2024届甘肃省陇南市徽县中考五模数学试题含解析

2024届甘肃省陇南市徽县重点名校中考五模数学试题

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△AiBiG是以点P为位似中心的位似图形，且顶点都在格点上，则点P的

坐标为（）

2.一个数和它的倒数相等，则这个数是（）

A.1B.0C.±1D.士1和0

3.一条数学信息在一周内被转发了2180000次，将数据2180000用科学记数法表示为（）

A.2.18X106B.2.18X105C.21.8xl06D.21.8xl05

%+3>2

4.下列各数是不等式组，.0的解是（）

1-2%，-3

A.0B.-1C.2D.3

5.下列计算正确的是（）

A.（-2a）2=2a2B.a6-ra3=a2

C.-2（a-1）—2-2aD.a»a2=a2

6.如图1,等边△ABC的边长为3,分别以顶点B、A、C为圆心，BA长为•半径作弧AC、弧CB、<BA,我们把

这三条弧所组成的图形称作莱洛三角形，显然莱洛三角形仍然是轴对称图形.设点I为对称轴的交点，如图2,将这

个图形的顶点A与等边ADEF的顶点D重合，且ABLDE,DE=2n,将它沿等边△DEF的边作无滑动的滚动，当它

第一次回到起始位置时，这个图形在运动中扫过区域面积是（）

D.457r

7.益阳市高新区某厂今年新招聘一批员工，他们中不同文化程度的人数见下表:

文化程度高中大专本科硕士博士

人数9172095

关于这组文化程度的人数数据，以下说法正确的是：（）

A.众数是20B.中位数是17C.平均数是12D.方差是26

4

8.在△ABC中，ZC=90°,sinA=贝tanB等于()

9.“a是实数，|a|K）"这一事件是（）

A.必然事件B.不确定事件C.不可能事件D.随机事件

x+1-0

10-如图’不等式组X―1«。的解集在数轴上表示正确的是＜）

11.如图，AAbC是等边三角形，点尸是三角形内的任意一点，PD//AB,PE//BC,PF//AC,若AAbC的周长为

12,贝!|PD+PE+PF=()

A.12B.8C.4D.3

12.为了支援地震灾区同学，某校开展捐书活动，九（1）班40名同学积极参与.现将捐书数量绘制成频数分布直方

图如图所示，则捐书数量在5.5〜6.5组别的频率是（）

C.0.3D.0.4

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13.如图，已知△ABC中，NABC=50。，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分别交AB、BC于点M、N.若M

在PA的中垂线上，N在PC的中垂线上，则NAPC的度数为

14.平面直角坐标系中一点P（m-3,l-2m）在第三象限，则m的取值范围是.

15.一个不透明的袋中共有5个小球，分别为2个红球和3个黄球，它们除颜色外完全相同，随机摸出两个小球，摸

出两个颜色相同的小球的概率为一.

16.如果小球在如图所示的地面上自由滚动，并随机停留在某块方砖上，每块方砖大小、质地完全一致，那么它最终

停留在黑色区域的概率是.

18.长、宽分别为a、6的矩形，它的周长为14,面积为10,则。2/»+谛2的值为.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.（6分）已知抛物线，工：y=以2+法—3与》轴交于人（—1,0）、B两点,与V轴交于点C,且抛物线L的对称轴

为直线x=l.

（1）抛物线的表达式；

（2）若抛物线V与抛物线L关于直线％=加对称，抛物线Z/与x轴交于点A',3'两点（点A'在点6'左侧），要使

SAABC=2S.BC，求所有满足条件的抛物线V的表达式・

20.（6分）某农场用2台大收割机和5台小收割机同时工作2小时共收割小麦3.6公顷，3台大收割机和2台小收割

机同时工作5小时共收割小麦8公顷.1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦多少公顷？

21.（6分）如图，AABC和△ADE分别是以BC,DE为底边且顶角相等的等腰三角形，点D在线段BC上，AF平

分DE交BC于点F,连接BE,EF.CD与BE相等？若相等，请证明；若不相等，请说明理由；若NBAC=90。，求

证：BF】+CD1=FDL

22.（8分）在平面直角坐标系xOy中，函数y=@（x>0）的图象与直线小y=x+6交于点A（3,。-2）.

X

（1）求a,B的值；

（2）直线方y=-x+机与x轴交于点以与直线&交于点C,若SAABCN6,求m的取值范围.

