乌鲁木齐地区2024高三年级第二次诊断性测试理科数学及参考答案

乌鲁木齐地区2024年高三年级其次次诊断性测试

理科数学（问卷）

（卷面分值：150分，考试时间：120分钟）

留意事项：

1.本卷分为问卷（4页）和答卷（4页），答案务必书写在答卷（或答题卡）的指定位置上；

2.答卷前，先将答卷密封线内（或答题卡中的相关信息）的项目填写清晰。

第I卷（选择题共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知集合〃={xez卜炉+3%>0卜N4k2_4<0卜则McN=

A.{0,2}B.{-2,0}C.{1,2}D.{1}

1-2/

2.复数z=——（，为虚数单位）在复平面上对应的点在

2-z

A.第一象限B.其次象限C.第三象限D.第四象限

3.设/•（%）=优［C，且八2）=4,则/■（—2）等于

loga（x+Q）,X<0

A.lB.2C.3D.4

4.执行如图所示程序框图，若输出的S=26,则推断框内为

A.左>3?B.左>4?C.左>5?D.左>6?

5.已知直线。、b及平面。,下列命题中正确的是

A.若alla,ac（3=b,则〃〃Z?

B.若〃〃blla,则a〃/?

C.若〃〃a,b_La,则/输出s/

D.若〃_1夕，all/3,则a_L/?

6.已知向量。，匕满意忖=2,忖=1,且（。+36），（2a—6）,则。与人的夹角为

7.一个几何体的三视图如图所示（正视图是两个正方形，俯视图是两个正三角形），则其体积为

3y/3973c69G

A.------B.------C.3,3D.------

242

2

正视图侧视图

俯视图

1n

8.先把函数丁=5也（％+9）的图像上的各点的横坐标缩短到原来的5（纵坐标不变），再向右平移1个单

位，所得图像关于y轴对称，则0的值可以是

9.在AABC中，"A<3<C"是"cos2A>cos28>cos2C”的

A.充分不必要B.必要不充分C.充要条件D.既不充分也不必要条件

10.在AABC中，BC=1,且cosA=—区一，B=-,则边上的高等于

104

111

A.1B.—C.-D.一

234

11.双曲线上存在一点与其中心及一个焦点构成等边三角形，则此双曲线的离心率为

A.2B.73+1C.y/3D.6T

12.定义在R上的函数y=/(x)为减函数，且函数y=/(x-1)的图像关于点(1,0)对称，若

f(s2-2s)+f(2b-b2)<0,M0<5<2,则s—b的取值范围是

A.[-2,0]B.[-2,2]C.[0,2]D.[0,4]

第II卷(非选择题)

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题〜第21题为必考题，每个试题考生都必需作答；第22

题〜第23题为选考题，考生依据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分

13.二项式(。/+3)7的绽开式中常数项为14,则。=.

14.若2工+4,=4,则x+2y的最大值是.

15.过抛物线V=2px(p〉0)的焦点尸的直线交抛物线于A、8两点，已知耳=3,忸耳=2,

则p等于.

_b

16.若ln(%+l)-l<av+Z?对]>-1恒成立，则一的最小值是.

a

三、解答题：第17-21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明、证明过程或演算步骤。

(.[a+2(〃为奇数)不

17.已知数列｛〃〃｝满意：4+2=|；里粉、，且“i=La2=2o

[3an(几为偶数)

(I)求生一。6+。9—。12+%5的值；

(II)设数列｛2｝的前〃项和为s〃，当臬>2017时，求〃的最小值。

18.如图，在多面体A5CDE/中，四边形A5CO是边长为4的正方形，〃是5c的中点，所〃平面

ABCD,且£F=2,AE=DE=BF=CF=272o

(I)求证ME，平面ADE；

(II)求二面角6-人£一。的余弦值.

