1中，因为=4人2,

所以

如图，以点。为原点，建立空间直角坐标系,

下同选①的答案.

18.某技术职能部门在东区、西区开展了技能测试，其中东区、西区的各年龄段参加测试的人数、技能成绩的优秀比

例如下：

东区西区

年龄段

参加测试人数优秀比例参加测试人数优秀比例

[20,25)6040%10048%

[25,30)7552%10061%

[30,35)9560%6065%

[35,40]12075%4080%

(1)该技术职能部门从年龄段在［20,25)的参加测试人员中随机选择1人，求此人技能优秀的概率；

(2)在年龄段在［35,40］的参加测情人员中，从东区、西区各随机抽取1人，技能优秀人数记为X,求X的分布

列和数学期望E(X)；

(3)该技术职能部门从东区、西区参加测试的人员中各随机抽取10人，记几天分别为东区、西区所选出10人中

的技能优秀人数，试比较数学期望£(乂),£。0的大小(直接写出结果即可).

9

【答案】(1)—

（2）分布列见解析，石（X）=1.55

（3）E（止石化）

【分析】（1）分别求出该技术职能部门年龄段在［20,25）的总人数和优秀人数，再根据古典概型即可得解；

（2）写出随机变量X的所有可能取值，求出对应概率，即可得出分布列，再根据期望公式求期望即可；

（3）分别求出两个区的优秀率，根据题意可得随机变量几乂都服从二项分布，再根据二项分布的期望公式即可得

出结论.

【小问1详解】

该技术职能部门年龄段在［20,25）的人数为60+100=160人，

其中优秀的人数为60x40%+100x48%=72人，

729

则所求概率为——=一；

16020

【小问2详解】

年龄段在［35,40］东区有120人，优秀人数为120x75%=90人，

90

则随机抽取一人，为优秀的概率为二=0.75,

120

年龄段在［35,40］西区有40人，优秀人数为40x80%=32人，

32

则随机抽取一人，为优秀的概率为二=0.8,

40

随机变量X可取0』,2,

贝Up(x=o)=(1-0.75)X(1-0.8)=0.05,

p(X=1)=(1-0.75)x0.8+0.75x(1-0.8)=0.35,

p(X=2)=0.75x0.8=0.6,

故分布列为

X012

P0.050.350.6

E(X)=0x0.05+1x0.35+2x0.6=1.55；

【小问3详解】

东区总人数为60+75+95+120=350,

其中优秀人数为60x40%+75x52%+95x60%+120x75%=210,

则东区的优秀率为生=60%,

350

西区总人数为100+100+60+40=300,

其中优秀人数为100x48%+100x61%+60x65%+40x80%=180,

1QQ

则西区的优秀率为—=60%,

300

该技术职能部门从东区、西区参加测试的人员中各随机抽取10人,

则乂6（10,0.6）,耳5（10,0.6）,

所以E（X）=10x0.6=6,石（10=10x0.6=6,

所以E(X)=E(B).

e

19.已知函数/(x)=7——.

Tx-a

(1)已知曲线y=/(x)在(L/(1))处的切线与x轴平行.

①求实数"的值；

②求函数八％)的单调区间；

(2)若/(%)在(0,1)上单调递减，求实数。的取值范围.

【答案】(1)①a=g；②单调递减区间为〔0,单调递增区间为(L+8).

(2)ci>—

2

【分析】(1)利用导数的几何意义求。的值即可；②利用导函数的正负求解单调区间即可;

(2)/(%)在(0,1)上单调递减，则r(x)WO在区间(0,1)上恒成立，利用一元二次函数的图象和性质求解即可.

【小问1详解】

①由题意可得r(%)=%>。且X。/,

因为曲线y=f(x)在(1,7(1))处的切线与X轴平行,

，/、e（2-2a-l）i

所以/（1）=±—1=°，解得。=—・

2[l-a）2

令2%—Vx-1=0解得y[x=1，即x=1,

所以当x£(0,l)时，2%—五一1<0，当入£(1,收)时，2%—五一1>0,

所以当时，尸(x)<0,/(%)单调递减，

当xe(l,+8)时，制x)>0,/⑺单调递增,

所以了(%)的单调递减区间为单调递增区间为(L+8).

【小问2详解】

因为/(%)在(0,1)上单调递减，所以2x-2a6-1W0在(0,1)上恒成立,

令g(x)=2x—2a6-1,贝1J,；；；)；；，解得

22

20.已知椭圆C:=+二=l(a〉6〉0)过点4(—2,—1),长轴长为40.

ab

(1)求椭圆C的方程;

(2)直线/:丁=履+加与椭圆交于点M,N,直线AM,AN分别交直线x=Y于点尸,。，。为坐标原点.若

3=3,求证：直线/经过定点.

22

【答案】（1）—+^=1;

82

(2)证明见解析.

2a=472

分析】(1)解方程组41即得解;

[—ar+—br=1

(2)设m)，N(z，%),联立直线和椭圆方程得到韦达定理，再求出点RQ的坐标，根据已知得到

一2":1)-1+-2(%；D-1=0,再把韦达定理代入化简即得证.

%+2%+2

【小问1详解】

2a=40

由题得<41,:.a=2直,b=4^,

-T+F=1

ab“

22

所以椭圆。的方程为三+^=1.

82

【小问2详解】

直线/:丁=米+加与椭圆方程工+汇=1联立,

82

22

化简得(4左2+1)%+8kmx+4m-8=0,

=128左2-16m2+32>0，即8左？一„?+2>0.

—8km4m2—8

设"(%],乂)，NO-%),则%+%=

4V+1

直线M4的方程为y+1=(x+2),则尸(-4,一2")-1),

%+2%+2

直线N4的方程为y+l=四三(尤+2),则。(-4,-2(%：1)一1),

/+2x2+2

因为所以言等T+子$T=°

kx1+m+1kx2+m+l

所以

%+2X2+2

所以(2k+1)X]•x2+(2k+m+3)(%+x2)+4m+8=0,

把韦达定理代入整理得(m-2k+l)(m-4k)=0,r.zn=2左一1或机=4%,

当m=2%—1时，直线方程为y=fcr+2k—1,r.,+1=左(尤+2),过定点(―2,—1),即点A,不符合题意，所以舍

去.

当加=4左时，直线方程为y=Ax+4左,.•.y=k(x+4),过定点(—4,0).

所以直线/经过定点.

21.若无穷数列｛%｝的各项均为整数.且对于Vi,jeN*,i<j,都存在左>/,使得%=4%—%—%,则称

数列｛4｝满足性质P.

(1)判断下列数列是否满足性质尸，并说明理由.

①。〃=〃，n=l,2,3,...；

②b〃=n+2,n=l,2,3,.

(2)若数列｛4｝满足性质P,且4=1,求证：集合｛〃cN*|。“=3｝为无限集；

(3)若周期数列｛%｝满足性质P,求数列｛%｝的通项公式.

【答案】(1)数列｛。“｝不满足性质P；数列｛2｝满足性质P,理由见解析

(2)证明见解析(3)。“=0或4=3.

【分析】(1)根据题意分析判断；

(2)根据题意先证3为数列｛4｝中的项，再利用反证法证明集合｛“eN*|4=3｝为无限集;

(3)先根据题意证明％e｛0,2,3｝,再分｛4｝为常数列和非常数列两种情况，分析判断.

【小问1详解】

对①，取，=1，对V/eN*,/〉l,则q=q=L%=),

可得aia)~ai~aj=J-1—/=-1,

显然不存在左〉，左eN*,使得久=—1,

所以数列｛4｝不满足性质P；

对②，对