23.（8分）已知，如图，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔5C,数学兴趣小组的同学在斜坡底尸处测得该塔的

塔顶3的仰角为45。，然后他们沿着坡度为1:2.4的斜坡AP攀行了26米，在坡顶A处又测得该塔的塔顶8的仰角

为76。.求：坡顶A到地面尸。的距离；古塔3C的高度（结果精确到1米）.

24.（10分）如图，A5是。。直径，于点3,点C是射线8c上任意一点，过点C作。切。。于点。，连

接40.求证：BC=CD；若NC=60。，BC=3,求AO的长.

25.（10分）如图，在AABC中，AB=AC,NBAC=90。，M是BC的中点，延长AM到点D,AE=AD,ZEAD

=90°,CE交AB于点F,CD=DF.

（1）NCAD=_____度；

（2）求NCDF的度数；

（3）用等式表示线段CD和CE之间的数量关系，并证明.

D

26.（12分）为响应国家“厉行节约，反对浪费”的号召，某班一课外活动小组成员在全校范围内随机抽取了若干名学

生，针对“你每天是否会节约粮食”这个问题进行了调查，并将调查结果分成三组（A.会；B.不会；C.有时会），绘

制了两幅不完整的统计图（如图）

（1）这次被抽查的学生共有_____人,扇形统计图中，“A组”所对应的圆心度数为；

（2）补全两个统计图；

（3）如果该校学生共有2000人，请估计“每天都会节约粮食”的学生人数；

（4）若不节约零食造成的浪费，按平均每人每天浪费5角钱计算，小江认为，该校学生一年（365天）共将浪费：

2000x20%x0.5x365=73000（:元），你认为这种说法正确吗？并说明理由.

27.（12分）（感知）如图①，四边形ABCD、CEFG均为正方形.可知BE=DG.

（拓展）如图②，四边形ABCD、CEFG均为菱形，且NA=NF.求证：BE=DG.

（应用）如图③，四边形ABCD、CEFG均为菱形，点E在边AD上，点G在AD延长线上.若AE=2ED,NA=NF,

△EBC的面积为8,菱形CEFG的面积是..（只填结果）

图②图③

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1、A

【解题分析】

延长AiA、BiB和GC,从而得到P点位置，从而可得到P点坐标.

【题目详解】

如图，点P的坐标为（-4,-3）.

故选A.

【题目点拨】

本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样

的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心.

2、C

【解题分析】

根据倒数的定义即可求解.

【题目详解】

±1的倒数等于它本身，故C符合题意.

故选：c.

【题目点拨】

主要考查倒数的概念及性质.倒数的定义：若两个数的乘积是1,我们就称这两个数互为倒数.

3、A

【解题分析】【分析】科学记数法的表示形式为axion的形式，其中lS|a|<10,n为整数.确定n的值时，要看把原数

变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝

对值<1时，n是负数.

【题目详解】2180000的小数点向左移动6位得到2.18,

所以2180000用科学记数法表示为2.18X106,

故选A.

【题目点拨】本题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为axion的形式，其中心回<10,n为整数，表

示时关键要正确确定a的值以及n的值.

4、D

【解题分析】

求出不等式组的解集，判断即可.

【题目详解】

x+3>2①

[1-2x<-3②’

由①得：X>-1,

由②得：x>2,

则不等式组的解集为x>2,即3是不等式组的解，

故选D.

【题目点拨】

此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

5、C

【解题分析】

解:选项A,原式=4/；

选项B,原式=a3；

选项C,原式=-2a+2=2-2a；

选项D,原式=/

故选C

6、B

【解题分析】

先判断出莱洛三角形等边△DEF绕一周扫过的面积如图所示，利用矩形的面积和扇形的面积之和即可.

【题目详解】

如图1中，

---------1'

G图］H

•.,等边△DEF的边长为2兀，等边△ABC的边长为3,

：•S矩形AGHF=2TTX3=6K，

由题意知，ABIDE,AG±AF,

.\ZBAG=120°,

_120^-32_

••3扇形BAG--------------J九，

360

二图形在运动过程中所扫过的区域的面积为3(S矩形AGHF+S扇形BAG)=3(67t+37T)=27兀；

故选B.

【题目点拨】

本题考查轨迹，弧长公式，莱洛三角形的周长，矩形，扇形面积公式，解题的关键是判断出莱洛三角形绕等边△DEF

扫过的图形.

7、C

【解题分析】

根据众数、中位数、平均数以及方差的概念求解.