E

19.学校门口的某文具商店经营某种文具，商店每销售一件该文具可获利3元，若供大于求则销价处理,

每处理一件该文具亏损1元；若供不应求，则从外部调剂供应，此时每件文具仅获利2元。为了了解市

场需求的状况，经销商统计了去年一年(52周)的销售状况：

销售量(件)10111213141516

周敬248131384

以去年每周销售量的频率作为今年每周销售量的概率

(I)要使进货量不超过市场需求量的概率大于0.5,问进货量的最大值是多少？

(II)假如今年的每周进货量定为14,写出周利润Y的分布列？

(III)假如以周利润的期望值为考虑问题的依据，今年的周进货量定位多少合适?

20.椭圆C：£+==l(a>5>0)的离心率为无，过左焦点任作直线/,交椭圆的上半部分于点河，

a2b23

当I的斜率为――时，FM=--^―o

33

(I)求椭圆。的方程；

(II)椭圆C上两点A、6关于直线/对称，求AAQS面积的最大值。

21.设函数/(x)=(ax+l)e'—(a+l)x—1,其中。为非零实数。

(I)求/(x)在(0,7(0))处的切线方程；

(II)当x>0时/(x)>0恒成立，求a的取值范围。

请考生在第22、23两题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B铅笔在答题

卡上把所选题目的题号涂黑。

22.(选修4-4坐标系和参数方程)

在直角坐标系中，圆C的方程为(x-1)2+)?=；,以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴

建立极坐标系，点M的极坐标为(2,0),过点河斜率为1的直线交圆。于A、6两点。

(I)求圆C的极坐标方程；

(II)求的范围。

23.(选修4-4不等式选讲)

设函数/(%)=卜—4|,g(%)=|2x+l|«

(I)解不等式/'(x)<g(x)；

(II)若2/(无)+g(无)>◎对随意实数x都成立，求。的取值范围。

乌鲁木齐地区2024年高三年级其次次诊断性测验

理科数学试题参考答案及评分标准

选择题答案：DDCADABACCBB

1.选D.【解析】M={1,2},N=(-2,2),：.MN={1}.故选D.

（l-2z）（2+«）43.4_3

2.选D.【解析】z=^-i）（2+i）=5~51,在复平面上对应的点为,故选D.

25，-5

3.选C.【解析】•♦•/（2）=4,即〃=4,a=±2,又是底数，。=一2舍去，；.a=2,

/(—2)=log28=3,故选C.

4.选A.【解析】执行程序框图，第一次循环S=4«=2,其次次循环S=H次=3,第三次循环

S=26,k=4,结束循环，所以推断框内应填左>3?,故选A.

5.选D.【解析】依据线面，面面平行垂直的性质，只有D正确，故选D.

6.选A.【解析】由（a+3》），（2a—5）得（a+3〃）（2a—5）=0,即8+5a/—3=0,小=—1,

cos（a,b\=i一「~~；=—，所以。与8的夹角为—.故选A.

'/同网23

7.选B.【解析】由题意可知，该几何体由底面边长为2,高为2的正三棱柱，和底面边长为1,高为1

的两个正三棱柱组成，V=-x2xV3x2+=故选B.

2224

8.选A.【解析】把函数y=sin（x+0）的图像上各点的横坐标缩短到原来的g（纵坐标不变），得到

y=sin（2x+°）,再向右平移（个单位，得到y=sin12x-夸+”的图象关于y轴对称，所以

27rTCTC

-------（P——卜k兀,kwZ,0可以取一，故选A.

3----26

9.选C.【解析】在AABC中

A<B<Coa<b<cosinA<sinB<sinCosin2A<sin2B<sin2Co

1-2sin2A>l-2sin2B>1-2sin2c

ocos2A>cos2B>cos2C,故选C.

10.选C.【解析】VcosA=：.sinA=,sinC=sin(A+B)=^~,由

1010v75

AB?11

—^,BC=1,nAB=—,：.SMBC=-ABBC-smB=~,设BC边上的高为队

sinCsinA3AABC26

S=—BC-h=—,,故选C.