【题目详解】

A、这组数据中9出现的次数最多，众数为9,故本选项错误；

B、因为共有5组，所以第3组的人数为中位数，即9是中位数，故本选项错误；

9+17+20+9+5L,r——

C、平均数=---------------=12,故本1选项正确；

D、方差=g[(9-12)2+(17-12)2+(20-12)2+(912)2+⑸⑵2]=故本选项错误.

故选C.

【题目点拨】

本题考查了中位数、平均数、众数的知识，解答本题的关键是掌握各知识点的概念.

8、B

【解题分析】

43sinB3

法一，依题意△ABC为直角三角形，.ZA+ZB=90°,/.cosB=—,Vcos2B+sin2B=1,sinB=—,VtanB=——=—

55cosB4

故选B

b3

法2,依题意可设a=4,b=3,则c=5,Ttanb=—=—故选B

a4

9、A

【解题分析】

根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义，由a是实数，得⑶发恒成立，因此，这一事件是必然事

件.故选A.

10、B

【解题分析】

首先分别解出两个不等式，再确定不等式组的解集，然后在数轴上表示即可.

【题目详解】

解：解第一个不等式得：x>-l；

解第二个不等式得：x<l,

在数轴上表示户，

-2-1n1?

故选B.

【题目点拨】

此题主要考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来(>之向右画;向

左画)，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不

等式组的解集.有几个就要几个.在表示解集时曲”,%”要用实心圆点表示;要用空心圆点表示.

11、C

【解题分析】

过点P作平行四边形PGBD,EPHC,进而利用平行四边形的性质及等边三角形的性质即可.

【题目详解】

延长EP、FP分别交AB、BC于G、H,

则由PD〃AB,PE〃BC,PF#AC,可得，

四边形PGBD,EPHC是平行四边形，

/.PG=BD,PE=HC,

又XABC是等边三角形，

又有PF〃AC,PD〃AB可得APFG,APDH是等边三角形，

，PF=PG=BD,PD=DH,

又&ABC的周长为12,

1

；.PD+PE+PF=DH+HC+BD=BC=—xl2=4,

3

故选C.

【题目点拨】

本题主要考查了平行四边形的判定及性质以及等边三角形的判定及性质，等边三角形的性质：等边三角形的三个内角

都相等，且都等于60。.

12、B

【解题分析】

•.•在5.5〜6.5组别的频数是8,总数是40,

W=0.1.

故选B.

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13、115°

【解题分析】

根据三角形的内角和得到NBAC+NACB=130。，根据线段的垂直平分线的性质得到AM=PM,PN=CN,由等腰三角形

的性质得到NMAP=NAPM,ZCPN=ZPCN,推出NMAP+NPCN=NPAC+NACP=Lxl30。=65。，于是得到结论.

2

【题目详解】

VZABC=50°,

:.ZBAC+ZACB=130°,

1•若M在PA的中垂线上，N在PC的中垂线上，

；.AM=PM,PN=CN,

/.ZMAP=ZAPM,ZCPN=ZPCN,

,.,ZAPC=180°-ZAPM-ZCPN=180°-ZPAC-ZACP,

ZMAP+ZPCN=ZPAC+ZACP=-xl30°=65°,

2

.,.ZAPC=115°,

故答案为：115。

【题目点拨】

本题考查了线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟练掌握线段的垂直平分线的性质是解

题的关键.

14、0.5<m<3

【解题分析】

根据第三象限内点的横坐标与纵坐标都是负数列式不等式组，然后求解即可.

【题目详解】

•.•点P(m-3,l-2m)在第三象限，

.Jm-3<0

1—2m<0'

解得：0.5<m<3.

故答案为：0.5<m<3.

【题目点拨】

本题考查了解一元二次方程组与象限及点的坐标的有关性质，解题的关键是熟练的掌握解一元二次方程组与象限及点

的坐标的有关性质.

2

15、-

5

【解题分析】

解：根据题意可得：列表如下

红1红2黄1黄2黄3

红1红1,红2红1,黄1红1,黄2红1,黄3

红2红2,红1红2,黄1红2,黄2红2,黄3

黄1黄1,红1黄1,红2黄1,黄2黄1,黄3

黄2黄2,红1黄2,红2黄2,黄1黄2,黄3

黄3黄3,红1黄3,红2黄3,黄1黄3,黄2

共有20种所有等可能的结果，其中两个颜色相同的有8种情况，

Q2

故摸出两个颜色相同的小球的概率为一=一.

205

【题目点拨】

本题考查列表法和树状图法，掌握步骤正确列表是解题关键.

1

16、一・

4

【解题分析】

先求出黑色方砖在整个地面中所占的比值，再根据其比值即可得出结论.

【题目详解】

解：•.•由图可知，黑色方砖4块，共有16块方砖，

41

...黑色方砖在整个区域中所占的比值=—=—，

164

它停在黑色区域的概率是上；

4

故答案为!.

【题目点拨】

本题考查了概率的求法：如果一个事件有〃种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事

件A的概率尸(A)=—.

n

1

17>---------

2019

【解题分析】

根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案.

【题目详解】

全的相反数是一1

2019

1

故答案为一

2019

【题目点拨】

本题考查的知识点是相反数，解题的关键是熟练的掌握相反数.

18、1.

【解题分析】

由周长和面积可分别求得a+b和ab的值，再利用因式分解把所求代数式可化为ab(a+b),代入可求得答案

【题目详解】

•••长、宽分别为a、b的矩形，它的周长为14,面积为10,

/.a+b=—=7,ab=10,

2

a2b+ab2=ab(a+b)=10x7=1,

故答案为：L

【题目点拨】

本题主要考查因式分解的应用，把所求代数式化为ab(a+b)是解题的关键.

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

222

19、(1)^=(X-1)-4；(2)J=(X-3)-4;J=(X-7)-4.

【解题分析】

(1)根据待定系数法即可求解；

(2)根据题意知A(m-2,0),根据三角形面积公式列方程即可求解.

【题目详解】

(1)根据题意得：｛2a,

a—b—3=0

—1

解得：7。，

b=-2

抛物线的表达式为：y=x2-2x-3=(x-l)2-4；

(2)•.•抛物线。与抛物线L关于直线x=m对称，抛物线L的对称轴为直线x=l

；・抛物线L'的对称轴为直线x=m+l,

V抛物线L'与X轴交于点4,3'两点且点A'在点8'左侧,

•••A'的横坐标为：m+l-2=m-l

:.A(m-1,0),

令＞=0,贝！I/—2%—3=0,

解得：%=-1，%2=3,

令％=0,则y=3,

.•.点43的坐标分别为4(—1,0),8(3,0),点C的坐标为(0,3),

艮|=94乂3=6'

^^ABC-^X|^|X

,S.HBC=-s•ABC=3,

2,

1|4国义,』=3,Bp||m-l-3|x3=3,

,'S.©BC二——X

2

解得：加=2或加=6,

V抛物线L'与抛物线L关于直线％=加对称，抛物线L'的对称轴为直线x=m+l,

二抛物线L，的表达式为y=(x-3)2—4或y=(x-7)2-4.

【题目点拨】

本题属于二次函数综合题，涉及了待定系数法求函数解析式、一元二次方程的解及三角形的面积，第(2)问的关键是得

到抛物线L'的对称轴为直线x=m+\.

20、1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦0.4hm2和0.2hm2.

【解题分析】

此题可设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x公顷和y公顷，根据题中的等量关系列出二元一次方程组

解答即可

【题目详解】

设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x公顷和y公顷

22x+5y=3.6

根据题意可得｛5(3x+2y)=8

%=0.4

解得｛广。.2

答：每台大小收割机每小时分别收割0.4公顷和0.2公顷.

【题目点拨】

此题主要考查了二元一次方程组的实际应用，解题关键在于弄清题意，找到合适的等量关系

21、(1)CD=BE,理由见解析；(1)证明见解析.

【解题分析】

(1)由两个三角形为等腰三角形可得AB=AC,AE=AD,由NBAC=NEAD可得NEAB=NCAD,根据“SAS”可

证得AEAB义ACAD,即可得出结论；

(1)根据(1)中结论和等腰直角三角形的性质得出NEBF=90。，在RtAEBF中由勾股定理得出BF】+BEi=EFi,

然后证得EF=FD,BE=CD,等量代换即可得出结论.

【题目详解】

解：(1)CD=BE,理由如下：

VAABC和4ADE为等腰三角形，

；.AB=AC,AD=AE,

VZEAD=ZBAC,

/.ZEAD-ZBAD=ZBAC-ZBAD,

即NEAB=NCAD,

AE=AD

在4EAB与小CAD中<ZEAB=ZCAD,

AB=AC

/.△EAB^ACAD,

；.BE=CD；

(1)•.•/BAC=90。，

/.△ABC和/kADE都是等腰直角三角形，

，NABF=NC=45。，

VAEAB^ACAD,

.\ZEBA=ZC,

.\ZEBA=45°,

.\ZEBF=90°,

在RtABFE中，BF】+BEi=EFi,

：AF平分DE,AE=AD,

AAF垂直平分DE,

；.EF=FD,

由(1)可知，BE=CD,

.*.BFi+CD1=FDi.