MRBC263

11.选B.【解析】不妨取右焦点，依据题意尸点坐标为,代入双曲线方程得

I2『02

—z---------2—=1，即-J-----?-----2=4，得e?=4±2^/3,又e>1,•*.c—V3+1,故选B.

abac-a

12.选B.【解析】由已知y=/（x）的图象关于点（0,0）中心对称，即/（x）是奇函数,

：.f(s2-2s)+f(2b-b2)<0^f(s2-2s)<f(b2-2b)^^s2-2s>b2-2b

’0<5<lfl<s<2

o|s—1|诽—1],X0<5<2,或〈

s<b<2-s[2-s<b<s

建立sOZ?坐标系如图，设s—Z?=z,则Z?=s—z,

可知直线b=s-z过点（2,0）时，z取得最大值2,在过点（0,2）时,

z取得最小值—2,-2<z<2,故选B.

13.填2.【解析】4+]=（以3广[+]=@/一42-2’，常数项x的次数为o,即21—g厂=0,厂=6,

所以C；/-6=14,填2.【解析】：4=2*+4,22"4'=2J2g.•.2-臼44,

即x+2yW2,所以％+2y的最大值是2.

12

15.填【解析】如图，延长A5交抛物线的准线于G,过

两点作准线的垂线，垂足为CE,准线交x轴于。.依据题意陷=划，即

增二吗比，得阿=10,又GB\_GF\10_12得。同=1,12

r-r,即-1\

石耳DF\2\DF\

16.填l-e.【解析】由题意得之ln（x+l）-ar-l,对一切%>-1都成立.

令/(x)=ln(x+l)-ax-l,f'(x)=-----a,当a«。时,/f(x)>0,/(x)在(-1,+QO)上单

x+1

调递增，不成立.当a>0时，—1时，/'(x)>O,x>4—1时，f(x)<0,

aa

•**/(%)max二f\—1|—In—6z|—1]—1="—ln”—29故a>。时,bNa—Ina—2,

[QJa\a)

ki-叱-2,令阳)=1-皿-二贝"&)=中，

aaaaaa

当a>」时,/z'(a)>0,当0<a(，时,〃'(a)<0,Ah'(a)mm=//[-|=1-eln--2e=1-e,-的最小

eeye)ea

值是1-e.三、解答题

-1nl

17.(12分)(I)由已知：a2n_^=ax+2(n-l)=2n-l,a2„=a2x3"—2x3

%—%+cig—62+65=3a9—4—q,=3x9—2x3~—2x3，=-477…6分

(II)由(I)知a”〉0,\cin｝单调递增，S7n=q+^—+。筋_1+g+。4"I—+="一+3"-1

27

512=62+36—1=764；53=512+弓3=777；S14=7+3-1=2235

则当“〈13时，Sn<2017,秋214时,J>2017,的最小值为14…12分

18.(12分)(I)取AD的中点N,连结NM,NE,则AD，7W,AD，NE,

...平面NME,...ADLME,过E点，作于。，依据题意得,

NO=\,OM=3,NE=2,：.OE=EEM=2道,

AEM恢是直角三角形，NE，ME

.•.ME，面ADE…6分

(II)如图建立空间直角坐标系。-孙z,依据题意得,

设平面R4E的法向量为4=(x,y,z),由A3=(O,4,O),AE=b2,l,6)

4y=0

取z=2,得〃]二(G'0,2)

-2x+y+y/3z—0

由(I)知ME=,—3,G)为平面AQE的法向量

/、\n,•MEV7

cos(a1,ME)=-L-j--------1=——

、/同.阿7

二面角5—AE—O的余弦值为正.…12分

7

19.（12分）

（I）若进货量定为13（件），则“进货量不超过市场需求量”是指“销售量不小于13（件）”