【题目点拨】

本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，结合题意寻找出三角形全等的条件

是解决此题的关键.

22、(1)a=3,b=-2;(2)zn>8m<—2

【解题分析】

⑴把A点坐标代入反比例解析式确定出a的值，确定出A坐标，代入一次函数解析式求出b的值；(2)分别求出直线

h与x轴交于点D,再求出直线12与x轴交于点B,从而得出直线L与直线h交于点C坐标，分两种情况进行讨论：

①当SAABC=SABCD+SAABD=6时，利用三角形的面积求出m的值，②当SAABC=SABCD-SAABD=6时，利用三角形的面

积求出m的值，从而得出m的取值范围.

【题目详解】

(1)•••点A在y=3图象上

X

a—2=—

3

・・

：.A(3,1)

•・•点A在y=x+b图象上

；・1=3+8

：.b=-2

・••解析式y=x-2

(2)设直线y=x-2与X轴的交点为。

：.D(2,0)

•・•直线y=—x+m与工轴交点为B

Cm,0)(m>3)

直线y=—x+m与直线y=x—2相交于点C

=2

>•V

y——x+m

m+2

x=--------

2

解得：

m-2

y=~r

m+2m-2

：.C

2'2

■:SAABC=SABCD—SAABD^.6

1/八m—21/八1,

—x(m-2)x—(m-2)xl>6

:.m>8

二g(2-冽)xl+g(2-?n)

2

:.m<一2

综上所述，m>8或m<—2

【题目点拨】

此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，三角形的面积，利用了数形结合的思想，熟练掌握待定系数法是解本

题的关键.

23、⑴坡顶A到地面PQ的距离为10米；（2）移动信号发射塔5C的高度约为19米.

【解题分析】

延长交。尸于在RtAAPD中解直角三角形求出AO=10.PZ）=24.由题意设3C=x.则x+10=24+O77.推

Be

出AC=DH=x-14.在RtAABC中.根据tan76°=——，构建方程求出x即可.

AC

【题目详解】

延长BC交OP于H.

0

•.•斜坡AP的坡度为1：2.4,

•旬_5

"PD-12，

设AO=5A:,则尸。=12左，由勾股定理，得AP=134,

/.13*=26,

解得k—2,

：.AD=10,

'：BC^AC^C//PO,

J.BHLPO,

/.四边形ADHC是矩形,S=AO=104C=OH,

VZBPD=45°,

:.PH=BH,

设5C=x，则x+10=24+Z>H,

：.AC=DH=x-14,

.BCx

在RtAABC中,tan76o=——，B即n------=4.1.

ACx—14

解得：xH8.7,

经检验正18.7是原方程的解.

答：古塔3c的高度约为18.7米.

【题目点拨】

本题主要考查了解直角三角形，用到的知识点是勾股定理，锐角三角函数,坡角与坡角等，解决本题的关键是作出辅助线,

构造直角三角形.

24、（1）证明见解析；（2）班.

【解题分析】

⑴根据切线的判定定理得到BC是。。的切线，再利用切线长定理证明即可;

⑵根据含30。的直角三角形的性质、正切的定义计算即可.

【题目详解】

(1)YA5是。。直径，BCLAB,

是。。的切线，

切。。于点O,

；.BC=CD；

⑵连接BD,

,:BC=CD,NC=60。，

是等边三角形，

：.BD^BC^3,ZCBD=60°,

/.ZABD=30°,

是。。直径，

：.ZADB=90°,

：.AD=BD»tanZABD=73.

【题目点拨】

本题考查了切线的性质、直角三角形的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键.

25、(1)45;(2)90°;(3)见解析.

【解题分析】

(1)根据等腰三角形三线合一可得结论；

(2)连接DB,先证明△BADgZ\CAD,得BD=CD=DF,贝!JNDBA=NDFB=NDCA,根据四边形内角和与平角

的定义可得NBAC+NCDF=180。，所以NCDF=90。；

(3)证明△EAFg△DAF,得DF=EF,由②可知，CE=血。£＞可得结论.

【题目详解】

(1)