38

相应有13+13+8+4=38（周），“进货量不超过市场需求量”的概率为：一〉0.5；

52

25

同理，若进货量为14（件），则“进货量不超过市场需求量”的概率为：」＜0.5；

52

•••”进货量不超过市场需求量”的概率大于0.5,进货量的最大值是13…4分

（II）进货量定为14（件），设“平均来说今年每周的利润”为y

若售出10件：则利润y=10x3+4x（-l）=26；

售出H件：则利润y=llx3+3x（-l）=30

售出12件：则利润y=12x3+2x（-l）=34

售出13件：贝U利润y=13x3+lx（—1）=38

售出14件：则利润y=14x3=42

售出15件：则禾（|润y=14x3+1x2=44

售出16件：则禾！I润y=14x3+2x2=46

则V的分布列为:

Y26303438424446

112j_21

P

261313441313

/X26x2+30x4+34x8+38x13+42x13+44x8+46x42020八

E（Y）=------------------------------------------------------------------=-------…8分

-5252

（III）依照阅历可知，只有进货量和市场需求越接近的时候，利润的期望值才越大，依据市场需求量的

概率分布，我们只需考虑进货量为13,14这两种状况，

当进货量为13时，利润为Y',类似（II）,可得出V的分布列为：

Y'27313539414345

112j_j_21

P

261313441313

27x2+31x4+35x8+39x13+41x13+43x8+45x4_2022

七"')=

5252

由于E（F'）＞E（F）,...今年的周进货量定为13件比较合适.…12分

20.（12分）

(I)设M点坐标为(Xo,>o)依据题意得

——+=1

a2b2

y0=V322

-

Xo+CT；解得。2=3/2=2,所以椭圆方程为彳+上-=1；…5分

斤~y_r_4V3

（）+y=—^~

ylxo+c0

a2-bi2=c2

(II)依题意直线/不垂直于X轴，由对称性，不妨设/的方程为丁=左(x+1)(左>0),

则直线AB的方程为y=—：x+m,

1

y=——x+m/

[卜一詈

联立《J,得2++3/—6=0

土+匕=11

[32

易知A>0,得4x312+卷]（机2_2）〉0,即加2—2—[<0…①,

12k2m

设-FLAjB的At,中点k-为Cz~<,则n,i％=」%~+x2z=_3m—k

c22左2+32左2+3

2k2mf3km3

点C在直线/上,2k2+3一〔21+3+得m=—2k—…②,

k

止匕时机2—2=4父+提+4>0与①式冲突，故左>0不成立

当直线/的斜率上=0时，

设则5aj,—%),|AB|=2%,点。到A5的距离为x0,

・1、A/6.V6

・・i-—,x（）yos—,

2

2

rBOE的最大值为1

当且仅当上LVo工取等号，；.S

ZA/iV/.D…12分

322

21.（12分）

（I）/（%）=（依+々+1"%-（々+1）,・・・-（0）=0,又・・・/（0）=0,

，y=/(x)在(O,/(O))处的切线方程为y=Q.,•,4分

(II)(1)当“NO时，*.*x>0,/.ex>1,ax-ba+l>0

/'(%)=(ax+〃+l)ex-(tz+1)>(ax+a+l)-(a+l)=ax>0,

.•./(6在(0,小»)上单调递增，；./卜)>/(0)=0,符合题意

(2)当■时，/"(%)=(依+2。+1"，•;a<-L,/.2a+l<0,

TO%>0,ax<0,ax+2a+l<0,(ax+2a+i)ex<0,.'.f"(x)<0,

则/'(x)在xe(0,+»)时单调递减，r(x)</'(0)=0,

.•./(%)在》6(0,+动时单调递减，此时/(x)</(0)=0,不符合题意.

(3)当—<a<0时，取x>—>0,此时，有av+l<0,

2a

*/ex>x+1(x>0),(ax+l)ex<(ax+1X^+1)…①

而(〃%+1)(%+1)=a%?+(<2+l)x+l<(<2+l)x+l-••②

由①②得(ax+\)ex<(a+1卜+1,即/(%)=(ax+l)ex—(a+1卜—1<0,此时不符合题意.

综上，若%>0时，/(%)>0,Q的取值范围是［0,+8).…12分

请考生在第22、23题中任选一题作答，并将所选的题号下的“O”涂黑.假如多做，则按所做的

第一题记分，满分